直角三角形的邊角關(guān)系配套課件-北師大版

第二十六講直角三角形的邊角關(guān)系1.了解：銳角三角函數(shù)的定義，實(shí)際問(wèn)題中專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)(仰角、俯角、坡角、坡度)的意義.2.理解：銳角三角函數(shù)(sinA、cosA、tanA)的意義.3.掌握：特殊角的三角函數(shù)值.4.能：運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.一、直角三角形的邊角關(guān)系在Rt△ABC中，∠C＝90°.1.三邊關(guān)系：___＋___＝c2.2.角的關(guān)系：∠A＋∠B＝_____.3.邊角關(guān)系：sinA＝___＝cos__；cosA＝___＝sin__；tanA＝___.a2b290°BB【即時(shí)應(yīng)用】1.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，tanα=___.22.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么sinA的值為_(kāi)__.3.如下圖，等腰三角形ABC中，AB=AC=6，底邊BC=4，那么cosB=___.二、30°,45°,60°角的三角函數(shù)值sinαcosαtanα30°

45°60°

角α

三角函數(shù)值三角函數(shù)1【即時(shí)應(yīng)用】1.在等腰△ABC中，∠C=90°，那么tanA=__.2.假設(shè)∠α的余角是30°，那么cosα的值是__.3.tan60°·cos30°+sin245°=__.12三、實(shí)際問(wèn)題中術(shù)語(yǔ)的意義1.仰角、俯角2.坡度i、坡角ααl【即時(shí)應(yīng)用】1.如圖，某大壩的橫截面為梯形ABCD，壩高AE=12米，斜坡AD的坡度為1∶0.75，那么斜坡AD=___米.152.長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成60°角，作業(yè)時(shí)可以爬上墻最高為_(kāi)____m.【核心點(diǎn)撥】1.銳角三角函數(shù)的值是一個(gè)比值，沒(méi)有單位，它只與角的大小有關(guān)系，而與三角形的三邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).2.銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，但并不是只有直角三角形中的銳角才有三角函數(shù)值.3.對(duì)于符號(hào)“sinA，cosA，tanA〞，每一個(gè)都是一個(gè)整體，不能拆開(kāi).【記憶助手】使運(yùn)算盡可能地簡(jiǎn)便，對(duì)于選用關(guān)系式可歸納為斜邊求直邊，正弦余弦很方便；直邊求直邊，正切選用理當(dāng)然；兩邊求一邊，勾股定理最方便；兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要選好；銳角求銳角，互余關(guān)系要記好；直邊求斜邊，用除還需正余弦;計(jì)算方法要選擇，能用乘法不用除.最后一句話(huà)：根底題目堂堂練，中檔題目多變變，特別難題少見(jiàn)面，應(yīng)用問(wèn)題找化歸，融會(huì)貫穿最關(guān)鍵.銳角三角函數(shù)◆中考指數(shù)：★★★★★知識(shí)點(diǎn)睛求銳角三角函數(shù)值的兩個(gè)思路1.由已知條件求出角的度數(shù)，進(jìn)而求出其三角函數(shù)值.2.將銳角轉(zhuǎn)化為直角三角形中的銳角，利用銳角三角函數(shù)定義求出.

特別提醒運(yùn)用三角函數(shù)的前提條件是在直角三角形中，若沒(méi)有直角三角形，則要設(shè)法構(gòu)造直角三角形.

【例1】(2023·綿陽(yáng)中考)△ABC，∠C=90°，tanA=，D是AC上一點(diǎn)，∠CBD=∠A，那么sin∠ABD=()(A)(B)(C)(D)【思路點(diǎn)撥】作DE⊥AB于點(diǎn)E，構(gòu)造含∠ABD的直角三角形→∠CBD=∠A→tan∠CBD=tanA=→設(shè)BC=2x→CD，AC，AB，BD的長(zhǎng)→△ADE∽△ABC→DE的長(zhǎng)→結(jié)論【自主解答】選A.如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，設(shè)BC=2x，∵∠C=90°，tanA=，∴AC=4x，由勾股定理可知AB=.∵∠C=90°，tan∠CBD=，∴CD=x，AD=3x，由勾股定理可知BD=，∵∠CBD=∠A，∠C=∠DEA，∴△ABC∽△ADE，∴，∴DE=∴sin∠ABD=應(yīng)選A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·陜西中考)在△ABC中，假設(shè)三邊BC，CA，AB滿(mǎn)足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，那么cosB=()(A)(B)(C)(D)【解析】選C.設(shè)BC=5x，那么CA=12x，AB=13x，那么BC2+CA2=AB2，所以△ABC是直角三角形,其中∠C=90°.在Rt△ABC中，2.(2023·內(nèi)江中考)如下圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，那么sinA的值為()【解析】選B.設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，構(gòu)造三角形如圖：因?yàn)锳D2=22+22=8,CD2=12+12=2，AC2=32+12=10，所以AC2=AD2+CD2,即△ADC是直角三角形,所以sinA=所以正確選項(xiàng)是B.【高手支招】求銳角三角函數(shù)值常用的方法有三種：(1)設(shè)法求出角的度數(shù)，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求值.(2)構(gòu)造直角三角形，把銳角放在直角三角形中，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解.(3)找出一個(gè)與之相等的角，其等角的三角函數(shù)值即為此角的三角函數(shù)值.3.(2023·臨沂中考)如圖，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC=5,那么△ABC的面積是()(A)(B)12(C)14(D)21【解析】選A.過(guò)A作AD⊥BC,因?yàn)閏osB=,所以∠B=45°，所以AD=BD,因?yàn)閟inC=,所以,解得AD=BD=3，根據(jù)勾股定理得DC=4,所以BC=BD+DC=7，4.(2023·揚(yáng)州中考)如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，如果，那么tan∠DCF的值是______.【解析】設(shè)AB=2k,BC=3k，∴DC=2k,CF=3k.在Rt△DCF中，所以tan∠DCF=答案：30°，45°，60°角的三角函數(shù)值◆中考指數(shù)：★★★★★知識(shí)點(diǎn)睛識(shí)記特殊角的三角函數(shù)值的兩種方法：1.sin30°，sin45°，sin60°的值可巧記為“分母都是2，分子分別是”，而cos30°，cos45°，cos60°的值可記為“cos60°=sin30°＝，cos45°＝sin45°＝cos30°＝sin60°＝”；同時(shí)“tan30°和tan60°互為倒數(shù)”.◆中考指數(shù)：★★★★★知識(shí)點(diǎn)睛2.借助一副三角板記憶，如圖：特別提醒

sin30°，cos45°等都是作為一個(gè)整體參與運(yùn)算的，不能出現(xiàn)類(lèi)似sin60°=2sin30°的錯(cuò)誤理解.

【例2】(2023·南通中考)如圖，測(cè)量河寬AB(假設(shè)河的兩岸平行)，在C點(diǎn)測(cè)得∠ACB＝30°，D點(diǎn)測(cè)得∠ADB＝60°，又CD＝60m，那么河寬AB為_(kāi)______m(結(jié)果保存根號(hào)).【思路點(diǎn)撥】∠CAD的度數(shù)→等腰三角形→AD的長(zhǎng)→AB的長(zhǎng)【自主解答】因?yàn)椤螦CB＝30°，∠ADB＝60°，所以∠CAD=30°，因此AD=CD=60m，在Rt△ABD中，sin∠ADB=,因此AB=AD·sin∠ADB=答案：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】5.(2023·濟(jì)寧中考)在△ABC中，假設(shè)∠A，∠B滿(mǎn)足|cosA-|+(sinB-)2＝0，那么∠C＝_______.【解析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，cosA-=0,sinB-=0,即cosA=，sinB=，得∠A=60°，∠B=45°,所以∠C=180°-45°-60°=75°.答案：75°6.(2023·張家界中考)計(jì)算：(2023-π)0-3tan30°.【解析】原式=◆中考指數(shù)：★★★★★知識(shí)點(diǎn)睛用直角三角形邊角關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，常見(jiàn)的基本模型有：基本圖形關(guān)系式BD=CE,AC=BC?tanα，AE=AC+BD直角三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)睛特別提醒1.坡度是斜坡的傾斜程度，而不是斜坡的角度.2.仰角和俯角都是視線(xiàn)和水平線(xiàn)的夾角.基本圖形關(guān)系式【例3】(2023·濰坊中考)校車(chē)平安是近幾年社會(huì)關(guān)注的重大問(wèn)題，平安隱患主要是超速和超載.某中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了如下檢測(cè)公路上行駛的汽車(chē)速度的實(shí)驗(yàn):先在公路旁邊選取一點(diǎn)C,再在筆直的車(chē)道l上確定點(diǎn)D，使CD與l垂直，測(cè)得CD的長(zhǎng)等于21米，在l上點(diǎn)D的同側(cè)取點(diǎn)A，B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°.(1)求AB的長(zhǎng)(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)=1.73，=1.41)；(2)本路段對(duì)校車(chē)限速為40千米/小時(shí)，假設(shè)測(cè)得某輛校車(chē)從A到B用時(shí)2秒，這輛校車(chē)是否超速？說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】(1)在Rt△ADC中求AD→在Rt△BDC中求BD→AB的長(zhǎng)(2)由AB的長(zhǎng)及時(shí)間→求速度→單位換算→結(jié)論【自主解答】(1)由題意得，在Rt△ADC中，在Rt△BDC中，所以=24.22≈24.2(米).(2)汽車(chē)從A到B用時(shí)2秒，所以速度為24.2÷2=12.1(米/秒).因?yàn)?2.1×3600=43560,所以該車(chē)速度為43.56千米/小時(shí)，大于40千米/小時(shí)，所以此校車(chē)在AB路段超速.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】7.(2023·寧波中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，那么BC的長(zhǎng)為()(A)4(B)(C)(D)【解析】選A.在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=6，cosB=，∴可得BC=4.應(yīng)選A.8.(2023·襄陽(yáng)中考)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，李明利用一根拴有小錘的細(xì)線(xiàn)和一個(gè)半圓形量角器制作了一個(gè)測(cè)角儀，去測(cè)量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD，如圖，李明距假山的水平距離BD為12m，他的眼睛距地面的高度為1.6m.李明的視線(xiàn)經(jīng)過(guò)量角器零刻度線(xiàn)OA和假山的最高點(diǎn)C，此時(shí)，鉛垂線(xiàn)OE經(jīng)過(guò)量角器的60°刻度線(xiàn)，那么假山的高度為()(A)(4+1.6)m(B)(12+1.6)m(C)(4+1.6)m(D)4m【解析】選A.∵鉛垂線(xiàn)OE經(jīng)過(guò)量角器的60°刻度線(xiàn)，∴李明的仰角是30°，作AM⊥CD，垂足為M，∴tan30°=∴CM=12×tan30°=∴CD=(+1.6)m.9.(2023·潛江中考)五月石榴紅，枝頭鳥(niǎo)兒歌.一只小鳥(niǎo)從石榴樹(shù)上的A處沿直線(xiàn)飛到對(duì)面一房屋的頂部C處.從A處看房屋頂部C處的仰角為30°,看房屋底部D處的俯角為45°,石榴樹(shù)與該房屋之間的水平距離為米，求出小鳥(niǎo)飛行的距離AC和房屋的高度CD.【解析】作AE⊥CD于點(diǎn)E.由題意可知：∠CAE=30°，∠EAD=45°，AE=米.在Rt△ACE中，tan∠CAE=，即tan30°=∴CE=tan30°=3(米)，∴AC=2CE=2×3=6(米).在Rt△AED中，∠ADE=90°－∠EAD=90°－45°=45°，∴DE=AE=(米).∴CD=CE+DE=(3+)米.答：AC=6米，CD=(3+)米.【創(chuàng)新命題】方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用【例】(2023·綿陽(yáng)中考)周末，身高都為1.6米的小芳、小麗來(lái)到溪江公園，準(zhǔn)備用她們所學(xué)的知識(shí)測(cè)算南塔的高度.如圖，小芳站在A處測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋铅翞?5°，小麗站在B處測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋铅聻?0°.她們又測(cè)出A，B兩點(diǎn)的距離為30米.假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為10cm，那么可計(jì)算出塔高約為(結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：＝1.414，＝1.732)()(A)36.21米(B)37.71米(C)40.98米(D)42.48米【解題導(dǎo)引】設(shè)人的水平視線(xiàn)到塔頂?shù)母叨葹閤，然后利用x分別表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B到塔底的距離，然后利用AB=30米列出方程求解.【標(biāo)準(zhǔn)解答】選D.如圖，AB＝EF＝30米，CD＝1.5米，∠GDE＝90°，∠DEG＝45°，∠DFG＝30°.設(shè)DG＝x米，在Rt△DGF中，tan∠DFG＝即tan30°＝在Rt△DGE中，∵∠GDE＝90°，∠DEG＝45°，∴DE＝DG＝x.根據(jù)題意，得x－x＝30，解得∴CG＝40.98+1.5＝42.48(米).【名師點(diǎn)評(píng)】通過(guò)對(duì)方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用類(lèi)試題的分析和總結(jié)，我們可以得到以下該類(lèi)型題目的創(chuàng)新點(diǎn)撥和解題啟示：創(chuàng)新點(diǎn)撥此類(lèi)題目所求的線(xiàn)段的長(zhǎng)度與所給的已知條件往往不在同一個(gè)直角三角形中，因此不能直接通過(guò)某個(gè)直角三角形求解，此時(shí)需要設(shè)出未知數(shù)，然后通過(guò)列方程求解.解題啟示首先根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù),所設(shè)未知數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：利用未知數(shù)可以表示其他邊的長(zhǎng)度，從而達(dá)到列方程的目的.或者借助于所設(shè)未知數(shù)，利用三角函數(shù)的