數(shù)值分析14差商(均差)的概念

拉格朗日插值誤差余項(xiàng)差商(均差)的概念算法與例子牛頓插值公式《數(shù)值分析》14兩點(diǎn)線性插值定義誤差余項(xiàng):

R(x)=f(x)–L(x)由插值條件,知

R(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)即

f(x)–L(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)C(x)=???2/18

a≤x0＜x1＜······＜xn≤b則對任何x∈[a,b],滿足

Ln(xk)=f(xk)的n

次插值多項(xiàng)式Ln(x)的誤差其中,且與x有關(guān)定理5.2設(shè)

f(x)∈C[a,b],且

f

(x)在(a,b)內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),取插值結(jié)點(diǎn)3/18證明:記

n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)f(x)–Ln(x)=C(x)

n+1(x)取定

x∈(a,b),設(shè)

t∈(a,b).構(gòu)造函數(shù)

顯然,F(x)=0,F(xj)=0,(

j=0,1,···,n)由插值條件Ln(xk)=f(xk)

(k=0,1,…,n)知存在C(x)使得

4/18

F(t)有(n+2)個相異零點(diǎn).根據(jù)Rolle定理,F’(t)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有(n+1)個相異零點(diǎn).依此類推,F

(n+1

)(t)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)。故存在

∈

(a,b),使F(n+1)(

)=0

5/18例5.3設(shè)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù),且

f

(x)在(a,b)內(nèi)具有2階導(dǎo)數(shù),已知f

(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的值.如果當(dāng)x∈(a,b)時,有|f’’(x)|≤M.試證明證明由Lagrange插值誤差定理令h(x)=|(x–a)(x–b)|6/18應(yīng)用:考慮制做

sinx

在[0,

]上等距結(jié)點(diǎn)的函數(shù)表,要求用線性插值計算非表格點(diǎn)數(shù)據(jù)時,能準(zhǔn)確到小數(shù)后兩位,問函數(shù)表中自變量數(shù)據(jù)的步長h應(yīng)取多少為好？

解：設(shè)應(yīng)取的步長為h,則

xj=jh(j=0,1,···,n).

當(dāng)

x∈(xj

,xj+1)時

h≤0.2只須7/18取x0,x1,x2,求二次函數(shù)

P(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)(x–x1)滿足條件

P(x0)=f(x0),P(x1)=f(x1),P(x2)=f(x2)

插值條件引出關(guān)于a0,

a1,

a2方程牛頓插值問題8/18解下三角方程組過程中引入符號a0=f(x0),a1=f[x1,x2],

a2=f[x0,x1,x2]P(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)(x–x1)9/18定義5.3

若已知函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0,x1,···,xn

處的值

f(x0),f(x1),···,f(xn).如果

i≠j,則(j=0,1,…,n-1

)一階均差n階均差二階均差(j=0,1,…,n-2

)10/18x -2 -1 0 1 3y -56 -16 -2 -2 4例由函數(shù)表求各階均差x f(x)一階差商

二階差商

三階差商-2 -56 -1 -16 40 0 -214 -13 1 -20 -7 23 4 3 1 2解:按公式計算一階差商、二階差商、三階差商如下11/18MATLAB程序計算x=[-2-1013]’;y=[-56-16-2-24]’;f=yn=length(x);fork=2:nforj=n:-1:kf(j)=(f(j)-f(j-1))/(x(j)-x(j+1-k));endD(:,k-1)=f;D(1:k-1,k-1)=zeros(k-1,1);end[x,y,D]

-2-56-1-16400-214-131-20-7234312012/18牛頓插值公式其中(k=1,2,···,n)f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x,x0]13/18假設(shè)對于

k<n，有令則

f(x)=N(x)+Rn(x)14/18x -2 -1 0 1 3y -56 -16 -2 -2 4f(x0)=-56,f[x0,x1]=40,f[x0,x1,x2]=–13,

f[x0,x1,x2,x3]=2,f[x0,x1,x2,x3,x4]=0N3(x)=–56+40(x+2)–13(x+2)(x+1)+

2(x+2)(x+1)x

例由函數(shù)表求Newton插值函數(shù)函數(shù)值的計算:N3(x)=–56+(x+2)[40–(x+1)[13+2x]]15/18根據(jù)代數(shù)插值存在唯一性定理,n

次牛頓插值公式恒等于n次拉格朗日插值公式,誤差余項(xiàng)也相等，即

算法:記插值節(jié)點(diǎn)為x0,x1,···,xn,f(x)的各階差商為

f0,f1,f2,···,fns←fn計算s←fk+s*(x-xk)(k=n-1,n-2,···,0)(3)N(x)=s16/18例:推導(dǎo)計算公式112983362719/241006437/23522512561/241/4

644121691/251/407784343127/261/4017/18P(n)=1+(n-1)(8+(n-2)(19/2+(n-3)(3+(n-4)/4)))=n4/4+n3/2+n2/4=1