空間幾何體的表面積和體積

1.3簡單幾何體的外表積和體積回憶復習有關概念1、直棱柱：2、正棱柱：3、正棱錐：4、正棱臺：側棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的局部叫正棱臺作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出斜高COBAPD斜高的概念2、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉軸分別經過旋轉軸作一個平面，觀察得到的軸截面是什么形狀的圖形.ABCDABCABCD矩形等腰三角形等腰梯形①直棱柱：設棱柱的高為h，底面多邊形的周長為c，那么S直棱柱側＝.②圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線長為l，那么S圓柱側＝.ch2πrl知識點一：柱、錐、臺、球的外表積與側面積(1)柱體的側面積把直三棱柱側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？側面積怎么求？思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖有什么關系？寬＝長方形①正棱錐：設正棱錐底面正多邊形的周長為c，斜高為h′，那么S正棱錐側＝.②圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線長為l，那么S圓錐側＝.1∕2ch′πrl(2)錐體的側面積把正三棱錐側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？側面積怎么求？思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖有什么關系？扇形

①正棱臺：設正n棱臺的上底面、下底面周長分別為c′、c，斜高為h′，那么正n棱臺的側面積公式：S正棱臺側＝.②圓臺：如果圓臺的上、下底面半徑分別為r′、r，母線長為l，那么S圓臺側＝．

1∕2(c＋c′)h′πl(wèi)(r′＋r)(3)臺體的側面積注：外表積＝側面積＋底面積．把正三棱臺側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？側面積怎么求？思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖有什么關系？扇環(huán)例1：一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺的側面積.分析：關鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例3：圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為，求其側面展開圖扇環(huán)所對的圓心角分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關鍵小結：1、抓住側面展開圖的形狀，用好相應的計算公式，注意逆向用公式；

2、圓臺問題恢復成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺問題，注意相似比.答：1800例：圓臺的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側面展開圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺的側面積是多少？〔結果中保存π〕小結：1、弄清楚柱、錐、臺的側面展開圖的形狀是關鍵；

2、對應的面積公式C’=0C’=CS圓柱側=2πrlS圓錐側=πrlS圓臺側=π（r1+r2)lr1=0r1=r2例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側棱長為4，那么其側面積為______;答：60例2：正四棱錐底面邊長為6,高是4，中截面把棱錐截成一個小棱錐和一個棱臺，求棱臺的側面積例3棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的外表積．DBCAS

分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成．因為BC=a，所以：因此，四面體S-ABC的外表積．交BC于點D．解：先求的面積，過點S作，例4(2023年廣東省惠州市高三調研)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點，AE＝DE.(1)求此正三棱柱的側棱長；(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的外表積．【思路點撥】

(1)證明△AED為直角三角形，然后求側棱長；(2)分別求出側面積與底面積．【點評】求外表積應分別求各局部面的面積，所以應弄清圖形的形狀，利用相應的公式求面積，規(guī)那么的圖形可直接求，不規(guī)那么的圖形往往要再進行轉化，常分割成幾局部來求．思考：怎樣求斜棱柱的側面積？1〕側面展開圖是——平行四邊形2〕S斜棱柱側=直截面周長×側棱長3〕S側=所有側面面積之和1．高考中對幾何體的外表積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運算能力，只要正確把握幾何體的結構，準確應用面積公式，就可以順利解決．幾何體的外表積問題小結2．多面體的外表積是各個面的面積之和．圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而外表積是側面積與底面圓的面積之和．3．幾何體的外表積應注意重合局部的處理．(1)長方體的體積V長方體＝abc＝

.(其中a、b、c為長、寬、高，S為底面積，h為高)(2)柱體(圓柱和棱柱)的體積V柱體＝Sh.其中，V圓柱＝πr2h(其中r為底面半徑)．Sh知識點二．柱、錐、臺、球的體積(3)錐體(圓錐和棱錐)的體積V錐體＝Sh.其中V圓錐＝

，r為底面半徑．1∕3πr2h(4)臺體的體積公式V臺＝h(S＋＋S′)．注：h為臺體的高，S′和S分別為上下兩個底面的面積．其中V圓臺＝

．注：h為臺體的高，r′、r分別為上、下兩底的半徑．(5)球的體積V球＝

.1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)1∕3πR3例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐A－BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？1．求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、轉化法等，它們是解決一些不規(guī)那么幾何體體積計算問題的常用方法．幾何體的體積小結2．計算柱體、錐體、臺體的體積關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題．第一步：分割O球面被分割成n個網格，外表積分別為：那么球的外表積：那么球的體積為：設“小錐體〞的體積為：O知識點三、球的外表積和體積〔O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：轉化為球的外表積如果網格分的越細,那么:①

由①②得:②

球的體積:的值就趨向于球的半徑RO“小錐體”就越接近小棱錐。設球的半徑為R，那么球的體積公式為V球＝.4∕3πR3例1．(2023年高考上海卷)假設球O1、O2外表積之比＝4，那么它們的半徑之比＝______.(1)假設球的外表積變?yōu)樵瓉淼?倍,那么半徑變?yōu)樵瓉淼摹丁?2)假設球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，那么外表積變?yōu)樵瓉淼摹丁?3)假設兩球外表積之比為1:2，那么其體積之比是———。(4)假設兩球體積之比是1:2，那么其外表積之比是———。例2：例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的外表積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內接于球，那么由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，那么正方體對角線與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個正方體的六個面都相切，那么有S=——。變題2.如果球O和這個正方體的各條棱都相切，那么有S=——。關鍵：找正方體的棱長a與球半徑R之間的關系OABC例4過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，外表積．解：如圖，設球O半徑為R，截面⊙O′的半徑為r，例5、有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.作軸截面規(guī)律方法總結1．直棱柱的側面展開圖是一些矩形，正棱錐的側面展開圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺的側面展開圖是一些全等的等腰梯形．2．斜棱柱的側面積等于它的直截面(垂直于側棱并與每條側棱都相交的截面)的周長與側棱長的乘積．3．如果直棱柱的底面周長是c，高是h，那么它的側面積是S直棱柱側＝ch.4．應注意各個公式的推導過程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺體中的直角梯形等特征圖形在公式推導中的作用．規(guī)律方法總結5．如果不是正棱柱