2005年高考試題-數(shù)學(xué)理(湖北卷)

PAGEPAGE共17頁第4頁絕密★啟用前2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類） 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.第I部分（選擇題共60分）注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。 2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。答在試題卷上無效。 3．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將本試題卷和答題卡一并收回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+Q= ，則P+Q中元素的個數(shù)是 （） A．9 B．8 C．7 D．62．對任意實數(shù)a，b，c，給出下列命題： ①“”是“”充要條件； ②“是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件③“a>b”是“a2>b2”的充分條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件. 其中真命題的個數(shù)是 （） A．1 B．2 C．3 D．43． （） A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致是 （）5．雙曲線離心率為2，有一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則mn的值為 （） A． B． C． D．6．在這四個函數(shù)中，當(dāng)時，使恒成立的函數(shù)的個數(shù)是 （） A．0 B．1 C．2 D．37．若 （） A． B． C． D．8．若，則常數(shù)的值為 （） A． B． C． D．9．若的大小關(guān)系 （） A． B． C． D．與x的取值有關(guān)10．如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，點(diǎn)E、F、H、K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點(diǎn)，G為△ABC的重心.從K、H、G、B′中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為（）A．K B．H C．G D．B′11．某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段。如果抽得號碼有下列四種情況： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是 （）18．（本小題滿分12分） 在△ABC中，已知邊上的中線BD=，求sinA的值.19．（本小題滿分12分） 某地最近出臺一項機(jī)動車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會，一旦某次考試通過，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.20．（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn).（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離.21．（本小題滿分12分） 設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).（Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上？并說明理由.（此題不要求在答題卡上畫圖）22．（本小題滿分14分） 已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足（Ⅰ）證明（Ⅱ）猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（Ⅲ）試確定一個正整數(shù)N，使得當(dāng)時，對任意b>0，都有2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.1．B2．B3．C4．D5．A6．B7．C8．C9．D10．C11．D12．A二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算.每小題4分，滿分16分.13．[－6，2]14．15．－216．500三、解答題17．本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及運(yùn)用基本函數(shù)的性質(zhì)分析和解決問題的能力。解法1：依定義開口向上的拋物線，故要使在區(qū)間（－1，1）上恒成立.解法2：依定義的圖象是開口向下的拋物線，18．本小題主要考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能和運(yùn)算能力.解法1：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE//AB，且DE=在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，解法2：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸正向建立直角坐標(biāo)系，且不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限.解法3：過A作AH⊥BC交BC于H，延長BD到P使BD=DP，連接AP、PC，過P作PN⊥BC交BC的延長線于N，則HB=ABcosB=19．本小題主要考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的概念和運(yùn)算，以及運(yùn)用概率統(tǒng)計的知識解決實際問題的能力. 解：的取值分別為1，2，3，4. ，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P（）=0.6. ，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故ξ=3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故ξ=4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故∴李明實際參加考試次數(shù)ξ的分布列為ξ1234P0.60.280.0960.024∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.20．本小題主要考查線面關(guān)系和四棱錐等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.解法1：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），從而設(shè)的夾角為θ，則∴AC與PB所成角的余弦值為.（Ⅱ）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），則，由NE⊥面PAC可得，∴即N點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，.解法2：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE//PB，∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.在△AOE中，AO=1，OE=∴即AC與PB所成角的余弦值為.（Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則.連PF，則在Rt△ADF中設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC.∴N點(diǎn)到AB的距離，N點(diǎn)到AP的距離21．本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識以及推理運(yùn)算能力和綜合解決問題的能力.（Ⅰ）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得①設(shè)是方程①的兩個不同的根，∴②且由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得解得k=－1，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）.于是，直線AB的方程為解法2：設(shè)則有依題意，∵N（1，3）是AB的中點(diǎn)，∴又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，∴∴的取值范圍是（12，+∞）.直線AB的方程為y－3=－（x－1），即x+y－4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y－3=x－1，即x－y+2=0，代入橢圓方程，整理得又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程③的兩根，∴于是由弦長公式可得④將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程得⑤同理可得⑥∵當(dāng)時，假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故當(dāng)>12時，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|·|DN|，即⑧由⑥式知，⑧式左邊由④和⑦知，⑧式右邊∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD垂直平分AB，∴直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得③將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程，整理得⑤解③和⑤式可得不妨設(shè)∴計算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）22．本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式