工程測(cè)量學(xué)課件

緒論

土木工程建設(shè)的一般程式初測(cè)和初步設(shè)計(jì)批準(zhǔn)後定測(cè)和施工設(shè)計(jì)批準(zhǔn)後施工批準(zhǔn)後方案研究報(bào)告第一節(jié)控制測(cè)量的任務(wù)和作用一.

主要任務(wù)勘測(cè)設(shè)計(jì)階段——建立測(cè)圖控制網(wǎng)施工建造階段——建立施工控制網(wǎng)運(yùn)營(yíng)管理階段——建立變形監(jiān)測(cè)網(wǎng)二.

控制網(wǎng)的作用細(xì)部測(cè)量的基礎(chǔ)，

限制誤差的傳遞和積累第二節(jié)鐵路公路工程測(cè)量的內(nèi)容鐵路公路工程的特點(diǎn)：屬於國(guó)家基本建設(shè)，投資可觀，規(guī)模宏大，內(nèi)容複雜。測(cè)量工作特點(diǎn)：各階段工作內(nèi)容不同不同工程物施工過(guò)程中，測(cè)量精度的要求不同。測(cè)量工作的內(nèi)容：

一.

勘測(cè)設(shè)計(jì)階段

1.方案研究階段收集相關(guān)地區(qū)的中、小比例尺地形圖收集各種航攝相片、氣象、水文、經(jīng)濟(jì)資料——供設(shè)計(jì)人員找出線路主要的可能方案，初步確定一些重要的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，如線路等級(jí)、限制坡度、牽引種類(lèi)、運(yùn)輸能力等，並提出線路初步方案和可行性研究報(bào)告。2.

初測(cè)和初步設(shè)計(jì)階段初測(cè)是為初步設(shè)計(jì)而做的測(cè)繪工作。測(cè)量任務(wù)：１.佈設(shè)控制網(wǎng)（初測(cè)導(dǎo)線，初測(cè)水準(zhǔn)點(diǎn)）２.測(cè)繪大比例尺地形圖３.測(cè)繪斷面圖初步設(shè)計(jì)：根據(jù)帶狀地形圖和各種初測(cè)資料，確定各種方案的線路中線位置（稱(chēng)為紙上定線），確定線路、橋涵、隧道等工程物的走向、位置和形式等，並作出工程概算。初步設(shè)計(jì)要對(duì)一切有價(jià)值的方案進(jìn)行研究比選，通過(guò)經(jīng)濟(jì)、技術(shù)等方面的比較，提出一個(gè)推薦方案。做到基本穩(wěn)定線路方案，為下一階段的工作打好基礎(chǔ)。3.

定測(cè)和施工設(shè)計(jì)階段

定測(cè)是為施工設(shè)計(jì)而做的測(cè)量工作。任務(wù)：１.將初步設(shè)計(jì)確定的線路中線測(cè)設(shè)到地面上。２.詳細(xì)測(cè)繪線路縱橫斷面。３.重點(diǎn)工程工點(diǎn)地形圖測(cè)繪等。

施工設(shè)計(jì)主要任務(wù)是根據(jù)定測(cè)資料進(jìn)行線路縱斷面設(shè)計(jì)和路基設(shè)計(jì)，以及對(duì)線路上所有橋涵、隧道、車(chē)站、擋土牆等構(gòu)築物進(jìn)行單獨(dú)設(shè)計(jì)，並提供工程數(shù)量和工程預(yù)算，形成施工設(shè)計(jì)檔。二.

施工建造階段1.交樁—設(shè)計(jì)單位和施工單位交接控制樁點(diǎn)。2.施工複測(cè)—施工單位檢查控制樁點(diǎn)的正確性。3.建立施工控制網(wǎng)—對(duì)重要工程建立控制。4.施工放樣—按設(shè)計(jì)要求在地面上測(cè)設(shè)工程物位置。5.竣工測(cè)量—檢查工程物的位置、形狀、尺寸。

三.運(yùn)營(yíng)管理階段1.線路複測(cè)——為線路大修、改造提供資料2.結(jié)構(gòu)變形觀測(cè)——確認(rèn)結(jié)構(gòu)的安全穩(wěn)定

橋樑施工測(cè)量橋樑施工測(cè)量的基本任務(wù)

根據(jù)設(shè)計(jì)檔，按照規(guī)定的精度，將圖紙上設(shè)計(jì)的橋樑墩臺(tái)位置標(biāo)定於地面，據(jù)此指導(dǎo)施工，確保建成的橋樑在平面位置、高程位置和外形尺寸等方面均符合設(shè)計(jì)要求。§6-1中線複測(cè)及橋軸線測(cè)定

複測(cè)的主要方法是導(dǎo)線法。

定測(cè)或線路複測(cè)的精度較低，一般不能滿足橋樑施工測(cè)量的精度要求。因此橋樑施工前，需對(duì)橋址線路中線以較高的精度進(jìn)行複測(cè)。一、直線橋的中線複測(cè)觀測(cè)：橋址位置上所有轉(zhuǎn)點(diǎn)間的水準(zhǔn)距離Di和相鄰邊間的水準(zhǔn)角βi

。計(jì)算：以兩端轉(zhuǎn)點(diǎn)（ZD7-3,ZD7-8)的連線為x軸建立施工坐標(biāo)系，計(jì)算各轉(zhuǎn)點(diǎn)的座標(biāo)二、曲線橋的中線複測(cè)當(dāng)橋樑位於曲線上時(shí)，應(yīng)對(duì)整個(gè)曲線進(jìn)行複測(cè)。檢查切線方向控制樁是否在同一條直線上。如果不在同一條直線上，則應(yīng)給予改正。重新精確測(cè)定線路的轉(zhuǎn)向角。重新計(jì)算曲線綜合要素。重新標(biāo)定曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)。1.切線控制樁的複測(cè)檢查切線上的控制樁是否在同一條直線上。方法：穿線法、導(dǎo)線法。2.轉(zhuǎn)向角複測(cè)依據(jù)：已確認(rèn)的切線控制樁；方法：直接測(cè)量——測(cè)回法間接測(cè)量——導(dǎo)線法如果已確認(rèn)的切線控制樁中含有交點(diǎn)樁，則採(cǎi)用直接測(cè)量法否則，採(cǎi)用間接測(cè)量法，即導(dǎo)線測(cè)量法或副交點(diǎn)法。複測(cè)轉(zhuǎn)向角與定測(cè)轉(zhuǎn)向角不符時(shí)處理方法：原則：儘量不改變?cè)O(shè)計(jì)。方法一：利用複測(cè)轉(zhuǎn)向角重新計(jì)算曲線要素，改變曲線起點(diǎn)或終點(diǎn)里程橋樑佈設(shè)在直線－始端緩和曲線－圓曲線區(qū)間內(nèi)，則曲線的ZH里程保持與原設(shè)計(jì)里程不變；橋樑佈設(shè)在圓曲線－末端緩和曲線－直線區(qū)間內(nèi)，則曲線的HZ里程保持與原設(shè)計(jì)里程不變；同時(shí)保持各墩臺(tái)中心設(shè)計(jì)里程不變。要使ZH或HZ里程不變，可設(shè)斷鏈樁或?qū)⒕嚯x誤差調(diào)整在直線段。方法二：調(diào)整切線方向，使轉(zhuǎn)向角恢復(fù)到原設(shè)計(jì)值整個(gè)橋樑佈設(shè)在始端緩和曲線－圓曲線－末端緩和曲線區(qū)間內(nèi)，或回頭曲線轉(zhuǎn)向角在180°左右時(shí)，如果橋樑前後相鄰曲線沒(méi)有施工或無(wú)重大建築物，可以調(diào)整切線方向，使轉(zhuǎn)向角恢復(fù)到原設(shè)計(jì)值，以保證橋樑原設(shè)計(jì)不變。方法三：採(cǎi)用複測(cè)轉(zhuǎn)向角，改變橋樑設(shè)計(jì)三、橋軸線長(zhǎng)度測(cè)定1.橋軸線控制樁：兩岸橋頭中線上埋設(shè)的控制樁。作用：保證墩臺(tái)間的相對(duì)位置正確，並使之與相鄰線路在平面位置上正確銜接。2.橋軸線長(zhǎng)度：兩岸橋軸線控制樁間的水準(zhǔn)距離。3.橋軸線長(zhǎng)度的測(cè)量方法直接測(cè)定法——光電測(cè)距間接測(cè)定法——三角網(wǎng)推算§6-2橋樑施工控制測(cè)量對(duì)於水中不能直接測(cè)設(shè)的橋樑或水面較寬且有高墩、大跨、深水基礎(chǔ)或基礎(chǔ)施工難度較大，梁部結(jié)構(gòu)類(lèi)型複雜的特大橋和大橋，需要建立施工平面控制網(wǎng)。為了合理地?cái)M定橋樑施工平面控制測(cè)量的布網(wǎng)方案和觀測(cè)方案，保證墩臺(tái)中心的定位精度，必須預(yù)先估算橋軸線長(zhǎng)度測(cè)定的必要精度。一、橋軸線長(zhǎng)度精度估算1.鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁設(shè)墩臺(tái)中心點(diǎn)位放樣的極限誤差為△D（通常取△D=10mm），中誤差為△D/2，則相鄰二墩臺(tái)中心的跨距中誤差為設(shè)全橋共有N跨，則橋軸線長(zhǎng)度的中誤差為2.鋼板梁及短跨（l≤64m）簡(jiǎn)支鋼桁梁考慮梁長(zhǎng)製造誤差和固定支座安裝誤差δ的共同影響，單跨鋼板梁和單跨簡(jiǎn)支鋼桁梁的長(zhǎng)度中誤差為當(dāng)橋樑為N跨時(shí)，則橋軸線長(zhǎng)度L的中誤差為3.連續(xù)及長(zhǎng)跨（l＞64m）簡(jiǎn)支鋼桁梁由n

個(gè)節(jié)間構(gòu)成的單聯(lián)或單跨梁，設(shè)節(jié)間拼裝的極限誤差為△l（通常取△l=±2mm），則由於梁體拼裝誤差和固定支座安裝誤差δ的共同影響，每一聯(lián)（跨）長(zhǎng)度的中誤差為當(dāng)橋樑為N跨時(shí)，則橋軸線長(zhǎng)度L的中誤差為［例6-1］某三聯(lián)三跨連續(xù)梁橋，每跨支座間距離為128m，由長(zhǎng)16m的8個(gè)節(jié)間組成，每聯(lián)24個(gè)節(jié)間，固定支座安裝極限誤差為±7mm，試計(jì)算全橋橋軸線中誤差。［解］單聯(lián)中誤差為全橋橋軸線中誤差為二、橋樑施工平面控制測(cè)量1.橋樑施工平面控制網(wǎng)網(wǎng)形佈設(shè)

在滿足橋軸線長(zhǎng)度測(cè)定和墩臺(tái)中心定位精度的前提下，力求圖形簡(jiǎn)單並具有足夠的強(qiáng)度，以減少外業(yè)觀測(cè)工作和內(nèi)業(yè)計(jì)算工作。

根據(jù)橋樑的大小、精度要求和地形條件，橋樑施工平面控制網(wǎng)的網(wǎng)形佈設(shè)有以下幾種形式。

雙三角形大地四邊形

雙大地四邊形加強(qiáng)型大地四邊形大地四邊形加三角形2.橋樑施工平面控制測(cè)量的角度觀測(cè)三角網(wǎng)的等級(jí)和精度要求如表6-3；(P164)水準(zhǔn)角觀測(cè)要求：

開(kāi)測(cè)前應(yīng)對(duì)所測(cè)角儀器進(jìn)行檢驗(yàn)和校正。

作業(yè)過(guò)程中，儀器2C絕對(duì)值DJ1型儀器不得超過(guò)20″；DJ2型儀器不得超過(guò)30″

水準(zhǔn)角觀測(cè)測(cè)回?cái)?shù)應(yīng)符合表6-4的規(guī)定，

各測(cè)回的零方向讀數(shù)應(yīng)均勻分佈在度盤(pán)和測(cè)微器的不同位置上。3.橋樑施工平面控制網(wǎng)的距離觀測(cè)方法：銦鋼基線尺，光電測(cè)距用光電測(cè)距儀或全站儀測(cè)量平面控制網(wǎng)邊長(zhǎng)時(shí)，外界環(huán)境條件應(yīng)符合下列要求：注意減弱大氣折光和旁折光的影響；測(cè)線及兩端的延線上，不得有任何其他發(fā)光物體或反光的物體，以免引起反射信號(hào)混亂；測(cè)站應(yīng)設(shè)在電磁場(chǎng)影響的範(fàn)圍以外；光電測(cè)距邊的測(cè)回?cái)?shù)及往返測(cè)次數(shù)，應(yīng)符合表6-5的規(guī)定。距離觀測(cè)的限差與數(shù)據(jù)處理：光電測(cè)距限差，應(yīng)符合表6-6的規(guī)定。光電測(cè)距邊，必須加入氣象、加乘常數(shù)、週期誤差改正，然後化算為水準(zhǔn)距離，水準(zhǔn)距離應(yīng)歸算至墩頂（或軌底）平均高程面上。設(shè)儀器與棱鏡橫軸的平均高程為H1，墩頂（或軌底）的平均高程為H2，地球平均曲率半徑為R，則歸算長(zhǎng)度DH為測(cè)距精度評(píng)定設(shè)某條邊長(zhǎng)進(jìn)行了n次對(duì)向觀測(cè)，第i次對(duì)向觀測(cè)的差值為di，則一次觀測(cè)的中誤差為：

對(duì)向觀測(cè)平均值的中誤差為：4.橋樑施工平面控制測(cè)量?jī)?nèi)業(yè)計(jì)算施工平面控制網(wǎng)通常採(cǎi)用獨(dú)立的坐標(biāo)系；

直線橋以橋軸線兩控制樁中里程較小的一個(gè)為座標(biāo)原點(diǎn)，以橋軸線按里程增加方向?yàn)閤軸正向建立測(cè)量坐標(biāo)系；曲線橋一般以曲線起點(diǎn)ZH或始切線上的轉(zhuǎn)點(diǎn)為座標(biāo)原點(diǎn)，以始切線指向JD方向?yàn)閤軸正向建立測(cè)量坐標(biāo)系；也可以橋軸線控制點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，以該點(diǎn)處曲線的切線方向?yàn)閤軸，以線路前進(jìn)方向?yàn)閤軸正向建立測(cè)量坐標(biāo)系。橋樑施工平面控制網(wǎng)按方向或角度，用條件平差或間接平差方法進(jìn)行嚴(yán)密平差。

平差計(jì)算完成後，應(yīng)對(duì)網(wǎng)中所有的幾何條件（或附合條件）進(jìn)行檢算，並計(jì)算單位權(quán)中誤差、橋軸線及最弱邊邊長(zhǎng)中誤差。對(duì)於邊角網(wǎng)或測(cè)邊網(wǎng)，不應(yīng)大於10mm；對(duì)於以基線為基礎(chǔ)的測(cè)角網(wǎng)，不應(yīng)大於原估算的橋軸線及最弱邊邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差。三、橋樑施工高程控制測(cè)量各水準(zhǔn)點(diǎn)應(yīng)沿橋軸線兩側(cè)以400m左右的間距均勻佈設(shè)，並構(gòu)成連續(xù)水準(zhǔn)環(huán)。水準(zhǔn)點(diǎn)應(yīng)與相鄰的線路水準(zhǔn)點(diǎn)聯(lián)測(cè)，以保證橋樑與相鄰線路在高程位置上的正確銜接。水準(zhǔn)測(cè)量的等級(jí)、精度、限差應(yīng)符合相應(yīng)的規(guī)定。為了便於施工放樣，可根據(jù)實(shí)際需要在施工地點(diǎn)附近設(shè)立若干個(gè)施工水準(zhǔn)點(diǎn)。水準(zhǔn)點(diǎn)應(yīng)埋設(shè)標(biāo)石施工水準(zhǔn)點(diǎn)的高程必須定期檢測(cè)。水準(zhǔn)測(cè)量的等級(jí)和精度應(yīng)滿足表6-8的要求每公里水準(zhǔn)測(cè)量高差中數(shù)的偶然中誤差按下式計(jì)算：§6-3橋樑定位資料計(jì)算直線橋墩臺(tái)中心座標(biāo)計(jì)算

直線橋的墩臺(tái)中心位於橋軸線上，且橋軸線和線路中線完全重合。xi=DKi-DKA

yi=0

設(shè)橋軸線控制點(diǎn)A為施工坐標(biāo)系的原點(diǎn)，其里程為DKA

，x軸與橋軸線重合，且指向里程增加方向，第i

號(hào)墩的里程為DKi

，則該墩中心的座標(biāo)xi、yi

為yx§6-4墩臺(tái)定位及縱橫軸線測(cè)設(shè)

橋樑施工測(cè)量中，主要的工作是準(zhǔn)確地測(cè)設(shè)出橋樑墩、臺(tái)的中心位置，即所謂的墩、臺(tái)中心定位，簡(jiǎn)稱(chēng)墩臺(tái)定位。

墩臺(tái)定位必須滿足一定的精度要求，特別是對(duì)預(yù)製梁橋更是如此。一、直線橋的墩臺(tái)定位直接量距法光電測(cè)距或直接丈量2.前方交會(huì)法如果橋墩位置無(wú)法直接丈量，也不便於架設(shè)反光鏡時(shí)，可採(cǎi)用前方交會(huì)法測(cè)設(shè)墩位。前方交會(huì)法既可用於直線橋的墩臺(tái)定位測(cè)量，也可用於曲線橋的墩臺(tái)定位測(cè)量。用交會(huì)法測(cè)設(shè)墩位，需要在河的兩岸佈設(shè)平面控制網(wǎng)，如導(dǎo)線、三角網(wǎng)、邊角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)等。

前方交會(huì)法的基本原理:根據(jù)控制點(diǎn)座標(biāo)和墩臺(tái)座標(biāo)，反算交會(huì)放樣元素αi、βi，在相應(yīng)控制點(diǎn)上安置儀器並後視另一已知控制點(diǎn)，分別測(cè)設(shè)水準(zhǔn)角αi、βi，得到兩條視線的交點(diǎn)，從而確定墩臺(tái)中心的位置。αiβi異側(cè)交會(huì)同側(cè)交會(huì)兩交會(huì)方向線之間的夾角γ稱(chēng)為交會(huì)角墩臺(tái)中心交會(huì)的精度與交會(huì)角γ的大小有關(guān)。

交會(huì)角的要求：當(dāng)置鏡點(diǎn)位於橋軸線兩側(cè)時(shí)，交會(huì)角應(yīng)在90°~150°之間；當(dāng)置鏡點(diǎn)位於橋軸線一側(cè)時(shí)，交會(huì)角應(yīng)在60°~110°之間。在橋樑控制網(wǎng)網(wǎng)形設(shè)計(jì)和布網(wǎng)時(shí)，應(yīng)充分考慮每個(gè)墩臺(tái)中心交會(huì)時(shí)交會(huì)角的大小，必要時(shí)，可根據(jù)情況增設(shè)插如點(diǎn)或精密導(dǎo)線點(diǎn)作為次級(jí)控制點(diǎn)。測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)計(jì)算為了便於作業(yè)，應(yīng)根據(jù)控制點(diǎn)的座標(biāo)和墩臺(tái)中心的座標(biāo)，計(jì)算測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)並將其編制成表。墩臺(tái)定位測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)主要包括：置鏡點(diǎn)、墩臺(tái)或控制點(diǎn)編號(hào)、座標(biāo)方位角、邊長(zhǎng)等。其格式如P.184表6-14。以下格式更簡(jiǎn)潔置鏡點(diǎn)控制點(diǎn)邊長(zhǎng)座標(biāo)方位角°′″墩臺(tái)號(hào)邊長(zhǎng)座標(biāo)方位角°′″D10#161.41921450425.8D2141.7931403940.41#141.83651392024.9D3199.9008834349.12#101.90711145528.3D4151.09691421732.53#94.7837770957.94#126.0050471028.85#143.9781395554.1現(xiàn)場(chǎng)測(cè)設(shè)在控制點(diǎn)D安置儀器，後視控制點(diǎn)A，將度盤(pán)安置為αDA;根據(jù)測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)表,轉(zhuǎn)動(dòng)照準(zhǔn)部至度盤(pán)讀數(shù)為αDi

得到D-i方向；同樣方法得到C-i

方向，兩條視線的交點(diǎn)處打樁，釘設(shè)出i號(hào)墩臺(tái)中心位置;在橋軸線上檢查各墩臺(tái)位置。示誤三角形通常將三臺(tái)經(jīng)緯儀分別安置於三個(gè)控制點(diǎn)上，用三條方向線同時(shí)交會(huì)。理論上三條方向線應(yīng)交於一點(diǎn)，而實(shí)際上由於控制點(diǎn)誤差和交會(huì)測(cè)設(shè)誤差的共同的影響，三條方向線一般不會(huì)交於一點(diǎn)，而是形成一個(gè)小三角形，該三角形的大小反映交會(huì)的精度，故稱(chēng)其為示誤三角形。交會(huì)限差及墩臺(tái)中心的確定示誤三角形的最大邊長(zhǎng)或兩交會(huì)方向與橋中線交點(diǎn)間的長(zhǎng)度，在墩臺(tái)下部（承臺(tái)、墩身）不應(yīng)大於25mm，在墩臺(tái)上部（託盤(pán)、頂帽、墊石）不應(yīng)大於15mm。若交會(huì)的一個(gè)方向?yàn)闃蜉S線，則以其他兩個(gè)方向線的交會(huì)點(diǎn)P1投影在橋軸線上的P點(diǎn)作為墩臺(tái)中心。交會(huì)方向中不含橋軸線方向時(shí)，示誤三角形的邊長(zhǎng)不應(yīng)大於30mm，並以示誤三角形的重心作為橋墩臺(tái)中心。二、墩臺(tái)縱橫軸線測(cè)設(shè)墩臺(tái)縱橫軸線是確定墩、臺(tái)方向的依據(jù)，也是墩、臺(tái)施工中細(xì)部放樣的依據(jù)。P.184中說(shuō)法不正確直線橋各個(gè)墩臺(tái)的縱軸線與橋軸線重合，可根據(jù)橋軸線控制樁測(cè)設(shè)；直線橋的橫軸線不一定與縱軸線垂直，兩者夾角根據(jù)設(shè)計(jì)檔確定，可將經(jīng)緯儀安置於墩臺(tái)中心，後視橋軸線控制樁定向，測(cè)設(shè)規(guī)定的角度得到墩臺(tái)橫軸線方向。A［例6－3］某鐵路直線橋設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)形式為：1×24m預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土梁+3×64m箱形連續(xù)鋼樑+1×24m預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土梁，各墩臺(tái)中心的設(shè)計(jì)里程如表6－15。試完成：1.橋軸線長(zhǎng)度精度估算2.平面控制測(cè)量的實(shí)施3.墩臺(tái)中心定位資料的計(jì)算。表6-15墩臺(tái)中心的設(shè)計(jì)裏及其座標(biāo)樁號(hào)及墩臺(tái)號(hào)裏程間距x0#臺(tái)DK638+798.92-12.807012.807D4+811.727011.9431#墩+823.6711.943064.652#墩+888.3276.593064.003#墩+952.32140.593064.004#墩DK639+016.92205.193021.9366D2038.8566227.12962.81345#臺(tái)+041.67229.9430

［解］1．橋軸線長(zhǎng)度精度估算第1孔和第5孔為預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁，設(shè)其跨長(zhǎng)中誤差分別為ml1和ml5，已知點(diǎn)位放樣極限誤差ΔD=10mm，則第2～4孔為箱形連續(xù)鋼樑，為預(yù)製的16m梁段運(yùn)到現(xiàn)場(chǎng)後拼接，並以高強(qiáng)螺栓固定連接。64m64m64m1#2#3#4#已知n=12，節(jié)間拼裝誤差Δl=2mm，支座安裝誤差δ=7mm，設(shè)該段中誤差為ml2-4，則橋軸線長(zhǎng)度中誤差mL為:

已知橋長(zhǎng)L=242.75m，則橋軸線長(zhǎng)度的相對(duì)中誤差為2.平面控制網(wǎng)技術(shù)設(shè)計(jì)根據(jù)橋軸線長(zhǎng)度的估算精度，參照表6-3可知，該橋施工平面控制網(wǎng)按五等三角網(wǎng)施測(cè)即可。由於橋軸線長(zhǎng)度小於橋長(zhǎng)，故控制網(wǎng)提高一個(gè)等級(jí)施測(cè)。箱形連續(xù)鋼樑當(dāng)時(shí)屬新型結(jié)構(gòu)，在墩臺(tái)施工、梁體架設(shè)和運(yùn)營(yíng)管理階段均要進(jìn)行變形觀測(cè)，故控制網(wǎng)再提高一個(gè)等級(jí)施測(cè)。所以，技術(shù)設(shè)計(jì)書(shū)確定，該橋施工平面控制網(wǎng)按三等三角網(wǎng)施測(cè)。3.三角網(wǎng)觀測(cè)與平差計(jì)算基線D1、D3的邊長(zhǎng)採(cǎi)用光電測(cè)距方法實(shí)測(cè)，數(shù)據(jù)處理後，相對(duì)中誤差1/260000。三角網(wǎng)的角度採(cǎi)用方向觀測(cè)法。按條件觀測(cè)平差。平差後橋軸線長(zhǎng)度相對(duì)中誤差1/189000

1/21700，測(cè)角中誤差mβ=±1.49″<±1.8″。4.控制點(diǎn)座標(biāo)和墩臺(tái)座標(biāo)計(jì)算以橋軸線控制點(diǎn)D4為座標(biāo)原點(diǎn)，以橋軸線按里程增加方向?yàn)閤軸正向，計(jì)算各控制點(diǎn)和墩臺(tái)中心在該坐標(biāo)系中的座標(biāo)。注:如果D4的x座標(biāo)值等於其里程，則座標(biāo)計(jì)算更加簡(jiǎn)單，且不容易錯(cuò)!!樁號(hào)及墩臺(tái)號(hào)xyD1119.5391-92.4158D2227.12960D3141.3700106.2893D4000#-12.807001#11.943002#76.593003#140.593004#205.193005#229.94300置鏡點(diǎn)控制點(diǎn)邊長(zhǎng)座標(biāo)方位角°′″墩臺(tái)號(hào)邊長(zhǎng)座標(biāo)方位角°′″D10#161.41921450425.8D2141.7931403940.41#141.83651392024.9D3199.9008834349.12#101.90711145528.3D4151.09691421732.53#94.7837770957.94#126.0050471028.85#143.9781395554.15.交會(huì)數(shù)據(jù)表編算§6-5橋樑竣工測(cè)量

墩臺(tái)施工完成以後架梁以前，應(yīng)進(jìn)行墩臺(tái)的竣工測(cè)量。對(duì)於隱蔽在竣工後無(wú)法測(cè)繪的工程，如橋樑墩臺(tái)的基礎(chǔ)等，必須在施工過(guò)程中隨時(shí)測(cè)繪和記錄，做為竣工資料的一部分。橋樑架設(shè)完成後還要對(duì)全橋進(jìn)行全面測(cè)量。

一、橋樑竣工測(cè)量的目的：測(cè)定建成後墩臺(tái)的實(shí)際情況；檢查是否符合設(shè)計(jì)要求；為架梁提供依據(jù)；為運(yùn)營(yíng)期間橋樑監(jiān)測(cè)提供基本資料。二、橋樑竣工測(cè)量的內(nèi)容：測(cè)定墩臺(tái)中心、縱橫軸線及跨距；丈量墩臺(tái)各部尺寸；測(cè)定墩帽和支承墊石的高程；測(cè)定橋中線、縱橫坡度；根據(jù)測(cè)量結(jié)果編繪墩臺(tái)中心距表、墩頂水準(zhǔn)點(diǎn)和墊石高程表、墩臺(tái)竣工平面圖、橋樑竣工平面圖等；如果運(yùn)營(yíng)期間要對(duì)墩臺(tái)進(jìn)行變形觀測(cè)，則應(yīng)對(duì)兩岸水準(zhǔn)點(diǎn)及各墩頂?shù)乃疁?zhǔn)標(biāo)以不低於二等水準(zhǔn)測(cè)量的精度聯(lián)測(cè)。

隧道施工測(cè)量§7-1

隧道施工的特點(diǎn)及

施工測(cè)量的任務(wù)和內(nèi)容一、隧道施工的特點(diǎn)

為了保證工期，常利用增加開(kāi)挖面的方法，將整個(gè)隧道分成若干段同時(shí)施工；

開(kāi)挖順著中線不斷地向洞內(nèi)延伸，襯砌和洞內(nèi)建築物（避車(chē)洞、排水溝、電纜槽等）的施工緊跟其後，不等貫通，隧道內(nèi)的大部分建築物已經(jīng)建成；增加開(kāi)挖面的主要方法有：設(shè)置平行導(dǎo)坑或在隧道中部設(shè)置橫洞、斜井或豎井。二、隧道施工測(cè)量的主要任務(wù)保證洞內(nèi)各項(xiàng)建築物以規(guī)定的精度按照設(shè)計(jì)位置修建，不得侵入建築限界。保證相向開(kāi)挖的工作面，按照規(guī)定的精度在預(yù)定位置貫通；

兩個(gè)開(kāi)挖面相向開(kāi)挖，在預(yù)定位置挖通稱(chēng)為貫通。貫通後，由兩端分別引進(jìn)的線路中線，應(yīng)按設(shè)計(jì)規(guī)定的精度正確銜接。三、隧道施工測(cè)量的特點(diǎn)洞外總體控制作為指導(dǎo)隧道施工的測(cè)量工作，在隧道開(kāi)挖前一般要建立具有必要精度的、獨(dú)立的隧道洞外施工控制網(wǎng)，作為引測(cè)進(jìn)洞的依據(jù)；對(duì)於較短的隧道，可不必單獨(dú)建立洞外施工控制網(wǎng)，而以經(jīng)隧道施工複測(cè)、調(diào)整後並確認(rèn)的洞外線路中線控制樁為引測(cè)進(jìn)洞的依據(jù)。2.洞內(nèi)分級(jí)控制洞內(nèi)控制點(diǎn)控制正式中線點(diǎn)（正式中線點(diǎn)是洞內(nèi)襯砌和洞內(nèi)建築物施工放樣的依據(jù)），正式中線點(diǎn)控制臨時(shí)中線點(diǎn)；臨時(shí)中線點(diǎn)控制掘進(jìn)方向。

洞內(nèi)高程控制與平面相仿，臨時(shí)水準(zhǔn)點(diǎn)控制開(kāi)挖面的高低，正式水準(zhǔn)點(diǎn)控制洞內(nèi)襯砌和洞內(nèi)建築物的高程位置。對(duì)於採(cǎi)用全斷面開(kāi)挖法開(kāi)挖的隧道，其測(cè)量過(guò)程與先挖導(dǎo)坑後擴(kuò)大成型開(kāi)挖的隧道基本一樣，不同的是對(duì)臨時(shí)中線點(diǎn)、臨時(shí)水準(zhǔn)點(diǎn)的測(cè)設(shè)精度要求較高，或者是直接測(cè)設(shè)正式中線點(diǎn)、正式水準(zhǔn)點(diǎn)。3.開(kāi)挖方法影響測(cè)量方式先導(dǎo)坑後擴(kuò)大成型法對(duì)隧道的位置還有一定的糾正餘地，隧道施工測(cè)量可先粗後精；全斷面開(kāi)挖法一次成型，隧道施工測(cè)量必須一次到位。4.隧道施工的特殊環(huán)境對(duì)控制點(diǎn)佈設(shè)提出特殊要求隧道貫通前，洞內(nèi)平面控制測(cè)量只能採(cǎi)用支導(dǎo)線的形式，測(cè)量誤差隨著開(kāi)挖的延伸而積累。洞外控制網(wǎng)和洞內(nèi)施工控制測(cè)量應(yīng)保證必要的精度?？刂泣c(diǎn)應(yīng)設(shè)置在不易被破壞的位置處。四、隧道施工測(cè)量的主要內(nèi)容

洞外平面控制測(cè)量；

洞外高程控制測(cè)量；

洞內(nèi)平面控制測(cè)量；

洞內(nèi)高程控制測(cè)量；

進(jìn)洞測(cè)量；

洞內(nèi)中線測(cè)設(shè)；

貫通誤差調(diào)整；

竣工測(cè)量。§7-2隧道貫通誤差一、貫通誤差及其對(duì)隧道貫通的影響

相向開(kāi)挖的兩條施工中線上，具有貫通面里程的中線點(diǎn)不重合，兩點(diǎn)連線的空間線段稱(chēng)為貫通誤差。實(shí)際的貫通誤差只有在貫通後才能確定！貫通面1.貫通誤差的分類(lèi)貫通誤差在水平面上的正射投影稱(chēng)為平面貫通誤差；在鉛垂面上的正射投影稱(chēng)為高程貫通誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)高程誤差。貫通面平面貫通誤差在水平面內(nèi)可分解為兩個(gè)分量：

與貫通面平行的分量，稱(chēng)為橫向貫通誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)橫向誤差；與貫通面垂直的分量，稱(chēng)為縱向貫通誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)縱向誤差。貫通面2.貫通誤差對(duì)隧道貫通的影響高程誤差主要影響線路坡度?？v向誤差影響隧道中線的長(zhǎng)度和線路的設(shè)計(jì)坡度。橫向誤差影響線路方向，如果超過(guò)一定的範(fàn)圍，就會(huì)引起隧道幾何形狀的改變，甚至造成侵入建築限界而迫使大段襯砌拆除重建，既給工程造成重大經(jīng)濟(jì)損失又延誤了工期。因此，必須對(duì)橫向誤差加以限制。3.橫向誤差和高程誤差的限差兩開(kāi)挖洞口間長(zhǎng)度（km）＜44~88~1010~1313~1717~20橫向貫通誤差（mm）100150200300400500高程貫通誤差（mm）±504.影響貫通誤差的主要因素及其分解由於洞外控制測(cè)量、洞內(nèi)外聯(lián)繫測(cè)量、洞內(nèi)控制測(cè)量和洞內(nèi)中線放樣等項(xiàng)誤差的共同影響。一般將洞外平面控制測(cè)量的誤差做為影響隧道橫向貫通誤差的一個(gè)獨(dú)立的因素，將兩相向開(kāi)挖的洞內(nèi)導(dǎo)線測(cè)量的誤差各為一個(gè)獨(dú)立的因素，按照等影響原則確定相應(yīng)的橫向貫通誤差。高程控制測(cè)量中，洞內(nèi)、洞外高程測(cè)量的誤差對(duì)高程貫通誤差的影響，按相等原則分配。5.控制測(cè)量對(duì)貫通精度影響的限值測(cè)量部位橫向中誤差（mm）高程中誤差mm相鄰兩開(kāi)挖洞口間長(zhǎng)度（km）＜44~88~1010~1313~1717~20洞外30456090120150±18洞內(nèi)406080120160200±17洞外、洞內(nèi)總影響5075100150200250±25二、貫通誤差估算1.導(dǎo)線測(cè)量誤差對(duì)橫向貫通精度的影響（mm）

測(cè)角誤差的影響設(shè)RX為導(dǎo)線環(huán)在隧道兩洞口連線的一列邊上的各點(diǎn)至貫通面的垂直距離（m），則導(dǎo)線的測(cè)角中誤差m

（″）對(duì)橫向貫通中誤差的影響為：貫通誤差估算的方法因控制網(wǎng)的形式不同而異RX1RX2RX3RX4RX5RX6RX7RX812345678（mm）xy貫通面

測(cè)距誤差的影響設(shè)導(dǎo)線環(huán)在鄰近隧道兩洞口連線的一列測(cè)邊上的各邊對(duì)貫通面上的投影長(zhǎng)度為dy(m)，導(dǎo)線邊長(zhǎng)測(cè)量的相對(duì)中誤差為ml/l

，則由於測(cè)距誤差對(duì)貫通面上橫向中誤差的影響為：dy2dy412345678dy1貫通面dy5dy7

受角度測(cè)量誤差和距離測(cè)量誤差的共同影響，導(dǎo)線測(cè)量誤差對(duì)貫通面上橫向貫通中誤差的影響為：2.三角測(cè)量誤差對(duì)橫向貫通精度的影響估算方法1.按照嚴(yán)密公式計(jì)算(公式與方法見(jiàn)《新建鐵路測(cè)量規(guī)範(fàn)（條文說(shuō)明）》)12345678方法2.按導(dǎo)線估算（偏於安全，目前不提倡）3.高程控制測(cè)量對(duì)高程貫通誤差的影響估算在貫通面上，受洞外或洞內(nèi)高程控制測(cè)量誤差影響而產(chǎn)生的高程中誤差為：式中，M

為每千米水準(zhǔn)測(cè)量的偶然中誤差，以mm計(jì)；L為洞外或洞內(nèi)兩開(kāi)挖洞口間高程路線長(zhǎng)度的公里數(shù)。算例［例7-1］某鐵路隧道為直線隧道，設(shè)計(jì)長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1136.29m，洞外平面控制設(shè)計(jì)為單導(dǎo)線，其佈設(shè)如圖。試確定測(cè)量等級(jí)並判定該設(shè)計(jì)方案能否滿足貫通的精度要求。［解］（1）圖解相關(guān)數(shù)據(jù)A、F為導(dǎo)線的始、終點(diǎn)，亦為隧道洞口控制點(diǎn)。以洞外導(dǎo)線的始點(diǎn)A做為坐標(biāo)系原點(diǎn)，以隧道中線按里程增加方向?yàn)閄軸正向，建立測(cè)量坐標(biāo)系。在地形圖上，各導(dǎo)線點(diǎn)A、B、C、D、E、F在貫通面方向上的垂足分別為A′、B′，C′、D′、E′、F′，量算出各導(dǎo)線點(diǎn)的垂距RX及各導(dǎo)線邊在貫通面方向上的投影長(zhǎng)度dy，其結(jié)果於表7-3中。（2）確定隧道洞外平面控制測(cè)量等級(jí)本例隧道長(zhǎng)度小於2km，根據(jù)表7-5洞外導(dǎo)線測(cè)量適用長(zhǎng)度知，洞外導(dǎo)線可佈設(shè)為五等，即導(dǎo)線測(cè)角中誤差為

mβ=±4.0″，邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差為ml

/l=1/20000。（3）估算洞外導(dǎo)線測(cè)量誤差對(duì)貫通的影響洞外導(dǎo)線測(cè)量誤差對(duì)貫通的影響列表計(jì)算如下表7-3洞外導(dǎo)線測(cè)量誤差對(duì)橫向貫通影響各導(dǎo)線點(diǎn)至貫通面的垂距RX各導(dǎo)線邊在貫通面方向的投影長(zhǎng)度dy點(diǎn)名RX（m）RX2（m2）導(dǎo)線邊dy（m）dy2（m2）B400160000A~B14019600C15025500B~C401600D25062500C~D16025600E480230400D~E704900E~F13016900∑475400∑68600=±13.4（mm）=±13.1（mm）=±18.7（mm）

洞外導(dǎo)線測(cè)量中誤差對(duì)隧道的影響預(yù)計(jì)是18.7mm，其允許值是30mm，顯然該洞外導(dǎo)線測(cè)量設(shè)計(jì)可行。注意：

計(jì)算洞外導(dǎo)線測(cè)角誤差影響值時(shí)，不應(yīng)計(jì)入始、終點(diǎn)（即洞口控制樁）。但在引入洞內(nèi)導(dǎo)線時(shí)，兩洞口控制樁上需測(cè)角，故其測(cè)角誤差應(yīng)計(jì)入洞內(nèi)的測(cè)量誤差?！?-3隧道洞外控制測(cè)量直線隧道長(zhǎng)度大於1000m，曲線隧道長(zhǎng)度大於500m，均應(yīng)根據(jù)橫向貫通精度要求進(jìn)行隧道平面控制測(cè)量設(shè)計(jì)。兩相鄰開(kāi)挖洞口（包括橫洞口、斜井口）高程路線長(zhǎng)度大於5000m，應(yīng)根據(jù)高程貫通精度要求進(jìn)行隧道高程控制測(cè)量設(shè)計(jì)。一、洞外平面控制測(cè)量對(duì)於直線隧道，洞外平面控制測(cè)量的目的主要是獲取兩端洞口較為精確的點(diǎn)的平面位置和引測(cè)進(jìn)洞的方向；對(duì)於曲線隧道，洞外平面控制測(cè)量除具有與直線隧道相同的目的外，還在於間接求算隧道所在曲線的轉(zhuǎn)向角及兩端洞口控制樁與交點(diǎn)的相對(duì)位置，進(jìn)而按設(shè)計(jì)選配的圓曲線半徑和緩和曲線長(zhǎng)重新確定隧道中線的位置。1.中線法

中線法一般只能用於短於1000m的直線隧道和短於500m的曲線隧道的洞外平面控制。

建立洞外平面控制的常用的方法有：中線法、精密導(dǎo)線法、三角網(wǎng)和GPS網(wǎng)等。

先將洞內(nèi)線路中線點(diǎn)的平面位置測(cè)設(shè)於地面，經(jīng)檢核確認(rèn)該段中線與兩端相鄰線路中線能夠正確銜接後，方可以此作為依據(jù)，進(jìn)行引測(cè)進(jìn)洞和洞內(nèi)中線測(cè)設(shè)。2.精密導(dǎo)線法

導(dǎo)線最短邊長(zhǎng)不應(yīng)小於300m，相鄰邊長(zhǎng)的比不應(yīng)小於1：3，並儘量採(cǎi)用長(zhǎng)邊，以減小測(cè)角誤差對(duì)導(dǎo)線橫向誤差的影響。

用導(dǎo)線方式建立隧道洞外平面控制時(shí)，導(dǎo)線點(diǎn)應(yīng)沿兩端洞口的連線佈設(shè)。

導(dǎo)線點(diǎn)的位置應(yīng)根據(jù)隧道的長(zhǎng)度和輔助坑道的數(shù)量及分佈情況，並結(jié)合地形條件和儀器測(cè)程選擇。

導(dǎo)線的水準(zhǔn)角一般採(cǎi)用方向觀測(cè)法。當(dāng)水準(zhǔn)角只有兩個(gè)方向時(shí)，可按奇數(shù)和偶數(shù)測(cè)回分別觀測(cè)導(dǎo)線的左角和右角，這樣可以檢查出測(cè)角儀器的帶動(dòng)誤差，數(shù)據(jù)處理時(shí)可以較大程度地消除此項(xiàng)誤差的影響。

導(dǎo)線的內(nèi)業(yè)計(jì)算一般採(cǎi)用嚴(yán)密平差法，對(duì)於四、五等導(dǎo)線也可採(cǎi)用近似平差計(jì)算

隧道洞外導(dǎo)線應(yīng)組成閉合環(huán)，一個(gè)控制網(wǎng)中導(dǎo)線環(huán)的個(gè)數(shù)應(yīng)不少於4個(gè)；每個(gè)環(huán)的邊數(shù)約為4~6條，應(yīng)盡可能將兩端洞口控制點(diǎn)納入到導(dǎo)線網(wǎng)中。3.三角網(wǎng)法三角測(cè)量建立隧道洞外平面控制時(shí)，一般是佈設(shè)成單三角鎖的形式。對(duì)於直線隧道，一排三角點(diǎn)應(yīng)儘量沿線路中線佈設(shè)。條件許可時(shí)，可將線路中線做為三角鎖的一條基本邊，佈設(shè)為直伸三角鎖。以減小邊長(zhǎng)誤差對(duì)橫向貫通的影響。對(duì)於曲線隧道，應(yīng)儘量沿著兩洞口的連線方向佈設(shè)，以減弱邊長(zhǎng)誤差對(duì)橫向貫通的影響。二、洞外高程控制測(cè)量洞外高程控制測(cè)量的任務(wù)，是按照測(cè)量設(shè)計(jì)中規(guī)定的精度要求，以洞口附近一個(gè)線路定測(cè)點(diǎn)的高程為起算高程，測(cè)量並傳算到隧道另一端洞口與另一個(gè)定測(cè)高程點(diǎn)閉合。閉合的高程差應(yīng)設(shè)斷高，或推算到路基段調(diào)整。這樣，既使整座隧道具有統(tǒng)一的高程系統(tǒng)，又使之與相鄰線路正確銜接，從而保證隧道按規(guī)定精度在高程方面正確貫通，保證各項(xiàng)建築物在高程方面按規(guī)定限界修建。洞外高程測(cè)量的等級(jí)劃分

隧道高程控制測(cè)量一般採(cǎi)用水淮測(cè)量，對(duì)於四、五等高程控制測(cè)量也可採(cǎi)用光電測(cè)距三角高程測(cè)量。高程控制測(cè)量誤差對(duì)高程貫通精度的影響

受洞外或洞內(nèi)高程控制測(cè)量的誤差影響，貫通面上所產(chǎn)生的高程中誤差按下式估算：式中：mΔ為每千米水準(zhǔn)測(cè)量高差中數(shù)的偶然中誤差，以mm計(jì)；L為洞外或洞內(nèi)兩開(kāi)挖洞口間水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度，以km計(jì)。每千米水準(zhǔn)測(cè)量高差中數(shù)的偶然中誤差計(jì)算[例7—2]某鐵路直線隧道，設(shè)計(jì)長(zhǎng)度為5246m，分別由兩端洞口相向開(kāi)挖。兩端洞口分別埋設(shè)四個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)：BM23、BM23－1和BM24、BM24－1，其中BM23和BM24為定測(cè)線路水準(zhǔn)點(diǎn)。洞外高程控制測(cè)量設(shè)計(jì)為四等水準(zhǔn)測(cè)量，佈設(shè)六個(gè)臨時(shí)水準(zhǔn)點(diǎn)。各測(cè)段水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度、往返測(cè)高差觀測(cè)值及高程計(jì)算列於表中，試計(jì)算每千米水準(zhǔn)測(cè)量高差中數(shù)的偶然中誤差mΔ，並估算mΔh。表7—11往返測(cè)高差觀測(cè)值及高程計(jì)算

每千米水準(zhǔn)測(cè)量高差中數(shù)的偶然中誤差計(jì)算高程貫通中誤差為：可見(jiàn)，該項(xiàng)洞外高程控制測(cè)量對(duì)貫通面上所產(chǎn)生的高程貫通中誤差的影響滿足精度要求?！?-4進(jìn)洞關(guān)係計(jì)算和進(jìn)洞測(cè)量控制測(cè)量確認(rèn)了隧道兩端線路中線控制樁與洞外平面控制點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)係。根據(jù)洞外控制測(cè)量成果，計(jì)算由洞外控制點(diǎn)引測(cè)進(jìn)洞測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)，據(jù)此指導(dǎo)隧道的進(jìn)洞及洞內(nèi)開(kāi)挖，稱(chēng)為進(jìn)洞關(guān)係計(jì)算。進(jìn)洞關(guān)係計(jì)算和進(jìn)洞測(cè)量的主要任務(wù)1.確定隧道中線與平面控制網(wǎng)之間的關(guān)係；2.在洞內(nèi)控制建立之前，指導(dǎo)中線進(jìn)洞和洞內(nèi)開(kāi)挖。隧道進(jìn)洞測(cè)設(shè)的主要方法——極座標(biāo)法將隧道的中線控制樁納入洞外平面控制網(wǎng)，控制測(cè)量完成後，即可求得它們的精確座標(biāo)。根據(jù)這些點(diǎn)的座標(biāo)和洞口（或洞內(nèi)）中線點(diǎn)的座標(biāo)，反算出極座標(biāo)法的放樣數(shù)據(jù)，進(jìn)而現(xiàn)場(chǎng)測(cè)設(shè)。ABCD§7-5隧道洞內(nèi)控制測(cè)量洞內(nèi)控制測(cè)量起始於兩端洞口處的洞外控制點(diǎn)，隨著隧道的開(kāi)挖而向前延伸。因此，只能敷設(shè)成支線形式，其形狀完全取決於隧道的形狀；只能用重複觀測(cè)的方法進(jìn)行檢核。一、洞內(nèi)平面控制測(cè)量洞內(nèi)平面控制通常有兩種形式，即中線形式和導(dǎo)線形式。中線形式就是以定測(cè)精度或稍高於定測(cè)精度，在洞內(nèi)按中線測(cè)量的方法測(cè)設(shè)隧道中線。這種方法只適用於短隧道。洞內(nèi)導(dǎo)線主要有以下幾種形式：1.單導(dǎo)線2.導(dǎo)線環(huán)3.主副導(dǎo)線環(huán)4.交叉導(dǎo)線5.旁點(diǎn)導(dǎo)線洞內(nèi)導(dǎo)線應(yīng)注意的問(wèn)題導(dǎo)線點(diǎn)應(yīng)儘量佈設(shè)在施工干擾小、通視良好、地層穩(wěn)固的地方；點(diǎn)間視線應(yīng)離開(kāi)洞內(nèi)設(shè)施0.2m以上；導(dǎo)線的邊長(zhǎng)在直線地段不宜短於200m，在曲線地段不宜短於70m，並儘量選擇長(zhǎng)邊和接近等邊；導(dǎo)線點(diǎn)應(yīng)埋於坑道底板面以下10~20cm，上面蓋鐵板以保護(hù)樁面及標(biāo)誌中心不受損壞，為便於尋找，應(yīng)在邊牆上用紅油漆預(yù)以標(biāo)注；採(cǎi)用雙照準(zhǔn)法測(cè)角，測(cè)回間要重新對(duì)中儀器和覘標(biāo)，以減小對(duì)中誤差和對(duì)點(diǎn)誤差的影響；由洞外引向洞內(nèi)的測(cè)角工作，宜在夜晚或陰天進(jìn)行，以減小折光差的影響；洞內(nèi)導(dǎo)線應(yīng)重複觀測(cè)，定期檢查；設(shè)立新點(diǎn)前必須檢查與之相關(guān)的既有導(dǎo)線點(diǎn)，在對(duì)既有導(dǎo)線點(diǎn)確認(rèn)的基礎(chǔ)上測(cè)量新點(diǎn);應(yīng)構(gòu)成多邊形閉合導(dǎo)線或主副導(dǎo)線環(huán)；當(dāng)有平行導(dǎo)坑時(shí)，應(yīng)利用橫向通道，使平行導(dǎo)坑的單導(dǎo)線與正洞的導(dǎo)線聯(lián)測(cè)，以資檢核。二、洞內(nèi)高程控制測(cè)量洞內(nèi)高程控制測(cè)量的目的，是由洞口高程控制點(diǎn)向洞內(nèi)傳遞高程，即測(cè)定洞內(nèi)各高程控制點(diǎn)的高程，做為洞內(nèi)施工高程放樣的依據(jù)。洞內(nèi)應(yīng)每隔200~500m設(shè)立一對(duì)高程控制點(diǎn)。高程控制點(diǎn)可選在導(dǎo)線點(diǎn)上，也可根據(jù)情況埋設(shè)在隧道的頂板、底板或邊牆上。當(dāng)採(cǎi)用水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，應(yīng)進(jìn)行往返觀測(cè)；採(cǎi)用光電測(cè)距三角高程測(cè)量時(shí)，應(yīng)進(jìn)行對(duì)向觀測(cè);三等及以上的高程控制測(cè)量應(yīng)採(cǎi)用水準(zhǔn)測(cè)量，四、五等可採(cǎi)用水準(zhǔn)測(cè)量或光電測(cè)距三角高程測(cè)量;高程導(dǎo)線宜構(gòu)成閉合環(huán)。洞內(nèi)高程控制測(cè)量採(cǎi)用水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，除採(cǎi)用常規(guī)的方法外，有時(shí)為避免施工干擾還採(cǎi)用倒尺法傳遞高程。

應(yīng)用倒尺法傳遞高程時(shí)，規(guī)定倒尺的讀數(shù)為負(fù)值，則高差的計(jì)算與常規(guī)水準(zhǔn)測(cè)量方法相同：

hAB=a-b

計(jì)算檢核：控制網(wǎng)平差

完成控制網(wǎng)測(cè)量的外業(yè)工作後要進(jìn)行內(nèi)業(yè)計(jì)算，內(nèi)業(yè)計(jì)算分為概算、平差計(jì)算和編制控制點(diǎn)成果表。本章重點(diǎn)介紹獨(dú)立三角網(wǎng)的條件平差方法。第一節(jié)測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型

一、必要觀測(cè)與多余觀測(cè)

在測(cè)量工作中，最常見(jiàn)的問(wèn)題是要確定某些幾何量的大小。由各種幾何量構(gòu)成的模型（測(cè)量中就是各種控制網(wǎng)）就是幾何模型。為了確定一個(gè)幾何模型，並不需要知道該模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素，其他元素可以通過(guò)已知的元素確定。能夠唯一地確定一個(gè)幾何模型所必要的元素，稱(chēng)必要元素；確定必要元素的觀測(cè)稱(chēng)為必要觀測(cè)。必要元素的個(gè)數(shù)用t表示。為了確定一個(gè)幾何模型就必須進(jìn)行觀測(cè)。如果觀測(cè)個(gè)數(shù)n少於必要元素的個(gè)數(shù)，即n＜t，顯然無(wú)法確定該模型，出現(xiàn)了數(shù)據(jù)不足的情況；若觀測(cè)了t個(gè)獨(dú)立量，n=t，則可唯一地確定該模型。在這種情況下，如果觀測(cè)結(jié)果中含有錯(cuò)誤，將無(wú)法發(fā)現(xiàn)。為了能及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，並提高測(cè)量成果的精度，就必須使n＞t，即必須進(jìn)行多餘觀測(cè)。多餘觀測(cè)的個(gè)數(shù)在測(cè)量中又稱(chēng)“自由度”。令

r=n–t

顯然，r就是多餘觀測(cè)數(shù)。例如:為確定三角形ABC，只需要3個(gè)必要觀測(cè)，它們可以是：S1,a,b或：S1,a,c或：S1,S2,b或：S1,S2,S3……

CcS2S3ba

BS1

A如果觀測(cè)了所有六個(gè)元素，則有3個(gè)多餘觀測(cè)二、平差的數(shù)學(xué)模型

測(cè)量中是通過(guò)觀測(cè)來(lái)確定控制網(wǎng)中的某些幾何量，因而考慮的模型總是數(shù)學(xué)模型。因?yàn)橛^測(cè)量是一種隨機(jī)變數(shù)，所以平差的數(shù)學(xué)模型應(yīng)同時(shí)包含函數(shù)模型和隨機(jī)模型。函數(shù)模型和隨機(jī)模型總稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型。函數(shù)模型是由描述觀測(cè)量和待求量間的函數(shù)關(guān)係的模型，隨機(jī)模型是描述觀測(cè)量及其相互間統(tǒng)計(jì)相關(guān)性質(zhì)的模型。建立這兩種模型是測(cè)量平差中最基本而首先考慮的問(wèn)題。測(cè)量平差通常是基於線性函數(shù)模型的，當(dāng)函數(shù)模型為非線性形式時(shí)，是將其用泰勒公式展開(kāi)，並取其一次項(xiàng)化為線性形式。對(duì)於一個(gè)實(shí)際平差問(wèn)題，可建立不同形式的函數(shù)模型，相應(yīng)地就有不同的平差方法。測(cè)量中常見(jiàn)的控制網(wǎng)平差方法有條件平差和間接平差兩種。

1、條件平差法

以觀測(cè)量之間必須滿足一定的條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱(chēng)為條件平差法。例如：為了確定B、C、D三點(diǎn)的高程，其必要觀測(cè)數(shù)t=3，實(shí)際觀測(cè)了6段高差,故多餘觀測(cè)數(shù)r=n–t=3，應(yīng)列出3個(gè)線性無(wú)關(guān)條件方程.h1ABh2Ch3h4h5h6D

這個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)可以列出7個(gè)條件方程,其中只有3個(gè)是相互獨(dú)立的,我們?nèi)。菏街校罕硎居^測(cè)量hi

的平差值。這就是用平差值表達(dá)的條件方程。（a）由於平差值應(yīng)該等於觀測(cè)值與其改正數(shù)之和，即：代入(a)式得：其中：(b)令：V=(v1

v2

v3

v4

v5

v6)T則條件方程可表達(dá)為以下矩陣形式：

AV+W=0（c）這就是條件平差函數(shù)模型的一般形式。條件方程AV+W=0中，

A－為r

n階矩陣，稱(chēng)為係數(shù)矩陣；

V－為n

1列陣，稱(chēng)為改正數(shù)向量；

W－為r

1列陣，稱(chēng)為閉合差向量。

2、間接平差法一個(gè)幾何模型中，只會(huì)有t個(gè)獨(dú)立量，如果平差時(shí)就以這t個(gè)獨(dú)立量為參數(shù)，模型中的所有量都一定是這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，亦即每個(gè)觀測(cè)量都可表達(dá)成所選t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，將每一個(gè)觀測(cè)量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出n個(gè)這種函數(shù)關(guān)係式，以此為平差的函數(shù)模型，稱(chēng)為間接平差法，又稱(chēng)參數(shù)平差法。例如：△ABC中，觀測(cè)量為其中的三個(gè)內(nèi)角，選定∠A和∠B為平差參數(shù)，設(shè)為X1和X2，將每一個(gè)觀測(cè)量均表達(dá)為這兩個(gè)平差參數(shù)的函數(shù)，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型:C

L3X1X2L1L2AB則間接平差的函數(shù)模型可用以下矩陣形式表達(dá)：

L+V=BX+d或：V=BX–l此式稱(chēng)為間接平差誤差方程。式中，L為觀測(cè)值向量（n

1

階）；

V為改正數(shù)向量（n

1

階）；

B為係數(shù)矩陣（n

t

階）；

X為未知數(shù)向量（t

1

階）；

l=L–d為常數(shù)矩陣（n

1

階）。第二節(jié)條件平差原理

條件方程AV+W=0中，

A為r

n階矩陣，

V為n

1列陣，即有r個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù),且r<n，這樣的方程組有無(wú)窮多組解。然而，根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，觀測(cè)量的最或然值應(yīng)該滿足VTPV=min。在AV+W=0的條件下確定VTPV的最小值，這在數(shù)學(xué)中是求函數(shù)Ф=VTPV的條件極值問(wèn)題。條件平差，實(shí)際上是確定條件方程滿足VTPV=min的唯一解。

根據(jù)計(jì)算函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘數(shù)法則組成新函數(shù)：

Ф=VTPV－2KT（AV+W)

其中：K=（k1,k2，…，kr

)T

是拉格朗日乘數(shù)，測(cè)量平差中稱(chēng)之為聯(lián)繫數(shù)向量。顯然，只要令Ф對(duì)V的一階導(dǎo)數(shù)等於零就可以求出VTPV的極值。矩陣求導(dǎo)的兩個(gè)公式：(1)設(shè)C為常數(shù)陣，X為列陣，則(2)設(shè)Y、Z均為列陣，則：一、改正數(shù)方程令其等於零，注意到(PV)T=VTP，從而有：

VTP=KTA轉(zhuǎn)置後左乘P–1得：

V=P–1ATK(1)該公式表達(dá)了改正數(shù)V與聯(lián)繫數(shù)K的關(guān)係。函數(shù)Ф=VTPV－2KT(AV+W)對(duì)V求導(dǎo)：二、法方程式將（1）式代入條件方程AV+W=0中得：

AP–1ATK+W=0（2）這就是條件平差的法方程式。式中，P為觀測(cè)值的權(quán)矩陣，設(shè)第i個(gè)觀測(cè)值的權(quán)為pi,則顯然P是一個(gè)對(duì)角陣，其逆存在，且：三、法方程的解

令N=AP–1AT

（3）則法方程式的形式為

NK+W=0

其中N稱(chēng)為法方程式係數(shù)矩陣，是一個(gè)滿秩二次型方陣，其逆存在。從而可解出聯(lián)繫數(shù)向量：

K=－N–1W

（4）四、條件平差的一般過(guò)程（1）列出條件方程AV+W=0（2）組成法方程係數(shù)矩陣N=AP–1AT

（3）解法方程得到聯(lián)繫數(shù)K=－N–1W

（4）計(jì)算改正數(shù)V=P–1ATK（5）計(jì)算平差值（6）精度評(píng)定上一講內(nèi)容回顧條件平差函數(shù)模型的一般形式：

AV+W=0

條件平差的法方程式

AP–1ATK+W=0

或NK+W=0法方程的解K=－N–1W改正數(shù)V=P–1ATK?

條件平差的一般過(guò)程（1）列出條件方程AV+W=0（2）組成法方程係數(shù)矩陣N=AP–1AT

（3）解法方程得到聯(lián)繫數(shù)K=－N–1W

（4）計(jì)算改正數(shù)V=P–1ATK（5）計(jì)算平差值（6）精度評(píng)定（計(jì)算單位權(quán)方差、觀測(cè)值中誤差、平差值函數(shù)的中誤差等）第三節(jié)獨(dú)立三角網(wǎng)條件平差

根據(jù)三角網(wǎng)中起算數(shù)據(jù)的多少，三角網(wǎng)有獨(dú)立三角網(wǎng)（網(wǎng)中僅有必要的起算數(shù)據(jù)）和非獨(dú)立三角網(wǎng)（網(wǎng)中具有多餘的起算數(shù)據(jù)）之分。三角網(wǎng)平差有按角度平差和按方向平差兩種方法。本節(jié)討論獨(dú)立三角網(wǎng)按角度進(jìn)行條件平差時(shí)，條件方程式列立、法方程式組成和解算的詳細(xì)步驟和方法。一、圖形條件

圖形條件通常是指平差後三角形內(nèi)角應(yīng)滿足的幾何條件，所以也稱(chēng)為三角形閉合條件。

條件平差時(shí)，關(guān)鍵是列出條件方程。獨(dú)立三角網(wǎng)的觀測(cè)量主要是三角形的內(nèi)角，這些角在幾何上應(yīng)該滿足一定的條件，這些條件就是列立條件方程的基礎(chǔ)。

根據(jù)幾何條件的不同，獨(dú)立三角網(wǎng)的條件方程分為圖形條件、圓周角條件、極條件、基線條件四種類(lèi)型。1.平差值表達(dá)的圖形條件對(duì)於有n個(gè)三角形組成的中點(diǎn)多邊形(a)或三角鎖(b)，可以列出n個(gè)圖形條件：（i=1，2，…，n）

a1cianbnb1

c1

ciaibiaibicn

(a)(b)對(duì)於大地四邊形，

可以列出7個(gè)圖形條件，但是只有3個(gè)是相互獨(dú)立的，其餘幾個(gè)可以由這3個(gè)方程推導(dǎo)出來(lái)：a3

b3

b2

a4

a2b4b1

a12.改正數(shù)表達(dá)的圖形條件

代入用平差值表達(dá)的條件方程，整理後可得平差值、觀測(cè)值、改正數(shù)三者的關(guān)係為：（1）中點(diǎn)多邊形和三角鎖：vai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+

bi+ci-180o

（2）大地四邊形：va1+vb1+va2+

vb2+w1=0;va2+vb2+va3+

vb3+w2=0;va3+vb3+va4+

vb4+w3=0;w1=a1+

b1

+a2

+b2-180ow2=a2+

b2

+a3

+b3-180ow3=a3+

b3

+a4

+b4-180oa3

b3

b2

a4

a2b4b1

a13.圖形條件閉合差的限差

設(shè)角度觀測(cè)中誤差為m，應(yīng)用誤差傳播定律可得三角形閉合差w的中誤差為取閉合差中誤差的兩倍作為閉合差的限值，即同理，n個(gè)角的圖形條件閉合差的限值為二、圓周角條件

在中點(diǎn)多邊形中，儘管所有三角形的圖形條件都滿足，但在中心點(diǎn)處，仍然可能出現(xiàn)各角度值之和不等於360°的現(xiàn)象，平差時(shí)除了要滿足三角形閉合條件外，還必須使中心點(diǎn)處的角度滿足下列條件：

a1

b1

c1

ciaibi

用改正數(shù)表達(dá)的圓周角條件為：其中，wo稱(chēng)為圓周角條件閉合差。式中，m為角度觀測(cè)中誤差；

n為圓周角的個(gè)數(shù)。；對(duì)wo應(yīng)用誤差傳播定律，並以2倍中誤差作為限差，則圓周角閉合差的限差為：三、極條件

以中點(diǎn)多邊形為例，若從OA邊出發(fā)，依次解算三角形①、②、…，最後解算出的OA邊長(zhǎng)應(yīng)與出發(fā)邊OA相等。即：A

a1

①?EBb1

c1Oa2

②

c2

cib2

?aibiCD1.平差值形式的極條件方程

依次解算的三角形有共同頂點(diǎn)O，這個(gè)共同頂點(diǎn)O成為極點(diǎn)，故這種條件稱(chēng)為極條件。將上述公式中的平差值用觀測(cè)值加改正數(shù)的形式表達(dá)，則有：即：2.改正數(shù)形式的極條件方程

上述方程按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)取至改正數(shù)的一次項(xiàng)使其線性化：令δai=ctgai

,δbi=ctgbi

稱(chēng)為極條件閉合差。則上式可化簡(jiǎn)為：Σδaivai–Σδbivbi+ws=0

其中：3.極條件閉合差的限差對(duì)極條件閉合差的運(yùn)算式應(yīng)用誤差傳播定律得：mwo2=δa12

ma12+δa22

ma22+…+δbn2

mbn2由於通常各三角形內(nèi)角是等精度觀測(cè)，即mai=

mbi=m,

以2倍中誤差為閉合差的限差，從而得到極條件閉合差的限差為：

四、基線條件

對(duì)於有兩條基線的三角網(wǎng)，其角度觀測(cè)值平差後應(yīng)滿足：兩條基線經(jīng)三角形邊長(zhǎng)傳算後相等。例如以下三角鎖中，B1、B2為兩條基線，由B1經(jīng)三角形①、②、…、?傳算到B2後，應(yīng)該與B2相等。這個(gè)條件稱(chēng)為基線條件。

c1cianbnB1

①②?B2a1

b1aibicn

1.平差值表達(dá)的基線條件方程

根據(jù)正弦定理，上述三角鎖中，仿照極條件的推導(dǎo)過(guò)程，基線B1，B2與傳距角ai，bi的平差值應(yīng)該滿足：2.改正數(shù)表達(dá)的基線條件方程

上式中的平差值用觀測(cè)值加改正數(shù)的形式表達(dá)並移項(xiàng)後得：線性化後令δai=ctgai

,δbi=ctgbi，則有：Σδaivai–Σδbivbi+wB=03.基線條件閉合差的限差

稱(chēng)為基線條件閉合差。應(yīng)用誤差傳播定律可計(jì)算其中誤差，取2倍中誤差為限差可得：五、典型三角網(wǎng)的條件方程

設(shè)獨(dú)立三角網(wǎng)中觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，三角點(diǎn)的總數(shù)為N，其中要有2個(gè)是已知座標(biāo)的點(diǎn)，未知點(diǎn)個(gè)數(shù)為（N-2），每個(gè)未知點(diǎn)需要2個(gè)必要觀測(cè)以確定其x，y座標(biāo)，則必要觀測(cè)的個(gè)數(shù)為

t=2(N-2),獨(dú)立的條件方程數(shù)目為：

r=n-t

其中大地四邊形和中點(diǎn)多邊形要有1個(gè)極條件。網(wǎng)中每增加

1條已知邊，應(yīng)增加1個(gè)基線條件。條件方程的數(shù)目：1.三角鎖條件方程的個(gè)數(shù)：

c1cianbnB1

①②?B2a1

b1aibicn

第一個(gè)三角形有3個(gè)點(diǎn)，每增加1個(gè)三角形增加1個(gè)點(diǎn)，n個(gè)三角形共有n+2個(gè)點(diǎn)，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)是：t=2(n+2–2)=2n

；

共有3n個(gè)角度觀測(cè)值，2條基線，其中一條是起算邊長(zhǎng)，因此條件方程的個(gè)數(shù)為：

r=3n-2n+1=n+1條件方程的種類(lèi)：圖形條件n個(gè)：vai+vbi+vci+wi=0;

wi=ai+

bi+ci–180o(i=1,2,…,n)基線條件1個(gè)：Σδaivai–Σδbivbi+wB=02.大地四邊形

共有4個(gè)點(diǎn)，其中2個(gè)為起算點(diǎn)，2個(gè)未知點(diǎn)，應(yīng)有4個(gè)必要觀測(cè)（t=4），共有8個(gè)觀測(cè)值(n=8)，條件方程的個(gè)數(shù)為：

r=n-t=4

a3

b3

b2

a4

a2b4b1

a1

B其中圖形條件3個(gè)：

va1+vb1+va2+

vb2+w1=0;

w1=a1+

b1

+a2

+b2–180o

va2+vb2+va3+

vb3+w2=0;

w2=a2+

b2

+a3

+b3–180o

va3+vb3+va4+

vb4+w3=0;

w3=a3+

b3

+a4

+b4–180o極條件1個(gè):Σδaivai–Σδbivbi+ws=0

；其中：δai=ctgai,δbi=ctgbi3.中點(diǎn)多邊形條件方程的數(shù)目：

A

a1

①?

EBb1

c1Oa2

c2

②cib2

?aibiCDt=2(n+1–2)=2n–2共有n+1個(gè)點(diǎn)，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)：觀測(cè)值個(gè)數(shù)3n；條件方程個(gè)數(shù)：r=3n–(2n–2)=n+2

條件方程的種類(lèi)：圖形條件n個(gè)：vai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+

bi+ci–180o(i=1,2,…,n)圓周角條件1個(gè)：Σvci+wo=0；wo=Σci-360o極條件1個(gè)：Σδaivai–Σδbivbi+ws=0六、精度評(píng)定

在條件平差中，精度評(píng)定包括計(jì)算單位權(quán)方差和平差值函數(shù)的中誤差。其中，r為條件方程的個(gè)數(shù)，[pvv]=VTPV可以根據(jù)改正數(shù)向量V直接計(jì)算，也可以根據(jù)聯(lián)繫數(shù)向量K計(jì)算。1.單位權(quán)方差：由於

V=P-1ATK所以VTPV=KTAP-1PP-1ATK=KTNK式中，N為法方程係數(shù)矩陣。VTPV還可以用閉合差向量W進(jìn)行計(jì)算。將V=P-1ATK代入VTPV

中得：VTPV=VTP（P-1ATK）=(AV)TK而由條件方程AV+W=0知：W=－AV

所以有：VTPV=－WTK

2.平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)

我們知道，未知量x的中誤差的平方mx2與單位權(quán)中誤差的平方μ2成正比，與該量的權(quán)Px成反比，即：

同樣，對(duì)於平差值的函數(shù)，只要能夠確定它的權(quán)Px，根據(jù)單位權(quán)中誤差，就可以計(jì)算出該函數(shù)的中誤差。設(shè)有平差值函數(shù)為則平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)公式為P

-1=fTP-1f-(AP-1f)TN-1AP-1f其中：P為觀測(cè)值的權(quán)矩陣；A為條件方程係數(shù)矩陣；N為法方程係數(shù)矩陣；f為列矩陣：可見(jiàn)，列出平差函數(shù)式後，只要求出f列陣的係數(shù)

即可由上式計(jì)算函數(shù)的權(quán)倒數(shù)。七、獨(dú)立三角網(wǎng)條件平差算例【例3-1】（p.49)

某一級(jí)小三角網(wǎng)如圖，知A點(diǎn)座標(biāo)為(500.000，500.000)，AB邊座標(biāo)方位角α=32°12’36”，長(zhǎng)度S=872.562m，三角網(wǎng)角度觀測(cè)值如下表，計(jì)算各點(diǎn)座標(biāo)。B

b1a2

Sc1c2Dc3a1b2b3a3AC列條件方程本題有2個(gè)未知點(diǎn)，需4個(gè)必要觀測(cè)，實(shí)際有9個(gè)觀測(cè)值，故應(yīng)列出5個(gè)條件方程。其中3個(gè)圖形條件，1個(gè)圓周角條件，1個(gè)極條件?！窘狻浚?.閉合差檢核

一級(jí)小三角網(wǎng)測(cè)角中誤差應(yīng)不大於5”圖形條件閉合差檢核：|wi|max=1.6”<w限圓周角條件閉合差檢核：wO=-3.2”<wO限極條件閉合差檢核：3.列立條件方程

條件方程的矩陣形式為：AV+