工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)1第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1復(fù)數(shù)及代數(shù)運(yùn)算21.復(fù)數(shù)的概念在實(shí)數(shù)范圍,方程

x2=-1是無解的.因此引進(jìn)一個(gè)新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位,并規(guī)定

i2=-1從而i是方程x2=-1的一個(gè)根.對于任意二實(shí)數(shù)x,y,稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù),x,y分別稱為z的實(shí)部和虛部,記作

x=Re(z),y=Im(z)3當(dāng)x=0,y0時(shí),z=iy稱為純虛數(shù);當(dāng)y=0時(shí)z=x+0i,將其看作是實(shí)數(shù)x.

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,是指的它的實(shí)部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)z=0,是指的實(shí)部和虛部都是0.

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2的加法,減法和乘法定義為

(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1

x2)+i(y1

y2)(1.1.1)

(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)

(1.1.2)

稱上面二式右端為z1,z2的和,差與積

當(dāng)z1,z2為實(shí)數(shù)時(shí),上二式與實(shí)數(shù)的運(yùn)算一致.4稱滿足

z2z=z1 (z20)

的復(fù)數(shù)z=x+iy為z1除以z2的商,復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律,結(jié)合律和分配律:z1+z2=z2+z1,z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3),z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.5把實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù),與z共軛的復(fù)數(shù)記作z6§2復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面由于一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy由一對有序?qū)崝?shù)(x,y)碓一確定,所以對于平面上的直角坐標(biāo)系,復(fù)數(shù)的全體與該平面上的點(diǎn)的全體成一一對應(yīng)關(guān)系,從而復(fù)數(shù)z=x+iy可以用該平面上的坐標(biāo)為(x,y)的點(diǎn)來表示,這是復(fù)數(shù)的一個(gè)常用表示方法.此時(shí),x軸稱為實(shí)軸,y軸稱為虛軸,兩軸所在的平面稱為復(fù)平面或z平面.這樣,復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)成一一對應(yīng),并且把"點(diǎn)z"作為"數(shù)z"的同義詞,從而使我們能借助于幾何語言和方法研究復(fù)變函數(shù)問題.7在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)z還與從原點(diǎn)指向點(diǎn)z=x+iy的平面向量一一對應(yīng),因此復(fù)數(shù)z也能用向量OP來表示.向量的長度稱為z的?；蚪^對值,記作OxyxyqPz=x+iy|z|=r8顯然,下列各式成立OxyxyqPz=x+iy|z|=r9在z0的情況,以正實(shí)軸為始邊,以表示z的向量OP為終邊的角的弧度q稱為z的軸角,記作

Arg

z=q

這時(shí),有OxyxyqPz=x+iy|z|=r10任何一個(gè)復(fù)數(shù)z0有無窮多個(gè)幅角,如果q1是其中的一個(gè),則

Arg

z=q1+2kp(k為任意整數(shù))(1.2.3)

給出了z的全部幅角,在z(0)的幅角中,將滿足-p<q0

p的q0稱為Arg

z的主值,記作

q0=arg

zOxyxyqPz=x+iy|z|=r11當(dāng)z=0時(shí),|z|=0,而幅角不確定.

arg

z可由下列關(guān)系確定:12由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則,兩個(gè)復(fù)數(shù)z1和z2的加減法和相應(yīng)的向量的加減法一致.Oxyz1z2z1+z2成立不等式|z1+z2||z1|+|z2|(三角不等式),(1.2.5)13減法:Oxyz1z2z1-z2-z2|z1-z2|||z1|-|z2|| (1.2.6)14一對共軛復(fù)數(shù)z和z在復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于實(shí)數(shù)軸對稱的,因而|z|=|z|,如果z不在負(fù)實(shí)軸和原點(diǎn)上,還有arg

z=-arg

zOxy15利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:

x=r

cosq,y=r

sinq,

可以將z表示成三角表示式:

z=r(cosq+sinq), (1.2.7)

利用歐拉公式eiq=cosq+isinq得指數(shù)表示式:

z=reiq (1.2.8)OxyxyqPz=x+iy|z|=r162.復(fù)球面NSOxyPz17除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).

取一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)z=0的球面,球面上的一點(diǎn)S與原點(diǎn)重合.通過S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于另一點(diǎn)N.稱N為北極,S為南極.

對復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系,

而N點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作

.

這樣的球面稱作復(fù)球面.18關(guān)于的四則運(yùn)算作如下規(guī)定:

加法:a+=+a=(a)

減法:a-=-a=(a)

乘法:a=a=(a0)19§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根20乘積與商設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)

z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)

=r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)

+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]

=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]

于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)

Arg(z1z2)=Arg

z1+Argz2, (1.3.2)

定理1

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.21z1z2相當(dāng)于將z1的模擴(kuò)大|z2|倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Arg

z2q2q2z2q1z1z1z21Oxy22如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù):由此逐步可證,如果23按照商的定義,當(dāng)z10時(shí),有定理二兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.24如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù):定理二可簡明地表示為252.冪與根n個(gè)相同復(fù)數(shù)z的乘積稱為z的n次冪,

記作zn則根據(jù)(1.3.4),對任意正整數(shù)n,我們有

zn=rn(cos

nq+isin

nq). (1.3.7)如|z|=1,則(棣莫弗(DeMoivre)公式).(cosq+isinq)n=cosnq+isinnq. (1.3.8)26設(shè)z為己知,方程wn=z的根w稱為z的n次根,如n為正整數(shù),則一個(gè)復(fù)數(shù)的n次根不止有一個(gè),而是有n個(gè),這是很麻煩的事情.例如在幾何上,z1/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)27§4區(qū)域281.區(qū)域的概念平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓: |z-z0|<d內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式0<|z-z0|<d所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域.dz029包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿足|z|>M的所有點(diǎn)的集合,其中實(shí)數(shù)M>0,稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域.

即它是圓|z|=M的外部且包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿足|z|>M的所有點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心領(lǐng)域,也記作M<|z|<.M0|z|>M30設(shè)G為一平面點(diǎn)集,z0為G中任意一點(diǎn).如果存在z0的一個(gè)鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn).

如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱G為

開集31平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域,如果它滿足下列兩個(gè)條件:

1)D是一個(gè)開集;

2)D是連通的,就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連接起來.區(qū)域z2z1不連通32設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn),這樣的點(diǎn)P稱為D的邊界點(diǎn).D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.C3C2zg1g2C333區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記作D.

如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為

無界的.xyDO34滿足不等式r1<|z-z0|<r2的所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)區(qū)域,而且是有界的,區(qū)域的邊界由兩個(gè)圓周

|z-z0|=r1和|z-z0|=r2構(gòu)成,稱為圓環(huán)域.如果在圓環(huán)域內(nèi)去掉一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn),它仍然構(gòu)成區(qū)域,只是區(qū)域的邊界由兩個(gè)圓周和一個(gè)(或幾個(gè))孤立的點(diǎn)所構(gòu)成z0r2r135無界區(qū)域的例子xyxyxy上半平面:Imz>0角形域:0<argz<jjab帶形域:a<Imz<b362.單連通域與多連通域

平面曲線在數(shù)學(xué)上,經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線.如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線可用一個(gè)方程

z=z(t) (a

t

b)

來代表.這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.37如果在區(qū)間a

t

b上x'(t)和y'(t)都是連續(xù)的,且對于t的每一個(gè)值,有

[x'(t)]2+[y'(t)]20

這曲線稱為光滑的,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線,稱為按段光滑曲線.連續(xù)不連續(xù)光滑不光滑38設(shè)C:z=z(t)(a

t

b)為一條連續(xù)曲線,z(a)與z(b)分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn).對于滿足a<t1<b,a

t2

b的t1與t2,當(dāng)t1

t2而有z(t1)=z(t2)時(shí),點(diǎn)z(t1)稱為曲線C的重點(diǎn).沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C,稱為簡單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線.如果簡單曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡單閉曲線.z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)39任意一條簡單閉曲線C把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集,其中除去C外,一個(gè)是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部,另一個(gè)是無界區(qū)域,稱為C的外部,C為它們的公共邊界.簡單閉曲線的這一性質(zhì),其幾何直觀意義是很清楚的.內(nèi)部外部C40定義復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域,一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域41§5復(fù)變函數(shù)421.復(fù)變函數(shù)的定義定義設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy的集合,如果有一個(gè)確定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z,就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)w=u+iv與之對應(yīng),則稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復(fù)變函數(shù)),記作

w=f(z)如果z的一個(gè)值對應(yīng)著w的一個(gè)值,則函數(shù)f(z)是單值的;否則就是多值的.集合G稱為f(z)的定義集合,對應(yīng)于G中所有z對應(yīng)的一切w值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合.43在以后的討論中,定義集合G常常是一個(gè)平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).

由于給定了一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy就相當(dāng)于給定了兩個(gè)實(shí)數(shù)x和y,而復(fù)數(shù)w=u+iv亦同樣地對應(yīng)著一對實(shí)數(shù)u和v,所以復(fù)變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w=f(z)相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它們確定了自變量為x和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù).44例如,考察函數(shù)

w=z2

令z=x+iy,w=u+iw,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函數(shù)w=z2對應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy452.映射的概念如用z平面上的點(diǎn)表示自變量z的值,而用另一個(gè)平面w平面上的點(diǎn)表示函數(shù)w的值,則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可以看做是把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集G(定義集合)變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變換).這個(gè)映射通常簡稱為由函數(shù)w=f(z)所構(gòu)成的映射.如果G中的點(diǎn)z被映射w=f(z)映射成G*中的點(diǎn)w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象.46設(shè)函數(shù)w=z,xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w247設(shè)函數(shù)w=z2,xyOuvOz1z2w1w2z3w3a2a48假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集合為w平面上的集合G*,則G*中的每個(gè)點(diǎn)w必將對應(yīng)著G中的一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn).按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個(gè)單值(或多值)函數(shù)z=j(w),它稱為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù),也稱為映射w=f(z)的逆映射.

從反函數(shù)的定義可知,對任意的w

G*,有

w=f[j(w)],

當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí),也有

z=j[f(z)],z

G49今后,我們不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換).如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱函數(shù)(映射)w=f(z)是一一的.此時(shí),我們也稱集合G與集合G*是一一對應(yīng)的.50§6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性511.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域

0<|z-z0|<r內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的e>0,相應(yīng)地必有一正數(shù)d(e)(0<d

),使得當(dāng)0<|z-z0|<d時(shí)有

|f(z)-A|<e,

則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限,記作或記作當(dāng)z

z0時(shí),f(z)A52這個(gè)定義的幾何意義是:當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0的充分小的d鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落A的預(yù)先給定的e鄰域中.應(yīng)當(dāng)注意,z趨向于z0的方式是任意的,無論以何種方式趨向于z0,f(z)都要趨向于同一常數(shù)A.xyOz0dzO