直線與平面垂直的判定1

直線與平面垂直

直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面相交，并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直.其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點(diǎn)叫做垂足.

A平面的垂線直線的垂面垂足注意：1.定義中的任意一條直線為所有直線，但與無(wú)數(shù)條直線不同2.直線和平面垂直只是相交的一種特殊形式3.直線和平面垂直的定義簡(jiǎn)稱(chēng)線面垂直，那么線線垂直判斷以下命題是否正確？×(1)假設(shè)一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行?！病?2)假設(shè)一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。()×

在幾何中，定義兼具兩重性，既是判定又是性質(zhì)。判定是指：如果一條直線垂直一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直，這是判定證明直線與平面垂直的一種方法；性質(zhì)是指：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線?！泊私Y(jié)論經(jīng)常用〕

ab

LP直線和平面垂直的畫(huà)法記作：L⊥

通常把直線畫(huà)成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直。線面垂直直觀圖的畫(huà)法：mn

實(shí)例2、判定直線和平面垂直的方法方法〔1〕根據(jù)定義(最根本的方法)a是α內(nèi)任一條直線

LPa方法(2)直線和平面垂直的判定求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．

已知：，．

求證：．

證明：設(shè)是內(nèi)的任意一條直線．(定義)

可作定理使用

AmnB猜測(cè)：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的兩條相交直線m,n都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.

mnBAA’cDgE方法〔3〕直線和平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.

AmnB

推理模式：aaa^^^=?ììlnlmlBnmnm,,,線線垂直線面垂直

mnmnmnmn⑴⑵⑶⑷BBBB(1)、假設(shè)一條直線與一個(gè)三角形的兩條邊垂 直，那么這條直線垂直于三角形所在的平面。()(2)、假設(shè)一條直線與一個(gè)平行四邊形的兩條 邊垂直，那么這條直線垂直于平行四邊 形所在的平面。()(3)、假設(shè)一條直線與一個(gè)梯形的兩腰垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面。 ()√×

√判斷以下命題是否正確？(4)、共點(diǎn)的三條直線中的任一條垂直于另兩條所確定的面(√

)判斷以下命題是否正確？(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直。()(2)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直。()√√例1．過(guò)一點(diǎn)和平面垂直的直線只有一條。：平面α和一點(diǎn)P.求證：過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條。證明：不管P點(diǎn)在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P)，如果過(guò)P點(diǎn)，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β,且α∩β=a，

于是在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于交線a，

這是不可能的。所以過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條。aa例2的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點(diǎn)(和旗桿腳不在同一條直線上)C、D,如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？例3．：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l.求證：AP在α內(nèi)。證明：設(shè)AP與l確定的平面為β，假設(shè)AP不在α內(nèi)，那么設(shè)α與β相交于直線AM。因?yàn)閘⊥α，AMα,所以l⊥AM，又AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A有兩條直線垂直于l，這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)。例4:已知，于，．

于求證：

例5:已知平面，是⊙的直徑，是⊙上的任一點(diǎn)，求證：．

6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H為垂足，求證：B1H⊥平面AD1C.證明：連接B1D1，∵B1B⊥AB，B1B⊥BC，∴B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥AC，∵又AC⊥BD，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1H平面BB1D1D，∴AC⊥B1H，又B1H⊥D1O，∴B1H⊥平面AD1C.ABCDA’B’C’D’1.如圖正方體ABCD-A’B’C’D’中，與A’B

垂直的棱有多少條？請(qǐng)列出并說(shuō)明原因。2.：如圖，空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)。求證：AC⊥BD。ABCDE3.：如圖，空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)。過(guò)A作AH⊥CE于HABCDE⑴求證：AC⊥BD。⑵求證：AH⊥面BCD。

課堂練習(xí)1．選擇題〔1〕“直線L垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線〞是“L⊥〞的〔〕〔A〕充分條件〔B〕必要條件〔C〕充要條件〔D〕既不充分也不必要條件〔2〕如果一條直線L與平面的一條垂線垂直，那么直線L與平面的位置關(guān)系是〔〕〔A〕L〔B〕L⊥〔C〕L∥〔D〕L或L∥2．填空題〔1〕過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的垂線有_____條；垂面有___個(gè)；平行線有__條；平行平面有_____個(gè).〔2〕過(guò)平面外一點(diǎn)作該平面的垂線有___條；垂面有____個(gè)；平行線有條；平行平面有___個(gè).3．能否作一條直線同時(shí)垂直于兩條相交直線？能否作一條直線同時(shí)垂直于兩個(gè)相交平面？為什么？BD無(wú)數(shù)一一無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)一一1、線面垂直的定義：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都垂直，我們就說(shuō)這條直線與這個(gè)平面相互垂直。2、