第01講 整式（解析版）

第01講整式課程標準學習目標①代數(shù)式及其書寫要求②整式的概念③單項式④多項式⑤升冪與降冪排列掌握代數(shù)式的概念及其書寫要求，能夠列簡單的代數(shù)式。掌握整式的概念并判斷整式。掌握單項式及其單項式的系數(shù)與次數(shù)。掌握多項式、多項式的項、多項式的次數(shù)。能夠對多項式進行升冪或降冪排列。知識點01代數(shù)式及其書寫要求代數(shù)式的概念：代數(shù)式是由運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。列代數(shù)式：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式。同一個問題中同一個字母表示同一個量。代數(shù)式的書寫要求：①數(shù)與數(shù)相乘必須寫“×”，數(shù)與字母相乘，字母與字母相乘時把“×”用“·”代替或直接省略。②在數(shù)與字母相乘中，數(shù)字寫在前，字母寫在后，單項式寫在多項式的前面。③帶分數(shù)寫成假分數(shù)。④寫含有字母的除法時，要把除法寫成分數(shù)的形式。⑤代數(shù)式后面有單位時一定要用括號把代數(shù)式括起來。題型考點：①判斷代數(shù)式。②代數(shù)式的書寫要求。③列代數(shù)式。④代數(shù)式的求值。【即學即練1】1．下列各式中，不是代數(shù)式的是（）A．﹣3 B． C．5x﹣1＝9 D．x2﹣4x【解答】解：A、﹣3是代數(shù)式，故A不符合題意．B、是代數(shù)式，故B不符合題意．C、5x﹣1＝9不是代數(shù)式，故C符合題意．D、x2﹣4x是代數(shù)式，故D不符合題意．故選：C．【即學即練2】2．下列各式：（1）1；（2）3（a+b）；（3）20%x；（4）﹣b÷c；（5）；（6）m﹣3℃；其中符合代數(shù)式書寫要求的有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【解答】解：（1）1xy2中分數(shù)不能為帶分數(shù)，故原式書寫錯誤；（2）3（a+b）書寫正確；（3）20%x書寫正確；（4）﹣b÷c除號改為分數(shù)線，故原式書寫錯誤；（5）書寫正確；（6）m﹣3℃前面的代數(shù)和應加括號，故原式書寫錯誤；符合代數(shù)式書寫要求的有3個．故選：C．【即學即練3】3．“m與n差的3倍”用代數(shù)式可以表示成（）A．3m﹣n B．m﹣3n C．3（n﹣m） D．3（m﹣n）【解答】解：“m與n差的3倍”用代數(shù)式可以表示為：3（m﹣n）．故選：D．【即學即練4】4．某服裝店新開張，第一天銷售服裝a件，第二天比第一天多銷售12件，第三天的銷售量是第二天的2倍少10件，則第三天銷售了（）A．（2a+2）件 B．（2a+24）件 C．（2a+10）件 D．（2a+14）件【解答】解：第二天銷售服裝（a+12）件，第三天的銷售量2（a+12）﹣10＝2a+14（件），故選D．【即學即練5】5．如果a﹣3b＝4，那么2a﹣6b﹣1的值是（）A．﹣7 B．5 C．7 D．﹣5【解答】解：∵a﹣3b＝4，∴原式＝2（a﹣3b）﹣1＝2×4﹣1＝8﹣1＝7，故選：C．【即學即練6】6．當x＝1時，代數(shù)式ax3+bx+7的值為4，則當x＝﹣1時，代數(shù)式ax3+bx+7的值為（）A．4 B．﹣4 C．10 D．11【解答】解：∵當x＝1時，代數(shù)式ax3+bx+7的值為4，∴a+b+7＝4，∴a+b＝﹣3．當x＝﹣1時，代數(shù)式ax3+bx+7＝a×（﹣1）3+b×（﹣1）+7＝﹣a﹣b+7＝﹣（a+b）+7＝﹣（﹣3）+7＝3+7＝10．故選：C．知識點02整式整式的概念：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。簡單理解：即分母中不含字母的式子叫做整式。題型考點：整式的判斷?！炯磳W即練1】7．下列各式：﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，y2﹣5y+中，整式有（）A．3個 B．4個 C．6個 D．7個【解答】解：整式有，m，8，x2+2x+6，，，一共6個．故選：C．知識點03單項式單項式的概念：表示數(shù)或字母，字母與字母的積的式子叫做單項式，單獨的一個數(shù)或字母也是單項式。里面只有乘法運算。單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。包含單項式前面的符號。特別的，單個的字母的系數(shù)為1或﹣1。單項式的次數(shù)：一個單項式中所有字母的次數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)。單項式的次數(shù)是幾次則就叫做幾次單項式。沒有字母的單項式次數(shù)是0。題型考點：①單項式的判斷。②單項式的系數(shù)與次數(shù)?！炯磳W即練1】8．代數(shù)式，2x3y，，，﹣2，a，7x2+6x﹣2中，單項式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：代數(shù)式，2x3y，，，﹣2，a，7x2+6x﹣2中，單項式有：2x3y，﹣2，a共3個．故選：C．【即學即練2】9．單項式﹣2x2y的系數(shù)和次數(shù)分別是（）A．3，4 B．﹣2，2 C．3，﹣2 D．﹣2，3【解答】解：﹣2x2y的系數(shù)為﹣2，次數(shù)為2+1＝3．故選：D．【即學即練3】10．下列關于單項式的說法正確的是（）A．次數(shù)是2，系數(shù)是﹣2π B．次數(shù)是5，系數(shù)是 C．次數(shù)是4，系數(shù)是 D．次數(shù)是4，系數(shù)是【解答】解：根據(jù)單項式定義得：單項式的次數(shù)是4，系數(shù)是．故選：C．【即學即練4】11．如果五次單項式，則n的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵五次單項式，∴2+2n﹣1＝5，解得n＝2．故選：B．知識點04多項式多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式。多項式的項：組成多項式的每一個單項式叫做多項式的項。包含單項式前面的符號。多項式的次數(shù)：組成多項式的項中，次數(shù)最高的項的次數(shù)即為多項式的次數(shù)。多項式的名詞：根據(jù)多項式的次數(shù)與項數(shù)把多項式命名為幾次幾項式。題型考點：①多項式的判斷。②多項式各項的判斷。③多項式的次數(shù)以及命名?！炯磳W即練1】12．在下列式子ab，，ab2+b+1，，x2+x3﹣6中，多項式有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解答】解：，ab2+b+1，x2+x3﹣6是多項式，故選：B．【即學即練2】13．多項式3x2﹣2x﹣1的各項分別是（）A．3x2，2x，1 B．3x2，﹣2x，1 C．﹣3x2，2x，﹣1 D．3x2，﹣2x，﹣1【解答】解：多項式3x2﹣2x﹣1的各項分別是：3x2，﹣2x，﹣1．故選：D．【即學即練3】14．多項式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．5，﹣1 B．5，1 C．10，﹣1 D．4，﹣1【解答】解：多項式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次數(shù)和常數(shù)項分別是5，﹣1．故選：A．【即學即練4】15．多項式6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1的次數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵多項式的次數(shù)是多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，∴多項式6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1的次數(shù)是5．故選：C．【即學即練5】16．多項式2x3﹣x2y2﹣3xy+x﹣1是次項式．【解答】解：多項式2x3﹣x2y2﹣3xy+x﹣1是四次五項式．故答案為：四，五．知識點05多項式的升冪或降冪排列升冪排列（降冪排列）的概念：把多項式按照各項的次數(shù)由高到低（由低到高）的順序排列的方式叫做升冪（降冪）排列。有時也按照某個字母進行升冪排列或者降冪排列。題型考點：對多項式進行升冪或降冪排列?！炯磳W即練1】17．將代數(shù)式4a2b+3ab2﹣2b3+a3按a的升冪排列的是（）A．﹣2b3+3ab2+4a2b+a3 B．a(chǎn)3+4a2b+3ab2﹣2b3 C．4a2b+3ab2﹣2b3+a3 D．4a2b+3ab2+a3﹣2b3【解答】解：多項式4a2b+3ab2﹣2b3+a3的各項為4a2b，3ab2，﹣2b3，a3．按字母a升冪排列為：﹣2b3+3ab2+4a2b+a3．故選：A．【即學即練2】18．把多項式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2重新排列．（1）按a升冪排列；（2）按a降冪排列．【解答】解：（1）多項式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2按a的升冪排列是﹣b3+3ab2﹣3a2b+a3；（2）按a的降冪排列的是a3﹣3a2b+3ab2﹣b3．題型01代數(shù)式的求值【典例1】已知代數(shù)式x+2y的值是3，則代數(shù)式2x+4y+1的值是．【解答】解：∵x+2y＝3，∴2x+4y+1＝2（x+2y）+1＝2×3+1＝7．故答案為：7．【典例2】若m2+3n﹣1的值為5，則代數(shù)式2m2+6n+5的值為．【解答】解：由題意得：m2+3n﹣1＝5，即m2+3n＝6，則原式＝2（m2+3n）+5＝12+5＝17，故答案為：17【典例3】已知當x＝1時，2ax2+bx的值為3，則當x＝2時，ax2+bx﹣8的值為．【解答】解：當x＝1時，2a×12+b×1＝3，整理得，2a+b＝3，當x＝2時，ax2+bx﹣8＝a×22+b×2﹣8＝4a+2b﹣8＝2（2a+b）﹣8＝2×3﹣8＝6﹣8＝﹣2．故答案為：﹣2．【典例4】若代數(shù)式x﹣2y＝3，則代數(shù)式2（x﹣2y）2+4y﹣2x+1的值為（）A．7 B．13 C．19 D．25【解答】解：∵x﹣2y＝3，∴2（x﹣2y）2+4y﹣2x+1＝2（x﹣2y）2﹣2（x﹣2y）+1＝2×32﹣2×3+1＝18﹣6+1＝13．故選：B．題型02整式的判斷【典例1】下列各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有（）A．3個 B．4個 C．6個 D．7個【解答】解：整式有﹣mn，m，8，x2+2x+6，，，故選：C．【典例2】在以下的6個代數(shù)式：π，x，3xy，，，2a+1中，整式有（）個．A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：根據(jù)題意得：單項式有π，x，3xy；多項式有：，2a+1；這些單項式和多項式都是整式，所以整式有5個．故選：C．【典例3】在式子，a，2x+5y，0.9，﹣3，﹣2a，﹣3x2y，中，單項式的個數(shù)是（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【解答】解：單項式有：a，0.9，﹣3，﹣2a，﹣3x2y，故選：A．【典例4】在整式5abc，﹣7x2+1，﹣，21，中，單項式共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：5abc，﹣，21是單項式，故選：C．【典例5】下列式子：2a2b，3xy﹣2y2，，4，﹣m，，，其中是多項式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解答】解：由題意得3xy﹣2y2，，均是多項式，共三個；是分式；2a2b，4，﹣m，是單項式；故選：B．【典例6】明明在學習完多項式后，自己設計了如下一道題目：在，，ab2+b+1，，x2+x3﹣6中，多項式有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解答】解：多項式有：，ab2+b+1，x2+x3﹣6，故選：B．題型03單項式的次數(shù)與系數(shù)【典例1】若單項式的系數(shù)、次數(shù)分別是a、b，則（）A．a(chǎn)＝，b＝6 B．a(chǎn)＝﹣，b＝6 C．a(chǎn)＝，b＝7 D．a(chǎn)＝﹣，b＝7【解答】解：單項式的系數(shù)、次數(shù)分別是a、b，則a＝﹣，b＝6．故選：B．【典例2】單項式﹣xy2z3的系數(shù)及次數(shù)分別是（）A．系數(shù)是0，次數(shù)是5 B．系數(shù)是1，次數(shù)是6 C．系數(shù)是﹣1，次數(shù)是5 D．系數(shù)是﹣1，次數(shù)是6【解答】解：根據(jù)單項式系數(shù)、次數(shù)的定義可知：單項式﹣xy2z3的系數(shù)是﹣1，次數(shù)是1+2+3＝6．故選：D．【典例3】單項式﹣xy3的系數(shù)是，次數(shù)是．【解答】解：單項式﹣xy3的系數(shù)是﹣，次數(shù)是4，故答案為：﹣，4．【典例4】如果單項式2anb2c是六次單項式，那么n的值取（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵單項式2anb2c是六次單項式，∴n+2+1＝6，解得：n＝3，故n的值取3．故選：D．【典例5】已知單項式3xa﹣1y的次數(shù)是3，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由題意知a﹣1+1＝3，解得a＝3．故選：B．題型04多項式的項與次數(shù)【典例1】x2y3﹣3xy3﹣2的次數(shù)和項數(shù)分別為（）A．5，3 B．5，2 C．2，3 D．3，3【解答】解：x2y3﹣3xy3﹣2的次數(shù)和項數(shù)分別為5，3．故選：A．【典例2】多項式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．5，﹣1 B．5，1 C．10，﹣1 D．4，﹣1【解答】解：多項式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次數(shù)和常數(shù)項分別是5，﹣1．故選：A．【典例3】已知多項式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多項式，則m＝．【解答】解：∵多項式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多項式，∴1+m+1＝5，解得：m＝3．故答案為：3．【典例4】多項式5amb4﹣2a2b+3與單項式6a4b3c的次數(shù)相同，則m的值為．【解答】解：∵多項式5amb4﹣2a2b+3與單項式6a4b3c的次數(shù)相同，∴m+4＝4+3+1，解得：m＝4．故答案為：4．【典例5】已知多項式﹣25x2ym+1+xy2﹣4x3﹣8是五次多項式，單項式3x2ny6﹣m與該多項式的次數(shù)相同，求m+n＝．【解答】解：∵多項式的次數(shù)是5，∴2+m+1＝5，∴m＝2，∵單項式3x2ny6﹣m與該多項式的次數(shù)相同，∴2n+6﹣2＝5，∴n＝，∴m+n＝，故答案為：．題型05升冪或降冪排列【典例1】將多項式5x2y+y3﹣3xy2﹣x3按x的升冪排列為．【解答】解：按x的升冪排列為y3﹣3xy2+5x2y﹣x3，故答案為：y3﹣3xy2+5x2y﹣x3．【典例2】將代數(shù)式3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x3按y的降冪排列是（）A．﹣5x3+3x2y+5xy2﹣3y3 B．﹣3y3+5xy2+3x2y﹣5x3 C．﹣5x3﹣3y3+3x2y+5xy2 D．3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x3【解答】解：3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x3＝﹣3y3+5xy2+3x2y﹣5x3．故選：B．1．代數(shù)式x2+2，，，，5，，﹣x中，整式的個數(shù)是（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：整式有x2+2，，5，，﹣x，共5個．故選：C．2．下列關于單項式的說法正確的是（）A．次數(shù)是2，系數(shù)是﹣2π B．次數(shù)是5，系數(shù)是 C．次數(shù)是4，系數(shù)是 D．次數(shù)是4，系數(shù)是【解答】解：根據(jù)單項式定義得：單項式的次數(shù)是4，系數(shù)是．故選：C．3．下列結論中正確的是（）A．單項式的系數(shù)是，次數(shù)是4 B．單項式m的次數(shù)是1，沒有系數(shù) C．多項式2x2+xy2+3是二次三項式 D．在，2x+y，，，，0中整式有4個【解答】解：A、單項式的系數(shù)是的系數(shù)是π，次數(shù)是3，不符合題意；B、單項式m的次數(shù)是1，系數(shù)是1，不符合題意；C、多項式2x2+xy2+3是三次三項式，不符合題意；D、在，2x+y，，，，0中整式有2x+y，，，0，一共4個，符合題意．故選：D．4．當x＝1時，代數(shù)式ax3+bx+7的值為4，則當x＝﹣1時，代數(shù)式ax3+bx+7的值為（）A．4 B．﹣4 C．10 D．11【解答】解：∵當x＝1時，代數(shù)式ax3+bx+7的值為4，∴a+b+7＝4，∴a+b＝﹣3．當x＝﹣1時，代數(shù)式ax3+bx+7＝a×（﹣1）3+b×（﹣1）+7＝﹣a﹣b+7＝﹣（a+b）+7＝﹣（﹣3）+7＝3+7＝10．故選：C．5．在下列給出的四個多項式中，為三次二項式的多項式是（）A．a(chǎn)2﹣3 B．a(chǎn)3+2ab﹣1 C．4a3﹣b D．4a2﹣3b+2【解答】解：A選項是二次二項式，故該選項不符合題意；B選項是三次三項式，故該選項不符合題意；C選項是三次二項式，故該選項符合題意；D選項是二次三項式，故該選項不符合題意；故選：C．6．有一個數(shù)值轉換器，原理如圖所示，若開始輸入x的值是5，可發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結果是16，第2次輸出的結果是8，第3次輸出的結果是4．依次繼續(xù)下去，第2022次輸出的結果是（）A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：第1次輸出結果是16，第2次輸出結果是8，第3次輸出結果是4，第4次輸出結果是，第5次輸出結果是，第6次輸出結果是3×1+1＝4，……，從第3次開始，輸出結果每3個數(shù)一個循環(huán)，分別是4、2、1，（2022﹣2）÷3＝673???1，∴第2022次輸出結果是4．故選：B．7．探索規(guī)律：觀察下面的一列單項式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個單項式是（）A．﹣256x9 B．256x9 C．﹣512x9 D．512x9【解答】解：根據(jù)題意得：第9個單項式是28x9＝256x9．故選：B．8．甲，乙兩商場以相同的價格出售同樣的商品，當購物金額超出一定數(shù)額后，各自推出不同的優(yōu)惠方案，若在兩個商場購買x（x＞100）元的商品，在甲商場需付費[100+0.9（x﹣100）]元，在乙商場需付費[50+0.95（x﹣50）]元，下列關于兩個商場優(yōu)惠方案的說法正確的是（）A．購買金額不超過100元時，兩個商場都不優(yōu)惠 B．購買金額超過50元時，兩個商場都有優(yōu)惠 C．購買金額超過100元時，甲商場按90%收費，乙商場按95%收費 D．購買金額超過100元時，超出100元的部分，甲商場按90%收費，乙商場按95%收費【解答】解：∵當x＞100時，在甲商場需付費[100+0.9（x﹣100）]元，∴甲商場推出的優(yōu)惠方案是：購買金額不超過100元時，不優(yōu)惠，購買金額超過100元時，超出100元的部分按90%收費；∵當x＞100時，在乙商場需付費[50+0.95（x﹣50）]元，∴乙商場推出的優(yōu)惠方案是：購買金額不超過50元時，不優(yōu)惠，購買金額超過50元時，超出50元的部分按95%收費．故選：D．9．已知a2+3a﹣2023＝0，則2a2+6a﹣1的值為．【解答】解：∵a2+3a﹣2023＝0，∴a2+3a＝2023，∴2a2+6a﹣1＝2（a2+3a）﹣1＝2×2023﹣1＝4045，故答案為：4045．10．若x﹣3y＝4，則（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值為．【解答】解：∵（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10＝（x﹣3y）2+2（x﹣3y）﹣10，∴當x﹣3y＝4時，原式＝42+2×4﹣10＝16+8﹣10＝14，故答案為：14．11．已知方程組，則4（x+y）﹣2（3x﹣5y）的值是．【解答】解：∵，∴4（x+y）﹣2（3x﹣5y）＝4×7﹣2×（﹣3）＝28+6＝34，故答案為：34．12．把7個長和寬分別為a，b的小長方形紙片（如圖1），按如圖2所示的方式放置在長方形ABCD中，則長方形ABCD中陰影部分的面積為．（用含有a，b的代數(shù)式表示）【解答】解：根據(jù)題意知，AB＝a+b，BC＝a+2b．陰影部分的面積＝（a+2b）（a+b）﹣7ab＝a2﹣4ab+2b2．故答案為：a2﹣4ab+2b2．13．如圖，正方形ABCD和正方形ECGF的邊長分別為a和4，點D在邊CE上，點B在邊GC的延長線上