機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

1.4機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程0501116金玉玉（一）保守系統(tǒng)彈簧受力而壓縮時(shí)，彈簧內(nèi)部將儲(chǔ)存位能；物體受外力作用而運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體將具有一定的能。電容器由電源充電時(shí)，其電場內(nèi)將存儲(chǔ)一定的電場能量；線圈通過電流時(shí)，其磁場內(nèi)將存儲(chǔ)一定的磁場能量。這些能量，在一定的條件下存儲(chǔ)在物體或元件內(nèi)，當(dāng)條件變化時(shí)它們有可以部分或全部釋放出來。由這樣一些能夠存儲(chǔ)能量、釋放能量、沒有任何損耗的物體或元件所組成的，與周圍系統(tǒng)沒有能量交換的自守物理系統(tǒng)，就稱為保守系統(tǒng)。由于沒有能量的損耗，且不與周圍的能源相關(guān)，所以保守系統(tǒng)的總能量為守恒。在機(jī)電系統(tǒng)中，把所有的損耗移出，并不與外界的電源或機(jī)械能源相連接，則系統(tǒng)就是一個(gè)保守系統(tǒng)。如果考慮損耗，或者與外部能源連接，則系統(tǒng)將是“非保守的”。（二）狀態(tài)函數(shù)描述系統(tǒng)即時(shí)所處狀態(tài)的一組獨(dú)立變量，稱為狀態(tài)變量。由一組狀態(tài)變量所確定的、描述系統(tǒng)即時(shí)狀態(tài)的單值函數(shù)，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)。保守系統(tǒng)的一個(gè)特點(diǎn)是，系統(tǒng)的儲(chǔ)能（例如磁場能量）以及由儲(chǔ)能的偏導(dǎo)數(shù)所確定的廣義力，僅與系統(tǒng)的即時(shí)狀態(tài)有關(guān)，而與系統(tǒng)的歷史及到達(dá)此狀態(tài)的路徑無關(guān)。所以系統(tǒng)的儲(chǔ)能以及相應(yīng)的廣義力（例如電磁力）都是狀態(tài)函數(shù)。例如，對單邊激勵(lì)的機(jī)電系統(tǒng)，若可動(dòng)部分作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，機(jī)、電系統(tǒng)各有一個(gè)自由度，若選磁鏈Ψ和轉(zhuǎn)角θ為狀態(tài)變量，則磁能就是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，它單值地取決于Ψ和θ的終值。同理，磁共能

亦是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意的是，狀態(tài)變量雖有多種選擇方案，但它們必須是獨(dú)立變量。在解決實(shí)際問題時(shí)，選用還是選用，常常取決于初始狀態(tài)的表述，以及希望解答中出現(xiàn)哪些量比較方便而決定。把系統(tǒng)中的損耗和能源移出，把系統(tǒng)當(dāng)作為保守系統(tǒng)并用狀態(tài)函數(shù)描述，對研究機(jī)電系統(tǒng)的能量過程和運(yùn)動(dòng)方程具有重要的意義。

（三）磁場儲(chǔ)能和電磁轉(zhuǎn)矩的普遍公式對于具有n個(gè)系統(tǒng)，繞組的機(jī)電總的磁場能量應(yīng)為（2-50）磁共能為

（2-51）磁能和磁共能的和為

（2-52）在線性情況下

（2-53）用磁鏈Ψ和轉(zhuǎn)角θ作為獨(dú)立變量時(shí)，把θ作微分虛位移，從能量首恒出發(fā)，可以導(dǎo)出與式（2-46）相類似的電磁轉(zhuǎn)矩公式即：

（2-54）若以電流和轉(zhuǎn)角θ作為獨(dú)立變量，可以證明

（2-55）

式（2-54）和式（2-55）就是電磁轉(zhuǎn)矩的普遍公式，它對線性和非線性情況均適用。這里應(yīng)當(dāng)注意，式（2-54）和式（2-55）中或?qū)Ζ惹笃珜?dǎo)數(shù)時(shí)，或作為常值，這僅是獨(dú)立變量的選擇所帶來的一種數(shù)學(xué)制約，并不涉及實(shí)際端口處電的制約（例如電源電壓的變化規(guī)律等等），因此不影響這兩個(gè)公式的普遍性。表2-1列出了這兩組公式的相互關(guān)系。表2-1由電磁力產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩磁能磁共能磁能與磁共能的關(guān)系對線性系統(tǒng)

獨(dú)立變量從磁能計(jì)算電磁轉(zhuǎn)矩從磁共能計(jì)算電磁轉(zhuǎn)矩線性情況

[例2-4]某一單邊激勵(lì)的機(jī)電裝置，其曲線如圖2-12所示；圖中第一條曲線對應(yīng)可動(dòng)部分的位移的位置，第二條曲線對應(yīng)于的位置。現(xiàn)任選取兩條路徑到達(dá)終點(diǎn)A，試證明A點(diǎn)的磁能與路徑無關(guān)。解先選取路徑1，即沿的曲線到達(dá)A點(diǎn)。此時(shí)可動(dòng)部分靜止不動(dòng)，輸入裝置的凈電能全部變?yōu)榇拍?，故A點(diǎn)的磁能為在選路徑2，即先沿著的曲線到達(dá)點(diǎn)，再從沿著鉛垂線到達(dá)A點(diǎn)。此時(shí)，磁能的建立分成兩個(gè)階段：第一階段（）中，，可動(dòng)部分靜止不動(dòng)，輸入裝置的凈電能全部轉(zhuǎn)換為磁能，由此可得點(diǎn)的磁能為

第二階段（）中可動(dòng)部分的位置從移到，此時(shí)裝置從電源輸入的電能部分轉(zhuǎn)換為磁能，部分轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，即其中轉(zhuǎn)換為磁能的能量應(yīng)為從點(diǎn)到A點(diǎn)時(shí)，電流保持為常值（），故又（所以

這樣，由路徑（2）到達(dá)A點(diǎn)時(shí)磁能應(yīng)為即與路徑1算出的值完全相同。磁能和磁共能均為狀態(tài)函數(shù)，其值取決于運(yùn)行點(diǎn)的電流（磁鏈）和位置的終值，而與達(dá)到該點(diǎn)的路徑和方式無關(guān)，這從本例中可以清楚地看出。本例中，A點(diǎn)的磁能，對路徑1是從電能轉(zhuǎn)換而來的