函數(shù)的稀疏表達(dá)及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用

函數(shù)的稀疏表達(dá)及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用梅樹(shù)立2024/1/41概述

Introduction函數(shù)的基函數(shù)表達(dá)Representationwithbasisfunction函數(shù)的多尺度表達(dá)Multi-scalerepresentation自適應(yīng)壓縮算法CompressedAlgorithm應(yīng)用Application主要內(nèi)容OUTLINE2024/1/42特殊信號(hào)可以用直角坐標(biāo)系表達(dá)，如圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線），相貫線等—空間曲線及其方程概述兩個(gè)圓柱在兩個(gè)與其底面平行的投影面內(nèi)的投影分別是兩個(gè)圓，其方程可表示為：2024/1/43概述-從空間解析幾何談起截?cái)嗝?024/1/44概述-從空間解析幾何談起特點(diǎn)：利用空間曲線在投影面上的投影曲線方程，聯(lián)立組合得到三維空間曲線。2024/1/452024/1/46三維空間屬于線性空間大多數(shù)的信號(hào)如圖像等，無(wú)法在線性空間描述線性向量空間和泛函空間典型的泛函空間：距離空間，Banah空間，內(nèi)積空間，Hilbert空間。構(gòu)成線性空間的元素是向量（N維），構(gòu)成泛函空間的基本元素是函數(shù)（基函數(shù)）。因此，泛函簡(jiǎn)稱(chēng)為“函數(shù)的函數(shù)”概述-從空間解析幾何談起2024/1/47基函數(shù)如何用數(shù)學(xué)公式表達(dá)這種基函數(shù)逼近？2024/1/48基函數(shù)如何用數(shù)學(xué)公式表達(dá)這種基函數(shù)逼近？如何提高逼近精度？2024/1/49基函數(shù)2024/1/410V0:在整數(shù)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，可表示為以下形式：基函數(shù)空間2024/1/411基函數(shù)空間V1:在半整數(shù)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，可表示為以下形式：2024/1/412基函數(shù)空間V2:在1/4整數(shù)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，可表示為以下形式：2024/1/413V0V2V12024/1/414基函數(shù)空間Vj:在1/2j整數(shù)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，可表示為以下形式：思考：將一個(gè)函數(shù)分別表達(dá)在V0空間和V1空間，這兩種逼近表達(dá)之間的誤差是多少？換句話說(shuō)，我們能否找到誤差補(bǔ)空間W0，滿足:2024/1/4152024/1/416RECALL2024/1/417函數(shù)f(x)=a-(x-b)2在V0空間的映射（在V0空間被逼近）若a=b=1,則h=2/32024/1/418函數(shù)f(x)=a-(x-b)2在V1空間的映射（在V1空間被逼近）若a=b=1,則h1=5/12,h2=11/122024/1/419V0的補(bǔ)空間？2024/1/4202024/1/4212024/1/4222024/1/423TranslatingStretching2024/1/424f(x)=a-(x-b)2在V0空間內(nèi)的逼近表達(dá)式（紅色直線）：在V1空間內(nèi)的逼近表達(dá)式（綠藍(lán)色直線）：在補(bǔ)空間W1空間內(nèi)的逼近表達(dá)式：2024/1/425….因此，有進(jìn)一步可表示為2024/1/426Haar小波通過(guò)平移和伸縮可以得到Haar小波族2024/1/427平移2024/1/428伸縮2024/1/429小波的一般表達(dá)式Haar小波的正交特性2024/1/430多尺度分析Only0functioninallspaces如果某函數(shù)在所有空間中，必然在任意區(qū)間上是常數(shù)，而且平方可積，因此只能是0。所謂平方可積，即：2024/1/431多尺度分析可以逼近所有的平方可積函數(shù)f(x)如何構(gòu)造滿足以上特性的其他正交小波？首先回顧Fourier變換的以下定理：(1)Fourier變換是平方可積空間到平方可積空間的一一映射(onetoonecorrespondence)(2)內(nèi)積不變：兩個(gè)函數(shù)的f(x)和g(x)的內(nèi)積等于他們Fourier變換的內(nèi)積，即2024/1/432正交小波的構(gòu)造(3)根據(jù)定理2，我們有2024/1/433正交小波的構(gòu)造2024/1/434正交小波的構(gòu)造-如何滿足正交性前已述及，基函數(shù)的內(nèi)積等于基函數(shù)的傅里葉變換的內(nèi)積。因此，基函數(shù)正交的條件等價(jià)于以下形式2024/1/435正交小波的變換-如何滿足正交性2024/1/436正交小波的構(gòu)造-如何滿足正交性2024/1/437周期函數(shù)可表達(dá)為傅里葉級(jí)數(shù)形式：其中：2024/1/438因此，尺度函數(shù)正交的等價(jià)條件2024/1/439構(gòu)造正交小波-雙尺度差分方程為滿足條件V0?V1,舉例2024/1/4402024/1/441上式即為滿足V0?V1的等價(jià)表達(dá)式.不難理解：2024/1/442Recall基函數(shù)正交的等價(jià)條件是將代入上式，得2024/1/4432024/1/444基函數(shù)正交的等價(jià)條件是2024/1/445小波函數(shù)的多尺度構(gòu)造其中2024/1/446根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的定義，函數(shù)mf和mg都是以2π為周期的函數(shù)，因此RECALL:2024/1/4472024/1/448因此：2024/1/4492024/1/4502024/1/451容易得到：2024/1/452因此和下式類(lèi)比得：可以證明，上式是平方可積的2024/1/453利用關(guān)系式得：2024/1/454上式說(shuō)明，我們所選擇的小波函數(shù)是正交的如果基函數(shù)滿足以下條件：2024/1/455結(jié)論便可得到一多尺度分析，滿足多尺度分析的特性。此外，如果定義一關(guān)于小波函數(shù)的傅里葉變換為：則構(gòu)成一正交基2024/1/456Daubechies小波的構(gòu)造尺度函數(shù)應(yīng)滿足雙尺度差分方程：以m0為起點(diǎn)，可以遞推得到：m0為可以表示為以下級(jí)數(shù)形式：如果m0滿足正交條件：便可用