2005年交通大學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試題

PAGE42005年交通大學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（每題5分，共50分）1．已知方程的兩根、滿足，則=．2．設(shè)，，則．3．已知，且，則．4．如圖，將3個(gè)12×12的正方形沿鄰邊的中點(diǎn)剪開，分成兩部分，將這6部分接在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正六邊形上，若拼接后的圖形是一個(gè)多面體的表面展開圖，則該多面體的體積為．5．已知，、，則=．6．化簡(jiǎn)：．7．若，且，則．8．一只螞蟻沿1×2×3立方體表面爬，從一條對(duì)角線一端爬到另一端所爬過(guò)的最短距離為．9．4封不同的信放入4個(gè)寫好地址的信封中，全裝錯(cuò)的概率為，恰好只有一封信裝錯(cuò)的概率為．10．已知等差數(shù)列中，，則=．二、解答題（本大題共50分）1．已知方程的三根分別為、、，且、、是不全為零的有理數(shù)，求、、的值．2．是否存在三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形，使得（1）最大角是最小角的兩倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分別求出該三角形；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．已知函數(shù)的最大值為9，最小值為1，求實(shí)數(shù)、的值．4．已知月利率為，采用等額還款方式，若本金為1萬(wàn)元，試推導(dǎo)每月等額還款金額關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（假設(shè)貸款時(shí)間為2年）．5．對(duì)于數(shù)列：1,3,3,3,5,5,5,5,5，…，即正奇數(shù)有個(gè)，是否存在整數(shù)、、，使得對(duì)于任意正整數(shù)，都有恒成立（表示不超過(guò)的最大整數(shù)）？又因?yàn)椤?，且，所以，，解得，?．【答案】．【提示】按的奇偶性分類討論，或找規(guī)律．7．【答案】【解答】由，得，故或=0．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，上式=25；當(dāng)=0時(shí)，則上式=19．8．【答案】．【提示】看側(cè)面展開圖（有三種不同情況）．9．【答案】；0．【解答】全裝錯(cuò)的概率是；只有一封信裝錯(cuò)是不可能事件，概率是0．10．【答案】33．【解答】則．二、解答題（本大題共50分）1．【解答】由韋達(dá)定理，得若，則∴，即或．∴．若，由（3）式，得，代入（2），得，而由（1），得，∴．∴，即．若有有理根，其中，、，則．∴為偶數(shù)，令，．代入得，∴也為偶數(shù)，這與矛盾．∴無(wú)有理根．∴，．∴綜合上述，或．2．【解答】設(shè)三角形三邊長(zhǎng)為、、，它們所對(duì)角分別為、、．（1）由余弦定理，得，．若，則．代入化簡(jiǎn)，得，即．∴，該三角形三邊長(zhǎng)為4、5、6．（2）如圖，設(shè)∠，則∠=3∠=3，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，使∠，∴△為等腰三角形又∠∠，∴△也為等腰三角形．∵，，，，∴．整理，得，無(wú)正整數(shù)．∴滿足條件的三角形不存在．3．【解答】將函數(shù)表達(dá)式整理，得，由判別式，得．依題意，上述不等式解集為．∴．經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．4．