廣東省揭陽市普通高中2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

揭陽市2023年普通高中高三級(jí)教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)本試題共4頁，考試時(shí)間120分鐘，總分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)A，由補(bǔ)集求得B，即可進(jìn)行交集運(yùn)算.【詳解】由，得或.又，所以，故選：B.2.已知，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根.若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理求出，再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】法一：由，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，得，所以，所以.法二：由，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，得，所以，所以.故選：C.3.已知，為單位向量，向量滿足.若與的夾角為60°，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由數(shù)量積運(yùn)算公式及代入求解即可.【詳解】由，得，所以，所以.故選：B.4.已知，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，取可判斷A，C；根據(jù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，可判斷B；根據(jù)冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增可判斷D.詳解】由，得，取，則，選項(xiàng)A不正確；因?yàn)椋捎诤瘮?shù)在R上單調(diào)遞減，故，選項(xiàng)B不正確；因?yàn)?，取，，選項(xiàng)C不正確；由于冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D正確.故選：D.5.一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，且該圓錐內(nèi)部最大的球的表面積為.若該圓錐的軸截面的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出內(nèi)切球的半徑，依題意可得圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心是同一個(gè)點(diǎn)，且球的半徑為該等邊三角形外接圓的半徑，設(shè)球的半徑為，則，最后根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】解：設(shè)該圓錐內(nèi)切球的半徑為，則，所以.因?yàn)樵搱A錐的軸截面是等邊三角形，所以其內(nèi)切球和外接球的球心是同一個(gè)點(diǎn)，即該等邊三角形的中心，則球的半徑為該等邊三角形外接圓的半徑，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積為.故選：D.6.已知，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的范圍判斷的符號(hào)，再由展開計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，所以，故選：B.7.已知甲、乙兩個(gè)家庭排成一列測(cè)核酸，甲家庭是一對(duì)夫妻帶1個(gè)小孩，乙家庭是一對(duì)夫妻帶2個(gè)小孩.現(xiàn)要求2位父親位于隊(duì)伍的兩端，3個(gè)小孩要排在一起，則不同的排隊(duì)方式的種數(shù)為（）A.288 B.144 C.72 D.36【答案】C【解析】【分析】方法1：運(yùn)用捆綁法及分步乘法計(jì)算即可.分步排隊(duì)方法：2位父親排隊(duì)2位母親排隊(duì)3個(gè)小孩“捆綁”內(nèi)部排隊(duì)在父親母親產(chǎn)生的3個(gè)空中選一個(gè)空將3個(gè)小孩放進(jìn)去.方法2：運(yùn)用捆綁法及分步乘法計(jì)算即可.分步排隊(duì)方法：2位父親排隊(duì)3個(gè)小孩“捆綁”與2位母親排隊(duì)3個(gè)小孩“捆綁”內(nèi)部排隊(duì).【詳解】方法1：2位父親的排隊(duì)方式種數(shù)為，2位母親的排隊(duì)方式種數(shù)為，3個(gè)小孩的排隊(duì)方式種數(shù)為，將3個(gè)小孩當(dāng)成一個(gè)整體，放進(jìn)父母的中間共有種排隊(duì)方式，所以不同的排隊(duì)方式種數(shù)為.方法2：2位父親的排隊(duì)方式種數(shù)為，將3個(gè)小孩當(dāng)成一個(gè)整體與2位母親的排隊(duì)方式種數(shù)為，3個(gè)小孩的排隊(duì)方式種數(shù)為，所以不同的排隊(duì)方式種數(shù)為.故選：C.8.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，P是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，且，Q是線段BC上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P固定時(shí)，點(diǎn)Q將運(yùn)動(dòng)到使取到最小值時(shí)的位置；當(dāng)點(diǎn)Q固定時(shí)，點(diǎn)P將運(yùn)動(dòng)到使取到最大值時(shí)的位置.當(dāng)某一時(shí)刻，點(diǎn)P，Q都不再運(yùn)動(dòng)，且滿足上述條件時(shí)，則（）A. B. C.2 D.不存在【答案】A【解析】【分析】由題意點(diǎn)P，Q都不再運(yùn)動(dòng)，且滿足已知條件時(shí)，為的中點(diǎn)，且，則為的中點(diǎn)，連接交于，求出，即可得解.【詳解】當(dāng)點(diǎn)P固定時(shí)，點(diǎn)Q將運(yùn)動(dòng)到使取到最小值時(shí)的位置，此時(shí)，，則要使當(dāng)點(diǎn)P，Q都不再運(yùn)動(dòng)，且滿足題中兩個(gè)條件時(shí)，，且點(diǎn)離最遠(yuǎn)，則為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，連接交于，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，為的中點(diǎn)，又因，為的中點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.平面 B.平面C.點(diǎn)D到平面的距離為 D.與平面所成角的正弦值為【答案】ABC【解析】【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，用向量法根據(jù)線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理判斷A、B正確，根據(jù)空間向量法求取面的法向量，求得點(diǎn)D到平面的距離為，故C正確，求得與平面所成角的正弦值為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，連接BD，交AC于O，連接，則，，，，，，，，所以，，，，，.由，得.又平面，平面，所以平面，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所?又，所以.因?yàn)?，，平面，所以平面，故選項(xiàng)B正確；易知是平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)D到平面的距離為.又，所以點(diǎn)D到平面的距離為，故選項(xiàng)C正確，與平面所成角的正弦值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故答案選ABC.10.2022年前三個(gè)季度全國(guó)居民人均可支配收入27650元，比2021年同期增長(zhǎng)了約5.3%，圖①為2021年與2022年前三季度全國(guó)及分城鄉(xiāng)居民人均可支配收入的對(duì)比圖；圖②為2022年前三季度全國(guó)居民人均消費(fèi)支出及構(gòu)成（其中全國(guó)居民人均可支配收入=城鎮(zhèn)居民人均可支配收入×城鎮(zhèn)人口比重+農(nóng)村居民人均可支配收入×農(nóng)村人口比重），則下列說法正確的是（）A.2022年前三個(gè)季度全國(guó)居民可支配收入的中位數(shù)一定高于2021年同期全國(guó)居民可支配收入的中位數(shù)B.2022年城鎮(zhèn)居民人數(shù)多于農(nóng)村居民人數(shù)C.2022年前三個(gè)季度全國(guó)居民在食品煙酒以及居住方面的人均消費(fèi)超過了總消費(fèi)的50%D.2022年前三個(gè)季度全國(guó)居民在教育文化娛樂方面的人均消費(fèi)支出超過了3700元【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圖中所給的信息對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，圖中信息體現(xiàn)的是平均數(shù)的差別，沒有提供中位數(shù)的信息，不能作出判斷，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)2022年城鎮(zhèn)居民占全國(guó)居民的比重為x，則有，解得，故選項(xiàng)B正確；2022年前三個(gè)季度全國(guó)居民在食品煙酒以及居住方面的人均消費(fèi)支出占總消費(fèi)的比例分別為30%，24%，故選項(xiàng)C正確；2022年前三個(gè)季度全國(guó)居民在教育文化娛樂方面的人均消費(fèi)支出為（元），且，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，直線與C的另一條漸近線在第四象限交于點(diǎn)A，則下列結(jié)論正確的是（）A.C的離心率為2B.若，則C的方程為C.若，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為D.若，則C的焦距為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，由漸近線過點(diǎn)P建立齊次式求得離心率；對(duì)BC，由得點(diǎn)P在圓上，從而，其它參數(shù)及的面積依次可求；對(duì)D，由向量數(shù)乘及漸近線方程建立方程組可解得ｃ.【詳解】對(duì)A，雙曲線C的漸近線方程為，因?yàn)镃的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓上，所以.又離心率，所以，則，所以C的方程為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C，由Ｂ得，的面積為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)，，由，得，所以，，代入漸近線方程，得，解得，所以C的焦距為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，且存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，分別作出與的圖象，轉(zhuǎn)動(dòng)直線使得滿足的整數(shù)解是唯一的，觀察直線的斜率滿足的條件即可.【詳解】令，得.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.如圖，分別作出函數(shù)與的圖象，其中直線恒過定點(diǎn).由圖可知，，，存在唯一的整數(shù)，使得，則需，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是，其中，，而，，故選：AC.【點(diǎn)睛】參數(shù)分離法解不等式恒成立問題:(1)參數(shù)完全分離法:將參數(shù)完全分離到不等式的一端，只需求另一端函數(shù)的最值即可，這種方法的好處是分離后函數(shù)不含參數(shù)，易求最值.(2)參數(shù)半分離法:將原不等式分成兩個(gè)函數(shù)，其中一個(gè)函數(shù)為含參的簡(jiǎn)單函數(shù)，如一次函數(shù)，可以通過圖象的變化尋求滿足的條件.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本量代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)滿足①；②在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件①②的函數(shù)的表達(dá)式______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】取，則，滿足①；因?yàn)樗栽诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，滿足②，故符合條件①②的函數(shù)的表達(dá)式可以為.故答案為：（答案不唯一）.15.如圖，一臺(tái)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流是正弦式電流，即電壓U（單位：V）和時(shí)間t（單位：s）滿足.在一個(gè)周期內(nèi)，電壓的絕對(duì)值超過的時(shí)間為______.（答案用分?jǐn)?shù)表示）.【答案】s【解析】【分析】由圖象求出函數(shù)解析式，然后求得的解，結(jié)合圖象可得．【詳解】由已知，，，.在區(qū)間內(nèi)，令，或，可得，；同理令，可得，.綜上，電壓的絕對(duì)值超過的時(shí)間為（s）.故答案為：s．16.已知橢圓E：（），F(xiàn)是E的左焦點(diǎn)，過E的上頂點(diǎn)A作AF的垂線交E于點(diǎn)B.若直線AB的斜率為，的面積為，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)C，并作出圖，根據(jù)，直線AB的斜率為，得到，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到，，從而設(shè)直線的方程：，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程解得的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積為，即可求解.【詳解】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)C，如圖所示：由題意知：，直線AB的斜率為，即，所以，.由橢圓的性質(zhì)知：，，則，所以，，則，故直線AB的方程為.聯(lián)立，解得：或，所以，故，則，解得：.又，所以，即，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，可構(gòu)造，利用常數(shù)列求解，也可根據(jù)，利用累加法求解；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】由題意得，法一：因?yàn)椋?，所以是常?shù)列，所以，故.法二：當(dāng)時(shí)，，，，，等式兩邊分別相加，得，所以.當(dāng)時(shí)，也符合上式，故.【小問2詳解】因?yàn)?，所?18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn).（1）求A；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角及展開代入計(jì)算即可.（2）聯(lián)立兩邊平方后的式子與所得的式子解方程組可得bc的值，再代入三角形面積公式可得結(jié)果.【小問1詳解】由及正弦定理得：.由，得.所以.因?yàn)?，所以，則.又，所以；【小問2詳解】∵點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，∴，∴，又∵，，∴，即.①又∵在△ABC中，，，，∴，②∴由①②得：，∴△ABC的面積.19.如圖①，在中，，，，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，并連接PB，PC，得到四棱錐，如圖②，設(shè)平面平面（1）證明：平面PBD；（2）若點(diǎn)B到平面PDE的距離為，求平面PEC與平面PBD夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由線面垂直判定定理證得平面PBD，再運(yùn)用線面平行的判定定理證得平面PBC，再運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理證得，進(jìn)而證得結(jié)果.（2）過點(diǎn)B作，由面面垂直的性質(zhì)證得平面PDE，進(jìn)而求得，取BD的中點(diǎn)O，連接OP，再由線面垂直的性質(zhì)證得，進(jìn)而由線面垂直的判定定理證得平面BCED，則以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，分別計(jì)算平面PEC與平面PBD的法向量，代入面面夾角的計(jì)算公式即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?因?yàn)镈，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，所以，所以，.又BD，平面PBD，，所以平面PBD.因?yàn)椋矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC.又平面PDE，平面平面，所以，所以平面PBD.【小問2詳解】如圖，過點(diǎn)B作，垂足為F.由（1）知平面平面PBD，又平面平面，平面，所以平面PDE，所以點(diǎn)B到平面PDE的距離即為BF的長(zhǎng)，即.在中，，所以.又，所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.取BD的中點(diǎn)O，連接OP，則，.由（1）知，平面PBD，又平面PBD，所以.又，BD，平面BCED，所以平面BCED.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DE所在直線分別為x軸、y軸，且以過點(diǎn)D與OP平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，.設(shè)平面PEC的法向量為，則令，得，，所以是平面PEC的一個(gè)法向量.又是平面PBD的一個(gè)法向量，所以，所以平面PEC與平面PBD夾角的余弦值為.20.《奪冠》這部影片講述的是中國(guó)女排從1981年首奪世界冠軍到2016年里約奧運(yùn)會(huì)生死攸關(guān)的中巴大戰(zhàn)，詮釋了幾代女排人歷經(jīng)浮沉卻始終不屈不撓、不斷拼搏的傳奇經(jīng)歷.現(xiàn)代排球賽為5局3勝制，每局25分，決勝局15分.前4局比賽中，一隊(duì)只有贏得至少25分，并領(lǐng)先對(duì)方2分時(shí)，才勝1局.在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對(duì)方2分的一方獲勝.在一個(gè)回合中，贏的球隊(duì)獲得1分，輸?shù)那蜿?duì)不得分，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方.經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩支球隊(duì)在每一個(gè)回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為；當(dāng)乙隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為.（1）假設(shè)在第1局比賽開始之初，甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)，求甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；（2）當(dāng)兩支球隊(duì)比拼到第5局時(shí)，兩支球隊(duì)至少要進(jìn)行15個(gè)回合，設(shè)甲隊(duì)在第i個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為.假設(shè)在第5局由乙隊(duì)先開球，求在第15個(gè)回合中甲隊(duì)開球的概率，并判斷在此回合中甲、乙兩隊(duì)開球的概率的大小.【答案】（1）（2），甲隊(duì)開球的概率大于乙隊(duì)開球的概率【解析】【分析】（1）在前3個(gè)回合中甲隊(duì)恰好獲得2分對(duì)應(yīng)的勝負(fù)情況為：勝勝負(fù)；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝共3種情況，求三種情況的概率之和即可.（2）由與的關(guān)系式求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得，比較與即可.【小問1詳解】在前3個(gè)回合中甲隊(duì)恰好獲得2分對(duì)應(yīng)的勝負(fù)情況為：勝勝負(fù)；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝共3種情況，對(duì)應(yīng)的概率分別記為：、、，；；，所以甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率.【小問2詳解】由全概率公式可得，，即.易知，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故.又因?yàn)?，所?而在每一個(gè)回合中，甲、乙兩隊(duì)開球的概率之和為1，從而可得在此回合中甲隊(duì)開球的概率大于乙隊(duì)開球的概率.21.已知F是拋物線E：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與E交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2.（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線與E交于C，D兩點(diǎn)，且.當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由拋物線的通徑代入三角形的面積公式計(jì)算可得結(jié)果.（2）聯(lián)立直線l的方程與拋物線方程，由韋達(dá)定理及拋物線定義得，同理可得，進(jìn)而得，由拋物線的定義可得，進(jìn)而得，代入計(jì)算可得結(jié)