高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過(guò) 專題23 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析）理試題

專題23等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（1）理解等比數(shù)列的概念.（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.一、等比數(shù)列1．等比數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比．注意：（1）等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不可能為0；（2）公比是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比，前后次序不能顛倒，且公比是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù).2．等比中項(xiàng)如果在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，此時(shí)．3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是．等比數(shù)列通項(xiàng)公式的變形：．4．等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項(xiàng)公式還可以改寫(xiě)為，當(dāng)且時(shí)，是指數(shù)函數(shù)，是指數(shù)型函數(shù)，因此數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象上一些孤立的點(diǎn)．當(dāng)或時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為擺動(dòng)數(shù)列，所有的奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)）同號(hào)，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號(hào)．二、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式為（1）當(dāng)公比時(shí)，因?yàn)?，所以是關(guān)于n的正比例函數(shù)，則數(shù)列的圖象是正比例函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)．（2）當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，即，設(shè)，則上式可寫(xiě)成的形式，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)．由此可見(jiàn)，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)與一個(gè)常數(shù)的和，且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)．三、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：（1）若，則；若，則．推廣：若，則．（2）若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列．（3）數(shù)列仍是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．（4）成等比數(shù)列，公比為．（5）連續(xù)相鄰項(xiàng)的和（或積）構(gòu)成公比為或的等比數(shù)列．（6）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（7）．（8）若項(xiàng)數(shù)為，則，若項(xiàng)數(shù)為，則．（9）當(dāng)時(shí)，連續(xù)項(xiàng)的和（如）仍組成等比數(shù)列（公比為，）．注意：這里連續(xù)m項(xiàng)的和均非零．考向一等比數(shù)列的判定與證明等比數(shù)列的判定與證明常用的方法：（1）定義法：為常數(shù)且數(shù)列是等比數(shù)列．（2）等比中項(xiàng)法：數(shù)列是等比數(shù)列．（3）通項(xiàng)公式法：數(shù)列是等比數(shù)列．（4）前項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列是等比數(shù)列．其中前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法一般用于選擇題、填空題中．注意：（1）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．（2）只滿足的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要.典例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有Sn=2an-3n,設(shè)bn=an+3.求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求an.1．已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an},a1=1,(an+an-1)(an-3an-1-2)=0(n≥2,n∈N*),證明：{an+1}是等比數(shù)列.考向二等比數(shù)列的基本運(yùn)算等比數(shù)列基本量的計(jì)算是解等比數(shù)列題型時(shí)的基礎(chǔ)方法，在高考中常有所體現(xiàn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題的第（1）問(wèn)中，屬基礎(chǔ)題.（1）等比數(shù)列的基本運(yùn)算方法：①等比數(shù)列由首項(xiàng)與公比確定，所有關(guān)于等比數(shù)列的計(jì)算和證明，都可圍繞與進(jìn)行．②對(duì)于等比數(shù)列問(wèn)題，一般給出兩個(gè)條件，就可以通過(guò)解方程(組)求出與，對(duì)于五個(gè)基本量，如果再給出第三個(gè)條件就可以“知三求二”．（2）基本量計(jì)算過(guò)程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法：①方程思想．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)系著五個(gè)基本量，“知三求二”是一類(lèi)最基本的運(yùn)算，通過(guò)列方程(組)求出關(guān)鍵量和q，問(wèn)題可迎刃而解．②分類(lèi)討論思想．等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，所以當(dāng)公比未知或是代數(shù)式時(shí)，要對(duì)公比分和進(jìn)行討論.此處是?？家族e(cuò)點(diǎn)，一定要引起重視．③整體思想．應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，常把，當(dāng)成整體求解.典例2已知是等比數(shù)列，且，，則等于A．B．24C．D．48【答案】B典例3設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則公比A．B．C．或D．或【答案】C【解析】，又解得或，選C.2．設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，若S2A．B．C．D．考向三求解等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和1．求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般先求出首項(xiàng)與公比，再利用求解．但在某些情況下，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的變形可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程．求解時(shí)通常會(huì)涉及等比數(shù)列的設(shè)項(xiàng)問(wèn)題，常用的設(shè)項(xiàng)方法為：（1）通項(xiàng)法．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求解；（2）對(duì)稱設(shè)元法：若所給等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為且各項(xiàng)符號(hào)相同，則這個(gè)數(shù)列可設(shè)為，…，，，，…，；若所給等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則這個(gè)數(shù)列可設(shè)為，…，，…，.2．當(dāng)時(shí)，若已知，則用求解較方便；若已知，則用求解較方便.3．（1）形如的遞推關(guān)系式，利用待定系數(shù)法可化為，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；由，兩式相減，得當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．（2）形如的遞推關(guān)系式，除利用待定系數(shù)法直接化歸為等比數(shù)列外，也可以兩邊同時(shí)除以，進(jìn)而化歸為等比數(shù)列．典例4已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，解得，那么，，所以，故選D.典例5已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.∴.3．在數(shù)列中，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．考向四等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解可使題目減少運(yùn)算量，題型以選擇題或填空題為主，難度不大，屬中低檔題，主要考查通項(xiàng)公式的變形、等比中項(xiàng)的應(yīng)用及前n項(xiàng)和公式的變形應(yīng)用等.注意：（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.典例6在等比數(shù)列中，是方程的根，則A．B．2C．1D．【答案】A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，故，故選A.典例7已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則_______．【答案】140方法2：根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，即，解得，所以．方法3：根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可知，，成等比數(shù)列，則，即，解得．4．已知為等比數(shù)列，，，則A．7B．5C．D．考向五數(shù)列的新定義問(wèn)題數(shù)列新定義問(wèn)題能充分考查對(duì)信息的閱讀、提取及轉(zhuǎn)化能力，綜合性強(qiáng)，難度較高，在實(shí)際問(wèn)題中往往需要對(duì)題目進(jìn)行閱讀，再借助定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可進(jìn)行求解．對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)先弄清問(wèn)題的本質(zhì)，然后根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)以及解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)常用的方法即可解決．典例8若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)．（1）證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為，求；（3）在（2）的條件下，記，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使成立的n的最小值．則（3）由（2）知，，又，即，即，又，所以，故使成立的n的最小值為．1．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，若，且，則數(shù)列的公比A．2或B．2C．D．-22．在等比數(shù)列中，，，，則項(xiàng)數(shù)為A．3B．4C．5D．63．各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為，則的值為A．4B．3C．2D．14．在等比數(shù)列中，已知，則的值為A． B．C． D．5．在等比數(shù)列{an}中,a1=4,公比q≠1,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列,則q等于A．2B．C．3D．6．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則A．B．C．D．7．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，此日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)此日行數(shù)里，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”，其意思為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，請(qǐng)問(wèn)第二天走了A．96里B．48里C．192里D．24里8．在等比數(shù)列中，若，且，則=A．B．C．D．69．若數(shù)列滿足，則__________．10．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________．11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．12．已知數(shù)列an}為等比數(shù)列，a1（1）求an（2）若數(shù)列bn}滿足bn1．（2017新課標(biāo)全國(guó)II理科）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞2．（2017江蘇）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知，則__________．3．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．變式拓展變式拓展1．【解析】因?yàn)?an+an-1)(an-3an-1-2)=0(n≥2,n∈N*),且an>0,所以an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),所以an+1=3(an-1+1)(n≥2),所以=3.又a1+1=2,故數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.2．【答案】B【解析】S4-S2=a3+a4=3a4-3a2，即3a解得a13．【解析】（1），所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，則．（2）因?yàn)?，所以?．【答案】C考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】B【解析】由等比數(shù)列的定義可得，即，解之得，故選B.2．【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式有，解得，故選C.3．【答案】B【解析】由等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為，得，又，故選B．4．【答案】B【解析】，，，，故選B．5．【答案】C【解析】由數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列可得S1+2,S2+2,S3+2成等比數(shù)列,則(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12,解得q=3(q=0舍去).6．【答案】C【解析】由，得，即數(shù)列為遞減數(shù)列，由得，故可得，即，，，故，故選C.7．【答案】A【解析】記每天走的路程里數(shù)為，易知是公比的等比數(shù)列，由題意知，故選A.8．【答案】A9．【答案】【解析】由題意得，所以，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2.由已知得，則，因此．10．【答案】50【解析】由題意知，所以，因此，因此.11．【解析】（1）∵，∴時(shí)，，即，解得；時(shí)，①，②，由①-②得，.∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.（2）由（1）知，