能帶理論(2)(微擾計(jì)算、能帶、帶隙)

自由電子氣模型：把價(jià)電子處理成自由電子氣，如何處理離子實(shí)？正電背景：均勻分布保持電中性為什么正離子的周期性勢(shì)場(chǎng)能被忽略？考察金屬，區(qū)域：芯區(qū)，其余區(qū)域核電荷+Z芯電子-d在芯區(qū)外，受核與屏蔽電子的聯(lián)合作用勢(shì)——贗勢(shì)——非常弱電子在其余區(qū)域可看成自由電子

微擾法能帶的定量計(jì)算—微擾法將H分成兩部分零勢(shì)場(chǎng)微擾零級(jí)解能量波函數(shù)L=Na由于周期性條件的限制，波矢k只能取下列值：l為整數(shù)，N為原胞的數(shù)目，a晶格常數(shù)。微擾部分周期性勢(shì)場(chǎng)，可作Fourier展開V(0)常數(shù)，可通過(guò)能量零點(diǎn)平移來(lái)消除。Fourier系數(shù)零勢(shì)場(chǎng)微擾的Fourier展開零級(jí)解能量零級(jí)波函數(shù)L=Na或常數(shù)，等于能量零點(diǎn)作平移非簡(jiǎn)并情況L=Na平面波能量修正

(二級(jí))波函數(shù)修正

（一級(jí)）被周期勢(shì)場(chǎng)散射看微擾波函數(shù)是否仍滿足Bloch定理？V本身很小。如果k不在邊界，分母不為零，影響很??！因此，除邊界外，類自由電子的結(jié)果。當(dāng)散射波振幅趨于無(wú)限大！Bragg反射加強(qiáng)條件！0-p/ap/ak1stBrillouinzone如果k在Brillouin邊界,被周期勢(shì)場(chǎng)散射的振幅無(wú)限大，非簡(jiǎn)并微擾不適用。簡(jiǎn)并情況兩態(tài)能量相同簡(jiǎn)并用簡(jiǎn)并微擾（D為小量）零級(jí)波函數(shù)為兩波函數(shù)的線性組合如果動(dòng)能令D

0簡(jiǎn)并態(tài)出現(xiàn)能量分裂！禁帶寬度例題：設(shè)晶格常數(shù)為a的一維晶格的周期性勢(shì)場(chǎng)為用自由電子近似的微擾論，近似地求出布里淵區(qū)邊界

/a處的能隙

解：把U(x)展開為復(fù)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)我們發(fā)現(xiàn)傅立葉系數(shù)只有兩個(gè)，即而布里淵區(qū)邊界

/a正好是第一布里淵的邊界，能級(jí)在此發(fā)生分裂，分裂值為考慮一個(gè)二維正方格子，其晶格勢(shì)場(chǎng)為用自由電子近似的微擾論，近似地求出布里淵區(qū)頂角（

/a，

/a

）處的能隙

考慮一個(gè)二維正方格子，其晶格勢(shì)場(chǎng)為在U(x)展開為復(fù)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)只有4個(gè)系數(shù)，即V(1,1),V(1,-1),V(-1,1)和V(-1,-1)而布里淵區(qū)頂角（

/a，

/a

）恰好為二維正方格子的第一布里淵區(qū)邊界，能級(jí)在此發(fā)生分裂，分裂值為

kEkEp/a-p/a零勢(shì)場(chǎng)，自由電子運(yùn)動(dòng)的能級(jí)在Brillouin邊界處，能級(jí)發(fā)生分裂Eg如果能帶全部填滿，k和-k對(duì)稱地被填滿，對(duì)電流的貢獻(xiàn)互相抵消。即使在外場(chǎng)的作用下，沒有空的k的態(tài)可以使電子分布有變化，所以對(duì)電流沒有貢獻(xiàn)如果能帶沒有填滿，導(dǎo)電電子自由地響應(yīng)外場(chǎng)的作用－漂移，在外電場(chǎng)方向引起整體漂移，對(duì)稱的部分相互抵消，不對(duì)稱的部分形成電流導(dǎo)電情況看能帶填充情況

定性地解釋導(dǎo)電kE投影能帶將能帶往某一方向投影，得到所謂的投影能帶-p/ap/a能級(jí)帶1帶3帶5帶4帶2被填充的能帶禁帶MetalE(k)金屬、絕緣體、半導(dǎo)體、半金屬解釋InsulatorEg~10eVSemiconductorEg~1eV小結(jié)：微擾法和能帶填充與導(dǎo)電能帶和能隙：空晶格模型和弱周期勢(shì)場(chǎng)近似能隙的起因：散射形成駐波，與平面波相比，駐波勢(shì)能或高或低于平面波，在B區(qū)邊界零級(jí)近似的簡(jiǎn)并能級(jí)分裂而形成能隙非簡(jiǎn)并微擾：除B區(qū)邊界外，晶體勢(shì)場(chǎng)對(duì)其他