工程測量學課件

緒論

土木工程建設的一般程式初測和初步設計批準後定測和施工設計批準後施工批準後方案研究報告第一節(jié)控制測量的任務和作用一.

主要任務勘測設計階段——建立測圖控制網(wǎng)施工建造階段——建立施工控制網(wǎng)運營管理階段——建立變形監(jiān)測網(wǎng)二.

控制網(wǎng)的作用細部測量的基礎，

限制誤差的傳遞和積累第二節(jié)鐵路公路工程測量的內(nèi)容鐵路公路工程的特點：屬於國家基本建設，投資可觀，規(guī)模宏大，內(nèi)容複雜。測量工作特點：各階段工作內(nèi)容不同不同工程物施工過程中，測量精度的要求不同。測量工作的內(nèi)容：

一.

勘測設計階段

1.方案研究階段收集相關地區(qū)的中、小比例尺地形圖收集各種航攝相片、氣象、水文、經(jīng)濟資料——供設計人員找出線路主要的可能方案，初步確定一些重要的技術標準，如線路等級、限制坡度、牽引種類、運輸能力等，並提出線路初步方案和可行性研究報告。2.

初測和初步設計階段初測是為初步設計而做的測繪工作。測量任務：１.佈設控制網(wǎng)（初測導線，初測水準點）２.測繪大比例尺地形圖３.測繪斷面圖初步設計：根據(jù)帶狀地形圖和各種初測資料，確定各種方案的線路中線位置（稱為紙上定線），確定線路、橋涵、隧道等工程物的走向、位置和形式等，並作出工程概算。初步設計要對一切有價值的方案進行研究比選，通過經(jīng)濟、技術等方面的比較，提出一個推薦方案。做到基本穩(wěn)定線路方案，為下一階段的工作打好基礎。3.

定測和施工設計階段

定測是為施工設計而做的測量工作。任務：１.將初步設計確定的線路中線測設到地面上。２.詳細測繪線路縱橫斷面。３.重點工程工點地形圖測繪等。

施工設計主要任務是根據(jù)定測資料進行線路縱斷面設計和路基設計，以及對線路上所有橋涵、隧道、車站、擋土牆等構築物進行單獨設計，並提供工程數(shù)量和工程預算，形成施工設計檔。二.

施工建造階段1.交樁—設計單位和施工單位交接控制樁點。2.施工複測—施工單位檢查控制樁點的正確性。3.建立施工控制網(wǎng)—對重要工程建立控制。4.施工放樣—按設計要求在地面上測設工程物位置。5.竣工測量—檢查工程物的位置、形狀、尺寸。

三.運營管理階段1.線路複測——為線路大修、改造提供資料2.結構變形觀測——確認結構的安全穩(wěn)定

橋樑施工測量橋樑施工測量的基本任務

根據(jù)設計檔，按照規(guī)定的精度，將圖紙上設計的橋樑墩臺位置標定於地面，據(jù)此指導施工，確保建成的橋樑在平面位置、高程位置和外形尺寸等方面均符合設計要求?！?-1中線複測及橋軸線測定

複測的主要方法是導線法。

定測或線路複測的精度較低，一般不能滿足橋樑施工測量的精度要求。因此橋樑施工前，需對橋址線路中線以較高的精度進行複測。一、直線橋的中線複測觀測：橋址位置上所有轉(zhuǎn)點間的水準距離Di和相鄰邊間的水準角βi

。計算：以兩端轉(zhuǎn)點（ZD7-3,ZD7-8)的連線為x軸建立施工坐標系，計算各轉(zhuǎn)點的座標二、曲線橋的中線複測當橋樑位於曲線上時，應對整個曲線進行複測。檢查切線方向控制樁是否在同一條直線上。如果不在同一條直線上，則應給予改正。重新精確測定線路的轉(zhuǎn)向角。重新計算曲線綜合要素。重新標定曲線的起點和終點。1.切線控制樁的複測檢查切線上的控制樁是否在同一條直線上。方法：穿線法、導線法。2.轉(zhuǎn)向角複測依據(jù)：已確認的切線控制樁；方法：直接測量——測回法間接測量——導線法如果已確認的切線控制樁中含有交點樁，則採用直接測量法否則，採用間接測量法，即導線測量法或副交點法。複測轉(zhuǎn)向角與定測轉(zhuǎn)向角不符時處理方法：原則：儘量不改變原設計。方法一：利用複測轉(zhuǎn)向角重新計算曲線要素，改變曲線起點或終點里程橋樑佈設在直線－始端緩和曲線－圓曲線區(qū)間內(nèi)，則曲線的ZH里程保持與原設計里程不變；橋樑佈設在圓曲線－末端緩和曲線－直線區(qū)間內(nèi)，則曲線的HZ里程保持與原設計里程不變；同時保持各墩臺中心設計里程不變。要使ZH或HZ里程不變，可設斷鏈樁或?qū)⒕嚯x誤差調(diào)整在直線段。方法二：調(diào)整切線方向，使轉(zhuǎn)向角恢復到原設計值整個橋樑佈設在始端緩和曲線－圓曲線－末端緩和曲線區(qū)間內(nèi)，或回頭曲線轉(zhuǎn)向角在180°左右時，如果橋樑前後相鄰曲線沒有施工或無重大建築物，可以調(diào)整切線方向，使轉(zhuǎn)向角恢復到原設計值，以保證橋樑原設計不變。方法三：採用複測轉(zhuǎn)向角，改變橋樑設計三、橋軸線長度測定1.橋軸線控制樁：兩岸橋頭中線上埋設的控制樁。作用：保證墩臺間的相對位置正確，並使之與相鄰線路在平面位置上正確銜接。2.橋軸線長度：兩岸橋軸線控制樁間的水準距離。3.橋軸線長度的測量方法直接測定法——光電測距間接測定法——三角網(wǎng)推算§6-2橋樑施工控制測量對於水中不能直接測設的橋樑或水面較寬且有高墩、大跨、深水基礎或基礎施工難度較大，梁部結構類型複雜的特大橋和大橋，需要建立施工平面控制網(wǎng)。為了合理地擬定橋樑施工平面控制測量的布網(wǎng)方案和觀測方案，保證墩臺中心的定位精度，必須預先估算橋軸線長度測定的必要精度。一、橋軸線長度精度估算1.鋼筋混凝土簡支梁設墩臺中心點位放樣的極限誤差為△D（通常取△D=10mm），中誤差為△D/2，則相鄰二墩臺中心的跨距中誤差為設全橋共有N跨，則橋軸線長度的中誤差為2.鋼板梁及短跨（l≤64m）簡支鋼桁梁考慮梁長製造誤差和固定支座安裝誤差δ的共同影響，單跨鋼板梁和單跨簡支鋼桁梁的長度中誤差為當橋樑為N跨時，則橋軸線長度L的中誤差為3.連續(xù)及長跨（l＞64m）簡支鋼桁梁由n

個節(jié)間構成的單聯(lián)或單跨梁，設節(jié)間拼裝的極限誤差為△l（通常取△l=±2mm），則由於梁體拼裝誤差和固定支座安裝誤差δ的共同影響，每一聯(lián)（跨）長度的中誤差為當橋樑為N跨時，則橋軸線長度L的中誤差為［例6-1］某三聯(lián)三跨連續(xù)梁橋，每跨支座間距離為128m，由長16m的8個節(jié)間組成，每聯(lián)24個節(jié)間，固定支座安裝極限誤差為±7mm，試計算全橋橋軸線中誤差。［解］單聯(lián)中誤差為全橋橋軸線中誤差為二、橋樑施工平面控制測量1.橋樑施工平面控制網(wǎng)網(wǎng)形佈設

在滿足橋軸線長度測定和墩臺中心定位精度的前提下，力求圖形簡單並具有足夠的強度，以減少外業(yè)觀測工作和內(nèi)業(yè)計算工作。

根據(jù)橋樑的大小、精度要求和地形條件，橋樑施工平面控制網(wǎng)的網(wǎng)形佈設有以下幾種形式。

雙三角形大地四邊形

雙大地四邊形加強型大地四邊形大地四邊形加三角形2.橋樑施工平面控制測量的角度觀測三角網(wǎng)的等級和精度要求如表6-3；(P164)水準角觀測要求：

開測前應對所測角儀器進行檢驗和校正。

作業(yè)過程中，儀器2C絕對值DJ1型儀器不得超過20″；DJ2型儀器不得超過30″

水準角觀測測回數(shù)應符合表6-4的規(guī)定，

各測回的零方向讀數(shù)應均勻分佈在度盤和測微器的不同位置上。3.橋樑施工平面控制網(wǎng)的距離觀測方法：銦鋼基線尺，光電測距用光電測距儀或全站儀測量平面控制網(wǎng)邊長時，外界環(huán)境條件應符合下列要求：注意減弱大氣折光和旁折光的影響；測線及兩端的延線上，不得有任何其他發(fā)光物體或反光的物體，以免引起反射信號混亂；測站應設在電磁場影響的範圍以外；光電測距邊的測回數(shù)及往返測次數(shù)，應符合表6-5的規(guī)定。距離觀測的限差與數(shù)據(jù)處理：光電測距限差，應符合表6-6的規(guī)定。光電測距邊，必須加入氣象、加乘常數(shù)、週期誤差改正，然後化算為水準距離，水準距離應歸算至墩頂（或軌底）平均高程面上。設儀器與棱鏡橫軸的平均高程為H1，墩頂（或軌底）的平均高程為H2，地球平均曲率半徑為R，則歸算長度DH為測距精度評定設某條邊長進行了n次對向觀測，第i次對向觀測的差值為di，則一次觀測的中誤差為：

對向觀測平均值的中誤差為：4.橋樑施工平面控制測量內(nèi)業(yè)計算施工平面控制網(wǎng)通常採用獨立的坐標系；

直線橋以橋軸線兩控制樁中里程較小的一個為座標原點，以橋軸線按里程增加方向為x軸正向建立測量坐標系；曲線橋一般以曲線起點ZH或始切線上的轉(zhuǎn)點為座標原點，以始切線指向JD方向為x軸正向建立測量坐標系；也可以橋軸線控制點為坐標系原點，以該點處曲線的切線方向為x軸，以線路前進方向為x軸正向建立測量坐標系。橋樑施工平面控制網(wǎng)按方向或角度，用條件平差或間接平差方法進行嚴密平差。

平差計算完成後，應對網(wǎng)中所有的幾何條件（或附合條件）進行檢算，並計算單位權中誤差、橋軸線及最弱邊邊長中誤差。對於邊角網(wǎng)或測邊網(wǎng)，不應大於10mm；對於以基線為基礎的測角網(wǎng)，不應大於原估算的橋軸線及最弱邊邊長相對中誤差。三、橋樑施工高程控制測量各水準點應沿橋軸線兩側以400m左右的間距均勻佈設，並構成連續(xù)水準環(huán)。水準點應與相鄰的線路水準點聯(lián)測，以保證橋樑與相鄰線路在高程位置上的正確銜接。水準測量的等級、精度、限差應符合相應的規(guī)定。為了便於施工放樣，可根據(jù)實際需要在施工地點附近設立若干個施工水準點。水準點應埋設標石施工水準點的高程必須定期檢測。水準測量的等級和精度應滿足表6-8的要求每公里水準測量高差中數(shù)的偶然中誤差按下式計算：§6-3橋樑定位資料計算直線橋墩臺中心座標計算

直線橋的墩臺中心位於橋軸線上，且橋軸線和線路中線完全重合。xi=DKi-DKA

yi=0

設橋軸線控制點A為施工坐標系的原點，其里程為DKA

，x軸與橋軸線重合，且指向里程增加方向，第i

號墩的里程為DKi

，則該墩中心的座標xi、yi

為yx§6-4墩臺定位及縱橫軸線測設

橋樑施工測量中，主要的工作是準確地測設出橋樑墩、臺的中心位置，即所謂的墩、臺中心定位，簡稱墩臺定位。

墩臺定位必須滿足一定的精度要求，特別是對預製梁橋更是如此。一、直線橋的墩臺定位直接量距法光電測距或直接丈量2.前方交會法如果橋墩位置無法直接丈量，也不便於架設反光鏡時，可採用前方交會法測設墩位。前方交會法既可用於直線橋的墩臺定位測量，也可用於曲線橋的墩臺定位測量。用交會法測設墩位，需要在河的兩岸佈設平面控制網(wǎng)，如導線、三角網(wǎng)、邊角網(wǎng)、測邊網(wǎng)等。

前方交會法的基本原理:根據(jù)控制點座標和墩臺座標，反算交會放樣元素αi、βi，在相應控制點上安置儀器並後視另一已知控制點，分別測設水準角αi、βi，得到兩條視線的交點，從而確定墩臺中心的位置。αiβi異側交會同側交會兩交會方向線之間的夾角γ稱為交會角墩臺中心交會的精度與交會角γ的大小有關。

交會角的要求：當置鏡點位於橋軸線兩側時，交會角應在90°~150°之間；當置鏡點位於橋軸線一側時，交會角應在60°~110°之間。在橋樑控制網(wǎng)網(wǎng)形設計和布網(wǎng)時，應充分考慮每個墩臺中心交會時交會角的大小，必要時，可根據(jù)情況增設插如點或精密導線點作為次級控制點。測設數(shù)據(jù)計算為了便於作業(yè)，應根據(jù)控制點的座標和墩臺中心的座標，計算測設數(shù)據(jù)並將其編制成表。墩臺定位測設數(shù)據(jù)主要包括：置鏡點、墩臺或控制點編號、座標方位角、邊長等。其格式如P.184表6-14。以下格式更簡潔置鏡點控制點邊長座標方位角°′″墩臺號邊長座標方位角°′″D10#161.41921450425.8D2141.7931403940.41#141.83651392024.9D3199.9008834349.12#101.90711145528.3D4151.09691421732.53#94.7837770957.94#126.0050471028.85#143.9781395554.1現(xiàn)場測設在控制點D安置儀器，後視控制點A，將度盤安置為αDA;根據(jù)測設數(shù)據(jù)表,轉(zhuǎn)動照準部至度盤讀數(shù)為αDi

得到D-i方向；同樣方法得到C-i

方向，兩條視線的交點處打樁，釘設出i號墩臺中心位置;在橋軸線上檢查各墩臺位置。示誤三角形通常將三臺經(jīng)緯儀分別安置於三個控制點上，用三條方向線同時交會。理論上三條方向線應交於一點，而實際上由於控制點誤差和交會測設誤差的共同的影響，三條方向線一般不會交於一點，而是形成一個小三角形，該三角形的大小反映交會的精度，故稱其為示誤三角形。交會限差及墩臺中心的確定示誤三角形的最大邊長或兩交會方向與橋中線交點間的長度，在墩臺下部（承臺、墩身）不應大於25mm，在墩臺上部（託盤、頂帽、墊石）不應大於15mm。若交會的一個方向為橋軸線，則以其他兩個方向線的交會點P1投影在橋軸線上的P點作為墩臺中心。交會方向中不含橋軸線方向時，示誤三角形的邊長不應大於30mm，並以示誤三角形的重心作為橋墩臺中心。二、墩臺縱橫軸線測設墩臺縱橫軸線是確定墩、臺方向的依據(jù)，也是墩、臺施工中細部放樣的依據(jù)。P.184中說法不正確直線橋各個墩臺的縱軸線與橋軸線重合，可根據(jù)橋軸線控制樁測設；直線橋的橫軸線不一定與縱軸線垂直，兩者夾角根據(jù)設計檔確定，可將經(jīng)緯儀安置於墩臺中心，後視橋軸線控制樁定向，測設規(guī)定的角度得到墩臺橫軸線方向。A［例6－3］某鐵路直線橋設計的結構形式為：1×24m預應力鋼筋混凝土梁+3×64m箱形連續(xù)鋼樑+1×24m預應力鋼筋混凝土梁，各墩臺中心的設計里程如表6－15。試完成：1.橋軸線長度精度估算2.平面控制測量的實施3.墩臺中心定位資料的計算。表6-15墩臺中心的設計裏及其座標樁號及墩臺號裏程間距x0#臺DK638+798.92-12.807012.807D4+811.727011.9431#墩+823.6711.943064.652#墩+888.3276.593064.003#墩+952.32140.593064.004#墩DK639+016.92205.193021.9366D2038.8566227.12962.81345#臺+041.67229.9430

［解］1．橋軸線長度精度估算第1孔和第5孔為預應力鋼筋混凝土簡支梁，設其跨長中誤差分別為ml1和ml5，已知點位放樣極限誤差ΔD=10mm，則第2～4孔為箱形連續(xù)鋼樑，為預製的16m梁段運到現(xiàn)場後拼接，並以高強螺栓固定連接。64m64m64m1#2#3#4#已知n=12，節(jié)間拼裝誤差Δl=2mm，支座安裝誤差δ=7mm，設該段中誤差為ml2-4，則橋軸線長度中誤差mL為:

已知橋長L=242.75m，則橋軸線長度的相對中誤差為2.平面控制網(wǎng)技術設計根據(jù)橋軸線長度的估算精度，參照表6-3可知，該橋施工平面控制網(wǎng)按五等三角網(wǎng)施測即可。由於橋軸線長度小於橋長，故控制網(wǎng)提高一個等級施測。箱形連續(xù)鋼樑當時屬新型結構，在墩臺施工、梁體架設和運營管理階段均要進行變形觀測，故控制網(wǎng)再提高一個等級施測。所以，技術設計書確定，該橋施工平面控制網(wǎng)按三等三角網(wǎng)施測。3.三角網(wǎng)觀測與平差計算基線D1、D3的邊長採用光電測距方法實測，數(shù)據(jù)處理後，相對中誤差1/260000。三角網(wǎng)的角度採用方向觀測法。按條件觀測平差。平差後橋軸線長度相對中誤差1/189000

1/21700，測角中誤差mβ=±1.49″<±1.8″。4.控制點座標和墩臺座標計算以橋軸線控制點D4為座標原點，以橋軸線按里程增加方向為x軸正向，計算各控制點和墩臺中心在該坐標系中的座標。注:如果D4的x座標值等於其里程，則座標計算更加簡單，且不容易錯!!樁號及墩臺號xyD1119.5391-92.4158D2227.12960D3141.3700106.2893D4000#-12.807001#11.943002#76.593003#140.593004#205.193005#229.94300置鏡點控制點邊長座標方位角°′″墩臺號邊長座標方位角°′″D10#161.41921450425.8D2141.7931403940.41#141.83651392024.9D3199.9008834349.12#101.90711145528.3D4151.09691421732.53#94.7837770957.94#126.0050471028.85#143.9781395554.15.交會數(shù)據(jù)表編算§6-5橋樑竣工測量

墩臺施工完成以後架梁以前，應進行墩臺的竣工測量。對於隱蔽在竣工後無法測繪的工程，如橋樑墩臺的基礎等，必須在施工過程中隨時測繪和記錄，做為竣工資料的一部分。橋樑架設完成後還要對全橋進行全面測量。

一、橋樑竣工測量的目的：測定建成後墩臺的實際情況；檢查是否符合設計要求；為架梁提供依據(jù)；為運營期間橋樑監(jiān)測提供基本資料。二、橋樑竣工測量的內(nèi)容：測定墩臺中心、縱橫軸線及跨距；丈量墩臺各部尺寸；測定墩帽和支承墊石的高程；測定橋中線、縱橫坡度；根據(jù)測量結果編繪墩臺中心距表、墩頂水準點和墊石高程表、墩臺竣工平面圖、橋樑竣工平面圖等；如果運營期間要對墩臺進行變形觀測，則應對兩岸水準點及各墩頂?shù)乃疁蕵艘圆坏挽抖人疁蕼y量的精度聯(lián)測。

隧道施工測量§7-1

隧道施工的特點及

施工測量的任務和內(nèi)容一、隧道施工的特點

為了保證工期，常利用增加開挖面的方法，將整個隧道分成若干段同時施工；

開挖順著中線不斷地向洞內(nèi)延伸，襯砌和洞內(nèi)建築物（避車洞、排水溝、電纜槽等）的施工緊跟其後，不等貫通，隧道內(nèi)的大部分建築物已經(jīng)建成；增加開挖面的主要方法有：設置平行導坑或在隧道中部設置橫洞、斜井或豎井。二、隧道施工測量的主要任務保證洞內(nèi)各項建築物以規(guī)定的精度按照設計位置修建，不得侵入建築限界。保證相向開挖的工作面，按照規(guī)定的精度在預定位置貫通；

兩個開挖面相向開挖，在預定位置挖通稱為貫通。貫通後，由兩端分別引進的線路中線，應按設計規(guī)定的精度正確銜接。三、隧道施工測量的特點洞外總體控制作為指導隧道施工的測量工作，在隧道開挖前一般要建立具有必要精度的、獨立的隧道洞外施工控制網(wǎng)，作為引測進洞的依據(jù)；對於較短的隧道，可不必單獨建立洞外施工控制網(wǎng)，而以經(jīng)隧道施工複測、調(diào)整後並確認的洞外線路中線控制樁為引測進洞的依據(jù)。2.洞內(nèi)分級控制洞內(nèi)控制點控制正式中線點（正式中線點是洞內(nèi)襯砌和洞內(nèi)建築物施工放樣的依據(jù)），正式中線點控制臨時中線點；臨時中線點控制掘進方向。

洞內(nèi)高程控制與平面相仿，臨時水準點控制開挖面的高低，正式水準點控制洞內(nèi)襯砌和洞內(nèi)建築物的高程位置。對於採用全斷面開挖法開挖的隧道，其測量過程與先挖導坑後擴大成型開挖的隧道基本一樣，不同的是對臨時中線點、臨時水準點的測設精度要求較高，或者是直接測設正式中線點、正式水準點。3.開挖方法影響測量方式先導坑後擴大成型法對隧道的位置還有一定的糾正餘地，隧道施工測量可先粗後精；全斷面開挖法一次成型，隧道施工測量必須一次到位。4.隧道施工的特殊環(huán)境對控制點佈設提出特殊要求隧道貫通前，洞內(nèi)平面控制測量只能採用支導線的形式，測量誤差隨著開挖的延伸而積累。洞外控制網(wǎng)和洞內(nèi)施工控制測量應保證必要的精度。控制點應設置在不易被破壞的位置處。四、隧道施工測量的主要內(nèi)容

洞外平面控制測量；

洞外高程控制測量；

洞內(nèi)平面控制測量；

洞內(nèi)高程控制測量；

進洞測量；

洞內(nèi)中線測設；

貫通誤差調(diào)整；

竣工測量。§7-2隧道貫通誤差一、貫通誤差及其對隧道貫通的影響

相向開挖的兩條施工中線上，具有貫通面里程的中線點不重合，兩點連線的空間線段稱為貫通誤差。實際的貫通誤差只有在貫通後才能確定！貫通面1.貫通誤差的分類貫通誤差在水平面上的正射投影稱為平面貫通誤差；在鉛垂面上的正射投影稱為高程貫通誤差，簡稱高程誤差。貫通面平面貫通誤差在水平面內(nèi)可分解為兩個分量：

與貫通面平行的分量，稱為橫向貫通誤差，簡稱橫向誤差；與貫通面垂直的分量，稱為縱向貫通誤差，簡稱縱向誤差。貫通面2.貫通誤差對隧道貫通的影響高程誤差主要影響線路坡度。縱向誤差影響隧道中線的長度和線路的設計坡度。橫向誤差影響線路方向，如果超過一定的範圍，就會引起隧道幾何形狀的改變，甚至造成侵入建築限界而迫使大段襯砌拆除重建，既給工程造成重大經(jīng)濟損失又延誤了工期。因此，必須對橫向誤差加以限制。3.橫向誤差和高程誤差的限差兩開挖洞口間長度（km）＜44~88~1010~1313~1717~20橫向貫通誤差（mm）100150200300400500高程貫通誤差（mm）±504.影響貫通誤差的主要因素及其分解由於洞外控制測量、洞內(nèi)外聯(lián)繫測量、洞內(nèi)控制測量和洞內(nèi)中線放樣等項誤差的共同影響。一般將洞外平面控制測量的誤差做為影響隧道橫向貫通誤差的一個獨立的因素，將兩相向開挖的洞內(nèi)導線測量的誤差各為一個獨立的因素，按照等影響原則確定相應的橫向貫通誤差。高程控制測量中，洞內(nèi)、洞外高程測量的誤差對高程貫通誤差的影響，按相等原則分配。5.控制測量對貫通精度影響的限值測量部位橫向中誤差（mm）高程中誤差mm相鄰兩開挖洞口間長度（km）＜44~88~1010~1313~1717~20洞外30456090120150±18洞內(nèi)406080120160200±17洞外、洞內(nèi)總影響5075100150200250±25二、貫通誤差估算1.導線測量誤差對橫向貫通精度的影響（mm）

測角誤差的影響設RX為導線環(huán)在隧道兩洞口連線的一列邊上的各點至貫通面的垂直距離（m），則導線的測角中誤差m

（″）對橫向貫通中誤差的影響為：貫通誤差估算的方法因控制網(wǎng)的形式不同而異RX1RX2RX3RX4RX5RX6RX7RX812345678（mm）xy貫通面

測距誤差的影響設導線環(huán)在鄰近隧道兩洞口連線的一列測邊上的各邊對貫通面上的投影長度為dy(m)，導線邊長測量的相對中誤差為ml/l

，則由於測距誤差對貫通面上橫向中誤差的影響為：dy2dy412345678dy1貫通面dy5dy7

受角度測量誤差和距離測量誤差的共同影響，導線測量誤差對貫通面上橫向貫通中誤差的影響為：2.三角測量誤差對橫向貫通精度的影響估算方法1.按照嚴密公式計算(公式與方法見《新建鐵路測量規(guī)範（條文說明）》)12345678方法2.按導線估算（偏於安全，目前不提倡）3.高程控制測量對高程貫通誤差的影響估算在貫通面上，受洞外或洞內(nèi)高程控制測量誤差影響而產(chǎn)生的高程中誤差為：式中，M

為每千米水準測量的偶然中誤差，以mm計；L為洞外或洞內(nèi)兩開挖洞口間高程路線長度的公里數(shù)。算例［例7-1］某鐵路隧道為直線隧道，設計長度為L=1136.29m，洞外平面控制設計為單導線，其佈設如圖。試確定測量等級並判定該設計方案能否滿足貫通的精度要求。［解］（1）圖解相關數(shù)據(jù)A、F為導線的始、終點，亦為隧道洞口控制點。以洞外導線的始點A做為坐標系原點，以隧道中線按里程增加方向為X軸正向，建立測量坐標系。在地形圖上，各導線點A、B、C、D、E、F在貫通面方向上的垂足分別為A′、B′，C′、D′、E′、F′，量算出各導線點的垂距RX及各導線邊在貫通面方向上的投影長度dy，其結果於表7-3中。（2）確定隧道洞外平面控制測量等級本例隧道長度小於2km，根據(jù)表7-5洞外導線測量適用長度知，洞外導線可佈設為五等，即導線測角中誤差為

mβ=±4.0″，邊長相對中誤差為ml

/l=1/20000。（3）估算洞外導線測量誤差對貫通的影響洞外導線測量誤差對貫通的影響列表計算如下表7-3洞外導線測量誤差對橫向貫通影響各導線點至貫通面的垂距RX各導線邊在貫通面方向的投影長度dy點名RX（m）RX2（m2）導線邊dy（m）dy2（m2）B400160000A~B14019600C15025500B~C401600D25062500C~D16025600E480230400D~E704900E~F13016900∑475400∑68600=±13.4（mm）=±13.1（mm）=±18.7（mm）

洞外導線測量中誤差對隧道的影響預計是18.7mm，其允許值是30mm，顯然該洞外導線測量設計可行。注意：

計算洞外導線測角誤差影響值時，不應計入始、終點（即洞口控制樁）。但在引入洞內(nèi)導線時，兩洞口控制樁上需測角，故其測角誤差應計入洞內(nèi)的測量誤差?！?-3隧道洞外控制測量直線隧道長度大於1000m，曲線隧道長度大於500m，均應根據(jù)橫向貫通精度要求進行隧道平面控制測量設計。兩相鄰開挖洞口（包括橫洞口、斜井口）高程路線長度大於5000m，應根據(jù)高程貫通精度要求進行隧道高程控制測量設計。一、洞外平面控制測量對於直線隧道，洞外平面控制測量的目的主要是獲取兩端洞口較為精確的點的平面位置和引測進洞的方向；對於曲線隧道，洞外平面控制測量除具有與直線隧道相同的目的外，還在於間接求算隧道所在曲線的轉(zhuǎn)向角及兩端洞口控制樁與交點的相對位置，進而按設計選配的圓曲線半徑和緩和曲線長重新確定隧道中線的位置。1.中線法

中線法一般只能用於短於1000m的直線隧道和短於500m的曲線隧道的洞外平面控制。

建立洞外平面控制的常用的方法有：中線法、精密導線法、三角網(wǎng)和GPS網(wǎng)等。

先將洞內(nèi)線路中線點的平面位置測設於地面，經(jīng)檢核確認該段中線與兩端相鄰線路中線能夠正確銜接後，方可以此作為依據(jù)，進行引測進洞和洞內(nèi)中線測設。2.精密導線法

導線最短邊長不應小於300m，相鄰邊長的比不應小於1：3，並儘量採用長邊，以減小測角誤差對導線橫向誤差的影響。

用導線方式建立隧道洞外平面控制時，導線點應沿兩端洞口的連線佈設。

導線點的位置應根據(jù)隧道的長度和輔助坑道的數(shù)量及分佈情況，並結合地形條件和儀器測程選擇。

導線的水準角一般採用方向觀測法。當水準角只有兩個方向時，可按奇數(shù)和偶數(shù)測回分別觀測導線的左角和右角，這樣可以檢查出測角儀器的帶動誤差，數(shù)據(jù)處理時可以較大程度地消除此項誤差的影響。

導線的內(nèi)業(yè)計算一般採用嚴密平差法，對於四、五等導線也可採用近似平差計算

隧道洞外導線應組成閉合環(huán)，一個控制網(wǎng)中導線環(huán)的個數(shù)應不少於4個；每個環(huán)的邊數(shù)約為4~6條，應盡可能將兩端洞口控制點納入到導線網(wǎng)中。3.三角網(wǎng)法三角測量建立隧道洞外平面控制時，一般是佈設成單三角鎖的形式。對於直線隧道，一排三角點應儘量沿線路中線佈設。條件許可時，可將線路中線做為三角鎖的一條基本邊，佈設為直伸三角鎖。以減小邊長誤差對橫向貫通的影響。對於曲線隧道，應儘量沿著兩洞口的連線方向佈設，以減弱邊長誤差對橫向貫通的影響。二、洞外高程控制測量洞外高程控制測量的任務，是按照測量設計中規(guī)定的精度要求，以洞口附近一個線路定測點的高程為起算高程，測量並傳算到隧道另一端洞口與另一個定測高程點閉合。閉合的高程差應設斷高，或推算到路基段調(diào)整。這樣，既使整座隧道具有統(tǒng)一的高程系統(tǒng)，又使之與相鄰線路正確銜接，從而保證隧道按規(guī)定精度在高程方面正確貫通，保證各項建築物在高程方面按規(guī)定限界修建。洞外高程測量的等級劃分

隧道高程控制測量一般採用水淮測量，對於四、五等高程控制測量也可採用光電測距三角高程測量。高程控制測量誤差對高程貫通精度的影響

受洞外或洞內(nèi)高程控制測量的誤差影響，貫通面上所產(chǎn)生的高程中誤差按下式估算：式中：mΔ為每千米水準測量高差中數(shù)的偶然中誤差，以mm計；L為洞外或洞內(nèi)兩開挖洞口間水準路線長度，以km計。每千米水準測量高差中數(shù)的偶然中誤差計算[例7—2]某鐵路直線隧道，設計長度為5246m，分別由兩端洞口相向開挖。兩端洞口分別埋設四個水準點：BM23、BM23－1和BM24、BM24－1，其中BM23和BM24為定測線路水準點。洞外高程控制測量設計為四等水準測量，佈設六個臨時水準點。各測段水準路線長度、往返測高差觀測值及高程計算列於表中，試計算每千米水準測量高差中數(shù)的偶然中誤差mΔ，並估算mΔh。表7—11往返測高差觀測值及高程計算

每千米水準測量高差中數(shù)的偶然中誤差計算高程貫通中誤差為：可見，該項洞外高程控制測量對貫通面上所產(chǎn)生的高程貫通中誤差的影響滿足精度要求。§7-4進洞關係計算和進洞測量控制測量確認了隧道兩端線路中線控制樁與洞外平面控制點的相對位置關係。根據(jù)洞外控制測量成果，計算由洞外控制點引測進洞測設數(shù)據(jù)，據(jù)此指導隧道的進洞及洞內(nèi)開挖，稱為進洞關係計算。進洞關係計算和進洞測量的主要任務1.確定隧道中線與平面控制網(wǎng)之間的關係；2.在洞內(nèi)控制建立之前，指導中線進洞和洞內(nèi)開挖。隧道進洞測設的主要方法——極座標法將隧道的中線控制樁納入洞外平面控制網(wǎng)，控制測量完成後，即可求得它們的精確座標。根據(jù)這些點的座標和洞口（或洞內(nèi)）中線點的座標，反算出極座標法的放樣數(shù)據(jù)，進而現(xiàn)場測設。ABCD§7-5隧道洞內(nèi)控制測量洞內(nèi)控制測量起始於兩端洞口處的洞外控制點，隨著隧道的開挖而向前延伸。因此，只能敷設成支線形式，其形狀完全取決於隧道的形狀；只能用重複觀測的方法進行檢核。一、洞內(nèi)平面控制測量洞內(nèi)平面控制通常有兩種形式，即中線形式和導線形式。中線形式就是以定測精度或稍高於定測精度，在洞內(nèi)按中線測量的方法測設隧道中線。這種方法只適用於短隧道。洞內(nèi)導線主要有以下幾種形式：1.單導線2.導線環(huán)3.主副導線環(huán)4.交叉導線5.旁點導線洞內(nèi)導線應注意的問題導線點應儘量佈設在施工干擾小、通視良好、地層穩(wěn)固的地方；點間視線應離開洞內(nèi)設施0.2m以上；導線的邊長在直線地段不宜短於200m，在曲線地段不宜短於70m，並儘量選擇長邊和接近等邊；導線點應埋於坑道底板面以下10~20cm，上面蓋鐵板以保護樁面及標誌中心不受損壞，為便於尋找，應在邊牆上用紅油漆預以標注；採用雙照準法測角，測回間要重新對中儀器和覘標，以減小對中誤差和對點誤差的影響；由洞外引向洞內(nèi)的測角工作，宜在夜晚或陰天進行，以減小折光差的影響；洞內(nèi)導線應重複觀測，定期檢查；設立新點前必須檢查與之相關的既有導線點，在對既有導線點確認的基礎上測量新點;應構成多邊形閉合導線或主副導線環(huán)；當有平行導坑時，應利用橫向通道，使平行導坑的單導線與正洞的導線聯(lián)測，以資檢核。二、洞內(nèi)高程控制測量洞內(nèi)高程控制測量的目的，是由洞口高程控制點向洞內(nèi)傳遞高程，即測定洞內(nèi)各高程控制點的高程，做為洞內(nèi)施工高程放樣的依據(jù)。洞內(nèi)應每隔200~500m設立一對高程控制點。高程控制點可選在導線點上，也可根據(jù)情況埋設在隧道的頂板、底板或邊牆上。當採用水準測量時，應進行往返觀測；採用光電測距三角高程測量時，應進行對向觀測;三等及以上的高程控制測量應採用水準測量，四、五等可採用水準測量或光電測距三角高程測量;高程導線宜構成閉合環(huán)。洞內(nèi)高程控制測量採用水準測量時，除採用常規(guī)的方法外，有時為避免施工干擾還採用倒尺法傳遞高程。

應用倒尺法傳遞高程時，規(guī)定倒尺的讀數(shù)為負值，則高差的計算與常規(guī)水準測量方法相同：

hAB=a-b

計算檢核：控制網(wǎng)平差

完成控制網(wǎng)測量的外業(yè)工作後要進行內(nèi)業(yè)計算，內(nèi)業(yè)計算分為概算、平差計算和編制控制點成果表。本章重點介紹獨立三角網(wǎng)的條件平差方法。第一節(jié)測量平差的數(shù)學模型

一、必要觀測與多余觀測

在測量工作中，最常見的問題是要確定某些幾何量的大小。由各種幾何量構成的模型（測量中就是各種控制網(wǎng)）就是幾何模型。為了確定一個幾何模型，並不需要知道該模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素，其他元素可以通過已知的元素確定。能夠唯一地確定一個幾何模型所必要的元素，稱必要元素；確定必要元素的觀測稱為必要觀測。必要元素的個數(shù)用t表示。為了確定一個幾何模型就必須進行觀測。如果觀測個數(shù)n少於必要元素的個數(shù)，即n＜t，顯然無法確定該模型，出現(xiàn)了數(shù)據(jù)不足的情況；若觀測了t個獨立量，n=t，則可唯一地確定該模型。在這種情況下，如果觀測結果中含有錯誤，將無法發(fā)現(xiàn)。為了能及時發(fā)現(xiàn)錯誤，並提高測量成果的精度，就必須使n＞t，即必須進行多餘觀測。多餘觀測的個數(shù)在測量中又稱“自由度”。令

r=n–t

顯然，r就是多餘觀測數(shù)。例如:為確定三角形ABC，只需要3個必要觀測，它們可以是：S1,a,b或：S1,a,c或：S1,S2,b或：S1,S2,S3……

CcS2S3ba

BS1

A如果觀測了所有六個元素，則有3個多餘觀測二、平差的數(shù)學模型

測量中是通過觀測來確定控制網(wǎng)中的某些幾何量，因而考慮的模型總是數(shù)學模型。因為觀測量是一種隨機變數(shù)，所以平差的數(shù)學模型應同時包含函數(shù)模型和隨機模型。函數(shù)模型和隨機模型總稱為數(shù)學模型。函數(shù)模型是由描述觀測量和待求量間的函數(shù)關係的模型，隨機模型是描述觀測量及其相互間統(tǒng)計相關性質(zhì)的模型。建立這兩種模型是測量平差中最基本而首先考慮的問題。測量平差通常是基於線性函數(shù)模型的，當函數(shù)模型為非線性形式時，是將其用泰勒公式展開，並取其一次項化為線性形式。對於一個實際平差問題，可建立不同形式的函數(shù)模型，相應地就有不同的平差方法。測量中常見的控制網(wǎng)平差方法有條件平差和間接平差兩種。

1、條件平差法

以觀測量之間必須滿足一定的條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。例如：為了確定B、C、D三點的高程，其必要觀測數(shù)t=3，實際觀測了6段高差,故多餘觀測數(shù)r=n–t=3，應列出3個線性無關條件方程.h1ABh2Ch3h4h5h6D

這個水準網(wǎng)可以列出7個條件方程,其中只有3個是相互獨立的,我們?nèi)。菏街校罕硎居^測量hi

的平差值。這就是用平差值表達的條件方程。（a）由於平差值應該等於觀測值與其改正數(shù)之和，即：代入(a)式得：其中：(b)令：V=(v1

v2

v3

v4

v5

v6)T則條件方程可表達為以下矩陣形式：

AV+W=0（c）這就是條件平差函數(shù)模型的一般形式。條件方程AV+W=0中，

A－為r

n階矩陣，稱為係數(shù)矩陣；

V－為n

1列陣，稱為改正數(shù)向量；

W－為r

1列陣，稱為閉合差向量。

2、間接平差法一個幾何模型中，只會有t個獨立量，如果平差時就以這t個獨立量為參數(shù)，模型中的所有量都一定是這t個獨立參數(shù)的函數(shù)，亦即每個觀測量都可表達成所選t個獨立參數(shù)的函數(shù)。選擇幾何模型中t個獨立量為平差參數(shù)，將每一個觀測量表達成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出n個這種函數(shù)關係式，以此為平差的函數(shù)模型，稱為間接平差法，又稱參數(shù)平差法。例如：△ABC中，觀測量為其中的三個內(nèi)角，選定∠A和∠B為平差參數(shù)，設為X1和X2，將每一個觀測量均表達為這兩個平差參數(shù)的函數(shù)，構成數(shù)學模型:C

L3X1X2L1L2AB則間接平差的函數(shù)模型可用以下矩陣形式表達：

L+V=BX+d或：V=BX–l此式稱為間接平差誤差方程。式中，L為觀測值向量（n

1

階）；

V為改正數(shù)向量（n

1

階）；

B為係數(shù)矩陣（n

t

階）；

X為未知數(shù)向量（t

1

階）；

l=L–d為常數(shù)矩陣（n

1

階）。第二節(jié)條件平差原理

條件方程AV+W=0中，

A為r

n階矩陣，

V為n

1列陣，即有r個方程，n個未知數(shù),且r<n，這樣的方程組有無窮多組解。然而，根據(jù)最小二乘準則，觀測量的最或然值應該滿足VTPV=min。在AV+W=0的條件下確定VTPV的最小值，這在數(shù)學中是求函數(shù)Ф=VTPV的條件極值問題。條件平差，實際上是確定條件方程滿足VTPV=min的唯一解。

根據(jù)計算函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘數(shù)法則組成新函數(shù)：

Ф=VTPV－2KT（AV+W)

其中：K=（k1,k2，…，kr

)T

是拉格朗日乘數(shù)，測量平差中稱之為聯(lián)繫數(shù)向量。顯然，只要令Ф對V的一階導數(shù)等於零就可以求出VTPV的極值。矩陣求導的兩個公式：(1)設C為常數(shù)陣，X為列陣，則(2)設Y、Z均為列陣，則：一、改正數(shù)方程令其等於零，注意到(PV)T=VTP，從而有：

VTP=KTA轉(zhuǎn)置後左乘P–1得：

V=P–1ATK(1)該公式表達了改正數(shù)V與聯(lián)繫數(shù)K的關係。函數(shù)Ф=VTPV－2KT(AV+W)對V求導：二、法方程式將（1）式代入條件方程AV+W=0中得：

AP–1ATK+W=0（2）這就是條件平差的法方程式。式中，P為觀測值的權矩陣，設第i個觀測值的權為pi,則顯然P是一個對角陣，其逆存在，且：三、法方程的解

令N=AP–1AT

（3）則法方程式的形式為

NK+W=0

其中N稱為法方程式係數(shù)矩陣，是一個滿秩二次型方陣，其逆存在。從而可解出聯(lián)繫數(shù)向量：

K=－N–1W

（4）四、條件平差的一般過程（1）列出條件方程AV+W=0（2）組成法方程係數(shù)矩陣N=AP–1AT

（3）解法方程得到聯(lián)繫數(shù)K=－N–1W

（4）計算改正數(shù)V=P–1ATK（5）計算平差值（6）精度評定上一講內(nèi)容回顧條件平差函數(shù)模型的一般形式：

AV+W=0

條件平差的法方程式

AP–1ATK+W=0

或NK+W=0法方程的解K=－N–1W改正數(shù)V=P–1ATK?

條件平差的一般過程（1）列出條件方程AV+W=0（2）組成法方程係數(shù)矩陣N=AP–1AT

（3）解法方程得到聯(lián)繫數(shù)K=－N–1W

（4）計算改正數(shù)V=P–1ATK（5）計算平差值（6）精度評定（計算單位權方差、觀測值中誤差、平差值函數(shù)的中誤差等）第三節(jié)獨立三角網(wǎng)條件平差

根據(jù)三角網(wǎng)中起算數(shù)據(jù)的多少，三角網(wǎng)有獨立三角網(wǎng)（網(wǎng)中僅有必要的起算數(shù)據(jù)）和非獨立三角網(wǎng)（網(wǎng)中具有多餘的起算數(shù)據(jù)）之分。三角網(wǎng)平差有按角度平差和按方向平差兩種方法。本節(jié)討論獨立三角網(wǎng)按角度進行條件平差時，條件方程式列立、法方程式組成和解算的詳細步驟和方法。一、圖形條件

圖形條件通常是指平差後三角形內(nèi)角應滿足的幾何條件，所以也稱為三角形閉合條件。

條件平差時，關鍵是列出條件方程。獨立三角網(wǎng)的觀測量主要是三角形的內(nèi)角，這些角在幾何上應該滿足一定的條件，這些條件就是列立條件方程的基礎。

根據(jù)幾何條件的不同，獨立三角網(wǎng)的條件方程分為圖形條件、圓周角條件、極條件、基線條件四種類型。1.平差值表達的圖形條件對於有n個三角形組成的中點多邊形(a)或三角鎖(b)，可以列出n個圖形條件：（i=1，2，…，n）

a1cianbnb1

c1

ciaibiaibicn

(a)(b)對於大地四邊形，

可以列出7個圖形條件，但是只有3個是相互獨立的，其餘幾個可以由這3個方程推導出來：a3

b3

b2

a4

a2b4b1

a12.改正數(shù)表達的圖形條件

代入用平差值表達的條件方程，整理後可得平差值、觀測值、改正數(shù)三者的關係為：（1）中點多邊形和三角鎖：vai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+

bi+ci-180o

（2）大地四邊形：va1+vb1+va2+

vb2+w1=0;va2+vb2+va3+

vb3+w2=0;va3+vb3+va4+

vb4+w3=0;w1=a1+

b1

+a2

+b2-180ow2=a2+

b2

+a3

+b3-180ow3=a3+

b3

+a4

+b4-180oa3

b3

b2

a4

a2b4b1

a13.圖形條件閉合差的限差

設角度觀測中誤差為m，應用誤差傳播定律可得三角形閉合差w的中誤差為取閉合差中誤差的兩倍作為閉合差的限值，即同理，n個角的圖形條件閉合差的限值為二、圓周角條件

在中點多邊形中，儘管所有三角形的圖形條件都滿足，但在中心點處，仍然可能出現(xiàn)各角度值之和不等於360°的現(xiàn)象，平差時除了要滿足三角形閉合條件外，還必須使中心點處的角度滿足下列條件：

a1

b1

c1

ciaibi

用改正數(shù)表達的圓周角條件為：其中，wo稱為圓周角條件閉合差。式中，m為角度觀測中誤差；

n為圓周角的個數(shù)。；對wo應用誤差傳播定律，並以2倍中誤差作為限差，則圓周角閉合差的限差為：三、極條件

以中點多邊形為例，若從OA邊出發(fā)，依次解算三角形①、②、…，最後解算出的OA邊長應與出發(fā)邊OA相等。即：A

a1

①?EBb1

c1Oa2

②

c2

cib2

?aibiCD1.平差值形式的極條件方程

依次解算的三角形有共同頂點O，這個共同頂點O成為極點，故這種條件稱為極條件。將上述公式中的平差值用觀測值加改正數(shù)的形式表達，則有：即：2.改正數(shù)形式的極條件方程

上述方程按臺勞級數(shù)展開取至改正數(shù)的一次項使其線性化：令δai=ctgai

,δbi=ctgbi

稱為極條件閉合差。則上式可化簡為：Σδaivai–Σδbivbi+ws=0

其中：3.極條件閉合差的限差對極條件閉合差的運算式應用誤差傳播定律得：mwo2=δa12

ma12+δa22

ma22+…+δbn2

mbn2由於通常各三角形內(nèi)角是等精度觀測，即mai=

mbi=m,

以2倍中誤差為閉合差的限差，從而得到極條件閉合差的限差為：

四、基線條件

對於有兩條基線的三角網(wǎng)，其角度觀測值平差後應滿足：兩條基線經(jīng)三角形邊長傳算後相等。例如以下三角鎖中，B1、B2為兩條基線，由B1經(jīng)三角形①、②、…、?傳算到B2後，應該與B2相等。這個條件稱為基線條件。

c1cianbnB1

①②?B2a1

b1aibicn

1.平差值表達的基線條件方程

根據(jù)正弦定理，上述三角鎖中，仿照極條件的推導過程，基線B1，B2與傳距角ai，bi的平差值應該滿足：2.改正數(shù)表達的基線條件方程

上式中的平差值用觀測值加改正數(shù)的形式表達並移項後得：線性化後令δai=ctgai

,δbi=ctgbi，則有：Σδaivai–Σδbivbi+wB=03.基線條件閉合差的限差

稱為基線條件閉合差。應用誤差傳播定律可計算其中誤差，取2倍中誤差為限差可得：五、典型三角網(wǎng)的條件方程

設獨立三角網(wǎng)中觀測值個數(shù)為n，三角點的總數(shù)為N，其中要有2個是已知座標的點，未知點個數(shù)為（N-2），每個未知點需要2個必要觀測以確定其x，y座標，則必要觀測的個數(shù)為

t=2(N-2),獨立的條件方程數(shù)目為：

r=n-t

其中大地四邊形和中點多邊形要有1個極條件。網(wǎng)中每增加

1條已知邊，應增加1個基線條件。條件方程的數(shù)目：1.三角鎖條件方程的個數(shù)：

c1cianbnB1

①②?B2a1

b1aibicn

第一個三角形有3個點，每增加1個三角形增加1個點，n個三角形共有n+2個點，必要觀測個數(shù)是：t=2(n+2–2)=2n

；

共有3n個角度觀測值，2條基線，其中一條是起算邊長，因此條件方程的個數(shù)為：

r=3n-2n+1=n+1條件方程的種類：圖形條件n個：vai+vbi+vci+wi=0;

wi=ai+

bi+ci–180o(i=1,2,…,n)基線條件1個：Σδaivai–Σδbivbi+wB=02.大地四邊形

共有4個點，其中2個為起算點，2個未知點，應有4個必要觀測（t=4），共有8個觀測值(n=8)，條件方程的個數(shù)為：

r=n-t=4

a3

b3

b2

a4

a2b4b1

a1

B其中圖形條件3個：

va1+vb1+va2+

vb2+w1=0;

w1=a1+

b1

+a2

+b2–180o

va2+vb2+va3+

vb3+w2=0;

w2=a2+

b2

+a3

+b3–180o

va3+vb3+va4+

vb4+w3=0;

w3=a3+

b3

+a4

+b4–180o極條件1個:Σδaivai–Σδbivbi+ws=0

；其中：δai=ctgai,δbi=ctgbi3.中點多邊形條件方程的數(shù)目：

A

a1

①?

EBb1

c1Oa2

c2

②cib2

?aibiCDt=2(n+1–2)=2n–2共有n+1個點，必要觀測個數(shù)：觀測值個數(shù)3n；條件方程個數(shù)：r=3n–(2n–2)=n+2

條件方程的種類：圖形條件n個：vai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+

bi+ci–180o(i=1,2,…,n)圓周角條件1個：Σvci+wo=0；wo=Σci-360o極條件1個：Σδaivai–Σδbivbi+ws=0六、精度評定

在條件平差中，精度評定包括計算單位權方差和平差值函數(shù)的中誤差。其中，r為條件方程的個數(shù)，[pvv]=VTPV可以根據(jù)改正數(shù)向量V直接計算，也可以根據(jù)聯(lián)繫數(shù)向量K計算。1.單位權方差：由於

V=P-1ATK所以VTPV=KTAP-1PP-1ATK=KTNK式中，N為法方程係數(shù)矩陣。VTPV還可以用閉合差向量W進行計算。將V=P-1ATK代入VTPV

中得：VTPV=VTP（P-1ATK）=(AV)TK而由條件方程AV+W=0知：W=－AV

所以有：VTPV=－WTK

2.平差值函數(shù)的權倒數(shù)

我們知道，未知量x的中誤差的平方mx2與單位權中誤差的平方μ2成正比，與該量的權Px成反比，即：

同樣，對於平差值的函數(shù)，只要能夠確定它的權Px，根據(jù)單位權中誤差，就可以計算出該函數(shù)的中誤差。設有平差值函數(shù)為則平差值函數(shù)的權倒數(shù)公式為P

-1=fTP-1f-(AP-1f)TN-1AP-1f其中：P為觀測值的權矩陣；A為條件方程係數(shù)矩陣；N為法方程係數(shù)矩陣；f為列矩陣：可見，列出平差函數(shù)式後，只要求出f列陣的係數(shù)

即可由上式計算函數(shù)的權倒數(shù)。七、獨立三角網(wǎng)條件平差算例【例3-1】（p.49)

某一級小三角網(wǎng)如圖，知A點座標為(500.000，500.000)，AB邊座標方位角α=32°12’36”，長度S=872.562m，三角網(wǎng)角度觀測值如下表，計算各點座標。B

b1a2

Sc1c2Dc3a1b2b3a3AC列條件方程本題有2個未知點，需4個必要觀測，實際有9個觀測值，故應列出5個條件方程。其中3個圖形條件，1個圓周角條件，1個極條件。【解】：2.閉合差檢核

一級小三角網(wǎng)測角中誤差應不大於5”圖形條件閉合差檢核：|wi|max=1.6”<w限圓周角條件閉合差檢核：wO=-3.2”<wO限極條件閉合差檢核：3.列立條件方程

條件方程的矩陣形式為：AV+