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文檔簡介
第三節(jié)3.3.1、函數(shù)單調(diào)性3.3.2、曲線凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線凹凸性第三章3.3.1、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理3.3.1.
設(shè)函數(shù)則在I
內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:
無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I
內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I
內(nèi)可導(dǎo),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢例3.3.1.
確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:
單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,
則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,例3.3.2.
證明時,成立不等式證:
令且證明目錄上頁下頁返回結(jié)束有即從而定義3.3.1.
設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點
.圖形是凸的.3.3.2、曲線凹凸性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.3.2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I
內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在
I
內(nèi)圖形是凸的.證:兩式相加,得說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢記例3.3.3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.3.4.求曲線的拐點.解:不存在凹凸因此點(0,0)
為曲線的拐點.小結(jié)
判定函數(shù)凹凸性及求拐點的步驟1、求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。2、求二階導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點。3、根據(jù)定理3.3.2判斷說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,例3.3.5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及凹,凸,點(0,1)
及均為拐點.凹凹凸內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I
上單調(diào)遞增在I
上單調(diào)遞減機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:
利用單調(diào)增加,及B1.
設(shè)在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束
.2.
曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及作業(yè)
P1331
(2),(5);3,4(2)
,5;
;
;證明:當時,有證明:令,則是凸函數(shù)即
2.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束有位于一直線的三個拐點.1.求證曲線證明
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