眼科病床的合理安排解析及點(diǎn)評(píng)

CUMCM2023年B題

“眼科病床的合理安排〞

解析及點(diǎn)評(píng)劉保東山東大學(xué)問(wèn)題提出醫(yī)院住院排隊(duì)問(wèn)題建模目的：就是要得到對(duì)現(xiàn)有的病床安排FCFS方案的一個(gè)現(xiàn)實(shí)、合理的改進(jìn)方案題目：B2023.doc問(wèn)題分析研究目的：某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類(lèi)：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷類(lèi)型急癥手術(shù)時(shí)間術(shù)前準(zhǔn)備其他白內(nèi)障否一、三1-2天分單雙眼視網(wǎng)膜否除一、三外2-3天青光眼否除一、三外2-3天外傷是周內(nèi)均可1天有空即入問(wèn)題分析醫(yī)療條件眼科門(mén)診每天開(kāi)放，住院部共有病床79張。無(wú)手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問(wèn)題。住院規(guī)那么：FCFS建模要求：評(píng)價(jià)方法：建立指標(biāo)優(yōu)劣性評(píng)價(jià)體系模型建立：建立合理的病床安排模型，并做出評(píng)價(jià)。合理預(yù)測(cè)：預(yù)測(cè)門(mén)診病人大致入住時(shí)間區(qū)間。方案調(diào)整：周六、周日不安排手術(shù)，重新答復(fù)問(wèn)二實(shí)際操作：確定各類(lèi)病人占用病床的比例問(wèn)題分析由題目所給數(shù)據(jù)中，各類(lèi)病人到達(dá)人數(shù)分別服從不同參數(shù)的Poisson分布，需要進(jìn)行分布擬合檢驗(yàn)及分布參數(shù)提取。病人術(shù)前住院時(shí)間是確定的，依入院時(shí)間而定，所以病人住院時(shí)間中只有術(shù)后住院時(shí)間是隨機(jī)的，要做擬合檢驗(yàn)的也是這一局部時(shí)間分布。各類(lèi)病人術(shù)后住院時(shí)間分別服從正態(tài)分布、Г分布或埃爾朗分布，由于檢驗(yàn)方法或檢驗(yàn)細(xì)節(jié)處理不相同，可能得到以上不同的分布，這是允許的，但假設(shè)得出服從負(fù)指數(shù)分布的結(jié)論，那么是錯(cuò)誤的。也有一些同學(xué)不做擬合分布檢驗(yàn)，而是畫(huà)出直方圖，然后以此經(jīng)驗(yàn)分布作仿真依據(jù)，這樣處理也是可以的。問(wèn)題分析數(shù)據(jù)分析做得比較深入的同學(xué)，會(huì)發(fā)現(xiàn)一條隱含在數(shù)據(jù)中的關(guān)鍵信息：術(shù)前住院時(shí)間過(guò)長(zhǎng)是當(dāng)前病床使用效率不高的主要因素。這樣一個(gè)關(guān)鍵信息的獲得，會(huì)使得建模更有方向感。問(wèn)題一：評(píng)價(jià)指標(biāo)體系主要考核對(duì)問(wèn)題的考慮是否全面，對(duì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)的理解是否到位。評(píng)價(jià)指標(biāo)分兩類(lèi)：效率指標(biāo)和公平性指標(biāo)。兩類(lèi)指標(biāo)可以有各種不同的定義，其合理性是評(píng)分依據(jù)。效率指標(biāo)——平均術(shù)前住院時(shí)間，或病床有效利用率。非外傷病人入院第2日〔白內(nèi)障〕或第3日〔其他眼病〕后等待手術(shù)的時(shí)間稱(chēng)為病床無(wú)效時(shí)間，病床有效利用率定義為病床有效利用率=1-病床無(wú)效時(shí)間/該病人住院時(shí)間問(wèn)題一：評(píng)價(jià)指標(biāo)體系公平性指標(biāo)——從公平性考慮，希望盡量做到FCFS〔Firstcome,Firstserve〕,公平度具體如何確定，是一個(gè)小考點(diǎn)。這個(gè)指標(biāo)必須考慮，否那么會(huì)出現(xiàn)盡量收白內(nèi)障病人入院，以改善效率指標(biāo)的現(xiàn)象。一種比較具操作性的指標(biāo)是用“延期住院〞病人人數(shù)占總出院人數(shù)的比例來(lái)度量不公平度。注意到，上述公平度只考慮了“延期日子〞，而沒(méi)有將“插隊(duì)人數(shù)〞度量在內(nèi)，對(duì)此可以有不同的理解與定義，不必苛求一致。本問(wèn)主要考核能否給出一個(gè)相對(duì)合理的病床安排模型，主要目標(biāo)為：提高病床有效利用率以及提高公平度。

就提高病床有效利用率而言，病人術(shù)后住院時(shí)間是一個(gè)不可優(yōu)化的量，所以只能在術(shù)前等待時(shí)間上作文章。經(jīng)對(duì)題目所給數(shù)據(jù)的分析可知：對(duì)白內(nèi)障病人的入院時(shí)間加以限制成為提高效率的必然選擇。問(wèn)題二：優(yōu)化模型本問(wèn)主要解決方法是仿真方法，大致可分為“先仿真，再優(yōu)化〞與“邊仿真，邊優(yōu)化〞兩類(lèi)，前者是先確定假設(shè)干種住院規(guī)那么，然后根據(jù)仿真統(tǒng)計(jì)結(jié)果選出較優(yōu)規(guī)那么；后者是先確定一個(gè)優(yōu)化原那么，然后在仿真時(shí)，對(duì)每一個(gè)排隊(duì)病人按照該優(yōu)化原那么決定住院先后。顯然后者要更好一些。一種比較典型的仿真優(yōu)化方法是：對(duì)每一位等待入院病人，以該病人當(dāng)日入院的公平性〔以到達(dá)先后計(jì)〕與病床使用效率〔分類(lèi)考慮〕兩方面綜合排序〔例如求兩個(gè)指標(biāo)的加權(quán)和〕，然后按排序結(jié)果安排當(dāng)日入院病人，由此得到公平合理的住院方案。按此方案進(jìn)行仿真，再統(tǒng)計(jì)各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)值，并與FCFS方案作比較，此問(wèn)即告完成。值得一提的是，解法的多樣性在本問(wèn)題求解中得到了較充分的表達(dá)，例如有的參賽隊(duì)引入了計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)進(jìn)程調(diào)度中的最正確響應(yīng)比算法，使公平性與效率同時(shí)得到了表達(dá)，是一種好的創(chuàng)意。本問(wèn)中存在的主要問(wèn)題是公平性考慮缺乏，有的隊(duì)甚至完全不考慮公平性，未免過(guò)于脫離實(shí)際，而脫離實(shí)際是建模最大的忌諱。還有較普遍存在的問(wèn)題是主要優(yōu)化目標(biāo)不清晰，羅列了一堆目標(biāo)，卻未抓住提高病床使用效率這個(gè)要害，其根源還是對(duì)題目的理解以及對(duì)數(shù)據(jù)的分析不夠透徹。第三問(wèn)此問(wèn)希望學(xué)生給出一個(gè)滿(mǎn)足一定置信度〔例如：90%〕的預(yù)約住院時(shí)間區(qū)間，區(qū)間長(zhǎng)度越短越好。一種自然的想法是通過(guò)同類(lèi)病人術(shù)后住院時(shí)間的概率分布從理論上得到這一區(qū)間，如果能通過(guò)此種理論方法解決此問(wèn)題，自然是最理想的。但這樣做的一個(gè)困難是已處于術(shù)后住院狀態(tài)的該類(lèi)病人的繼續(xù)住院時(shí)間不服從同一分布，從而將該類(lèi)病人〔含已住院與未住院〕的預(yù)計(jì)住院時(shí)間求和后的隨機(jī)變量的分布不知道。設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為T(mén)0，當(dāng)前排隊(duì)人數(shù)為P，預(yù)計(jì)住院時(shí)刻為T(mén)，該類(lèi)病人每日出院人數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均值為α，那么設(shè)一個(gè)已出院病人實(shí)際住院時(shí)刻為T(mén)1，通過(guò)仿真統(tǒng)計(jì)一段時(shí)間內(nèi)所有病人的根據(jù)90%的置信度確定兩個(gè)閾值從而得到當(dāng)前病人的預(yù)計(jì)住院時(shí)間區(qū)間為。

第四問(wèn)假設(shè)仍采用“一三方案〞，效率較低，通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)主要原因是對(duì)視網(wǎng)膜與青光眼病人而言，會(huì)造成病床使用效率降低。通過(guò)有限種方案的仿真計(jì)算比較可知，采用“二四方案〞或“三五方案〞可使病床使用效率有所提高。前者效率＋公平總體效果較好，后者效率較高，但公平性較差。第五問(wèn)主要有三種模型：一、仿真計(jì)算模型：床位分配只有有限種組合情形，可以通過(guò)窮舉仿真方法得到各種組合的評(píng)價(jià)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)值，再比較得到最正確組合方案。此方案計(jì)算量較大，且模型通用性有一定局限。二、效勞強(qiáng)度平衡模型：當(dāng)各分類(lèi)系統(tǒng)的效勞強(qiáng)度相等時(shí)，效果最正確。可以通過(guò)建立條件極值模型，利用拉格朗日方法證明這一結(jié)論。三、排隊(duì)論近似模型：通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式將M/G/K系統(tǒng)近似為M/M/K系統(tǒng)，然后利用排隊(duì)論的現(xiàn)成結(jié)論寫(xiě)出優(yōu)化模型。綜合評(píng)述數(shù)據(jù)檢驗(yàn)是本問(wèn)題中必須做的，但被許多參賽隊(duì)所忽略，從而意外成為區(qū)分點(diǎn)之一。公平性指標(biāo)被許多人忽略，反映出對(duì)問(wèn)題本質(zhì)認(rèn)識(shí)不到位。效率指標(biāo)也可以適當(dāng)精簡(jiǎn)。優(yōu)化模型的多樣性是此題目最大的亮點(diǎn)，涌現(xiàn)許多意料之外的解法。入院時(shí)間的預(yù)測(cè)區(qū)間完成不好，大局部隊(duì)沒(méi)有置信度概念，不少隊(duì)給出的區(qū)間與當(dāng)前隊(duì)長(zhǎng)無(wú)關(guān)。第五問(wèn)理論深度較深，完成得好的不多，拉格朗日條件極值方法的運(yùn)用是一種有趣的方法。存在模型與求解“兩張皮〞的現(xiàn)象，以及捏造數(shù)據(jù)結(jié)果的現(xiàn)象，反映出一些學(xué)風(fēng)問(wèn)題，計(jì)算能力的欠缺也是一個(gè)原因?？傮w上說(shuō)，競(jìng)賽論文完成得很