2023人教版八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)練習(xí)

第十八章平行四邊形

18.2.2菱形

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識點(diǎn)1菱形的定義

1.如圖，在平行四邊形A3CO中,對角線AC、BD交于點(diǎn)。，添加下列條件，能使平行

四邊形ABCD成為菱形的是

A.AO=BOB.AC=ADC.AB=BCD.OD=AC

知識點(diǎn)2菱形的性質(zhì)

2.（2022福建泉州期末）已知菱形A3CQ的對角線4。,8。相交于點(diǎn)0,若"=5,4。=6,

則BD的長是

3.（2020湖北荊門中考）如圖,在菱形ABCD中,&F分別是的中點(diǎn)，若瓦'=5,

則菱形ABCD的周長為

4.圖①是不銹鋼伸縮電動(dòng)門，圖②是不銹鋼伸縮電動(dòng)門中相鄰的三個(gè)全等的菱形

示意圖，根據(jù)實(shí)際需要可調(diào)節(jié)A,E間的距離，已知菱形43co的邊長為20cm,當(dāng)A,E

間的距離調(diào)節(jié)到60cm時(shí),NQAB的度數(shù)是.

I)

圖①圖②

5.如圖，在菱形ABCD中，若N3=60。，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā),沿折線DC-CB方向移動(dòng),

移動(dòng)到點(diǎn)B停止，在△AOE形狀變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形

是.

A,--------------78

二

uEC

6.（2021貴州黔東南州中考）如圖,是菱形ABCD的一條對角線，點(diǎn)E在3c的延

長線上，若NAO3=32°,則NQCE的度數(shù)為度

7.（2022天津南開期末）如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對角線的交點(diǎn),CE〃9,

連接OE交BC于F.

⑴求證:0E=C3;

⑵如果3D=24,AQ=13,求四邊形OBEC的周長.

知識點(diǎn)3菱形的面積

8.如圖，菱形ABCD的邊長為4,Z5=120。，則菱形ABCD的面積為()

DC

B.4V3C.8V3

9.【一題多變】如圖,四邊形ABCD是菱形,AC=8,Q8=6,Q”，A8于點(diǎn)〃，則DH=

()

［變式］如圖,在菱形ABCD中,A8=10,AC=12,過點(diǎn)D作DELBA,交BA的延長線

于點(diǎn)田則線段。E的長為

10.【教材變式-P56例3變式】如圖所示,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,

其中對角線BD的長為10cm,則對角線AC的長為

cm,菱形ABCD的面積為cm2.

11.已知菱形ABC。的面積為24cn?,對角線AC的長為6cm,則菱形的另一條對角

線BD的長為，菱形ABCD的周長為.

知識點(diǎn)4菱形的判定

12.如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O且互相平分.添加下列條件，仍不

能判定四邊形ABCD為菱形的是()

A.AC=BDB.AB=AD

C.AC.LBDD.ZABD=ZCBD

13.（2020廣西玉林中考）如圖，將兩張對邊平行且等寬的紙條交叉疊放在一起，則重

合部分構(gòu)成的四邊形A8CO菱形（填"是”或“不是”）.

14.【新考法】（2022浙江嘉興中考）小惠自編一題:“如圖，在四邊形A8C。中，對角

線交于點(diǎn)0,AC，8D,0B=0D求證:四邊形A8CD是菱形”，并將自己的證

明過程與同學(xué)小潔交流.

小惠：

小潔：

證明:'.?ACL8D,08=00,

這個(gè)題目還缺少條

...AC垂直平分8D

件，需要補(bǔ)充一個(gè)條

：.AB=AD,CB=CD,

件才能證明.

四邊形ABC。是菱形.

若贊同小惠的證法,請?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“J”；若贊成小潔的說法,請你補(bǔ)充一個(gè)

條件，并證明.

15.【面積法】如圖，在四邊形4BCD中,NBAC=90°是3c的中點(diǎn),

//DC,EFLCD于點(diǎn)F.

⑴求證:四邊形AECZ)是菱形;

(2)若AB=3,AC=4,求EF的長.

能力提升全練

16.（2022海南?？谄谀┤鐖D,在菱形ABCD中,E是8C的中點(diǎn)8c

連接AC,則N84D等于（）

AI)

A.60B.100°C.110°D.120°

17.(2022上海聯(lián)考如圖，在RtAAfiC中,NAC8=90。，平行四邊形BCDE

的頂點(diǎn)E在邊AB上，連接CE、AD添加一個(gè)條件，可以使四邊形ADCE成為菱形

的是)

A.CE1ABB.CD1ADC.CD=CED.AC=DE

18.(2020黑龍江龍東地區(qū)中考,如圖，菱形A8CQ的對角線AC、3。相交

于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作DH1AB于點(diǎn)〃，連接OH,若0A=6,S菱形獨(dú)口=48,則OH的長為

()

I)

A.4B.8C.V13D.6

19.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特中考,必★★☆汝口圖,四邊形A3CD是菱形,ND48=60

點(diǎn)E是D4中點(diǎn)廠是對角線AC上一點(diǎn)，且NQM=45°,則AF：FC的值是()

A.3B.V5+1C.2V2+1D.2+V3

20.（2022遼寧營口中考,14,★☆☆）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△￡）跖,

只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形ABE。是菱形，這個(gè)條件可以是.（寫出

一個(gè)即可）

,4I）

21.（2022黑龍江哈爾濱中考,20,★★☆）如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于

點(diǎn)O,點(diǎn)E在OB上，連接AE,點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接0￡若AE=BE,OE=3,OA=4,

則線段OF的長為.

22.（2021山西中考,13,★★☆）如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)

O,BD=S,AC=6,OE//AB,^.BC于點(diǎn)石,則OE的長為.

23.（2022江蘇無錫期中，*,★★☆＞如圖，在四邊形ABCD中,AO〃BC,N

C=90°,A8=AQ,連接BD,^ZBAD的平分線AE分別交BD、BC于點(diǎn)0、E.若

EC=3,C0=4,那么AE的長為.

24.【學(xué)科素養(yǎng)?推理能力】(2021湖北十堰中考,21,★★☆)如圖,已知在△ABC

中，。是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE±AC交8C于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AF//BC交直線DE

于點(diǎn)/，連接AE、CF.

⑴求證:四邊形4ECT是菱形；

⑵若CF=2,ZFAC=30°,N3=45"求A3的長.

素養(yǎng)探究全練

25.【推理能力】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一菱形0A8C,已知乙43C=60°,

點(diǎn)8在y軸上,。4=1.將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60。，連

續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次，點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為8,則點(diǎn)&023的坐標(biāo)為()

0\瓦⑸(瓦)J

A.(l347,0)B.(l347.5,y)

C.(l349,0)D.(l349.5,y)

26.【幾何直觀】已知△ABC和△口￡尸都是邊長為10cm的等邊三角形，且3、C、

D、E在同一直線上，連接AD、CF.若BD=3cm,Z\A8C沿著BE方向以每秒1cm

的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)△ABC的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fs.

⑴當(dāng)，為何值時(shí),四邊形AO尸C是菱形？

⑵當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ADFC是矩形？并求其面積.

⑶當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ADFC的面積是100V3cm2?

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.C根據(jù)菱形的定義可得，當(dāng)AB=BC時(shí)尸ABC。是菱形，故選C.

2.D如圖,二?四邊形43co是菱形,AC=6,

，OA=OC=3,OB=OD,AC.LBD,

在RtAA05中,根據(jù)勾股定理，得0BZAB2—。42=V52-32=4,

.?.30=203=8,故選D.

3.C,：E,F分別是AD,BD的中點(diǎn)，

EF是AABD的中位線，.=EF=^AB=5,AB=10,

四邊形ABCD是菱形,.,.BC=CO=AQ=A3=10,

.??菱形A.BCD的周長=4AB=40.故選C.

4.答案120°

解析連接AE（圖略），由已知得A、C、E三點(diǎn)共線，且AE=3AC,

AE=60cm,.*.AC=20cm,

,菱形的邊長AB=20cm,BC=AB=20cm,

：.AC=AB=BC,：./\ABC是等邊三角形，

ZCAB=60°,：.ZDAB=2ZCAB=120°.

5.答案直角三角形一等邊三角形一直角三角形->等腰三角形

解析因?yàn)镹B=60°,所以菱形由兩個(gè)等邊三角形組合而成，當(dāng)AE1DC時(shí),△

AQE為直角三角形；

當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),△AQE為等邊三角形；

當(dāng)E為CB中點(diǎn)時(shí),△AOE為直角三角形；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),△40E為等腰三角形.

6.答案64

解析二?四邊形ABCD為菱形,/4。8=32°,

，ZCDB=ZADB=32°,AD//BC,

：.NDCE=NADC=NADB+/CDB=64°.故答案為64.

7.解析(1)證明:：點(diǎn)0是菱形ABCD對角線的交點(diǎn)，

：.BDLAC,：.ZBOC=90°,

又，：CE"BD'EB"NC、

四邊形OBEC為矩形,Z.OE=CB.

(2),點(diǎn)0是菱形ABCD對角線的交點(diǎn)，

BD±AC,OA=OC,OB=OD=^BD=\2,

：.ZAOD=90°,

在RtAAOD中,。4="1。2一。。2=在32-422=5,

：.OC=5,：.四邊形OBEC的周長=2X(5+12)=34.

8.C連接80(圖略),?.?四邊形ABCD是菱形，

.,.AD//BC,AD=AB,SAABD=SABCD.

又，:ZABC=120。，，ZA=60°,

.,.△ABD為等邊三角形,...5掘8。=遺x42=4V3,

4

，菱形ABCD的面積是8g.故選C.

9.B四邊形ABCD是菱形,AC=8,Q8=6,

OA=OC=4,OB=OD=3,AC±BD,

在RtZXAOB中,A8=，32+42=5,

1

菱形c?BD=DH?AB,

.,JX8X6=Q"?5,.\Q"=g.故選B.

［變式］D如圖，設(shè)AC與8□的交點(diǎn)為0,

四邊形ABCD是菱形,：.AO=OC=6,BO=DO,AC±BD,

：.BO=y/AB2-AO2=<100—36=8,.?.30=16,

1

S菱形ABCD=AB*DE--AC,BD,

...DE=KF=￡,故選D.

10.答案24;120

解析,/四邊形ABCD為菱形,80=10cm,

11

，ZAED=90°,DE=^BD=|x10=5(cm),AC=2A￡,

VAD=13cm,AE=y/AD2—DE2=V132—52=12(cm),

：.AC=2AE=2X12=24(cm),

菱形ABCD^BD=|xi0X24=120(cm2).

11.答案8cm；20cm

解析：菱形ABCD的面積=，C?BD=24cm2,AC=6cm,.1.BD=8cm.

?'?菱形43c。的邊長=[6)+(|)=5(cm),

/.其周長=4X5=20(cm).

12.A:四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)0,且互相平分,

...四邊形ABCD是平行四邊形,J.AD//BC,

當(dāng)AC=BD時(shí)，可判定口49co是矩形；

當(dāng)AB=AD或ACLBD時(shí)，均可判定口A3CD是菱形；

當(dāng)NA3Q=NCBQ時(shí)，

由AQ〃3C得,NCBD=/ADB,Z./ABD=/ADB,

：.AB=AD,：.^ABCD是菱形.故選A.

13.答案是

解析如圖，過A作AELBC于點(diǎn)心4凡LQC于點(diǎn)F,

'：AB//CD,AD//BC,：.四邊形ABCD是平行四邊形，

由題意知,AE=4F,

-'-S平行四邊形ABCD=3C,AE=DC,AF,

：.BC=DC,^ABCD是菱形.

14.解析本題以小惠與小潔對話的形式呈現(xiàn)題目，考查菱形的判定.

贊成小潔的說法，補(bǔ)充條件：O4=0C.證明如下：

'：OA=OC,OB=OD,

，四邊形ABCD是平行四邊形,

又?.?ACL3Q,.?.平行四邊形ABCD是菱形.

15.解析（1）證明:：4。〃8。,4E〃。。,

...四邊形AECD是平行四邊形,

,/ZBAC=90°,E是BC的中點(diǎn),

：.AE=CE=^BC,：.四邊形AECD是菱形.

⑵過A作A”_L8C于點(diǎn)〃，如圖，

ZBAC=90°,AB=3,AC=4,

：.BC=y/AB2+AC2=5,

AABC的面積-AH=-AB?AC,

22

?.AB-AC12

..AHrr-------=—,

BC5

,/四邊形AECD是菱形,，CD=CE,

12

,：SUAECD=CE?AH=CD?EF,：.EF=AH關(guān).

能力提升全練

16.D?:E是BC的中點(diǎn),AEJ_BC，AB=AC,

,Z四邊形ABCD是菱形,工A8=BC,Ar>〃8C,

：.AB=BC=AC,ZBAD+ZABC=1SO°,

：.ZXABC是等邊三角形,ZA5C=60°,

，ZBAD=1800-ZAfiC=180°-60°=120°,故選D.

17.C添加CD=CE,可以使四邊形ADCE成為菱形.理由:如圖，設(shè)AC與ED交于

點(diǎn)O,

四邊形BCDE是平行四邊形,.

ZA0E=ZACB=9Q°,：.AC±DE,

"：CD=CE,OD=OE,

'：AB//CD,：.ZEAO=ZDCO,

Z.EAO=Z.DCO,

在△AOE和△CO。中,440E=乙COD,

OE=OD,

△AOE^ACOD(AAS),OA=OC,

：OD=OE,四邊形ADCE是平行四邊形，

'：CE=CD,四邊形ADCE是菱形.

故選C.

18.A:四邊形ABCD是菱形,。4=6,

OC=OA=6,OB=OD,ACLBD,：.AC=U,

'：DH1AB,：.NBHD=90°,：.OH=-BD,

菱形?BD=；義12X30=48,

BD=8,0"=渺)=4.故選A.

19.D連接DB交AC于點(diǎn)O,連接OE,BE,

,/四邊形ABCD是菱形,ND43=60

ZDAC=^ZDAB=30°,AC.LBD,AC=2AO,AB=AD,

,/ZAOD=90。，點(diǎn)E是DA中點(diǎn)，

OE=AE=DE=^AD,：.設(shè)OE=AE=DE=a,

.,.AD=2a,.JOD=-AD=a,

2

在RtAAOD中,AO=，4D2一。。2=^（2a）2-a2=取a,

：.AC=2AO=2V3a.

■;EA=EO,ZEOA=ZEAO=300,

：.ZDEO=ZEAO+ZEOA=60°,

,：ZDEF=45°,：.Z0EF=ZDE0-ZDEF=15°,

：.ZEFO=ZEOA-ZOEF=15°,

：.ZOEF=ZEFO,：.OF=OE=a,

/.AF=AO+OF=y/3a+a,/.CF=AC-AF=V3a-a,

QQV3+1

?AFV3+=2+75,故選D.

CF'J3ct-a.\/3-1

20.答案A3=AQ（答案不唯一）

解析這個(gè)條件可以是48=4。.理由如下:

由平移的性質(zhì)得AB//DE,AB=DE,

...四邊形ABED是平行四邊形，

?.平行四邊形A3EQ是菱形.（答案不唯一）

21.答案2傷

解析:?四邊形ABC。是菱形,

：.AC±BD,CO=AO=4,BO=DO,

：.AE=yjAO2+EO2=V16+9=5,BE=AE=5,

：.50=5+3=8,ABC=yjB02+CO2=V64+16=4倔

?.?點(diǎn)/為CZ)的中點(diǎn)、,B0=D0,(?F=|BC=2V5.

22.答案|

解析???菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,：.AB//

11

CD,OC=^AC=3,0B^BD=4,AC±BD,/ABD=/CBD,ZACB=ZACD.

'：0E//AB,：.AB//CD//OE,

：.ZABO=ZBOE,ZEOC=ZDCO,

：.ZBOE=ZOBE,ZEOC=ZECO,：.BE=0E=CE.

在RtAfiCO中,由勾股定理得BCfl32+42=5,

0E=~2.

23.答案2①

解析如圖,連接。E

AD

在RtACDE中,EC=3,C0=4,

根據(jù)勾股定理，得?！?所存=5,

,.,AB=A0,A￡為N8AD的平分線，

：.AE垂直平分BD,ZBAE=ZDAE,

：.BE=DE=5,OB=OD.

'：AD//BC,ZDAE=ZAEB,：.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE=AD=DE,

.,.BC=3E+EC=8,四邊形ABED是菱形,：.AE=2OE,

由勾股定理得BD=y/CD2+BC2=V42+82=475,

0B=2?：.OE=y]BE2-BO2=J52-(2A/5)2=遮

.,.AE=2OE=2倔故答案為2V5.

24.解析⑴證明:\?點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),：.AD=CD,

'：AF//BC,：.ZFAD=ZECD,ZAFD=ZCED,

：.△AFD^ACED(AAS),

：.AF=CE,：.四邊形AECF是平行四邊形，

又EFA.AC,：.四邊形AECF是菱形.

(2)如圖，過點(diǎn)A作AGLBC于點(diǎn)G,

由⑴知四邊形AECT是菱形，

y.'：CF=2,ZFAC=30°,

：.AE=CF=2,ZFAE=2ZFAC=6Q°,

'：AF/