山西省太原市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022~2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級期末考試數(shù)學(xué)試卷（考試時間：上午8:00—10:00）說明：本試卷為閉卷筆答，答題時間120分鐘，滿分150分．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次不等式的求解以及對數(shù)函數(shù)定義域的求解，結(jié)合集合運(yùn)算，可得答案.【詳解】由不等式，分解因式可得，解得，則；由函數(shù)，可得，解得，則；綜上可得.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：因為，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第四象限；故選：D3.已知，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由數(shù)量積的性質(zhì)求得，再代夾角公式即可求解【詳解】所以所以向量與的夾角為故選：C4.中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧的長度是弧長度的2倍，，則該曲池的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長公式可知弧所在圓和弧所在圓的半徑之間關(guān)系為，結(jié)合可求得，再根據(jù)柱體的體積計算公式，采用切割的方式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，因為弧的長度是弧長度的2倍，所以，即，又，則，所以該曲池的體積，故選：.5.某學(xué)校音樂社團(tuán)為慶祝學(xué)校百年華誕將舉辦歌曲展演，要從4首獨唱歌曲和2首合唱歌曲中選出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必須是合唱歌曲，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.96 B.120 C.240 D.360【答案】B【解析】【分析】有特殊要求得位置優(yōu)先考慮，先排最后一首歌曲，再排前三首歌曲【詳解】第一步，先從兩首合唱歌曲中選一首按排在最后的方法有種第二步，從其余的歌曲中選三首歌曲安排在前三位的方法有種則不同的安排方法種數(shù)為：故選：B6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合二倍角公式求解即可.【詳解】解：因為，所以.故選：C7.如表所示的數(shù)陣稱為“森德拉姆素數(shù)篩”，表中每行每列的數(shù)都成等差數(shù)列，設(shè)表示該數(shù)陣中第m行、第n列的數(shù)，則下列說法正確的是（）234567…35791112…4710131619…5913172125…6111212631…71319253137……A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)陣中數(shù)的規(guī)律逐項進(jìn)行檢驗即可求解.【詳解】對于，表示第3行第18個數(shù)字，由數(shù)陣可知：第3行是以4為首項，以3為公差的等差數(shù)列，則第18個數(shù)字為，故選項錯誤；對于，表示第6行第8個數(shù)字，由數(shù)陣可知：第6行是以7為首項，以6為公差的等差數(shù)列，則第8個數(shù)字為，故選項錯誤；對于，表示第7行第7個數(shù)字，由數(shù)陣可知：第7行是以8為首項，以7為公差的等差數(shù)列，則第7個數(shù)字為，故選項錯誤；對于，表示第12行第4個數(shù)字，由數(shù)陣可知：第12行是以13為首項，以12為公差的等差數(shù)列，則第4個數(shù)字為，故選項正確，故選：.8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則（）A.20 B.30 C.35 D.40【答案】B【解析】【分析】由題知函數(shù)圖象關(guān)于對稱，，進(jìn)而得也為周期函數(shù)，周期為，再根據(jù)周期性求解即可.【詳解】解：因為均為偶函數(shù)，所以所以，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，因為，所以，為常數(shù)，即，因為，所以，令得，即因為當(dāng)時，且，所以，即，解得，所以，當(dāng)時，，，因為函數(shù)圖象關(guān)于對稱，所以，因為，即，所以，令，則，所以，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，所以也為周期函數(shù)，周期為.因為函數(shù)圖象關(guān)于對稱，所以，所以，所以，.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵在于根據(jù)奇偶函數(shù)的定義式推導(dǎo)得到函數(shù)的對稱性，進(jìn)而根據(jù)對稱性與周期性的關(guān)系求得函數(shù)的周期性，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)一個周期內(nèi)的函數(shù)值的求解問題.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知正數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值是1 B.的最小值是4C.的最大值是 D.的最小值是1【答案】AC【解析】【分析】對于A、B、D：利用基本不等式求出最值，即可判斷；對于C：利用二次函數(shù)求最值.【詳解】正數(shù)x，y滿足.對于A：，所以.（當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立）.所以的最大值是1.故A正確；對于B：因為，所以，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立）.故B錯誤；對于C：因為正數(shù)x，y滿足，所以，其中，所以，所以當(dāng)時，的最大值是.故C正確；對于D：因為正數(shù)x，y滿足，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=”成立）.故D錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A.的圖像關(guān)于直線對稱B.的圖像關(guān)于點對稱C.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖像D.方程在上有7個不相等實數(shù)根【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：由題知，，即，故，解得，所以，再將代入解析式得，解得，因為，所以，即，對于A選項，當(dāng)時，，由于是函數(shù)的一條對稱軸，故的圖像關(guān)于直線對稱，正確；對于B選項，當(dāng)時，，由于是函數(shù)的一個對稱中心，故的圖像關(guān)于點對稱，正確；對于C選項，函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，故錯誤；對于D選項，，即，故或，即或，所以，當(dāng)時，的實數(shù)根為，，共個不相等的實數(shù)根，故錯誤.故選：AB11.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩個不同點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點，則的最小值是3B.的最小值是2C.若，則直線的斜率為D.過點分別作拋物線的切線，設(shè)兩切線的交點為，則點的橫坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】過點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義判斷A；根據(jù)判斷B；設(shè)直線的方程為，，進(jìn)而聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)解方程即可得判斷C；根據(jù)直線與曲線的位置關(guān)系得過點，分別與拋物線相切的直線方程為，，進(jìn)而聯(lián)立方程解得可判斷D.【詳解】解：由題知，，準(zhǔn)線方程為，對于A選項，如圖，過點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，故，故正確；對于B選項，設(shè)，故，故錯誤；對于C選項，當(dāng)直線的斜率不存在時，，不成立；故直線的斜率存在，設(shè)方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以，因為，所以，即，解得，故正確；對于D選項，設(shè)過點與拋物線相切的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以，整理得，所以，故即為，整理得同理得過點與拋物線相切的直線方程為，所以，聯(lián)立方程，解方程得，因為，所以所以，即點的橫坐標(biāo)為，故正確.故選：ACD12.已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱，P為上底面上的動點，M為棱的中點，下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值1B.當(dāng)直線與平面所成角為時，點P的軌跡長度為C.若直線平面，則線段長度的最小值為D.直線被正四棱柱外接球所截得線段長度的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】A選項：P在上底面上運(yùn)動，則點到底面的距離為定值，體積公式計算可求出結(jié)果；B選項：利用為定值，可求出點的軌跡為圓的一部分，從而求出軌跡長度；C選項：直線平面，則所在的平面與平面平行，可發(fā)現(xiàn)，計算到的距離再勾股運(yùn)算，可求出的最小值；D選項：結(jié)合弦長最短和P在上底面上運(yùn)動，可知在中點時，弦長最短，直線過球心時，弦長最長，從而求出范圍.【詳解】解：A選項：P在上底面上運(yùn)動，點到底面距離為定值3，所以，故A正確；B選項：連接，直線與平面所成角為，即，則有為定值，即點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，所以點P的軌跡長度為，故B錯誤；C選項：因為平面平面，所以若直線平面，則有，到的距離為，所以，故C正確；D選項：正四棱柱外接球的半徑為，因為P在上底面上運(yùn)動，所以弦最短時在上底面的邊上，當(dāng)在中點時，直線被球截得的弦最短，此時弦長為，當(dāng)直線過球心時，弦長最長為，所以線段長度的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則實數(shù)____________．【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，結(jié)合切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，即可求得的值.【詳解】因為，所以，

所以，又，所以在處的切線方程為：，又切線方程過原點，把代入得，解得：．故答案為：.14.的展開式中常數(shù)項為_________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用二項式定理，寫出通項，根據(jù)多項式乘法，結(jié)合賦值法，可得答案.【詳解】由，根據(jù)二項式定理，其展開式的通項為，由，其展開式的通項可表示為，整理可得，顯然當(dāng)時，取得常數(shù)項，其為.故答案為：.15.在臨床上，經(jīng)常用某種試驗來診斷試驗者是否患有某種癌癥，設(shè)“試驗結(jié)果為陽性”，“試驗者患有此癌癥”，據(jù)臨床統(tǒng)計顯示，．已知某地人群中患有此種癌癥概率為，現(xiàn)從該人群中隨機(jī)抽在了1人，其試驗結(jié)果是陽性，則此人患有此種癌癥的概率為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知得出，與，再由條件概率公式與全概率公式計算得出結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，，，，故答案為：.16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作圓的切線，切點為，延長交雙曲線的左支于點．若，則雙曲線離心率的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】由題知，，，，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，余弦定理得，故且，進(jìn)而得，再根據(jù)離心率公式求解即可.【詳解】解：如圖，因為過作圓的切線，切點為，所以，，所以，在中，，，，，因為，延長交雙曲線的左支于點，所以，即，所以，在中，，整理得，所以，即，所以因為，即，整理得，即所以，綜上，雙曲線離心率的取值范圍是故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前n項和為．（1）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作為已知，求的通項公式；（2）設(shè)，記的前n項和為，若對任意正整數(shù)的n，不等式恒成立，求的最小值．條件①，且；條件②為等比數(shù)列，且滿足；（注：若條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．）【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）選擇條件①，結(jié)合題意得，進(jìn)而得為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求得，進(jìn)而求解通項公式；選擇條件②，由題知，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式求解即可；（2）由題知，進(jìn)而根據(jù)裂項求和法得，進(jìn)而得.【小問1詳解】解：選擇條件①，且，由題意可得，∴，即，∴為公比的等比數(shù)列，∵，∴，解得，∴；選擇條件②等比數(shù)列，且滿足，由題意可得，∴，∴；【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，∵，，∴∴不等式恒成立時，，即的最小值為．18.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足．（1）求證：；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化簡已知條件可得，再利用正弦定理化邊為角，即可證明（2）消元，將要求取值范圍的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為，利用第一問得出的結(jié)論求出角的取值范圍，從而得到的取值范圍，最后應(yīng)用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解【小問1詳解】由余弦定理得，∵，∴∴∴，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∴【小問2詳解】由（1）得，∴，∵，又，∴，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴的取值范圍為．19.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，整理測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Z服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差．（?。├迷撜龖B(tài)分布，求；（ⅱ）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)．利用（?。┑慕Y(jié)果，求．附：；若，則．【答案】（1）200；150（2）（?。?；（ⅱ）9544【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計算平均數(shù)與方差即可；（2）（i）由題知，進(jìn)而根據(jù)正態(tài)分布求解即可；（ii）由題知，進(jìn)而根據(jù)二項分布求解即可；【小問1詳解】解：由題意得，【小問2詳解】解：由題意得，（?。?，∴；（ⅱ）由（?。┑脧脑撈髽I(yè)購買了1件這種產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率為，∴，∴．20.如圖，在三棱錐中，平面平面，，O為的中點．（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點E在棱上，，且二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用等腰三角形中線就是高,得到,然后利用面面垂直的性質(zhì),得到平面,從而得到（2）取的中點,因為為正三角形,所以,過作與交于點,則,所以兩兩垂直,以點為坐標(biāo)原點,分別以,所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量及二面角的大小為求得,可得點坐標(biāo),求出平面的一個法向量及,即可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】∵O為的中點，，∴，∵平面平面，且平面平面，平面∴平面，又平面∴【小問2詳解】由（1）得平面，以點O為原點，所在的直線分別為x軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意可得，設(shè)是平面的一個法向量，則∴，令，則，∴，由題意可知是平面的一個法向量，∴，∴，∴，，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為．21.已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓C經(jīng)過點，且直線，與圓相切．（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于P，Q兩點，點M在x軸上，且滿足，求點M橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析