2023人教版新教材B版高中數學必修第三冊同步練習-全書綜合測評測試卷

全書綜合測評

（滿分150分，考試用時120分鐘）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目

要求的）

1.數列1,3,7,15,…的一個通項公式為小=()

A.2"B.2"+lC.2"-lD.2"-1

2.在等差數列｛“"｝中若"2=4,44=2,則46=()

A.-lB.OC.lD.6

3.曲線段)=(x-3)e'在x=0處的切線方程為()

A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0

C.2r-y+3=0D.2x-y-3=0

4.設S,為數列｛a?｝的前〃項和，滿足S,=2a“3則56=()

A.192B.96C.93D.189

5.已知函數於)=f+2cosxj(x)是式x)的導函數，則函數八x)的圖象大致為()

A.V2021-V2020B.V2021+V2020

C.V2022-V2021D.V2022+V20H

7.意大利數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數1,1,2,3,5,8,13,21,?…該數列的特點

如下:前兩個數都是1,從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把由這樣一列數組成的數

列｛m｝稱為“斐波那契數列“，記S”是數列｛&｝的前〃項和廁（的§）+35）+（455）+…+300-S98）=（）

A.OB.lC.98D.100

8.已知不等式ae'（x+3）*2<0（4<1）恰有2個整數解，則”的取值范圍為（)

A3,2「312

A.--^ci<—B.--<ci<一

4e23e4e23e

-3/2卜32

4e34e3

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部

選對的得5分,部分選對的得2分.有選錯的得0分）

9.如圖是函數的導函數八x）的圖象，對于下列四個結論，其中正確的是（)

12\;3/45i

A./)在上是增函數

B.當x=-l時,兀。取得極小值

C.?r)在［-1,2］上是增函數，在［2,4］上是減函數

D.當x=3時,./(x)取得極小值

10.在數列｛期沖，若％20=楸為常數,"eN+)廁稱｛斯｝為“等差比數列”.下列對等差比數列”的判斷

an+l-an

正確的是()

A.k不可能為()

B.等差數列一定是等差比數列

C.等比數列一定是等差比數列

D.等差比數列中可以有無數項為()

11.如圖給出的是一道典型的數學無字證明問題，各矩形塊中填寫的數字從大到小構成一個無窮數列，所

有數字之和等于1,矩形塊按照面積由大到小排序;安照圖示規(guī)律，有學生給出了以下結論,其中正確的結

論是()

A.矩形塊中所填數字構成的是以1為首項稱為公比的等比數列

B.前八個矩形塊中所填寫的數字之和等于怨

C.第九個矩形塊中應填寫的數字為心

D.記為為除前n塊之外的矩形塊的面積之和，則吟

12.已知函數於尸皿戶，下列結論正確的有

A.函數兀v)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增

B.對任意兀正(0,+oo),4)V1

C.當X2>X|>0時，等<等

D(1+2+3+,"+^T),n2-ln〃32且〃6N+)

三、填空題(本題共4小題.每小題5分，共20分)

13.設貝〃尸1-衿*+…6N+)廁艮k+1)yk)+.(不用化簡)

Zo4Z71—1

14.已知於)在R上連續(xù)可導J(x)為其導函數，且段)=e，+2八0)式,則函數小)的圖象在(0,m))處的切線方

程為.

15.某漁業(yè)公司今年年初用100萬元購進一艘漁船用于捕撈.已知第一年捕撈工作需各種費用4萬元，從

第二年開始，每年所需費用均比上一年增加2萬元.若該漁船預計使用〃年.其總費用(含購買費用)為—

萬元:當n=_______時，該漁船年平均費用(含購買費用)最低.

16.已知函數段)=-#-3%+4111x在1］上不單調廁實數f的取值范圍是.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)已知〃6N+,數列｛?。那啊绊椇蜑镾”,是否存在數列｛〃“｝,滿足$=1,加之1+恁,?若存在,

求出｛?。耐椆?若不存在，說明理由.

在①而I=2(JSn+i+6i),②斯=5"-1+n(ri>2),@all+1-2a?+n-1這三個條件中任選一個補充在上面問題中并

作答

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

2

18.(12分)已知數列｛知｝滿足外號前n項和Sn=(2n-n)an.

(1)求42,43,44的值并猜想斯的表達式：

(2)用數學歸納法證明(1)的猜想.

19.(12分)已知/(x)=：a(x-l)+lnx-l(qGR),其中e為自然對數的底數.設g(x)=/，(x).

⑴求g(x)的單調區(qū)間；

⑵若x>l,/(x)>0恒成立，求實數”的取值范圍.

20.(12分)已知數列｛an］滿足“1=2,42=8,即+2=4“"+1-3即

⑴證明嗷列｛｝是等比數列;

⑵若/=(-1.產(2n2+6n+5)

2，求數歹11｛兒｝的前〃項和幾

"[log3(l+an+1)log3(l+an+2)]

21.(12分)已知函數/(x)=ex-2x.

⑴求危)的單調區(qū)間；

⑵證明方程"r)=cosx在0)上無實數解.

22.(12分)已知函數/x)="+lnx-ax(aCR).

⑴討論函數段)的單調性；

(2)若函數段)有兩個極值點X1K2,且X|<X2,證明：益於1)+3<0.

答案與解析

(12分)

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n

l.Cai=2'-1=1,6=22-1=3,43=221=7,01=24-1=15,故可得an=2-1.

2.B在等差數列｛”“｝中，若念=4,如=2廁44=3(42+46)=玄4+46)=2,解得〃6=(),故選B.

3.A根據題意狷f(x)=(x-2)匕則八0)=2,又加)=-3,所以切線方程為j-(-3)=-2(x-0),gP2x+y+3=0.

4.D當〃=1時,ai=Si=2?i-3,解得。1=3,

當ri>2Si,an=Sn-Sn-\=2an-3-(2an.i-3)=2an-2an.i,

??。”二2。?。?

故｛?。鞘醉棡?,公比為2的等比數歹(J,，56=能手=189.

5.C易知八x)=2x-2sinm2(x-sinx),/(x)是奇函數設g(x)=2(x-sinx),則g'(x)=2-2cosx,因為g'(x)X),所以

八x)在R上單調遞增.結合選項知選C.

6.A設4|+a2+43+…+“"=S",貝！|2S,；=￡!?+—,

當n-1時,2“1=0+乂得后=1,

因為飆>0,所以“1=1.

當?>2時,2S“=S.-Sz+^^,得S"+S"」=^^彳導S*S￡i=l,

所以數列｛S/｝是首項為k=1,公差為1的等差數列，

所以釐=1+(〃-1)X1=〃.

因為數列｛“”)是正項數列，

所以S“>0,所以S?=Vn.

所以當n>2時,a“=S"-S”i=V^Wn—1,

又〃=1時必=1也適合上式，

所以a?=>/n-Vn-l(/zeN+),

所以a202i=V2021-V2020.

故選A.

7.C當n>2時,呢-1+4"=斯+1,則an=an+i-an.i,

故當/1>2時,5"=0+42+43+…+4"=41+(43-41)+伍4-42)+…+(4"+|-4"-1)=(41+的+44+...+4"+1)-(41+42+…+%-

1)=斯+1+斯-1,

此時an+2-Sn=an+1+an-(a,l+i+a?-l)=l.

因為令$=2-1=1,

所以Q-Sl)+(。45)+(45$)+...+(?100-598)=98.

故選C.

8.C當尸-3時,ae'(x+3)/2<0(a<1)即為0+3-2<0,即1<0,不成立.

當33時,不等式引介于。喑/(1-*)》

又故不成立.

x+2

當x>-3時,不等式等價于加西后，

若空0,則不等式對于任意的%>-2恒成立，此時不等式的整數解有無窮多個，不符合題意.

若心0,令8(幻=潦3(43)廁g'(x)=-鬻署，

當xG(-3,三當時,g3>0,.\g(x)單調遞增，

當XG三步,+8)時,g<x)<0,g(x)單調遞減.

易知當(-3,-2)時,g(x)<0,當(-2,+oo)0^,g(x)>(),

又二,在x趨近于+8時,g(x)趨近于0,

.?.函數,*)在(3+8)上的大致圖象如圖所示：

???-2〈孝<-1,.?.當A3時，人品7有2個整數解，這2個整數解必然是-1和0,則｛；2；:'即

1^3>0，.32

??一〃<一，

|^<a,4e0-3

I4e

故選c.

9.BC根據題中圖象知當xe(-2,-l)和xe(2,4)時J(x)<0,函數段)單調遞減當代(-1,2)和1『4,+<?)時,

/'(x)>0,函數啟)單調遞增，故A錯誤,C正確；

當A-1時,/U)取得極小值,B正確；

當x=3時,4r)不能取得極小值Q錯誤.

故選BC.

10.AD若上0廁%+2-%+1=0,數歹1」｛4”｝為常數歹U,則跖什15=0,所以k不可能為0,故A正確.

數列q,a,…,a存0)既是等差數列，又是等比數列,但不滿足酗為即不是等差比數列.故B,C不正確.

an+l-an

對于選項D,只要找到一個滿足條件的數列即可，數列0,1,0,1,0,1,…顯然為等差比數列，所以D正確.故選

AD.

H.BD設每個矩形塊中的數字從大到小構成數列｛&｝,則｛“.｝是首項為點公比為翔等比數列，所以

4彩G)盤故A錯誤；

前八個矩形塊中所填寫的數字之和為zL|g,故B正確;

Zoo

第九個矩形塊中應填寫的數字為“9=蠢=+，故C錯誤;

n

i1

按照規(guī)律繼續(xù)下去，前〃塊矩形塊的面積之和為W.2.L1/故4節(jié)，故D正確.故選BD.

12.BCD對于選項AJ(x)=±需翳(-1,0)U(0,+s),令g(x)=x-(x+l)ln(x+l),xe(-1,0)U(0,+8)廁

g3=-ln(x+l),當xG(-1,0)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;當xG(0,+8)時,g(x)<0,g(x)單調遞減，

所以對任意的xe(-l,0)U(0,+8),g(x)<g(0)=0,即八x)<0,所以於)在(-1,0),(0,+8)上是減函數故A錯誤.

對于選項B,“對任意xE(0,+8卜危)<1”等價于對任意x￡(0,+co),ln(x+l)<x,'.

令夕(x)=lnx-x+1,x>0,貝!]9'(x)=：-1=~^~-

當xG(O,l)時，。'(戲>0,夕(x)單調遞增,

當》€(wěn)(1,+00)時,夕《)<0,9(為單調遞減，

又9(1)=。,9(x)=lnx?x+10O,即Inx<x-\,

當(0,+8)時Jn(x+l)<x,故B正確.

對于選項C,令/?(x)=</(x)=xln(x+16(0,+oo)JI]〃3=x+a+；]；(x+"

當xG(0,+oO)時”(x)>o,/z(x)單調遞增,所以當X2>X|>0時,/7(X|)</7(X2),即呼於1)〈好於2),所以管〃等故

C正確.

對于選項D,由A知,y(x)在(0弓]上單調遞減，貝!|對任意xe(0,4次x)yG)=21n|=ln》ln2,即^2>ln2,

所以當n>2時，嘩D>ln2,即領2<ln^.

n

所以In2=ln2,-In2<ln-rln2<ln-,.......In2<ln—,

2233n—1n—1

故In2Jin2+~ln2+…-1-~--In2<ln2+ln-+ln-+...+lnn,

237i—l23n—1

即(1+渭+…+El2枷〃(當n=2時，等號成立)，故D正確.

故選BCD.

13答案-J—±

木2k+l2k

解析；/(")=1f三+…七M("WN+),

Z34Z?l—1

..艮k+1)=1---1-----L..H--------—?------,

八2342k-l2k2k+l

八/2342k-l

11

???人2+1

八/八/2k+l2k

故答案為，一工

次口殺，」2k+l2k'

14.答案y=-x+l

解析由題意，得效)=P+例0),

所以八0)=e°+的0)=1+50),

所以八0)=-1，所以/U)=e，-2x,

所以*0)=1,

故所求切線方程為y=-x+l.

15.答案“2+3〃+io。；io

解析由題意，得每年的費用(不含購買費用)可以構成首項為4,公差為2的等差數列，記總費用(含購買

費用)為S,萬元，

貝!]5?=nx4+n(w-jx2+100=n2+3?+100.

年平均費用為員中+3+322不加+3=23(萬元)，當且僅當片出，即〃=10時,等號成立,所以當”=10時，

nnynn

該漁船年平均費用(含購買費用)最低.

16.答案(0,1)

解析易得八x)=*3+9士*蟲(工>0),

令F(x)>o,得0<x<1,令人x)<0,得x>1,

所以_/W在（0,1）上單調遞增，在（1,+8）上單調遞減.

因為函數外）=-#-3x+41nx在|fj+l]上不單調，

所以

解得0W1,

所以實數,的取值范圍是（0,1）.

17.解析選①.a"+i=S”+l-S"=（JSn+]+yJSv）（JSn+「JSn）=2（J5n+1+JSn）.（2分）

S\=a\=\,an+l-ari>i,

,?JSn+i+JSn>0,

區(qū)='-居=2,即是以1為首項,2為公差的等差數列,（4分）

=2

V^n2n-1,/.Sn=（2n-1）.（6分）

當?>2時,a“=S"5-i=（2〃-l）2-（2〃-3）2=8〃-8.（8分）

顯然,〃=1時，上式不成立.所以年已廣=上>7（10分）

<071—71NZ.

選②.當n>2時即Sn.i=an-n,

a/t=Sn-Sn.\=aH+\-（n+1）-（〃〃-雇）,

整理得小+1+1=2（如+1）.（4分）

又。2=51+2=3,。2+1=4,

.??｛知+1｝是從第二項起的以4為首項,2為公比的等比數列.（6分）

n（

,當論2時自+1=4?2小2=2〃,即an=2-l.8分）

顯然時，上式成立，

所以。產2"-L（10分）

選③.丁〃〃+尸2?！?"-1,

/.?！?1+〃+1=2(?！?〃).（3分）

又0+1=2,J｛〃〃+〃｝是以2為首項,2為公比的等比數列.（6分）

n（分）

?！?〃=2",即an=2-n,10

18.解析⑴令幾二2彳導。1+。2=6。2,公二裊*

令〃=3彳導。1+。2+。3=15。3,，。3二點心.

令〃=4,得。|+。2+的+。4=28。4,???。4石菊二雨.（3分）

（分）

拍想a〃一(2n-i)(2n+i)?4

⑵用數學歸納法證明如下：

①當n=\時，猜想成立；

②假設當〃乂慮1#￡N+)時，猜想成立，

即“*一(2k-l)(2k+l)'（6分）

貝!|當n=k+\時,St=(2爐-&)q=五片，

S*+尸[2(/+1)2-(女+1)卜以+1,

BPSk+i-Sk+ak+1=-7—1=[2(k+1)2-伏+1)]q+1,（8分）

k(2Z+3)q+i=^~,

.i

,,""L(2k+i)(2k+3)’

二當n=k+\時,猜想也成立.（11分）

由①②可知,對一切〃eN+,都有（12分）

19.解析(1)由題意得兀T)的定義域為(0,+8),

g(x)子(幻=芝/廁g，(x)=?表（2分）

易得g<x)在(0,+8)上單調遞增，且g'(l)=(),

.??當xe(0,1)時,g3<0,g(x)在(0,1)上單調遞減，

當xG(1"⑹時g3>0,g(x)在(1,+8)上單調遞增.

故g(x)的單調遞增區(qū)間為(1,+8),單調遞減區(qū)間為(0,1).（4分）

⑵由⑴知g(x)在(1,+00)上單調遞墻即/(X)在(L+8)上單調遞增，

則當X>\時,g(x巨g⑴=2-4,

即八X)終4.（6分）

當a<2時J(xa0,於)在[1,+8)上單調遞增，

"X)/1)=0符合題意；（8分）

當a>2時,?.?/⑴=2-a<0,八1+ln。)=高>0,

二存在沏G(l,l+ln。)使八Xo)=O,

則xG(1,檢)時,/'(x)<0,危)單調遞減,此時兀r)g1)=0,不符合題意,舍去.（10分）

綜上，實數。的取值范圍為(3,2L（12分）

20.解析⑴證明:由4"+2=4a”+i-3a,“得an+2-a?+i=3(an+i-an),（2分）

又42-0=6,

,數列｛研心｝是以6為首項,3為公比的等比數列.（4分）

(2)由⑴得斯+1心=&3"“=2?3”,（5分）

則斯-即1=2-3"|,即|-即2=2-3"2,即2-甌3=2-333,.......,a2-a1=2x3

累計相加，可得斯-ai=2x(3+32+...+3)--'>2x3(1-371)=3n-3.

l-o

又0=2,?"產3〃-1.（7分）

?7=(一]).(2九2+6n+5)=(_])n(2u2+67i+5)=(111

?*"—(log33n+1?log33n+2)2-(n+l)2(n+2)2-，l(n+l)2十(n+2)2：?（9分）

當n為偶數時,T”=(-專一專)+(專+專)+(一專-盲+???+[-3—號正卜后于+三正卜洪聲

>

當〃為奇數時，乙=。+|/"+尸島天土淡芭島產-總產*（11分）

綜上所述，加懸三（12分）

21.解析⑴由題意得加)的定義域為RJ(x)=e'-2,（2分）

令人幻>0廁e，>2,解得x>ln2,

令人元)〈0廁e'<2,解得x<ln2.

所以7W的單調遞減區(qū)間為(-8,In2),單調遞增區(qū)間為(In2,+oo).（4分）

⑵證明:令g(x)=ev-2x-cosx,xG(-,°)，

則g'(x)=e'+sinx-2,（6分）

當xG0)時,g'(x)=(e*-l)+(sinx-l)<0,

所以g(x)在(-1,0)上單調遞減.(9分)

所以g(x)>g(0)=0,

所以函數g(x)在’0)上無零點.

即方程貝x)=cosx在(-；,0)上無實數解.