2023年湖南師大附中博才實驗學校數(shù)學九年級第一學期期末調研模擬試題含解析

2023年湖南師大附中博才實驗學校數(shù)學九年級第一學期期末調研模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．要得到拋物線y＝2（x﹣4）2+1，可以將拋物線y＝2x2（）A．向左平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度B．向左平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度C．向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度D．向右平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度2．如圖，，，以下結論成立的是（）A． B．C． D．以上結論都不對3．計算，正確的結果是（）A．2 B．3a C． D．4．從前有一天，一個笨漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框寬4尺，豎著比門框高2尺．他的鄰居教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個笨漢一試，不多不少剛好進去了．求竹竿有多長．設竹竿長尺，則根據(jù)題意，可列方程（）A． B．C． D．5．如圖，在平面直角坐標中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為12，則C點坐標為（）A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E為AB上一點且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于點F，連接FB，則tan∠CFB的值等于()A． B． C． D．57．下列說法錯誤的是A．必然事件發(fā)生的概率為 B．不可能事件發(fā)生的概率為C．有機事件發(fā)生的概率大于等于、小于等于 D．概率很小的事件不可能發(fā)生8．某同學在解關于x的方程ax2+bx+c＝0時，只抄對了a＝1，b＝﹣8，解出其中一個根是x＝﹣1．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c是原方程的c的相反數(shù)，則原方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有一個根是x＝1 D．不存在實數(shù)根9．把方程化成的形式，則的值分別是（）A．4，13 B．-4，19 C．-4，13 D．4，1910．的值等于()A． B． C． D．11．如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠ABC＝70°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．35° B．70° C．110° D．140°12．圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則這個圓錐的側面積是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的點，連接BE，將△BCE繞點C順時針方向旋轉90°得到△DCF，連接EF，若∠BEC=60°，則∠EFD的度數(shù)為_______度．14．已知點和關于原點對稱，則a+b=____.15．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，將Rt△AOB繞點O順時針旋轉90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點E逆時針旋轉90°后得線段ED，分別以O，E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分面積是_____．16．△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則sin∠A的值為__________．17．如圖，CD是的直徑，E為上一點，，A為DC延長線上一點，AE交于點B，且，則的度數(shù)為__________．

18．如圖，已知點是函數(shù)圖象上的一個動點.若，則的取值范圍是__________.三、解答題（共78分）19．（8分）京杭大運河是世界文化遺產．綜合實踐活動小組為了測出某段運河的河寬（岸沿是平行的），如圖，在岸邊分別選定了點A、B和點C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用測角儀測得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求該段運河的河寬（即CH的長）．20．（8分）如圖是一種簡易臺燈的結構圖，燈座為△ABC，A、C、D在同一直線上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，燈桿CD長為40cm，燈管DE長為15cm.求臺燈的高(即臺燈最高點E到底盤AB的距離).(結果取整，參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)21．（8分）定義：如圖1，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與射線OA，OB交于M，N兩點，若∠MPN繞點P旋轉時始終滿足OM?ON＝OP2，則稱∠MPN是∠AOB的“相關角”．（1）如圖1，已知∠AOB＝60°，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與射線OA，OB交于M，N兩點，且∠MPN＝150°．求證：∠MPN是∠AOB的“相關角”；（2）如圖2，已知∠AOB＝α（0°α90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相關角”，連結MN，用含α的式子分別表示∠MPN的度數(shù)和△MON的面積；（3）如圖3，C是函數(shù)（x0）圖象上的一個動點，過點C的直線CD分別交x軸和y軸于點A，B兩點，且滿足BC＝3CA，∠AOB的“相關角”為∠APB，請直接寫出OP的長及相應點P的坐標．22．（10分）如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角∠CED=60°，在離電線桿6米的B處安置高為1.5米的測角儀AB，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，則拉線CE的長為______________m(結果保留根號)．23．（10分）已知拋物線y＝x2﹣bx+2b（b是常數(shù)）．（1）無論b取何值，該拋物線都經過定點D．請寫出點D的坐標．（2）該拋物線的頂點是(m，n)，當b取不同的值時，求n關于m的函數(shù)解析式．（3）若在0≤x≤4的范圍內，至少存在一個x的值，使y＜0，求b的取值范圍．24．（10分）如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB．25．（12分）如圖，△ABC的頂點都在方格線的交點（格點）上．（1）將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉90°得到△A′B′C′，請在圖中畫出△A′B′C′；（2）將△ABC向上平移1個單位，再向右平移5個單位得到△A″B″C″，請在圖中畫出△A″B″C″；（3）若將△ABC繞原點O旋轉180°，A的對應點A1的坐標是．26．已知反比例函數(shù)，（k為常數(shù)，）．（1）若點在這個函數(shù)的圖象上，求k的值；（2）若在這個函數(shù)圖象的每一分支上，y隨x的增大而增大，求k的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．【詳解】∵y＝2（x﹣4）2+1的頂點坐標為（4，1），y＝2x2的頂點坐標為（0，0），∴將拋物線y＝2x2向右平移4個單位，再向上平移1個單位，可得到拋物線y＝2（x﹣4）2+1．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，求出頂點坐標并抓住點的平移規(guī)律是解題關鍵．2、C【分析】根據(jù)已知條件結合相似三角形的判定定理逐項分析即可．【詳解】解：∵∠AOD=90°，設OA=OB=BC=CD=x∴AB=x，AC=x，AD=x，OC=2x，OD=3x，BD=2x,∴，∴∴．故答案為C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．3、D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪除法法則即可解答．【詳解】根據(jù)同底數(shù)冪除法法則（同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減）可得，a6÷a1＝a6﹣1＝a1．故選D．【點睛】本題考查了整式除法的基本運算，必須熟練掌握運算法則．4、B【分析】根據(jù)題意，門框的長、寬以及竹竿長是直角三角形的三邊長，等量關系為：門框長的平方+門框寬的平方=門的對角線長的平方，把相關數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：∵竹竿的長為x尺，橫著比門框寬4尺，豎著比門框高2尺．

∴門框的長為（x-2）尺，寬為（x-4）尺，

∴可列方程為（x-4）2+（x-2）2=x2，

故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，得到門框的長，寬，竹竿長是直角三角形的三邊長是解決問題的關鍵．5、A【分析】直接利用位似圖形的性質結合相似比得出AD的長，進而得出△OAD∽△OBG，進而得出AO的長，即可得出答案．【詳解】∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴，∵BG＝12，∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴∴解得：OA＝2，∴OB＝6，∴C點坐標為：（6，4），故選A．【點睛】此題主要考查了位似變換以及相似三角形的判定與性質，正確得出AO的長是解題關鍵．6、C【解析】根據(jù)題意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴=∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，設AB=2x，則BC=x，AC=∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．則tan∠CFB==故選C．7、D【分析】利用概率的意義分別回答即可得到答案．概率的意義：必然事件就是一定發(fā)生的事件，概率是1；不可能發(fā)生的事件就是一定不發(fā)生的事件，概率是0；隨機事件是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，概率＞0且＜1；不確定事件就是隨機事件．【詳解】解：A、必然發(fā)生的事件發(fā)生的概率為1，正確；

B、不可能發(fā)生的事件發(fā)生的概率為0，正確；

C、隨機事件發(fā)生的概率大于0且小于1，正確；

D、概率很小的事件也有可能發(fā)生，故錯誤，

故選D．【點睛】本題考查了概率的意義及隨機事件的知識，解題的關鍵是了解概率的意義．8、A【分析】直接把已知數(shù)據(jù)代入進而得出c的值，再解方程根據(jù)根的判別式分析即可．【詳解】∵x＝﹣1為方程x2﹣8x﹣c＝0的根，1+8﹣c＝0，解得c＝9，∴原方程為x2－8x＋9＝0，∵＝（﹣8）2－4×9＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，根的情況由來判別，當＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當＜0時，方程沒有實數(shù)根．9、D【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．【詳解】解：∵x2+8x-3=0,

∴x2+8x=3,

∴x2+8x+16=3+16,

∴（x+4）2=19,

∴m=4，n=19,

故選：D．【點睛】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．10、D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)即得．【詳解】故選：D．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)，解題關鍵是熟悉，及的正弦、余弦和正切值．11、D【分析】根據(jù)圓周角定理問題可解．【詳解】解：∵∠ABC所對的弧是，

∠AOC所對的弧是，

∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．

故選D．【點睛】本題考查圓周角定理，解答關鍵是掌握圓周角和同弧所對的圓心角的數(shù)量關系．12、B【分析】根據(jù)題意得出圓錐的底面半徑為1，母線長為2，直接利用圓錐側面積公式求出即可．【詳解】依題意知母線長為：2，底面半徑r=1，則由圓錐的側面積公式得S=πrl=π×1×2=2π．故選：B．【點睛】此題主要考查了圓錐側面面積的計算，對圓錐的側面面積公式運用不熟練，易造成錯誤．二、填空題（每題4分，共24分）13、15【分析】根據(jù)旋轉的性質知∠DFC=60°，再根據(jù)EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.【詳解】∵△DCF是△BCE旋轉以后得到的圖形，∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．又∵∠ECF=90°，∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．【點睛】此題主要考查正方形的性質，解題的關鍵是熟知等腰直角三角形與正方形的性質.14、【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得a-1+2=0,b-1+1=0，再解方程即可求得a、b的值，再代入計算即可．【詳解】∵點和關于原點對稱，∴a-1+2=0,b-1+1=0，∴a=-1,b=0,∴a+b=-1.故答案是：-1.【點睛】考查了關于原點對稱的點的坐標特點，解題關鍵是運用了兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反．15、8﹣π【解析】分析：如下圖，過點D作DH⊥AE于點H，由此可得∠DHE=∠AOB=90°，由旋轉的性質易得DE=EF=AB，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，結合∠ABO+∠BAO=90°可得∠BAO=∠DEH，從而可證得△DEH≌△BAO，即可得到DH=BO=2，再由勾股定理求得AB的長，即可由S陰影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF即可求得陰影部分的面積.詳解：如下圖，過點D作DH⊥AE于點H，∴∠DHE=∠AOB=90°，∵OA=3，OB=2，∴AB=，由旋轉的性質結合已知條件易得：DE=EF=AB=，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，又∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DEH，∴△DEH≌△BAO，∴DH=BO=2，∴S陰影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF==.故答案為：.點睛：作出如圖所示的輔助線，利用旋轉的性質證得△DEH≌△BAO，由此得到DH=BO=2，從而將陰影部分的面積轉化為：S陰影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF來計算是解答本題的關鍵.16、【分析】根據(jù)勾股定理及三角函數(shù)的定義直接求解即可；【詳解】如圖，，∴sin∠A，故答案為：【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.17、16°【分析】連接OB，根據(jù)，可得，設∠A=x，則∠AOB=x，列方程求出ｘ的值即可．【詳解】連接OB設∠A=x，則∠AOB=x即∠A的度數(shù)為16°故答案為：16°．【點睛】本題考查了圓的角度問題，掌握等邊對等角、三角形外角定理是解題的關鍵．18、【分析】根據(jù)得-1＜a＜1，再根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出對稱軸，再根據(jù)函數(shù)的圖像與性質即可求解.【詳解】∵∴-1＜a＜1，∵函數(shù)對稱軸x=∴當a=，y有最大值當a=-1時，∴則的取值范圍是故填：.【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質，解題的關鍵是根據(jù)題意函數(shù)圖像進行求解.三、解答題（共78分）19、該段運河的河寬為．【分析】過D作DE⊥AB，可得四邊形CHED為矩形，由矩形的對邊相等得到兩對對邊相等，分別在直角三角形ACH與直角三角形BDE中，設CH=DE=xm，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AH與BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到結果．【詳解】解：過作，可得四邊形為矩形，，設，在中，，，在中，，，由，得到，解得：，即，則該段運河的河寬為．【點睛】考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關鍵．20、臺燈的高約為45cm.【分析】如圖，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延長線于G、F，DH⊥EF于H，可得四邊形DGFH是矩形，可得DG=FH，根據(jù)∠A的余弦可求出AC的長，進而可得AD的長，根據(jù)∠A的正弦即可求出DG的長，由∠ADE=135°可得∠EDH=15°，根據(jù)∠DEH的正弦可得EH的長，根據(jù)EF=EH+FH求出EF的長即可得答案.【詳解】如圖，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延長線于G、F，DH⊥EF于H，∴四邊形DGFH是矩形，∴DG=FH，∵∠A=60°，AB=16，∴AC=AB·cos60°=16×=8，∴AD=AC+CD=8+40=48，∴DG=AD·sin60°=24，∵DH⊥EF，AF⊥EF，∴DH//AF，∴∠ADH=180°-∠A=120°，∵∠ADE=135°，∴∠EDH=∠ADE-∠ADH=15°，∵DE=15，∴EH=DE·sin15°≈3.9，∴EF=EH+FH=EH+DG=24+3.9≈45，答：臺燈的高約為45cm.【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，正確應用銳角三角函數(shù)的關系是解題關鍵.21、（1）見解析；（2）；（3），P點坐標為或【分析】（1）由角平分線求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝30°，再證出∠OMP＝∠OPN，證明△MOP∽△PON，即可得出結論；（2）由∠MPN是∠AOB的“相關角”，判斷出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；過點M作MH⊥OB于H，由三角形的面積公式得出：S△MON＝ON?MH，即可得出結論；（3）設點C（a，b），則ab＝3，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，BC＝3CA不可能；當點A在x軸的正半軸上時；先求出，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式：，得出OB，OA，求出OA?OB，根據(jù)∠APB是∠AOB的“相關角”，得出OP，即可得出點P的坐標；②當點B在y軸的負半軸上時；同①的方法即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵∠AOB＝60°，P為∠AOB的平分線上一點，∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，∴∠OMP+∠MPO＝150°，∵∠MPN＝150°，∴∠MPO+∠OPN＝150°，∴∠OMP＝∠OPN，∴△MOP∽△PON，∴，∴OP2＝OM?ON，∴∠MPN是∠AOB的“相關角”；（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相關角”，∴OM?ON＝OP2，∴，∵P為∠AOB的平分線上一點，∴∠MOP＝∠NOP＝α，∴△MOP∽△PON，∴∠OMP＝∠OPN，∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，即∠MPN＝180°﹣α；過點M作MH⊥OB于H，如圖2，則S△MON＝ON?MH＝ON?OMsinα＝OP2?sinα，∵OP＝3，∴S△MON＝sinα；（3）設點C（a，b），則ab＝4，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：①當點B在y軸正半軸上時；Ⅰ、當點A在x軸的負半軸上，如圖3所示：BC＝3CA不可能，Ⅱ、當點A在x軸的正半軸上時，如圖4所示：∵BC＝3CA，∴，∵CHOB，∴△ACH∽△ABO，∴，∴,∴OB＝4b，OA＝a，∴OA?OB＝a?4b＝ab＝，∵∠APB是∠AOB的“相關角”，∴OP2＝OA?OB，∴，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴點P的坐標為：；②當點B在y軸的負半軸上時，如圖5所示：∵BC＝3CA，∴AB＝2CA，∴，∵CHOB，∴△ACH∽△ABO，∴，∴∴OB＝2b，OA＝a，∴OA?OB＝a?2b＝ab＝，∵∠APB是∠AOB的“相關角”，∴OP2＝OA?OB，∴，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴點P的坐標為：；綜上所述：點P的坐標為：或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，掌握數(shù)形結合和分類討論的思想是解題的關鍵．22、【分析】由題意可先過點A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，進而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的長．【詳解】解：過點A作AH⊥CD，垂足為H，

由題意可知四邊形ABDH為矩形，∠CAH=30°，

∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，

在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH?tan∠CAH，

∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=（米），∵DH=1.5，

∴CD=2+1.5，

在Rt△CDE中，

∵∠CED=60°，sin∠CED=，答：拉線CE的長約為米，故答案為：．【點睛】本體考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題．要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．23、（1）(2，1)；（2）n＝﹣m2+2m；（3）1＜b＜8或0＜b＜1【分析】（1）當x＝2時，y＝1，即可確定點D的坐標；（2）根據(jù)拋物線的頂點坐標即可得n關于m