高等代數(shù)課件

§1.2一元多項(xiàng)式一.一元多項(xiàng)式的概念二.一元多項(xiàng)式的運(yùn)算三.多項(xiàng)式的運(yùn)算性質(zhì)1.定義2

用f(x),g(x),…或f,g,…等表示多項(xiàng)式.

該定義是文字x的形式運(yùn)算式,給x賦予不同意義,其多項(xiàng)式意義不同.若x在R中取值時(shí),則f為中學(xué)數(shù)學(xué)中的多項(xiàng)式函數(shù),若x為矩陣,則f是矩陣多項(xiàng)式.如此定義的目的,是研究這些不同對象在代數(shù)運(yùn)算上的共性.一.一元多項(xiàng)式的概念

(P:給定數(shù)域)P[x]P定義3

f(x)=g(x),如果係數(shù)非零的同次項(xiàng)係數(shù)相等.

係數(shù)全為零的多項(xiàng)式稱為零多項(xiàng)式,記為0.

an≠0,則an

為(1)的首項(xiàng),an為首項(xiàng)係數(shù),n為(1)的次數(shù).

零多項(xiàng)式不定義次數(shù),多項(xiàng)式f(x)≠0,則次數(shù)記為?(f(x)).(1)式可用和式符號∑表示為,即求和指標(biāo)

i可隨意變動(dòng),與和式無關(guān).二一元多項(xiàng)式的運(yùn)算(加法,乘法)三運(yùn)算性質(zhì)

(P[x]:係數(shù)在P中的多項(xiàng)式全體構(gòu)成之集合)乘法結(jié)合律證明過程驗(yàn)證:§1.3整除的概念一問題引入二帶餘除法定理三整除概念及判定四整除的性質(zhì)一問題引入

在P[x]中,多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算—

除法並不可普遍進(jìn)行(有可能除不盡),故兩個(gè)多項(xiàng)式是否可以整除,成了多項(xiàng)式之間一種特殊的關(guān)係.二帶餘除法定理(餘式定理)整除的概念即判定四整除的性質(zhì)

P[x]f,g

P

該命題說明,整除性與係數(shù)域無關(guān).如果多項(xiàng)式f(x)

在P[x]中不能整除g(x),則在更大範(fàn)圍內(nèi)f(x)也不能整

除g(x).

作業(yè):P44習(xí)題1.2),習(xí)題2.1),習(xí)題3.1),習(xí)題4.1).

補(bǔ)充:綜合除法§1.4最大公因式1.最大公因式定義2.性質(zhì)及輾轉(zhuǎn)相除3.多項(xiàng)式的互素4.相關(guān)概念的推廣一最大公因式的定義二性質(zhì)及輾轉(zhuǎn)相除法三應(yīng)用：輾轉(zhuǎn)相除求最大公因式§1.5因式分解定理問題提出不可約多項(xiàng)式概念不可約多項(xiàng)式性質(zhì)中學(xué)數(shù)學(xué)中多項(xiàng)式因式分解不可再分無嚴(yán)格定義，故此處想從理論上給以研究；多項(xiàng)式分解問題的關(guān)鍵是想找到P[x]中不可再分的基本單位是什麼?從而搞清楚多項(xiàng)式的基本結(jié)構(gòu)，這裏體現(xiàn)出人類認(rèn)識客觀事物的一種數(shù)學(xué)思想方法；多項(xiàng)式的因式分解與係數(shù)域有關(guān).例：x4－4=(x2－2)(x2＋2)在Q上已不能再分解；x4－4=(x－2)(x＋2)(x2＋2)在R上已不能再分解；x4－4=(x－2)(x＋2)在C上已不能再分，故首先要在給定的係數(shù)域P上引入不可約多項(xiàng)式的概念,並搞清楚不可約多項(xiàng)式的一些基本性質(zhì)，進(jìn)而研究多項(xiàng)式因式分解定理，為進(jìn)一步的討論奠定基礎(chǔ).一問題提出定義8

p(x)∈P[x],?p≥1,若p(x)不能表成P上兩個(gè)次數(shù)＜?p的多項(xiàng)式的積，則稱p(x)是數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式.

一次多項(xiàng)式始終是不可約多項(xiàng)式，零多項(xiàng)式與零次多項(xiàng)式無可約，不可約的概念；多項(xiàng)式是否不可約與係數(shù)域P有關(guān)；

f(x)∈P[x],c∈P且c≠0,c和cf(x)稱為f(x)的平凡因式，則有如下命題成立：命題：?f(x)≥1，f(x)在P[x]上不可約的充要條件是f(x)在P[x]上僅有平凡因式.(即f(x)在P[x]上可約的充要條件是f(x)在P[x]上除了平凡因式外，還有其他因式)。二不可約多項(xiàng)式的概念證明：必要性

設(shè)f(x)在P上不可約，假定f(x)在P[x]中有非平凡因式g(x)→g(x)|f(x),?g≠0,且?g≠?f(否則,g(x)是非零常數(shù)或f(x)=kg(x),k(≠0)∈P→g(x)=k-1

f(x)=cf(x),均為平凡因式)→f(x)=g(x)h(x),其中0＜?g,?h＜?f,這與f(x)在P上不可約矛盾→

f(x)無非平凡因式.

充分性

設(shè)f(x)在P[x]中只有平凡因式→f(x)在P[x]中不能寫成兩個(gè)次數(shù)低於?f的多項(xiàng)式的乘積形式→f(x)不可約.□注1：“不可約”與“互素”概念不同.前者是多項(xiàng)式自身屬性的刻畫，後者卻是多項(xiàng)式之間的一種二元關(guān)係.

注2：提出一個(gè)問題—f,g∈P[x],隨著P的的擴(kuò)大，f,g的因式有可能增加，那麼共因式會(huì)不會(huì)增加？（該問題的解決放在以後進(jìn)行高論）.

三不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)問題討論：問題—f,g∈P[x],隨著P的擴(kuò)大，f,g的因式有可能增加，那麼公因式會(huì)不會(huì)增加？或說f,g的最大公因式是否與係數(shù)域有關(guān)？結(jié)論：f,g的公因式不會(huì)隨著係數(shù)域P的擴(kuò)大而改變，即f,g的最大公因式與係數(shù)域無關(guān).分析：

f,g的公因式都是其最大公因式的因式→問題轉(zhuǎn)化為：隨P擴(kuò)大，f,g的最大公因式會(huì)不會(huì)改變？若最大公因式與係數(shù)域無關(guān)，則公因式也就不會(huì)隨係數(shù)域的擴(kuò)大而改變.

最大公因式是由輾轉(zhuǎn)相除法求得的，故這裏問題的關(guān)鍵是帶餘除法中的商式q(x)，餘式r(x)儘管唯一確定，是否與係數(shù)域無關(guān)？→事實(shí)上，設(shè)f,g∈P[x],P

P/→據(jù)帶餘除法定理，存在唯一的q,r∈P[x],使得f=qg+r,r=0或?r＜?g成立.假定另有q/,r/∈P/[x],使得f=q/g+r/,r/=0或?r/＜?g成立,因q,r∈P/[x],故由唯一性得q=q/,r=r/.

若f,g∈P/[x],P

P/→據(jù)帶餘除法定理,存在唯一的q,r∈P/[x],使得f=qg+r,r=0或?r＜?g成立.假定另有q/,r/∈P[x],使得f=q/g+r/,r/=0或?r/＜?g成立,由於q/,r/∈P/[x],故由唯一性得q=q/,r=r/.

以上討論說明，帶餘除法中的商式，餘式與係數(shù)域的改變無關(guān)→最大公因式的計(jì)算完全由帶餘除法中所得餘式確定,故最大公因式與係數(shù)域無關(guān)→公因式存在於最大公因式之中,故f,g的公因式與係數(shù)域的改變無關(guān)（儘管f,g的因式隨係數(shù)域的擴(kuò)大有可能增加）.§1.6重因式一重因式的概念二重因式的判定定義9

p(x)稱為f(x)的k重因式，是指

p(x)不可約;pk(x)|f(x),而pk+1

(x)

不能整除f(x).k=0,p(x)非f(x)的因式；

k=1,p(x)是f(x)的單因式；

k＞1,p(x)是f(x)的重因式.

設(shè)f(x)典型分解式為,則pi是

f(x)的ri重因式(ri=1,為單因式ri

＞1,為重因式),i=1,2,…,s.但是，由於無一般方法求f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式，故需另求途徑解決重因式的判別問題.一重因式的概念二重因式的判定定義設(shè)f(x)=

anxn

+an－1xn－1+···+a1x1+a0,規(guī)定

f/(x)=nanxn－1+(n－1)an－1xn－2+···

+2a2x+a1為f(x)的一階微商（導(dǎo)數(shù)），f/(x)的微商(f/(x))/=f//(x)為f(x)的二階微商等，f(x)的k階微商記為f(k)(x).

簡單性質(zhì):1)(f+g)/=f/+g/

；(cf)/=cf/

；

(fg)/=f/g+fg/

；(f

m(x))/=m(fm－1(x)f/(x).

如上定義僅是一種形式的定義，並未賦予微商具體的，如同“數(shù)學(xué)分析”類似的意義.又f(k)(x)≠fk(x).

?f=n,則有?f/=n－1；?(f(n))=0；f

(n+1)=0.

例f(x)=3x4－5x3＋2x－1，f/(x)=12x3－15x2＋2.1.7多項(xiàng)式函數(shù)1多項(xiàng)式函數(shù)的概念2多項(xiàng)式函數(shù)的判定3多項(xiàng)式函數(shù)的根一多項(xiàng)式函數(shù)概念二多項(xiàng)式函數(shù)的性質(zhì)

FP[x]f(x)Mf(x)

該定理的意義

設(shè)M是數(shù)域P上多項(xiàng)式函數(shù)f：P→P全體構(gòu)成的集合→P[x]與M之間是否有一一對應(yīng)F，即兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)會(huì)不會(huì)定義兩個(gè)相同的多項(xiàng)式函數(shù)？用定理9可更簡潔的證明該問題→f(α)f(x)

α

復(fù)習(xí)：集合A到B的雙射的判定a=bAabφ(a)=φ(b)Bφ(a)

φ(b)

證明F是映射：對任意f(x),g(x)∈P[x],f(x)=g(x),即運(yùn)算式一模一樣→對任意α∈P,f(α)=g(α)→函數(shù)f(x)=g(x),故F是P[x]到M的映射.

證明F是滿射：對任意f(x)∈M,顯然確定P[x]中的一個(gè)關(guān)於文字x的多項(xiàng)式f(x),故F是滿射.

證明F是單射：對任意f(x),g(x)∈M→對任意α∈Pf(α)=g(α)→據(jù)定理9可知f(x)=g(x)(f(x),g(x)∈P[x])故F是單射.

綜上所述，P[x]與M之間一一對應(yīng).所以數(shù)域P上的多項(xiàng)式可作為形式運(yùn)算式來處理,也可作為函數(shù)來處理,並不會(huì)產(chǎn)生矛盾性.但是作為不同的概念,它們有一般概念和特殊概念的區(qū)別.作業(yè)：P45習(xí)題17,21,22,23,24,26.三多項(xiàng)式函數(shù)的根（補(bǔ)充內(nèi)容）定理：c是f(x)的根

<=>x－c|f(x)(f(c)=r=0).證明：據(jù)帶餘除法定理,存在q(x),r(x)∈P[x],使得f(x)=(x－c)q(x)+r,r=0或

?r=0，故c是f(x)的根<=>f(c)=(c－c)q(c)+r=r=0<=>f(x)=(x－c)q(x)<=>x－c|f(x).□

該定理說明，可用綜合除法判定c是否為f(x)的根.

結(jié)合該部分內(nèi)容及綜合除法，可解決如下問題：

判斷f(x)在給定數(shù)域P中是否有重因式？重因式的重?cái)?shù)是多少？例f(x)=x4+5x3+6x2

－4x－8∈Q[x],給出其分解式.歷史回顧:

a0xn+a1xn－1+···+an=0求解是16-18世紀(jì)代數(shù)學(xué)的中心問題,一次、二次方程求解遠(yuǎn)古時(shí)代已給出公式解,但高次方程很困難，當(dāng)時(shí)提出兩個(gè)問題:(1)一般方程是否一定有解？(2)如何求解？

(1)①二次方程ax2+bx+c=0當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)無解，Cardan引入複數(shù)，解決了二次方程求解問題，即有解問題促進(jìn)了數(shù)系發(fā)展；②積分學(xué)提出一個(gè)問題:實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式是否能分解成實(shí)係數(shù)一次、二次因式之積，並避免使用複數(shù)？歐拉給出斷言，並說明六次以內(nèi)的多項(xiàng)式都成立，但給不出證明.其證明的關(guān)鍵是這樣的多項(xiàng)式至少要有一個(gè)根，繼而引出代數(shù)基本定理.該定理證明最後是由高斯於1799年給出的(按現(xiàn)代觀點(diǎn)講，證明不完整).(2)如何求解集中兩種方法：①近似解法,已成為計(jì)算數(shù)學(xué)的課題；②根號解，如果方程的根能用方程係數(shù)通過有限次四則運(yùn)算及開方運(yùn)算求之，則說該方程可用根號求解.對於三次、四次方程,在16世紀(jì)已經(jīng)找到根號求解的一般公式，19世紀(jì)，利用加羅瓦理論證實(shí)，五次以上的方程不存在用根號表示根的一般公式.1.8複係數(shù)，實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式的因式分解1複數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解2實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解(代數(shù)基本定理)對任意的f(x)(∈C[x],?f≥1)在C上至少有一個(gè)根（或：至少有一個(gè)一次因式）.

由該定理可以推出：C上次數(shù)大於1的多項(xiàng)式全是可約多項(xiàng)式事實(shí)上，據(jù)該定理,當(dāng)?f＞1時(shí),應(yīng)有根α1,使得

f(x)=(x－α1)f1(x),若?f1＞1,又據(jù)該定理有根α1,使

f(x)=(x－α1)(x－α2)f2(x),···，如此討論下去,至多?fn

=1,即fn(x)=x－αn,故重根按重?cái)?shù)計(jì),有

下式成立:f(x)=a(x－α1)(x－α2)…(x－αn)(1)

換一說法：C上不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式.

由如上(1)式可以給出f(x)=xn+a1xn－1+···

+an

根與係數(shù)的關(guān)係（韋達(dá)定理,此處略）.一複數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解二實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解評論：代數(shù)基本定理是本節(jié)討論的理論基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上肯定了n次方程有n個(gè)複根.但這裏並沒有給出求根的具體方法，高次方程求根問題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決，其內(nèi)容構(gòu)成數(shù)學(xué)的其他分支，已不是高等代數(shù)所要討論的問題.

作業(yè)：P48補(bǔ)充題9.10.11.1.9有理係數(shù)多項(xiàng)式1本原多項(xiàng)式2整係數(shù)多項(xiàng)式的有理根3艾森斯坦因判別法本節(jié)要得到的兩個(gè)重要事實(shí)有理係數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的因式分解（或叫可約性）問題→可化歸為整係數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域，甚至整數(shù)範(fàn)圍內(nèi)的因式分解問題→其關(guān)鍵是有理係數(shù)多項(xiàng)式求有理根的問題;在Q[x]中存在任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式.本節(jié)的基本計(jì)算類型一求整係數(shù)多項(xiàng)式的有理根的計(jì)算;掌握判斷整係數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的一組充分條件—艾森斯坦因(Eisenstein)判別法

本節(jié)的重要概念—

本原多項(xiàng)式一本原多項(xiàng)式

1討論Q上有理係數(shù)多項(xiàng)式可約性，只要討論整係數(shù)多項(xiàng)式在Q上的可約性.橋樑：二整係數(shù)多項(xiàng)式的有理根問題提出：

由以上討論可知,Q上f(x)在Q上的可約性,由f(x)=rg(x)可轉(zhuǎn)化為Z上g(x)在Q上的可約性.f(x),g(x)在Q上應(yīng)有相同的因式,故有相同的有理根→求Q上f(x)的有理根化歸為求Z上g(x)的有理根問題,故這裏專門討論整係數(shù)多項(xiàng)式的有理根問題.

作業(yè)：P46習(xí)題27；習(xí)題28.2)；4)；

P48習(xí)題12；習(xí)題14.問題：x4+2在實(shí)數(shù)域上能分解成一次或二次不可約因式的積嗎？§2.2排列1引言2排列的概念3排列的性質(zhì)一引言歷史資料：17世紀(jì)末，萊布尼茲在研究線性方程組的解時(shí),首先使用現(xiàn)在稱為結(jié)式的一個(gè)行列式.大約1729年，馬克勞林開始用行列式方法解含2-4個(gè)未知量的線性方程組，克萊姆1750年給出行列式求解線性方程組的重要結(jié)論，即克萊姆法則.這些早期工作大都是為了研究方程組而利用行列式這一工具，以求得到方程組解的簡潔運(yùn)算式.對行列式的系統(tǒng)研究第一人是法國人範(fàn)德邦,而行列式這一名詞則由柯西給出，現(xiàn)今符號是凱萊1841年引進(jìn)的.東方最早給出行列式概念的是日本人關(guān)孝和（早於萊布尼茲）.二排列的相關(guān)概念定義1

由1,2,···,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為n元(級)排列.n元排列的個(gè)數(shù)=n!個(gè)；理由：組成一個(gè)排列的過程分成n步來完成，每完成前一步後,再完成後一步，符合乘法原理，故為n!種方法,即構(gòu)成n!個(gè)排列.123···n稱為自然排列.定義2

排列中，若一對數(shù)前後位置與大小順序相反，則稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).

n元排列j1j2···jn的逆序數(shù)記為τ(j1j2···jn),且逆序數(shù)為

τ(j1j2···jn)=m1＋m2＋···＋mn,其中mi為該排列中，排在數(shù)碼i前面與數(shù)碼i構(gòu)成逆序的個(gè)數(shù)（即比i大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)）.例如:τ(634521)=5+4+1+1+1=12;τ(1726354)=0+1+2+3+2+1=9.定義3

逆序數(shù)為偶（奇）數(shù)的n元排列稱為偶（奇）排列.23······n-1n□□□······□□nn-1n-2······21

如上例中634521是歐排列，1726354是奇排列.又τ(2431)=

3＋0＋1＋0=4,故2431是偶排列,τ(45321)=4＋3＋2＋0＋0=9,故45321是奇排列.

定義4

交換一個(gè)n元排列中某兩數(shù)的位置，其餘數(shù)不動(dòng)得到的另一排列的變換稱為一個(gè)對換.

例1：2431(經(jīng)過1,2對換)→1432；2134(經(jīng)過1,2對換)→1234.

例2：2431(經(jīng)過1,2對換)→1432(經(jīng)過1,2對換)→2431.

三排列的性質(zhì)

1一個(gè)對換把全部n元排列兩兩配對，使每兩個(gè)排列在這個(gè)對換

下互變.

2(定理1)對換改變排列的奇偶性.

3(定理2)任一n元排列與排列12···n都可經(jīng)過一系列對換而互變，並且所作對換個(gè)數(shù)與該排列有相同奇偶性.

證明：對n進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.1元排列只有一個(gè)，命題顯然成立.

假定n－1時(shí)結(jié)論成立，現(xiàn)證n時(shí)結(jié)論仍然成立.

設(shè)j1j2···jn是n元排列，若jn=n,據(jù)歸納假定，n－1元排列經(jīng)一系列對換可變成12···(n－1),這一系列對換已把j1j2···jn變成為12···n；若jn≠n,對作對換(jn,n),將其變成j1/j2/···jn－1/n，據(jù)歸納假定可知結(jié)論成立.

相仿地，12···n也可用一系列對換變成j1j2···jn.因?yàn)?2···n是

偶排列，于是根據(jù)定理1，所作對換個(gè)數(shù)與排列j1j2···jn具有相同的奇偶性.4(定理1推論)全部n(≥2)元排列當(dāng)中,奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有n!/2個(gè).

證明:由於n≥2,故n元排列中既有偶排列，也有奇排列→設(shè)有s

個(gè)奇排列，t個(gè)偶排列→任取兩個(gè)數(shù)碼i,j,對s個(gè)奇排列每一個(gè)都

施行對換(i,j),據(jù)定理1，s個(gè)奇排列變成s個(gè)互不相同的偶排列

→s≤t；同理可證t≤s→s=t,即全部n!個(gè)n元排列中，奇、偶排

列各占一半，所以s=t=n!/2.作業(yè)：P96習(xí)題1-5.一n級行列式的概念二n級行列式的性質(zhì)§2.3n級行列式一n級行列式的概念補(bǔ)充實(shí)例作業(yè)：P96習(xí)題6；7；8.2),3)；

9；10；11.njihanglieshidexingzhi§2.4n級行列式的性質(zhì)作業(yè)：P98

習(xí)題13.1)；2)；4)；6).§2.5行列式的計(jì)算一矩陣、矩陣初等變換二行列式的計(jì)算性質(zhì)1任一矩陣經(jīng)過一系列初等行變換總可變成階梯形矩陣.3階梯形矩陣；矩陣A稱為階梯形矩陣，如果矩陣A的任一行從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素的下方全為零；若該行全為零，則它下麵的各行也全為零.

作業(yè)：P98習(xí)題14；16.2)；3）.§2.6行列式按一行(列)展開一餘子式代數(shù)餘子式二行列式按一行(列)展開作業(yè)P99習(xí)題15.1)；17.2)；4)；18.1)；3)；5).§2.7克萊姆法則一多重連加號的性質(zhì)二克萊姆法則三齊次線性方程組的解dckdk資料：克萊姆是瑞士數(shù)學(xué)家，1704年7月31日生於日內(nèi)瓦，1752年1月4日去世於法國塞茲河畔的巴尼奧勒.早年在日內(nèi)瓦讀書，1724年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教，1734年成為幾何學(xué)教授，1750年任哲學(xué)教授.他一生未婚，專心治學(xué)，平易近人，德高望重，先後當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會(huì)、柏林研究院和法國、義大利等學(xué)會(huì)成員.1750年，他在專著《線性代數(shù)分析導(dǎo)論》中提出了克萊姆法則.(其實(shí)萊布尼茲（1693年）和馬克勞林（1748年）也給出了該法則，但他們的記法不如克萊姆，故流傳下來).評論：cramer法則給出一類線性方程組的公式解，明確瞭解與係數(shù)的關(guān)係，這在以後的許多問題的討論中是重要的，同時(shí)便於編成程式上電腦進(jìn)行計(jì)算.但作為一種計(jì)算方法而言要解一個(gè)n個(gè)未知量、n個(gè)方程的線性方程組，要計(jì)算n+1個(gè)n級行列式，計(jì)算量較大.另一方面該公式解對n個(gè)未知量，m個(gè)方程的一般線性方程組的求解無能為力.作業(yè)：P101.習(xí)題19.1)；4)；20；P103.補(bǔ)充題4.1)；3)；5).§2.8Laplace定理·行列式乘法規(guī)則

（簡介）k級（代數(shù)）餘子式的概念Laplace定理行列式乘法規(guī)則拉普拉斯（749-1827）：法國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家,16歲入開恩大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，後為巴黎軍事學(xué)院教授.曾任拿破崙的內(nèi)政部長,後被拿破崙革職.也曾擔(dān)任過法蘭西學(xué)院院長.寫了《天體力學(xué)》（共5卷）,《關(guān)於幾率的分析理論》的不朽著作，贏得“法蘭西的牛頓”的美譽(yù).拉普拉斯的成就巨大，現(xiàn)在數(shù)學(xué)中有所謂的拉普拉斯變換、拉普拉斯方程、拉普拉斯展開式等.他正好死於牛頓死亡的第100年，他的最後一句話是‘我們知之甚少，不知道的卻甚多’.§3.1消元法

一般線性方程組的定義線性方程組的初等變換用消元法解線性方程組齊次線性方程組非零解的討論矩陣初等變換求解線性方程組一

一般線性方程組的定義二線性方程組的初等變換定義1以下變換稱為線性方程組的初等變換.用非零數(shù)乘某方程；2.把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一方程上；3.互換兩個(gè)方程的位置.命題1線性方程組的初等變換把線性方程組變成同解的線性方程組.三

用消元法解線性方程組

1.命題2

線性方程組(1)通過方程組的初等變換可變成同解的階梯形線性方程組(5)，其中(1)與(5)分別為：2.線性方程組解的討論依據(jù)方程組(5)可以考察方程組(1)的解的情況（因?yàn)?1)與(5)同解）：首先考察方程0=dr+1：當(dāng)dr+1≠0時(shí)，方程組(5)無解→方程組(1)無解；當(dāng)dr+1=0時(shí)，分以下情況討論：1）

r=n

時(shí)，階梯形方程組這時(shí)為其中cii≠0,i=1,2,···,n.由最後一個(gè)方程開始，xn,xn-1,···,x1的值可逐一地唯一確定→方程組(6),即方程組(1)有唯一解.

小結(jié)：（1）例2說明，一般線性方程組化成階梯形方程組，不一定具有(5)的樣子，但調(diào)整某些項(xiàng)的位置，總可化成(5)的樣子;（2）r＞n的情形不可能出現(xiàn)（即始終有r≤n成立）;（3）用消元法解線性方程組的過程：用初等變換化原方程組為階梯形方程組,去掉“0=0”的等式（若存在時(shí)）.若剩下的方程當(dāng)中最後一個(gè)等式是0=d的形式，則當(dāng)d≠0時(shí)，方程組無解；當(dāng)d=0時(shí)，方程組有解→在有解的情況下：

r=n時(shí)，方程組有唯一解；

r＜n時(shí)，方程組有無窮個(gè)解.其中，n為未知量個(gè)數(shù)，r為階梯形方程組中方程個(gè)數(shù).四齊次線性方程組非零解的討論

五矩陣的初等變換解線性方程組用初等變換化方程組(1)成階梯形方程組(5)就相當(dāng)於用初等行變換化增廣矩陣成階梯形矩陣→解方程組的第一步工作可以通過矩陣來進(jìn)行，從化成的階梯形矩陣可判定方程組是否有解，有解時(shí)，再回到階梯形方程組去求解.作業(yè)：P154習(xí)題1.1)；3)；5).§3.2n維向量空間作業(yè)：P154習(xí)題1.1)；2)；4).線性組合（表示）概念及性質(zhì)；線性相關(guān)（無關(guān)）的概念；線性相關(guān)（無關(guān)）的性質(zhì)；極大線性無關(guān)組；§3.3線性相關(guān)性一線性組合（表出）的概念及性質(zhì)

α

ε3

ε2ε1

在幾何空間R3中，對任一向量α=(x,y,z)，均可由單位向量組

ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)線性表示為α=xε1

+yε2+zε3.

集合A上元素之間的二元關(guān)係滿足自反性，對稱性，傳遞性時(shí)，稱為等價(jià)關(guān)係.等價(jià)關(guān)係將A劃分成一些互不相交的子集，這些子集的並恰是A.同一子集的元素有許多相同的性質(zhì).二線性相關(guān)（無關(guān)）的概念

α1

lα3α3α2

kα2定理2的幾何意義：在R3中取s=2,則可由β1,β2線性表出的向量均在β1,β2所確定的平面上，故這些向量共面，即r＞2時(shí)，這些向量線性相關(guān)；兩向量組α1,α2和β1,β2等價(jià)→這兩個(gè)向量組在同一平面上.

β2α

β1四極大線性無關(guān)組作業(yè)：P154習(xí)題2.1)；習(xí)題4；5；6；7.§3.4矩陣的秩一引入矩陣秩的概念二矩陣的秩與行列式三矩陣秩的計(jì)算一引入矩陣秩的概念

二矩陣的秩與行列式定理6r(A)=r當(dāng)且僅當(dāng)A中有r階子式不為0，所

有r+1階子式全為0.定理左端意義：A的行（列）向量組中極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)為r

個(gè)，其餘行（列）向量均可由極大無關(guān)組線性表出；定理右端意義：A中至少有一個(gè)r階子式不為0，大於r階的子式全為0，刻畫了A的本質(zhì)屬性.歷史上這正是矩陣秩的最初定義方法；→該定理揭示了兩個(gè)概念之間的內(nèi)在聯(lián)繫.三矩陣秩的計(jì)算作業(yè)：P153.習(xí)題7；8；9；10；11；12；13；14；15；P159，補(bǔ)充題1，2，3，4.

以上討論說明：計(jì)算矩陣的秩，只要用初等行變換將其化成階梯形矩陣，該矩陣中非零行的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩；或用初等變換化成階梯形，其左上角非零子式的階數(shù)即為原矩陣的秩.

用初等變換化一個(gè)線性方程組成階梯形，最後留下來的方程的個(gè)數(shù)r與變換本身無關(guān)，它正是增廣矩陣的秩,該秩r反映了原方程組的本質(zhì)特徵，即在該方程組所描述的客觀對象中，真正起作用的、相互獨(dú)立的條件只有r個(gè).§3.5線性方程組有解判別定理§3.6線性方程組解的結(jié)構(gòu)一齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系二一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)

一般線性方程組解理論：

1.何時(shí)有解？（P137：判定定理7）；

2.解是誰？（P110：對增廣矩陣施行初等行變換方法）；

3.有多少解(解的結(jié)構(gòu))？（本節(jié)問題）.

解的結(jié)構(gòu)：

在有解前提下→解的內(nèi)在聯(lián)繫問題.§4.1矩陣概念的一些背景§4.2矩陣的運(yùn)算1.矩陣的加法運(yùn)算2.矩陣的乘法運(yùn)算3.矩陣的乘方運(yùn)算4.矩陣的數(shù)量乘法5.矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算一矩陣的加法矩陣加法：

1.具有相同行、列數(shù)的矩陣(即同型矩陣)方可相加；

2.同型矩陣A,B的對應(yīng)元素相加組成同型矩陣A＋B.例.由產(chǎn)地A1，A2調(diào)運(yùn)大米和麵粉到銷地B1，B2，B3的數(shù)量（噸）分別如A，B矩陣所示，則調(diào)運(yùn)糧食總量可以由矩陣如下A＋B給出.（見下頁）性質(zhì)5max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)＋r(B).

特別：r(A)≤r(A,β)≤r(A)＋1，β為非零列向量.證明：矩陣A的最高階非零子式總是(A,B)的非零子式→r(A)≤r(A,B).同理可以推出r(B)≤r(A,B)→

max(r(A),r(B))≤r(A,B).

設(shè)r(A)=r,r(B)=t,把A，B分別作列變換化成列階梯形矩陣A，B

,則A，B分別含r個(gè)和t個(gè)非零列，可設(shè)A→A=(α1,···,αr,0,···,0)；B→B=(β1,···,βt,0,···,0),即矩陣(A,B)經(jīng)過列變換化成為(A

，B)，而(A

，B)中只含有r+t個(gè)非零列→r(A

，B)≤r+t→r(A,B)=r(A

，B)≤r+t，即r(A,B)≤r+t.性質(zhì)6r(A＋B)≤r(A)＋r(B)證明：設(shè)A，B均為s×n矩陣，且

A=(α1,α2,···,αn),B=(β1,β2,···,βn).對矩陣(A＋B,B)=(α1+β1,α2+β2,···,αn+βn,β1,β2,···,βn)作列變換：(－1)×cn+i＋ci上，則將矩陣(A＋B,B)化成矩陣(A,B),於是據(jù)性質(zhì)6，就有

r(A＋B)≤r(A＋B,B)=r(A,B)≤r(A)＋r(B).

矩陣加法滿足結(jié)合律，交換律；減法作為加法的逆運(yùn)算，不是一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)算；矩陣加(減)法中有關(guān)秩的性質(zhì)5，6是不同於我們以往所學(xué)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)研究的兩個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)，應(yīng)特別予以重視.矩陣乘法：兩矩陣A=(aik)，B=(bkj)相乘為AB=(cij)A的列數(shù)=B的行數(shù)，兩矩陣A，B方可相乘；

AB的第i行、第

j

列元素cij等於A的第i行與B的第j

列對應(yīng)元素乘積的和.

x

·M

y1

y2

x2

x1

θ

φxY實(shí)例：將直角坐標(biāo)系xoy旋轉(zhuǎn)θ度到x1oy1,再旋轉(zhuǎn)φ度到

x2oy2.設(shè)M點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)系下的座標(biāo)依次為(x,y),

(x1,y1),(x2,y2)，利用平面解析幾何的座標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式有作業(yè)：P197，習(xí)題1.1)；2.5)；6)；4.3)；P203，補(bǔ)充題1；3.§4.3矩陣乘積的行列式與秩P156習(xí)題12作業(yè)：P198習(xí)題3.2)；5；7；8.§4.4矩陣的逆1.引入概念2.可逆判定及逆的計(jì)算3.可逆的性質(zhì)4.可逆性應(yīng)用實(shí)例一矩陣逆的概念

設(shè)Mn(P)={A|A是數(shù)域P上的n階矩陣}

；矩陣相仿複數(shù)，有加、減、乘運(yùn)算，是否也可以引入除法運(yùn)算？→對任意的A∈Mn(P)，AE=EA=A,而對任意的x∈P,1x=x1=x,即n階單位矩陣E與數(shù)1起的作用是類似的→當(dāng)x≠0時(shí)，xx－1=1,相仿的，可引入以下概念：定義7-8A(∈Mn(P))稱為可逆矩陣，若存在B∈Mn(P)使得

AB=BA=E

(1)

這時(shí)稱B為A的逆矩陣，記為A－1=B.§1.1數(shù)域§1.2一元多項(xiàng)式§1.3整除的概念§1.4最大公因式§1.5因式分解定理§1.6重因式§1.7多項(xiàng)式函數(shù)§1.8C,R上多項(xiàng)式的因式分解§1.9有理係數(shù)多項(xiàng)式§復(fù)習(xí)及習(xí)題輔導(dǎo)§前言§2.2排列§2.3n級行列式§2.4n級行列式的性質(zhì)§2.5行列式的計(jì)算§2.6行列式按行(列)展開§2.7克萊姆法則§2.8Laplace定理（簡介）§行列式復(fù)習(xí)及習(xí)題輔導(dǎo)§3.1消元法§3.2n維向量空間§3.3線性相關(guān)性§3.4矩陣的秩§3.5線性方程組有解判別定理§3.6線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1矩陣概念的背景§4.2矩陣的運(yùn)算§4.3矩陣乘積的行列式與秩§4.4矩陣的逆二次型的矩陣表示一、問題提出二、概念及性質(zhì)三、矩陣的合同一問題提出

平面解析一次曲線：Ax+By+C=0(直線)；二次曲線：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F→經(jīng)平移變換化成為au2+buv+cv2=d→經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換化成為a/x/2+b/y/2=d/(二次齊次多項(xiàng)式)→可根據(jù)二次項(xiàng)係數(shù)確定曲線類型（橢圓、拋物線、雙曲線等）；

空間解析一次曲面：Ax+By+Cz+D=0(平面)；二次曲面：（平移後不含一次項(xiàng)）→Ax+By+Cz+2Dxy+2Exz+2Fyz=G(18-19世紀(jì)上半期表示方法)→通過方程變形，選定主軸方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，可化簡為a/x/2+b/y/2+c/z/2=d/→據(jù)二次項(xiàng)係數(shù)符號確定二次曲面的分類

更一般的問題：數(shù)域P上含n個(gè)變數(shù)x1,x2,…,xn的二次齊次多項(xiàng)式如何化成平方和形式，即標(biāo)準(zhǔn)型問題，是18世紀(jì)中期提出的一個(gè)課題→本章中心問題:

n元二次型化標(biāo)準(zhǔn)型（平方和）的問題.二次型的概念及性質(zhì)定義1數(shù)域P上n元二次齊次多項(xiàng)式（近代表示式）

f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn

+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn

+a33x32+…+2a3nx3xn

……………+annxn2

稱為P上n元二次型，簡稱二次型；當(dāng)P=R時(shí)，為實(shí)二次型、當(dāng)P=C時(shí)，為複二次型.*1

f(x1,x2,…,xn)是

Pn→P的n元函數(shù)；*2

f(x1,x2,…,xn)=a11x1x1+a12x1x2+…+a1nx1xn

+a21x2x1+a22x2x2+…+a2nx2xn

……………+an1xnx1+an2xnx2+…+annxnxn=f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+…+2a1nx1xn

+a22x22

+…+2a2nx2xn

…………+annxnn.

*3

性質(zhì)：

1)

在二次型

f(x1,x2,…,xn)=X/AX中，矩陣A為對稱矩陣；

2）把一階矩陣A=(a)看成數(shù)a,則一元二次型

f(x)=a11x12=(x1)/(a11)(x1)=X/AX；

3)

數(shù)域P上，f(x1,x2,…,xn)與n階對稱矩陣一一對應(yīng).證明分析：由*2可知，任一二次型都對應(yīng)某對稱矩陣A，即*2給出對應(yīng)法則σ：f(x1,x2,…,xn)→A.設(shè)f(x1,x2,…,xn)在σ下對應(yīng)的對稱矩陣為A，B，即f(x1,x2,…,xn)=X/AX=X/BX，故知

A=B，即σ是n元二次型與n階對稱矩陣之間的映射.

設(shè)A是數(shù)域P上任一n階對稱矩陣，則X/AX的展開式顯然是數(shù)域P上的n元二次型，即σ是滿射，而σ為單射則是顯然的，故σ是雙射.□2

線性替換

平面解析中，當(dāng)座標(biāo)原點(diǎn)和中心重合時(shí)，有心二次曲線一般方程為ax2+2bxy+cy2=f

(例：13x2–10xy+13y2=72),將坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ0(例：450),即有座標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式

y

y/x/x定義2將變數(shù)x1,x2,…,xn用y1,y2,…,yn線性表示的變換稱為由x1,x2,…,xn到y(tǒng)1,y2,…,yn的線性替換（簡稱變數(shù)的線性替換）.*1

線性替換的矩陣表示：X=CY，C稱為線性替換(4)的矩陣；當(dāng)C可逆時(shí)，稱(4)為非退化（可逆）線性替換；C不可逆時(shí)，稱(4)為退化（非可逆）線性替換，其中

*2

性質(zhì)：

4)

若C可逆，則X=CY是可逆線性替換，且Y=C－1X也是可逆的線性替換；

5)

f(x1,x2,…,xn)=X/AX

是P

上的n

元二次型，經(jīng)線性替換

X=CY

化成f(x1,x2,…,xn)=Y/BY，則B=C/AC.證明：f(x1,x2,…,xn)=X/AX=(CY)/A(CY)=Y/(C/AC)Y=Y/BY.由於B/=(C/AC)/=C/A/C//=C/AC=B→Y/BY是P上n元二次型，且B=C/AC成立.□6)二次型的秩在變數(shù)的線性替換下保持不變（性質(zhì)5的推論）證明：如5),線上性替換X=CY下f(x1,x2,…,xn)=X/AX=Y/BY→B=C/AC,C可逆→A，B的秩相同，即二次型X/AX與Y/BY的秩相同→題設(shè)結(jié)論成立.□

性質(zhì)5給出矩陣之間的一種相互關(guān)係，故引入以下概念→三矩陣的合同關(guān)係定義2

數(shù)域P上n階矩陣A，B

稱為合同的，如果存在P上的n

階可逆矩陣C，使得B=C/AC.*1合同的性質(zhì)：

7)

矩陣合同是Mn(P)={A│A為P上n階矩陣}上的等價(jià)關(guān)係,即

(1)合同具有自反性（A=E/AE，即A與A合同）；

(2)合同具有對稱性（B=C/AC→A=(C－1)/BC－1）；

(3)合同具有傳遞性（A1=C1/AC1，A2=C2/A1C2→A2=C2/(C1/AC1)C2=(C1C2)/A(C1C2)）.8)線性替換X=CY下f(x1,x2,…,xn)=X/AX=Y/BY,因B=C/AC,故：X=CY為可逆線性替換時(shí)，二次型X/AX與Y/BY的矩陣合同;→為用矩陣來研究這類二次型的變換奠定了基礎(chǔ)，提供了思路；

9)

合同的矩陣具有相同的秩；

10)

與對稱矩陣合同的矩陣仍是對稱矩陣.

證明：

9)

設(shè)A,B合同，即B=C/AC,且C可逆，故A,B同秩.

10)

設(shè)A/=A，B=C/AC，C可逆→

B/=(C/AC)/=C/AC=B.□*2為什麼在變換二次型時(shí)，總要求用非退化的線性替換（即C為可逆矩陣）？

事實(shí)上，當(dāng)X=C/Y是非退還的線性替換時(shí)，可得

Y=C－1X成立，故原二次型X/AX與變換後的二次型Y/BY是可以互化的，這樣就使我們從變換所得二次型Y/BY的性質(zhì)可以推知原來二次型X/AX的性質(zhì).

作業(yè)：P232習(xí)題1(Ⅰ)中2),4),6)；習(xí)題2.§5.2標(biāo)準(zhǔn)型

中心問題：討論用非提化的線性替換化二次型成最簡形式，即平方和的形式：d1x12+d2x22+…+dnxn2證明：（配方法）對n

進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.n=1：f(x1)=a11x12,已是(1)的形式，命題成立.

假定n－1時(shí)命題成立，現(xiàn)證n時(shí)命題成立.

分以下情形討論：

1)aii

(i=1,2,…,n)中至少有一個(gè)非0，如a11≠0→定理1

數(shù)域P上任一二次型都可經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和的形式

d1x12+d2x22+…+dnxn2(1)f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn

+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn

…+annxn2a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn=a11[x12+2a11－1(a12x2+a13x3+…+a1nxn)]*A2+2AB+B2=(A+B)2

2)所有aii

=0(i=1,2,…,n),但至少有一個(gè)a1j≠0(j=2,…,n)→不失普遍性，不妨設(shè)a12≠0→令定理2數(shù)域P上任一對稱矩陣合同於對角矩陣P上n元二次型全體Mn(P)Af(x1,…,xn)X=CYB=C/AC

B

定理2的意義：化n元二次型X/AX成標(biāo)準(zhǔn)型問題尋找一個(gè)可逆矩陣C，使得A與對角矩陣D在C下合同（D=C/AC），而定理2說明這樣的C一定存在→如何找到這個(gè)C即為進(jìn)一步要解決的問題：C=?時(shí)，B=D？§5.3唯一性二次型的秩複二次型實(shí)二次型問題提出：二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3－6x2x3經(jīng)過不同的線性替換，其結(jié)果不同→X=C1W下，f=2w12－2w22+6w32；

X=C2Y下，f=2y12－2－1y22+2×3－1y32.其中P上n元二次型全體Mn(P)Af(x1,…,xn)X=CYB=C/AC

B

回顧上一節(jié)內(nèi)容，有以下事實(shí)成立：

同一二次型在不同線性替換下的矩陣合同.C=?時(shí)，B=D？

X=C1WB1n元二次型全體Mn(P)

Af(x1,…,xn)X=C1WD1D2

X=C2Y

問題：同一二次型f在恰當(dāng)?shù)目赡婢€性替換下的矩陣是對角矩陣，但不同的這樣的可逆線性替換下的對角矩陣不同，即所化成的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一.問題：如何處理，可將二次型所化成的標(biāo)準(zhǔn)型唯一確定？

一二次型的秩*1A，B(∈Mn(P))合同?存在可逆矩陣C，B=C/AC→因C可逆，故r(A)=r(B)

，即合同矩陣的秩相等；*2原二次型X/AX經(jīng)X=CY(C可逆)化成新二次型Y/BY,則A，B合同→新、舊二次型的矩陣秩相同，即可逆的線性替換不改變原二次型的矩陣的秩，該秩刻畫了二次型的一種本質(zhì)屬性→引入以下概念：1.定義：二次型f(x1,x2,…,xn)=X/AX中矩陣A的秩稱為二次型f的秩；2.性質(zhì)：1)可逆線性替換不改變二次型的秩；二複二次型（複數(shù)域C上的二次型）1.規(guī)範(fàn)型：z12+z22+…+zr2稱為複二次型的規(guī)範(fàn)型.2.定理3

任一複二次型經(jīng)適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換可化成規(guī)範(fàn)型，且規(guī)範(fàn)型唯一.*該定理的矩陣語言描述：任一秩為r的複對稱矩陣合同於一個(gè)對角矩陣證明：設(shè)複二次型f=X/AX,r(A)=r→存在可逆線性替換X=C1Y(C1可逆),使f=X/AX=(C1Y)/A(C1Y)=Y(C1/AC1)Y=d1y12+…+dryr2(di=1,…,r,1≤r≤n)→取可逆線性替換3.兩複對稱矩陣合同的充要條件是其秩相等(複對稱矩陣按合同關(guān)係可分為n+1個(gè)不同的類)；複二次型共有n+1個(gè)不同的類型,其秩為決定因素.三實(shí)二次型z12＋…＋zp2－zP+12…－zr2

稱為實(shí)二次型的規(guī)範(fàn)型→規(guī)範(fàn)型完全由p,r所確定

(其中r為二次型的秩，它確定了規(guī)範(fàn)型中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)，p確定了規(guī)範(fàn)型中正、負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)）.

定理4（慣性定理）任一實(shí)二次型經(jīng)適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換可化成規(guī)範(fàn)型，且規(guī)範(fàn)型唯一.慣性定理的意義定義3

實(shí)二次型的規(guī)範(fàn)型中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為該二次型的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r－p稱為該二次型的負(fù)慣性指數(shù)；其差p

－(r－p)=2p－r稱為該二次型的符號差.*1實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型雖不唯一，但由於標(biāo)準(zhǔn)型到規(guī)範(fàn)型的變換中，非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)，正(負(fù))項(xiàng)個(gè)數(shù)並未發(fā)生變化→據(jù)慣性定理中規(guī)範(fàn)型的唯一性可知：實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中的非零項(xiàng)個(gè)數(shù)及正(負(fù))項(xiàng)個(gè)數(shù)由秩和正(負(fù))慣性指數(shù)唯一確定，即在不考慮係數(shù)數(shù)值差異的前提下，實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型唯一確定；*2定理3、4的矩陣語言描述→定理5：*3稱二次型X/

AX

與Y/BY

可互