2023年陜西交大附中高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A==3={（x,y）|y=2x},則中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2

2.下列圖形中，不是三棱柱展開(kāi)圖的是（）

3.關(guān)于函數(shù)/(x)=l2^tLan+vcos2x,下列說(shuō)法正確的是()

1+tarrx

A.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽

37r7i

B.函數(shù)f（x）一個(gè)遞增區(qū)間為一刀，￡

OO

C.函數(shù)/（X）的圖像關(guān)于直線X=9對(duì)稱

O

D.將函數(shù)y=V2sinlx圖像向左平移g個(gè)單位可得函數(shù)y=f（x）的圖像

O

4.已知方是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，且au/?,a^\/3=h,貝是“Q//Z?”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條件

5.已知直線2如+〃"2（〃2>0,附>0）過(guò)圓（》—1）2+0—2）2=5的圓心，則，+工的最小值為（）

mn

A.1B.2C.3D.4

6.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,3,4},則集合d（A（JB）=（）

A.{1,2,6}B.{1,3,6}C.{1,6}D.{6}

7.已知43是球O的球面上兩點(diǎn)，乙我加=90°,。為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O—ABC體積的最大值為36,則球O

的表面積為（）

A.36兀B.64兀C.144兀D.256兀

8.小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在.起，小明從中任取兩本,則他取到的均是自己的作

業(yè)本的概率為（）

22

9.已知直線6x-y+相=0過(guò)雙曲線G餐一斗=13>0力>0）的左焦點(diǎn)尸，且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若

a'b

I以hlR?I（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為

A.2B.V3+1C.75D.V5-1

10.已知平行于x軸的直線分別交曲線lny=2x+l,j?=2元一1（”0）于48兩點(diǎn)，則41ABi的最小值為（）

A.5+ln2B.5-In2C.3+In2D.3-ln2

r，，1

11.已知〃與入0>l』Og|^0>-;q:\/xeR,ex>x,則下列說(shuō)法中正確的是（

2

A.Pvq是假命題B.2八4是真命題

C.pv（「q）是真命題D.〃△（—1<7）是假命題

12.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn),當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)

中成功次數(shù)X的期望為（）

11

A.3B.2C.1D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A旦G9中，AD=DD\=1,AB=6,E,F,G分別為ABIC,的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在

平面ABCD內(nèi)，若直線DXPH平面EFG,則線段烏尸長(zhǎng)度的最小值是.

14.已知函數(shù)/（X）=F若關(guān)于X的不等式/（x）>。的解集為（力,+8）,則實(shí)數(shù)。的所有可能值之和為

log2>0,''

15.“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為：“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2

天開(kāi)始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì)算)共織布390尺.”則每天

增加的數(shù)量為一尺，設(shè)該女子一個(gè)月中第"天所織布的尺數(shù)為%,貝1」弓4+65+66+%7=

16.如圖所示的流程圖中，輸出〃的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在四棱椎P-A3CD中，四邊形AB8為菱形，PA=5,PB=*，AB=6,POLAD,O,E

分別為AO,AB中點(diǎn).々4)=60。.

(1)求證：AC±PEt

(2)求平面POE與平面P3D所成銳二面角的余弦值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=a/—sinx,其中aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)1=1時(shí),證明：對(duì)Vxe[0,+oo)J(x)..l；

(2)若函數(shù)/(x)在上存在極值，求實(shí)數(shù)”的取值范圍。

19.（12分）已知VxeR,不等式Ix-l|-Ix-2區(qū)a+b+c恒成立.

(1)求證:/+b2+c2>-

3

(2)求證:加+加+揚(yáng)++“2+々220.

20.(12分)如圖，在三棱柱ABC-AB|G中，平面ABC,AB1AC,且A8=AC=A3=2.

(1)求棱A4與8c所成的角的大??；

(2)在棱4G上確定一點(diǎn)P,使二面角4的平面角的余弦值為半.

21.(12分)如圖在棱錐P-ABC。中，ABCO為矩形，面ABC。，PB=2,NBPC=45,NPBD=30.

(1)在心上是否存在一點(diǎn)E，使PC_L面A0E,若存在確定E點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)E為PB中點(diǎn)時(shí)，求二面角P—AE—。的余弦值.

Y—、/6cosa

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為..,(。是參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半

y=sina

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin(e-.

(1)求直線/與曲線C的普通方程，并求出直線的傾斜角；

(2)記直線/與),軸的交點(diǎn)為。,M是曲線。上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M,。的最大距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

集合A表示半圓上的點(diǎn)，集合8表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù)，即為交集中元素的個(gè)數(shù).

【詳解】

由題可知：集合A表示半圓上的點(diǎn)，集合3表示直線上的點(diǎn)，

聯(lián)立y=y]l—x?與y=2x,

1

-

可得忘?=2x，整理得d5-

即』半,

當(dāng)X=—正時(shí)，y=2x<0,不滿足題意；

5

故方程組有唯一的解.

故Ac8=J'—?,---卜

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

根據(jù)三棱柱的展開(kāi)圖的可能情況選出選項(xiàng).

【詳解】

由圖可知，ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱，C選項(xiàng)不是三棱柱展開(kāi)圖.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三棱柱展開(kāi)圖的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

化簡(jiǎn)到/(x)=&sin(2x+?)根據(jù)定義域排除AC。，計(jì)算單調(diào)性知8正確，得到答案.

【詳解】

/(x)=——tan：+c0s2x-sin2x+cos2x=V2sin|2x+—|,

1+tan-xV4j

TC

故函數(shù)的定義域?yàn)?,故A錯(cuò)誤；

2

37tTC7C7C7C

當(dāng)xe---時(shí)，2x+—G,函數(shù)單調(diào)遞增，故8正確；

_88J4L22_

當(dāng)％=-生，關(guān)于x=g的對(duì)稱的直線為x=g不在定義域內(nèi)，故C錯(cuò)誤.

482

平移得到的函數(shù)定義域?yàn)镽,故不可能為y=/(x),。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對(duì)稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

4.C

【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷alia與allb的關(guān)系即可得到答案.

【詳解】

若a〃a,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得a〃b；

若W/5,根據(jù)線面平行的判定定理，可得?！╝.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

圓心坐標(biāo)為(1,2),代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開(kāi)計(jì)算即可得到所求最小值.

【詳解】

圓(％-1)2+(丁一2)2=5的圓心為(1,2),

由題意可得2加+2〃=2,即加+〃=1,>n,n>0,

II!InivifiniI

則—F—=（一+—）（，〃+n）=2+—F—..4,當(dāng)且僅當(dāng)一=—且m+〃=1即〃z=〃=—時(shí)取等號(hào)，

mnmnmnmn2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系,

考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

■：A<JB={1,2,3,4,5）,故可得g（AU8）={6}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AQB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球。的半徑為R,此時(shí)

%YBC=%.AOB=2X!R2XR=，爐=36,故R=6,則球。的表面積為5=4%收=]44萬(wàn)'故選C.

326

考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積.

8.A

【解析】

利用P="計(jì)算即可，其中nA表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)，n為基本事件總數(shù).

n

【詳解】

從7本作業(yè)本中任取兩本共有仁種不同的結(jié)果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有C；種不同結(jié)果，

C2

由古典概型的概率計(jì)算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為收=1

2

5C7

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

直線Gx-y+〃?=O的傾斜角為四，易得|E4RF0=c.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得ZW石中，ZFAE=90,則

3

\AE\=y/3c,所以雙曲線C的離心率為e=底:.=8+?.故選B.

10.A

【解析】

設(shè)直線為〉=43>0),4內(nèi),弘)8(工2，%)，用。表示出X，%，求出4|AB|,4-f(a)=a2+2-lna,利用導(dǎo)數(shù)求出

單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出41ABi的最小值.

【詳解】

解：設(shè)直線為〉=。(。>0),4>],兇)3(工2，%)，則E。=2%+1,.?.X1=g(lna—1),

而/滿足/=2々-1,.“2=空必

2,1]

那么41AM=4(%―%)=4~~2=2(〃2+2-Ina)

設(shè)/⑷=片+2—Ina,貝!)/3)=過(guò)二1,函數(shù)/(a)在(o,']上單調(diào)遞減，在(坐,+?)]上單調(diào)遞增，

22

。I)I)

(Jy\

所以41AMmm=2八。焉=2/V=5+ln2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)

鍵，屬于中檔題.

11.D

【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.

【詳解】

當(dāng)無(wú)0〉1時(shí)，log[Xo<°，故，命題為假命題；

2

記/(x)=m-X的導(dǎo)數(shù)為尸(X)=^-1,

易知/(x)=/-X在(-8,0)上遞減，在(0,+oo)上遞增，

：.f(x)>/(0)=1>0,即故夕命題為真命題；

工是假命題

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

21

I)——=""

每一次成功的概率為63,X服從二項(xiàng)分布，計(jì)算得到答案.

【詳解】

p=_=_E(X)=_x3=]

每一次成功的概率為63,X服從二項(xiàng)分布，故3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13立

2

【解析】

如圖，連接2AAe,qc,證明平面AC?//平面EFG.因?yàn)橹本€。尸//平面EfG,所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)

DCAC時(shí).線段AP的長(zhǎng)度最小，再求此時(shí)的D,P得解.

【詳解】

如圖，連接

因?yàn)镋,F,G分別為A3,BC,的中點(diǎn)，

所以AC7/E戶，平面AC。一

則跖//平面AC2.因?yàn)镋GHAD,,

所以同理得EG//平面AC。，又EFCEG=E.

所以平面AC。//平面EPG.

因?yàn)橹本€。,//平面EFG,所以點(diǎn)尸在直線AC上.

在△仙中，

V7

故當(dāng)2P，AC時(shí).線段D}P的長(zhǎng)度最小，最小值為-2-=4.

-x22

2

故答案為：昱

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

14.6

【解析】

由分段函數(shù)可得4,0不滿足題意；。>0時(shí)，log2x>?,可得x>2",即有/=2",解方程可得。=2,4,結(jié)合指數(shù)

函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和.

【詳解】

.3'-4,X<0

解：由函數(shù)/1)=八，可得

log,>0

/(x)的增區(qū)間為(-00,0),((),+8),

尤<0時(shí),/(x)e(0,3力，尤>0時(shí),/(x)eR,

當(dāng)關(guān)于x的不等式/(%)>。的解集為(/,內(nèi)),

可得4,0不成立，

4〉0時(shí)，0<4,4時(shí)，不成立;

O1

/(%)>a,即為log2X>a,

可得x>2"，即有4=2",

顯然。=2,4成立；由y=2,和y=Y的圖象可得在1〉。僅有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上可得。的所有值的和為1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16--

15.—52

29

【解析】

設(shè)從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織d尺布，由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求出d=合,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出

"14+”15+”16+"17?

【詳解】

設(shè)從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織d尺布，

30x29

貝!IS30=30x5+^^4=390,

解得d=￡，即每天增加的數(shù)量為,

/.《4+%5+^16+。17=4+13d+4+14d+4+15cl+4+16d

=4q+58d

=4x5+58x3=52,故答案為3，52.

2929

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式，意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

16.4

【解析】

根據(jù)流程圖依次運(yùn)行直到sw-i,結(jié)束循環(huán)，輸出"，得出結(jié)果.

【詳解】

由題：S=1,〃=1,S=1+log2=0,〃=2,

22

S=°+log22+]=log?§，〃=3，

2321

S=log2—+log2—j=log2-=-1,H=4,S<-1結(jié)束循環(huán),

輸出〃=4.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)程序框圖運(yùn)行結(jié)果求輸出值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語(yǔ)句.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)證明見(jiàn)解析；(2)如畫.

91

【解析】

(1)證明PO_LAC,ACJ_O石得到AC_L平面POE,得到證明.

(2)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一型，平面POE的一個(gè)法向量為正=(61,0),平

面PBZ)的一個(gè)法向量為3=(-4百,4,3百)，計(jì)算夾角得到答案.

【詳解】

(1)因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，且Nfi4E>=60。，所以是等邊三角形，

又因?yàn)?。是AO的中點(diǎn)，所以BOJ.AO,又因?yàn)锳B=6,AO=3,所以8。=3百，

又PO=4,=BO2+PO2=PB2,所以POLO3,

又POJ.AD,ADcOB=O,所以POl平面ABC。，所以POJ.AC,

又因?yàn)锳BC。是菱形，OEIIBD,所以AC_LOE,又POp|OE=O，

所以AC，平面POE,所以AC_LPE.

(2)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知OPOPLOB,OA±OB,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-巧2,

則/(0,0,4),8(0,3瘋0),0(0,0,0),E(|,|ao),0(-3,0,0),

m-OP-4zj=0

設(shè)平面POE的一個(gè)法向量為加=(X，y,zJ,貝!|：<m-OE=陽(yáng)+g6弘=0

據(jù)此可得平面POE的一個(gè)法向量為m=(V3,-l,0)，

/5?BD=—3X-36y2=0

設(shè)平面P3D的一個(gè)法向量為〃=(//2*2)，貝必2

n?PD=-3X2-4Z2=0

據(jù)此可得平面PBD的一個(gè)法向量為n=(-473,4,3百)，

/---、m-n-16_8>/91

cos(m,n)=—―-

\m\n\^回一91

平面POE與平面PBD所成銳二面角的余弦值殳叵.

91

【點(diǎn)睛】

本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

18.(1)見(jiàn)證明；(2)ae(0,l)

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；

(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對(duì)a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從

而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)存在

極值.

【詳解】

(1)當(dāng)a=］時(shí)，/(x)=e*-sinx,于是，/'(x)=e*-co&x.

又因?yàn)?，?dāng)xe(0,*K>o)時(shí)，且co&xKl.

故當(dāng)XG(0,+8)時(shí)，ex-cosx>0，即r(x)>o.

所以，函數(shù)〃x)=e'-sinx為(0,+co)上的增函數(shù)，于是，/(x)>/(O)=l.

因此，對(duì)Vxe［0,-Ko),/(x)>l；

(2)方法一：由題意/(x)在(0,^］上存在極值，貝|/'(x)=ae'-co&x在(0,/)上存在零點(diǎn)，

①當(dāng)a€(0,1)時(shí)，/'⑴二彼一為除為口口上的增函數(shù)，

注意到''(O)=a_l<0,f'^=a-e^>0,

所以，存在唯一實(shí)數(shù)用€(0,5)，使得/'(%)=0成立.

于是，當(dāng)xw(當(dāng)天))時(shí),r(x)<0,7(x)為(0,不)上的減函數(shù)；

當(dāng)工小飛’?時(shí)，f'(x)>0,/(x)為1°，?上的增函數(shù)；

所以與e(0，m為函數(shù)“X)的極小值點(diǎn)；

x

②當(dāng)a21時(shí)，/'(%)=-cosx>e-cosx>0在xG上成立，

所以/(x)在上單調(diào)遞增，所以“X)在(0，口上沒(méi)有極值；

③當(dāng)aW0時(shí)，/'(X)=ae'-cosx<0在xw(0,上成立，

所以/(力在(0,曰上單調(diào)遞減，所以/(x)在(0,口上沒(méi)有極值，

綜上所述，使/(x)在(0,上存在極值的〃的取值范圍是(0,1).

方法二：由題意，函數(shù)/(x)在］0彳］上存在極值，則/'(力=馥'一cosx在(。,小上存在零點(diǎn).

即。=罷在(°，胃)上存在零點(diǎn).

/\cos九xelo,11,則由單調(diào)性的性質(zhì)可得g(x)為［o,段上的減函數(shù).

設(shè)g（x）=-

即g(尤)的值域?yàn)?0,1),所以，當(dāng)實(shí)數(shù)ae(O,l)時(shí)，/'(力=四'一cow在上存在零點(diǎn).

下面證明，當(dāng)ae(O,l)時(shí)，函數(shù)”X)在(0,9上存在極值.

事實(shí)上，當(dāng)ae(O,l)時(shí)，/'(x)=ae‘一co&r為(0,曰上的增函數(shù)，

注意至iJ/'(O)=a—1<0,尸0=分—>0,所以，存在唯一實(shí)數(shù)

使得/'(%)=()成立?于是，當(dāng)x€(0，x。)時(shí)，/。)<0，〃X)為(0,不)上的減函數(shù)；

當(dāng)xe(xo，|^時(shí)，/(%)>0,/(X)為(用，3上的增函數(shù)；

即飛為函數(shù)“X)的極小值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a?0,l)時(shí)，函數(shù)“X)在(。,口上存在極值.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，是一

道綜合題.

19.(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)先根據(jù)絕對(duì)值不等式求得-|x-2|的最大值，從而得到a+>+cNl,再利用基本不等式進(jìn)行證明；

(2)利用基本不等式/+〃z2/2變形得2絲土生，兩邊開(kāi)平方得到新的不等式，利用同理可得另外兩個(gè)

2

不等式，再進(jìn)行不等式相加，即可得答案.

【詳解】

(1)V|x-1|—|x—2|<|x—1—x+2|=l,/.a+b+c>\.

2+b2>lab，b2+c2>2bc，c2+a2>lac，

：?2a2+2h2+2c2>2ab+2bc+lac，

：?3。2+3b~+3cL>_1_匕+c~+2ab+2bc+2cle—（Q+。+21,

:.a1-^b2+c2>-.

3

(2),：a1+b2>2ab,2(a2+h2)>a2+2ab+h2=(a+h)2,

即絲產(chǎn)兩邊開(kāi)平方得d廬之亞|“+回=也(a+與.

同理可得2也S+c),\lc2+a2>—(c+a)-

22

三式相加，得y/a2+b2+揚(yáng)+。2+y/c2+cr>V2(a+b+c)>^2-

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值不等式、應(yīng)用基本不等式證明不等式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和

推理論證能力.

20.(1)y(2)p(l,3,2)

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)锳BJ_AC,AiB_L平面ABC,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y

軸，以過(guò)A,且平行于BAi的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由AB=AC=A|B=2求出所要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出棱

AAi與BC上的兩個(gè)向量，由向量的夾角求棱AAi與BC所成的角的大??；

(2)設(shè)棱BiG上的一點(diǎn)P,由向量共線得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出兩個(gè)平面PAB與平面ABAi的一個(gè)法向量，把二

面角P-AB-Ai的平面角的余弦值為2叵，轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析:

解(1)如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則C（2,0,0）,3（0,2,0）,A（0,2,2）,4（0,4,2）,

羽=（0,2,2）,配=函=（2,-2,0）.

cos鈕BC-M'BC_-4__j_

M，I*

TT

故A4與棱BC所成的角是

(2)P為棱gG中點(diǎn)，

設(shè)即=4竭=(22,—22,0),貝!IP(2A,4-2A,2).

設(shè)平面B鉆的法向量為1=(x,y,z),AP=(22,4-22,2),

n,-AP=0fx+3y+2z=0(z=-Ax

則<一__=>s=>s,

勺.AB=0[2y=0[y=。

故點(diǎn)=(1,0,-4)

\，町,A

而平面ABA,的法向量是n,=(1,0,0),則cos4,%=昌行=/——

/，同V1+/1-

解得4=g,即P為棱與￡中點(diǎn)，其坐標(biāo)為P（l,3,2）.

點(diǎn)睛：本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：

（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面

的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理

結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

21.（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）要證明尺\(yùn)1面40反，由已知可得ADLPC,只需滿足。足尸。=0即可，從而得到點(diǎn)E為中點(diǎn)；（2）求出面AOE

的法向量，面H1E的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角P-AE-。的余弦值.

【詳解】

（1）法一：要證明PCJ_面ADE,易知ADL面PDC,即得AD_LPC,故只需力耳斤=0即可，

所以由（藥+屜）.定=0=力？卮+庵?斤=0=|因=1,即存在點(diǎn)E為PC