遼寧省丹東市2022-2023學年高三上學期期末數(shù)學試題（含解析）

丹東市2022~2023學年度上學期期末教學質量監(jiān)測高三數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，，則中元素個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】由交、并，補集的定義即可得出答案.【詳解】因為集合，，所以，，所以.故的元素個數(shù)為：3個.故選：A.2已知，則正實數(shù)（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法和，以及復數(shù)的求模公式即可求解.【詳解】,所以，所以正實數(shù)，故選：D.3.設命題命題則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】判斷p，q間關系可得答案.【詳解】當，則，故p是q的充分條件；當，則可令，不能得到，則p不是q的必要條件.則p是q的充分不必要條件.故選：A4.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象函數(shù)式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象的伸縮變換，若將圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋秳t可得到即可得出結論.【詳解】由三角函數(shù)圖象的伸縮變換可知，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，可以得到.故選：D5.已知等比數(shù)列的前三項和84，，則（）A.3 B.6 C.12 D.24【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項與前項和公式結合已知得出其首項與公比，即可得出答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，等比數(shù)列的前三項和84，則當時，，不滿足題意，當時，，，則，令，即，解得，則，則，故選：B6.從三個班級，每班隨機選派兩名學生為代表，這六名同學被隨機安排在一個圓桌會議室進行“深度學習與復習”座談，會議室的圓桌正有好有六個座位，則同一班級的兩名同學恰好被安排在一起相鄰而坐的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】個元素圓桌環(huán)形排列的所有情況為，將需要相鄰的元素捆綁，環(huán)形排列，還要注意捆綁的兩個元素內部也有順序.【詳解】由題意可知，所有的情況數(shù)是種，同一班級的兩名同學恰好排在一起相鄰而坐的情況數(shù)為：首先三個班的兩名同學捆綁，形成新的三個元素，環(huán)排共有種，又每個班兩名同學可以排序，則有種，同一班級的兩名同學恰好被安排在一起相鄰而坐的概率為.故選：C7.設函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C.的圖象關于點中心對稱 D.的圖象關于直線軸對稱【答案】C【解析】【分析】對于選項AB：根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義對其判斷；對于選項CD：根據(jù)函數(shù)中心對稱或軸對稱定義對其判斷.【詳解】對于選項A：，則不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：，則不是偶函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：，故的圖象關于點中心對稱，故C正確；對于選項D：，則的圖象不關于直線軸對稱，故D錯誤；故選：C.8.已知，為雙曲線的兩個焦點，以為直徑的圓與C及C的漸近線在第一象限的交點分別為點A和點B，若A，B兩點橫坐標之比為4∶3，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得點的橫坐標，進而求得點的坐標，將點坐標代入雙曲線的方程，化簡求得離心率.【詳解】以為直徑的圓的圓心為原點，半徑為，方程為，雙曲線過一、三象限的漸近線方程為，由解得，所以，則，將代入雙曲線方程得，整理得.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識，為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（）A.講座前問卷答題的正確率都小于B.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于C.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】AC【解析】【分析】由圖表中數(shù)據(jù)可直接判斷A；計算出講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)可判斷B；計算講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)，判斷C；分別計算出講座后和講座前問卷答題的正確率的極差，即可判斷D.【詳解】對于A，10名社區(qū)居民在講座前問卷答題的正確率分別為，答題的正確率都小于，A正確；對于B，將講座前問卷答題的正確率從小到大排列為，所以其中位數(shù)為，所以B錯誤，對于C，由圖可知，10位居民講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：，C正確；對于D，講座前問卷答題的正確率的極差為，講座后問卷答題的正確率的極差,所以講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，所以D錯誤，故選：AC．10.正方體的棱長為1，P為線段上的點，則（）A.平面 B.平面C.三棱錐的體積為定值 D.BP與所成角的最小值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)點與重合時，即可判斷A；證明平面，再根據(jù)面面平行的性質即可判斷B；說明的面積為定值，再證明平面，結合三棱錐的體積公式即可判斷C；以點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法即可判斷D.【詳解】對于A，當點與重合時，與平面交于點，故A錯誤；對于B，因且，所以四邊形平行四邊形，所以，同理可得，又平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又因平面，所以平面，故B正確；對于C，由B選項可知，則點到的距離為，則，連接，則，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以三棱錐的高為，所以，即三棱錐的體積為定值，故C正確；對于D，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，則，設，則，故，令，則，則，令，則，當時，，此時BP與所成的角為，當時，，所以當，即點與重合時，BP與所成的角小于，故D錯誤.故選：BC.11.拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過上的點作的切線，與軸、、軸分別相交于點、、，過作垂線，垂足為，則（）A. B.為中點C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】設準線與軸交點為，過作的切線，此時、重合，判斷出選項A；設，寫出切線方程，求出的坐標，判斷選項B；若，可求出拋物線方程和切點坐標，判斷選項C；若，可得切線斜率和坐標，判斷選項D．【詳解】選項A，設準線與軸交點為，過作的切線，此時、重合，顯然，錯誤；選項B，設，則，設拋物線在點處的切線為，與聯(lián)立，得，由，解得，則切線方程為：，令，則，即，又，為中點，正確；選項C，，則，由切線方程：經(jīng)過點，代入得，且，解得或，即或，則或，錯誤；選項D，若，則切線的斜率為，即，由切線方程：可化簡為，令，則，，又，，代入得，正確；故選：BD12.設，，若a，b，c互不相等，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由，可解得，可判斷A；當時，取，可得，不滿足a，b，c互不相等，可判斷B；將看成函數(shù)與圖象的交點，可判斷C，D.【詳解】由，可得，因為，所以，故A正確；當時，，若，則，故，不滿足a，b，c互不相等，所以，故B正確，因為，，可將看成函數(shù)與圖象的交點橫坐標，當時，圖象如下圖，可得：，此時.當時，圖象如下圖，可得：，此時，所以C不正確，D正確；故選：ABD.【點睛】本題關鍵點是將看成函數(shù)與圖象的交點橫坐標，作出函數(shù)與圖象，討論的取值即可比較的大小.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則實數(shù)x=______．【答案】1【解析】【分析】兩向量平行，則，代入即可.【詳解】因為，則，解得.故答案為：114.當時，取得最大值，則的一個值為______．（任意寫出滿足條件的一個值即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)已知應用二倍角公式和輔助角公式化簡結合三角函數(shù)圖像取最值即可.【詳解】當,取得最大值,所以故答案為:(答案不唯一).15.直三棱柱的所有棱長均為2，以為球心，為半徑的球面與側面的交線長為______．【答案】##【解析】【分析】設的中點為，再根據(jù)題意結合正三棱柱的性質和球的性質即可求解即可.【詳解】設的中點為，則，，又因為面面，且面面面，所以面，所以題中所求交線即為以為圓心，為半徑的一段圓弧，設該圓弧與的交點分別為，球與側面的交線如圖所示，則，易知，所以該圓弧所對的圓心角為，故所求弧長為.故答案為：.16.若是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由是函數(shù)的極大值點可得，將其代入，求出函數(shù)單調性可得，解出，求出結合的范圍即可得出答案.【詳解】因為，因為是函數(shù)的極大值點，所以，所以，，則或，要使是函數(shù)的極大值點，則，解得：，則.故的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．（1）求A；（2）若，求．【答案】（1）45°（2）【解析】分析】（1）利用余弦定理求得.（2）結合正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.【小問1詳解】由題設及余弦定理得．因為，所以．【小問2詳解】由題設及正弦定理得，可得，由，可知，故．18.設數(shù)列的前n項和是，數(shù)列的前n項乘積是，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列中的第幾項最接近2023？【答案】（1）證明見解析（2）第44項【解析】【分析】（1）根據(jù)已知得出，并根據(jù)數(shù)列的前n項乘積是，則，代入已知即可根據(jù)等差數(shù)列的定義證明；（2）根據(jù)小問一得出，即可得出，再由數(shù)列通項與前n項和關系求出，即可根據(jù)的通項得出答案.【小問1詳解】由題設當時，因為，所以．當時，，所以，可得．所以為首項為2，公差為1的等差數(shù)列．【小問2詳解】由（1）可得，從而．當時，，因為，所以．因為數(shù)列單調遞增，當時，，當時，，所以中的第44項最接近2023．19.已知某商業(yè)銀行甲、乙兩個風險理財項目的年利潤率分別為和，利潤率為負表示虧損，根據(jù)往年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到和的分布列：510-2P0.60.150.254612-2.5P0.20.50.10.2現(xiàn)有200萬元資金準備投資到甲、乙兩個風險理財項目一年．（1）在甲、乙兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資項目甲和乙所獲得的年利潤，求和；（2）項目甲投資x萬元，項目乙投資萬元，其中，，用表示投資甲項目的年利潤方差與投資乙項目的年利潤方差之和，問該如何分配這200萬元資金，能使的數(shù)值最小？【答案】（1），（2）投資甲項目105萬元，投資乙項目95萬元時有最小值【解析】【分析】（1）根據(jù)和的分布列可列出利潤和的分布列，并分別計算出其期望值，再利用方差計算公式即可得和；（2）由方差性質可得可得，再結合（1）中數(shù)據(jù)利用二次函數(shù)單調性即可求得結果.【小問1詳解】由題意可知（萬元）和（萬元）的分布列分別為510-2P0.60.150.254612-2.5P0.20.50.10.2所以．．于是．【小問2詳解】由題意可知，根據(jù)方差性質可得．由二次函數(shù)性質可得，當，即時，取得最小值．因此投資甲項目105萬元，投資乙項目95萬元時有最小值．20.如圖，四棱錐P-ABCD中，已知，BC=2AD，AD=DC，∠BCD=60°，CD⊥PD，PB⊥BD．（1）證明：PB⊥AB；（2）設E是PC的中點，直線AE與平面ABCD所成角等于45°，求二面角B-PC-D的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得.（2）解法1，建立空間直角坐標系，根據(jù)直線與平面所成角求得點坐標，進而可求得二面角的余弦值；解法2，利用直線與平面所成角求得，建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值.解法3，利用直線與平面所成角求得，作出二面角的平面角，解三角形求得其余弦值.【小問1詳解】連結BD，在中，因為BC=2DC，∠BCD=60°，由余弦定理．因為，所以CD⊥BD，又CD⊥PD，，平面，所以CD⊥平面PDB，由于平面，所以CD⊥PB．因為PB⊥BD，，平面，所以PB⊥平面ABCD，由于平面，因此PB⊥AB．【小問2詳解】解法1：以B為坐標原點，的方向為x軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，由（1）可知y軸在平面ABCD內．則，，，，．設，則，，．因為平面ABCD的法向量為，所以．由AE與平面ABCD所成角等于45°，可知，解得t=2．設平面DPC的法向量，則即所以可?。驗槠矫鍮PC的法向量為，于是．因為二面角B-PC-D是銳二面角，所以其余弦值為．解法2：取BC中點為F，連結EF，AF，則，且AF=DC．由（1）可知EF⊥平面ABCD，∠EAF是AE與平面ABCD所成角，所以∠EAF=45°，所以EF=AF=DC，于是PB=2EF=2DC．以B為坐標原點，的方向為x軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，由（1）可知y軸在平面ABCD內．則，，，，，．設平面DPC的法向量，則即可得所以可?。驗槠矫鍮PC的法向量，于是．因為二面角B-PC-D是銳二面角，所以其余弦值為．解法3：取BC中點為F，連結EF，AF，則，且AF=DC．由（1）可知EF⊥平面ABCD，∠EAF是AE與平面ABCD所成角，故∠EAF=45°，因此EF=AF=DC，于是PB=2EF=2DC=BC，可得．連結BE，則BE⊥PC．過E在平面PDC內作EG⊥PC，交PD于點G，則∠BEG是二面角B-PC-D的平面角．因為PB⊥BC，所以，．因為CD⊥PD，由可得．由PC⊥平面BEG，平面，所以PC⊥BG，而CD⊥BG，平面，故BG⊥平面PDC，由于平面，所以BG⊥GE，所以由余弦定理得．因此二面角的余弦值為．21.已知橢圓有兩個頂點在直線上，的中心到的距離為（1）求的方程；（2）設、是經(jīng)過下頂點的兩條直線，與相交于點，與圓相交于點，若斜率的不等于，斜率等于斜率的倍，證明