江西省南昌市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期調(diào)研檢測(cè)（期末）數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022級(jí)高一選課走班調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由條件用列舉法表示可得結(jié)論.【詳解】因，所以，故集合中元素的個(gè)數(shù)為3，故選：D.2.“”是“函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反函數(shù)圖象對(duì)稱性判斷的取值，結(jié)合充分、必要條件的定義得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)與互為反函數(shù)，故函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，充分性成立；若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則均可，必要性不成立；故“”是“函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的值求出的值.【詳解】由得，由得，若，則，解得，舍去；若，則，解得，符合題意；故選：C.4.若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征即可求解結(jié)論．【詳解】，在上單調(diào)遞減，且過第一，第四象限，圖像向左平移個(gè)單位，得到，故函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，故選：．5.方程在區(qū)間內(nèi)（）A.沒有解 B.有唯一的解 C.有兩個(gè)不相等的解 D.不確定【答案】B【解析】【分析】先得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合和領(lǐng)導(dǎo)存在性定理得到答案.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，由零點(diǎn)存在性定理可得在區(qū)間有唯一的解.故選：B6.已知，給出下列四個(gè)不等式：①；②；③；④其中不正確的不等式個(gè)數(shù)是（）．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷①②③④是否正確，即可得正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?duì)于①，由，則，故①不正確；對(duì)于②，由可得，故②不正確；對(duì)于③，由，知，，所以，故③正確；對(duì)于④，在上單調(diào)遞增，，所以，故④正確，所以③④正確，正確的有個(gè)，故選：C7.設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如:，．已知函數(shù)，若，，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分段討論的取值，計(jì)算的值域.【詳解】當(dāng)時(shí),，∴，當(dāng)時(shí),，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?故選:B.8.已知，，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，分別比較與，與的大小可得的大小.【詳解】，，所以，，所以，所以.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.某市有大、中、小型商店共1500家，且這三種類型的商店的數(shù)量之比為，現(xiàn)在要調(diào)查該市商店的每日零售額情況，從中隨機(jī)抽取60家商店，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.1500家商店是總體B.樣本容量為60C.大、中、小型商店分別抽取4、20、36家D.被抽取的60家商店的零售額情況是所抽取的一個(gè)樣本【答案】BCD【解析】【分析】A.利用總體的定義判斷；B.利用樣本容量的定義判斷；C.根據(jù)三種類型的商店的數(shù)量之比為求解判斷；D.由樣本的定義判斷.【詳解】A.1500家商店的每日零售額是總體，故錯(cuò)誤；B.從中隨機(jī)抽取60家商店，則樣本容量為60，故正確；C.因?yàn)槿N類型的商店的數(shù)量之比為，所以大、中、小型商店分別抽取4、20、36家，故正確；D.被抽取的60家商店的零售額情況是所抽取的一個(gè)樣本，故正確，故選：BCD10.已知，若“，使得”是假命題，則下列說法正確的是（）A.是R上的非奇非偶函數(shù)，最大值為1B.是R上的奇函數(shù)，無最值C.是R上的奇函數(shù)，m有最小值1D.是R上的偶函數(shù)，m有最小值【答案】BC【解析】【分析】先求得函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)的解析式可得與的關(guān)系，即可判斷奇偶性，將函數(shù)的解析式變形，求得函數(shù)的值域，從而得到的取值.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù).“，使得”是假命題，所以，使得恒成立.則只需.根據(jù)題意，函數(shù)，變形可得，即函數(shù)值域?yàn)?所以，即m有最小值1.故選：BC.11.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.m的取值范圍為 B.的取值范圍為C. D.最大值為1【答案】AC【解析】【分析】作出的大致圖象，根據(jù)圖象求出，，，的范圍即可判斷AB選項(xiàng)，由得到，的關(guān)系即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】函數(shù)圖象如圖所示：由圖可得，A正確；當(dāng)時(shí),,故，B錯(cuò)誤；又且，故,可得，C正確又可得，又，故等號(hào)不成立,即，D錯(cuò)誤,故選：AC.12.若m，，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得m,n關(guān)系，特值法判斷A選項(xiàng)，基本不等式求出B,C,D選項(xiàng).【詳解】，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)滿足，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則________．【答案】2【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求得，代入求解即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在，上的偶函數(shù)，所以，解得，所以，所以．故答案為：2．14.在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，5位學(xué)生的成績(jī)分別為：70，85，t，82，75，若他們的平均成績(jī)?yōu)?1，則他們成績(jī)的分位數(shù)為________．【答案】85【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可．【詳解】由題意知，解得，把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序記為：70，75，82，85，93，指數(shù)，這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為從小到大的順序的第四個(gè)數(shù)，因此，這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為85．故答案：85．15.現(xiàn)有A，B兩個(gè)網(wǎng)站對(duì)一家餐廳進(jìn)行好評(píng)率調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示好評(píng)率分別為和．若A，B兩個(gè)網(wǎng)站調(diào)查對(duì)象中給出好評(píng)的人數(shù)之比為，這家餐廳的總好評(píng)率大概是________%．（保留兩位有效數(shù)字）【答案】92【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合A，B兩個(gè)網(wǎng)站調(diào)查對(duì)象中給出好評(píng)的人數(shù)之比為3：4，即可求解.【詳解】A，B兩個(gè)網(wǎng)站調(diào)查對(duì)象中給出好評(píng)的人數(shù)之比為，則這家餐廳的總好評(píng)率大概是.故答案為：9216.要求方程的一個(gè)近似解，設(shè)初始區(qū)間為．根據(jù)下表，若精確度為0.02，則應(yīng)用二分法逐步最少取________次；若所求近似解所在的區(qū)間長(zhǎng)度為0.0625，則所求近似解的區(qū)間為________．左端點(diǎn)左端點(diǎn)函數(shù)值右端點(diǎn)右端點(diǎn)函數(shù)值0120.5120.50.750.093750.6250.750.093750.68750.750.093750.718750.750.093750.7343750.750.093750.7343750.74218750044219017【答案】①.6②.【解析】【分析】根據(jù)二分法區(qū)間長(zhǎng)度每次減半，求出滿足條件所取次數(shù)；結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷近似解所在的區(qū)間，直到區(qū)間長(zhǎng)度為0.0625【詳解】初始區(qū)間的長(zhǎng)度為1，第一次分割后區(qū)間長(zhǎng)度為0.5，第二次分割后區(qū)間長(zhǎng)度為0.25，第三次分割后區(qū)間長(zhǎng)度為0.125，第四次分割后區(qū)間長(zhǎng)度為0.0625，第五次分割后區(qū)間長(zhǎng)度為，第六次分割后區(qū)間長(zhǎng)度為，所以精確度為0.02時(shí)應(yīng)用二分法逐步最少取6次.令第一次分割后，故近似解的區(qū)間為，區(qū)間長(zhǎng)度為0.5；第二次分割后，故近似解的區(qū)間為，區(qū)間長(zhǎng)度為0.25；第三次分割后，故近似解的區(qū)間為，區(qū)間長(zhǎng)度為0.125；第四次分割后，故近似解的區(qū)間為，區(qū)間長(zhǎng)度為0.0625，滿足題意，故所求近似解所在的區(qū)間長(zhǎng)度為0.0625，則所求近似解的區(qū)間為故答案為：2；四．解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由，得到，再利用平方關(guān)系得到求解；（2）利用單調(diào)性的定義證明；【小問1詳解】解：若，則，所以，則，；【小問2詳解】在上任取，，且，則，因?yàn)?，所以，，故，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增．18.已知函數(shù)，．（1）集合，，若，求a的值；（2）集合，，若，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可求出，根據(jù)可得出是方程的一個(gè)根，進(jìn)而可求出的值；（2）根據(jù)可得出方程無解，從而得出△，然后解出的范圍即可．【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，，所以是的一個(gè)根，則，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，【小問2詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，則方程無解，即方程無解，所以，故．19.在不考慮空氣阻力的條件下，某飛行器的最大速度為v（單位：）和所攜帶的燃料的質(zhì)量M（單位kg）與飛行器（除燃料外）的質(zhì)量m（單位kg）的函數(shù)關(guān)系式近似滿足．當(dāng)攜帶的燃料的質(zhì)量和飛行器（除燃料外）的質(zhì)量相等時(shí)，v約等于，當(dāng)攜帶的燃料的質(zhì)量是飛行器（除燃料外）的質(zhì)量3倍時(shí)，v約等于．（1）求a，b的值；（2）問攜帶的燃料的質(zhì)量M（單位kg）與飛行器（除燃料外）的質(zhì)量m（單位kg）之比滿足什么條件時(shí)，該飛行器最大速度超過第二宇宙速度．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合和，得到，解出，再計(jì)算即可；（2）根據(jù)，化簡(jiǎn)整理得到，由此得到，即可得到答案．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解得，即，解得或（舍去），則；【小問2詳解】由，即，即，故，即攜帶的燃料的質(zhì)量與飛行器（除燃料外）的質(zhì)量之比超過63時(shí)，該飛行器最大速度不小于第二宇宙速度．20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)求解函數(shù)的解析式，并求解單調(diào)區(qū)間即可；（2）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出圖象求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)．故函數(shù)的解析式為當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；由奇函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為，；【小問2詳解】如圖：當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，；故．21.古人云“民以食為天”，某校為了了解學(xué)生食堂服務(wù)的整體情況，進(jìn)一步提高食堂的服務(wù)質(zhì)量，營(yíng)造和諧的就餐環(huán)境，使同學(xué)們能夠獲得更好的飲食服務(wù)為此做了一次全校的問卷調(diào)查，問卷所涉及的問題均量化成對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)（滿分100分），從所有答卷中隨機(jī)抽取100份分?jǐn)?shù)作為樣本，將樣本的分?jǐn)?shù)（成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，得到如圖所示的頻數(shù)分布表．樣本分?jǐn)?shù)段頻數(shù)51020a2510（1）求頻數(shù)分布表中a的值，并求樣本成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）已知落在的分?jǐn)?shù)的平均值為56，方差是7；落在的分?jǐn)?shù)的平均值為65，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差．【答案】（1），中位數(shù)為75，平均數(shù)為74（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求，根據(jù)中位數(shù)和平均值的定義即可求；（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的定義即可求解【小問1詳解】由，解得：，由，所以，由成績(jī)?cè)诘念l率為0.3，所以中位數(shù)為，．【小問2詳解】由表可知，分?jǐn)?shù)在的市民人數(shù)為10人，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為20人，故，．所以兩組市民成績(jī)的總平均數(shù)是62，總方差是23．22.已知函數(shù)．（1）分析的最值情況；（2）若函數(shù)在區(qū)間上，恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解