《土木工程制圖基礎(chǔ)》課件全套 第1-6章 制圖基本知識和基本技能 - 圖樣的表達方法

第1章制圖基本知識和基本技能圖樣是重要的技術(shù)文件本課程的主要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生繪制和閱讀土木工程圖樣的基本能力。涵洞工程圖示例引言1.1制圖國家標(biāo)準(zhǔn)的基本規(guī)定制圖標(biāo)準(zhǔn)是全體工程技術(shù)人員畫圖和看圖的統(tǒng)一準(zhǔn)則。為什么要制定和采用制圖標(biāo)準(zhǔn)？目的：使圖樣標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化，做到全體工程技術(shù)人員對圖樣有完全一致的理解。1.1.1制圖標(biāo)準(zhǔn)有哪些制圖標(biāo)準(zhǔn)？類別：國家標(biāo)準(zhǔn)（技術(shù)制圖標(biāo)準(zhǔn)、房屋建筑制圖統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)等）

行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)（鐵路工程制圖標(biāo)準(zhǔn)等）國際標(biāo)準(zhǔn)（ISO）1.1.1制圖標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)建筑工程制圖方面的國家標(biāo)準(zhǔn)：《房屋建筑制圖統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》GB/T50001-2010《總圖制圖標(biāo)準(zhǔn)》GB/T50103-2010《建筑制圖標(biāo)準(zhǔn)》GB/T50104-2010《建筑結(jié)構(gòu)制圖標(biāo)準(zhǔn)》GB/T50105-2010《建筑給水排水制圖標(biāo)準(zhǔn)》GB/T50106-2010《暖通空調(diào)制圖標(biāo)準(zhǔn)》GB/T50114-20101.1.1制圖標(biāo)準(zhǔn)本課程對制圖標(biāo)準(zhǔn)的使用原則：本課程主要依據(jù)的國家標(biāo)準(zhǔn)有《技術(shù)制圖》和有關(guān)建筑工程制圖方面的標(biāo)準(zhǔn)《房屋建筑制圖統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》、《建筑制圖標(biāo)準(zhǔn)》等，對于各種專業(yè)工程圖，將分別采用各自的行業(yè)制圖標(biāo)準(zhǔn)。。1.1.1制圖標(biāo)準(zhǔn)一、幅面尺寸和圖框格式1.1.2圖紙幅面圖紙幅面尺寸mm圖紙幅面尺寸間的關(guān)系《房屋建筑制圖統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，立式圖紙的裝訂邊可在圖紙的上方。1.1.2圖紙幅面尺寸符號的意義二、標(biāo)題欄標(biāo)題欄是有關(guān)工程名稱及設(shè)計單位、設(shè)計人等簽字的欄目。作業(yè)中的標(biāo)題欄推薦使用如下格式，內(nèi)中的字號約定為圖名：10號(或7號)校名：7號其余：5號1.1.2圖紙幅面圖樣規(guī)范化要求寫字也是規(guī)范的。一、一般規(guī)定基本要求是用字正確、書寫工整、間隔均勻、排列整齊。字號：字體高度即為字號字體高度的系列：1.8、2.5、3.5、5、7、10、14、20漢字的尺寸系列:3.5×2.5,5×3.5,7×5,10×7,14×10,20×14仿宋體漢字的寬度系數(shù)：0.71.1.3字體二、漢字仿宋字清秀美觀，制圖標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定用長仿宋體作為漢字的工程字體。新《房屋建筑制圖統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定也允許采用黑體字。1.1.3字體14號字10號字7號字5號字二、漢字1.1.3字體仿宋體樣例三、字母和數(shù)字工程體的字母和數(shù)字有直體和斜體兩種，示例的是斜體字樣。1.1.3字體四、寫字的要求及注意事項

書寫工整，大小相等，間隔均勻，排列整齊。1.按照規(guī)定尺寸打好寫漢字的方格和寫字符的導(dǎo)線。2.選用軟硬適中的鉛筆寫字。3.寫仿宋字要注意基本筆法和字的結(jié)構(gòu)。筆法特點：橫平豎直，注意起落結(jié)構(gòu)特點：勻稱，多數(shù)漢字要頂滿方格1.1.3字體一、比例的意義

圖與實物相應(yīng)要素的線性尺寸之比叫圖的比例。例如1:2的含義是圖上1單位長代表實物的2單位長。1.1.4繪圖比例此圖1:1繪制此圖1:2繪制二、比例的規(guī)定縮小的比例：1:1×10n

1:2×10n1:5×10n

必要時也允許采用的比例：1:1.5×10n1:2.5×10n1:3×10n1:4×10n1:6×10n

（n為正整數(shù)）三、工具-比例尺已將6種刻度刻在三棱尺的6個尺面上。1.1.4繪圖比例為了保證圖樣表達明確、主次分明，必須根據(jù)圖樣內(nèi)容的不同選用不同形式和不同粗細的圖線。1.1.5圖線一、線素和線型線素：圖線中不連續(xù)的獨立成分叫線素，如點、畫、間隔等。線型：線素的不同組合形成線型，如點畫線、雙點畫線、虛線等。1.1.5圖線常用線型1.1.5圖線二、線寬線寬有粗中細之分。

粗、中、細寬度比率為4∶2∶1 制圖標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，線寬應(yīng)從下列數(shù)系中選用：0.13mm0.18mm0.25mm0.35mm0.50mm0.7mm1mm1.4mm2mm《房屋建筑制圖統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》中對于實線和虛線，增加了“中粗”線寬，其寬度為粗線的0.7倍。

錯誤概念：畫細線就應(yīng)當(dāng)輕輕地畫。1.1.5圖線三、虛線和點畫線的規(guī)格1.1.5圖線四、圖線的畫法及要求1.1.5圖線非實線相交要有實的交點中心線、軸線兩端超出圖形輪廓3～5mm點畫線太短可用細實線代替四、圖線的畫法及要求1.1.5圖線虛線出現(xiàn)在實線的延長線上，留出一些間隔在工程圖樣中除了按比例畫出建筑物或構(gòu)筑物的形狀外，還必須標(biāo)注完整的實際尺寸，以作為施工的依據(jù)。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式一、尺寸標(biāo)注的四個要素

尺寸界線、尺寸線、尺寸起止符號、尺寸數(shù)字1.1.6尺寸的標(biāo)注形式1.尺寸界線 指明標(biāo)注的邊界，用細實線畫，起始端偏離標(biāo)注點2mm以上，終止端超出尺寸線2～3mm。 圖形的輪廓線、軸線可以用作尺寸界線。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式2.尺寸線畫在尺寸界線之間，用細實線繪制。圖形輪廓線、軸線、中心線、另一尺寸的尺寸界線以及它們的延長線，都不能作為尺寸線使用。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式3.尺寸起止符號 畫在尺寸線與尺寸界線交接處。土木、建筑工程制圖中，長度尺寸的起止符號為中粗線畫的短斜線，其傾斜方向應(yīng)與尺寸界線成順時針45°角，長度宜為2～3mm。直徑、半徑、角度尺寸線上的起止符號應(yīng)為箭頭。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式4.尺寸數(shù)字 圖上的尺寸數(shù)字表示物體的實際大小，與畫圖所用的比例無關(guān)。尺寸的單位，除標(biāo)高以米為單位外，其余的線性尺寸均以毫米為單位，并且在尺寸數(shù)字后面不寫出來。在某些土建專業(yè)工程圖上也有用厘米為單位的，這時要在圖的附注中作聲明。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式4.尺寸數(shù)字長度尺寸的數(shù)字順著尺寸線方向排列，寫在尺寸線的大致中央。水平尺寸數(shù)字寫在尺寸線上，字頭向上；豎直尺寸數(shù)字寫在尺寸線左側(cè)，字頭向左；傾斜尺寸的數(shù)字應(yīng)寫在尺寸線的向上一側(cè)，字頭有向上的趨勢。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式4.尺寸數(shù)字尺寸界線之間沒有足夠位置寫字，數(shù)字可以寫在尺寸界線外側(cè)。連續(xù)出現(xiàn)小尺寸時，中間相鄰的尺寸數(shù)字可以錯開注寫，也可以引出注寫。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式二、尺寸的排列與布局布置尺寸應(yīng)整齊、清晰，便于閱讀。（1）尺寸盡可能注在圖形輪廓線外，不宜與圖線、文字及其他符號相交。（2）互相平行的尺寸，從圖形輪廓線起由近及遠整齊排列，小尺寸在內(nèi)，大尺寸在外。（3）內(nèi)排尺寸距離圖形輪廓線不宜小于10mm，平行排列的尺寸線間宜保持7～10mm的距離。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式三、直徑、半徑的尺寸注法圓的直徑可以圓弧為尺寸界線，標(biāo)注在圓內(nèi)，也可按長度尺寸方式引到圓外標(biāo)注。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式注在圓內(nèi)時，尺寸線應(yīng)通過圓心，方向傾斜，箭頭指著圓周，箭頭長度約3～5mm。引到圓外標(biāo)注時，尺寸線上的起止符號仍為45°短斜線。無論用哪種方式標(biāo)注，直徑數(shù)字前面都應(yīng)加寫直徑的符號“φ”。圓的直徑變小時，依次考慮將數(shù)字、箭頭移至圓外標(biāo)注。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式半徑的尺寸線自圓心畫至圓弧，圓弧一端畫上箭頭，半徑數(shù)字前面加寫半徑的符號“R”。不同半徑的圓弧，其半徑尺寸的注寫形式可有適當(dāng)變化。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式當(dāng)圓弧的半徑很大時，其尺寸線允許畫成折線，或者只畫指著圓周的一段。1.1.6尺寸的標(biāo)注形式角度的尺寸線應(yīng)以弧線表示，弧線的圓心應(yīng)是該角的頂點，角的兩條邊為尺寸界線。角度尺寸的起止符號以箭頭表示，角度數(shù)字水平方向排列，1.1.6尺寸的標(biāo)注形式四、幾種典型的錯誤注法錯誤在哪里？1.1.6尺寸的標(biāo)注形式1.2儀器繪圖的一般方法和步驟圖板、丁字尺、三角板、圓規(guī)、分規(guī)、比例尺、曲線板、繪圖鉛筆等。常用的繪圖工具準(zhǔn)備工作：繪圖工具和繪圖環(huán)境。

畫鉛筆底稿：用硬些的細鉛筆畫底稿，畫底稿時用力比較輕，可以不區(qū)分線型，以便于修改。圖上的各種文字打底稿時只畫格子和導(dǎo)線，而具體寫字要放在下一階段。

描黑：用中等軟硬的鉛筆描繪直線，用軟些的鉛筆描繪圓。寫字也要放在這個階段完成。

復(fù)制：復(fù)印或曬圖繪圖的一般方法1.3徒手繪圖徒手作圖能迅速表達構(gòu)思、現(xiàn)場測繪、實時記錄及進行技術(shù)交流等。

不借助繪圖工具，以目測估計圖形與實物的比例，按一定畫法要求徒手繪制的圖稱為草圖。徒手繪圖

握筆的手勢：徒手畫直線時，握筆的手指離筆尖比平常寫字時要稍遠。手腕、小手指輕壓紙面。徒手繪圖徒手畫圓的方法徒手繪圖初學(xué)者用方格紙畫徒手圖時，應(yīng)注意所取的中心線盡量與方格線重合和平行，圖形大小可按方格的格數(shù)來控制。徒手繪圖1.4幾何作圖1.根據(jù)外接圓畫正多邊形幾何作圖2.用圓弧連接兩相交直線幾何作圖2.用圓弧連接兩相交直線作圖過程：幾何作圖3.用圓弧順向連接直線與圓弧目標(biāo)幾何作圖3.用圓弧順向連接直線與圓弧

作圖過程：幾何作圖4.用圓弧順向連接兩已知圓弧目標(biāo)幾何作圖4.用圓弧順向連接兩已知圓弧

作圖過程：幾何作圖5.根據(jù)長短軸畫橢圓幾何作圖幾何作圖應(yīng)用舉例幾何作圖3.謝謝！第2章投影法和點、直線、平面的投影2.1投影及投影法一、投影的形成和分類2.1.1投影法概述一、投影的形成和分類2.1.1投影法概述一、投影的形成和分類投影法分類：(1)中心投影法投射線匯交于投射中心2.1.1投影法概述一、投影的形成和分類投影法分類：斜投影

正投影(2)平行投影法

投射線互相平行2.1.1投影法概述二、投影法的基本性質(zhì)1.同素性點的投影是點，直線的投影一般仍是直線，曲線的投影一般仍是曲線。2.從屬性投影不破壞點與線的從屬關(guān)系。點在線上，點的投影在線的同面投影上。3.積聚性2.1.1投影法概述二、投影法的基本性質(zhì)在特殊情形下，直線、平面或某些曲面的投影發(fā)生聚合的現(xiàn)象，即投影的積聚性。2.1.1投影法概述三、平行投影的基本性質(zhì)平面圖形非退化的平行投影，其形狀是原圖形的相仿形，這種在平行投影中保持不變的性質(zhì)稱為圖形的相仿性。在相仿形中主要有如下一些相仿性質(zhì)：2.1.1投影法概述三、平行投影法的基本性質(zhì)1.

平行性空間互相平行的直線其投影仍保持互相平行。 2.

定比性空間直線上兩線段長度之比或兩平行線段的長度之比，在其投影上仍保持不變。2.1.1投影法概述三、平行投影法的基本性質(zhì)3.凸凹性平面圖形的平行投影不改變其凸凹特征，即凸多邊形的平行投影仍是凸多邊形，凹多邊形的平行投影仍是凹多邊形。

2.1.1投影法概述三、平行投影法的基本性質(zhì)4.接合性共面兩線之間的接合關(guān)系在平行投影中不被破壞。

相交兩線的投影仍然相交，兩線交點的投影是兩線投影的交點；曲線及其切線，其平行投影仍然保持相切，并且切點的投影是它們的投影上的切點。2.1.1投影法概述三、平行投影法的基本性質(zhì)在特殊情形下，當(dāng)直線平行于投影面時，則其平行投影將反映線段的實長；當(dāng)平面圖形平行于投影面時，則其上的所有線段都將平行于投影面，因此整個圖形的平行投影將反映原圖形的真實形狀和大小，稱之為原圖形的實形。

2.1.1投影法概述1.多面正投影法只憑一個投影不能唯一地確定形體在空間的形狀。為了完全確定形體的形狀，可將形體投射到互相垂直的兩個或多個投影面上，然后將投影面連同它上面的投影一起展開鋪平到同一平面上所得到的正投影稱為多面正投影圖。

多面正投影圖繪圖簡便，度量性好，適于作為施工建造的依據(jù)，在工程上應(yīng)用非常廣泛。2.1.2

工程上常用的四種圖示方法2.軸測投影法將形體連同確定其位置的直角坐標(biāo)系一起沿不平行于任一坐標(biāo)面的方向平行投射到單一投影面上，這種投影方法稱為軸測投影法，所得到的圖形稱為軸測圖或軸測投影。軸測圖直觀性好，但作圖費時，工程上常作為輔助圖樣使用。2.1.2工程上常用的四種圖示方法3.標(biāo)高投影法 用一組高差相等的水平面截割地面，這些截平面與地面的交線稱為等高線，將這些等高線垂直投射到水平投影面上，并用數(shù)字標(biāo)出這些等高線的高程（標(biāo)高），就得到了地形曲面的標(biāo)高投影圖，常稱為地形圖。2.1.2工程上常用的四種圖示方法4.透視投影法 透視投影法屬于中心投影法。以視點為投射中心，將建筑物投射到畫面上，得到的單面投影稱為透視圖。這種圖很接近人們觀看景物時的視覺效果，形象逼真，但作圖特別費時，通常也是作為輔助圖樣使用。2.1.2工程上常用的四種圖示方法2.2三投影面體系及點的三面投影圖1．單個投影不可逆在投射方向、投影面都確定的情況下，點A有唯一確定的投影a。但反過來，僅僅根據(jù)一個a投影，無法還原出原來的點A是在投射線的什么位置。2.2.1三投影面體系的形成1．單個投影不可逆

對于形體，一些不同形狀的形體可能會有相同的投影。所以，只有一個投影而無其他附加條件，就無法確定形體的實際形狀。2.2.1三投影面體系的形成2．三面投影圖

設(shè)立三個互相垂直的投影面：水平投影面H（簡稱H面）正立投影面V（簡稱V面）側(cè)立投影面W（簡稱W面）兩投影面之間的交線稱為投影軸：OX軸、OY軸、OZ軸。三投影軸交于一點O為原點。。2.2.1三投影面體系的形成2．三面投影圖

投影軸兩兩互相垂直，它們交于一點O。O-XYZ可以構(gòu)成一個空間直角坐標(biāo)系。2.2.1三投影面體系的形成2．三面投影圖

H、V、W面是無限大的，它們把空間分成八個區(qū)域，稱為八個卦角，其中H面之上、V面之前、W面之左為第一卦角。在《技術(shù)制圖》標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定，工程圖樣應(yīng)采用正投影法繪制，并采用第一角畫法，即將物體放在第一卦角中，然后分別向V、H、W面投射得到三面投影圖。2.2.1三投影面體系的形成2．三面投影圖將形體放在第一卦角中，然后分別向V、H、W面投射得到三面投影圖。

形體在H、V、W三個投影面上的投影分別稱為：

水平投影正面投影

側(cè)面投影2.2.1三投影面體系的形成2．三面投影圖投影面的展開2.2.1三投影面體系的形成2．三面投影圖

展開后，正面投影在左上方，水平投影在正面投影的正下方，側(cè)面投影在正面投影的正右方。這是形體的三面投影圖。

由于投影面是無限大的，因此，投影面邊框不需畫出。2.2.1三投影面體系的形成2．三面投影圖

無軸投影圖通常研究投影圖時，不會涉及到形體與投影面距離遠近的問題，亦即投影軸也可省略不畫，但其方向是默認的。2.2.1三投影面體系的形成1.三投影間的度量關(guān)系長對正、高平齊、寬相等

2.2.2三面投影圖的特性2.三投影間的方位關(guān)系左右、前后、上下2.2.2三面投影圖的特性1.點在兩投影面體系中的投影

(1)兩投影的連線垂直于投影軸，aa'⊥OX

；

(2)某一投影到投影軸的距離，等于空間點到另一投影面的距離，aaX=Aa'，a'aX=Aa

。2.2.3點的三面投影圖2.點在三投影面體系中的投影（1）

a'a⊥OX；a'a"⊥OZ;aaYH⊥OYH;a"aYW⊥OYW2.2.3點的三面投影圖（2）

a'aX=a"aYW

=azO=Aa=點A到H面的距離=zA；

aaX=a"az=aYHO=aYWO=Aa'=點A到V面的距離=yA；

a'az=aaYH=aXO=Aa"=點A到W面的距離=xA。2.2.3點的三面投影圖3.投影與坐標(biāo)的關(guān)系

a(xA,yA),a'(xA,zA),a"(yA,zA)每個投影反映兩個坐標(biāo)。2.2.3點的三面投影圖例2-1已知點A的坐標(biāo)為(20,7,15)，求作它的三面投影a、a'、a"。解：

(20,7)確定a，(20,15)確定a'，(7,15)確定a"

。2.2.3點的三面投影圖4.根據(jù)點的兩投影求第三投影點A的三個投影a

(xA，yA

)、a‘

(xA，zA)、a"(yA，zA)

三個投影中的任意兩個，都包含有確定該點空間位置所必須的三個坐標(biāo)(xA，yA，zA)。因此，由點的任意兩個投影可以作出其第三個投影。2.2.3點的三面投影圖4.根據(jù)點的兩投影求第三投影例2-2已知點的a'、a"，求a

。在求第三投影時，涉及到截量a"az=aaX，有許多作圖方法：2.2.3點的三面投影圖該法常用5.兩點的相對位置點的坐標(biāo)值反映了空間點的左右、前后、上下位置。比較兩點的坐標(biāo)差，就可以判別兩點在空間的相對位置，x大者在左，y大者在前，z大者在上。2.2.3點的三面投影圖6.重影點

空間兩點處于同一投射線上時，它們在該投射線所垂直的那個投影面上的投影便重合成一點。這樣的空間兩點稱為對該投影面的重影點，重合在一起的投影叫重影。2.2.3點的三面投影圖6.重影點重影點按左擋右、前擋后、上擋下的原則確定其重合投影的可見性。不可見的投影其字母符號用括號括起來。2.2.3點的三面投影圖2.3立體上直線、平面的投影分析直線的投影在一般情況下仍為直線，特殊情況下才會積聚成一點。所以，畫直線的投影，需要畫出直線兩端點的投影，然后連成直線的投影。2.3.1直線的投影直線與投影面的夾角，稱為直線與投影面的傾角。對水平投影面的傾角叫水平傾角，用α表示；對正立投影面的傾角叫正面傾角，用β表示；對側(cè)立投影面的傾角叫側(cè)面傾角，用γ表示。2.3.1直線的投影直線在投影圖上表現(xiàn)出來的特性，常與直線對投影面的傾斜狀態(tài)有關(guān)。根據(jù)直線與投影面的傾斜狀態(tài)，直線分為三種類型：投影面平行線投影面垂直線任意傾斜直線2.3.1直線的投影1.投影面平行線

水平線（1）正面投影∥OX；（2）側(cè)面投影∥OYW;(3)水平投影反映線段實長和對V、W的傾角。2.3.1直線的投影1.投影面平行線正平線（1）水平投影∥OX；（2）側(cè)面投影∥OZ;(3）正面投影反映線段實長和對H、W的傾角。2.3.1直線的投影1.投影面平行線側(cè)平線（1）水平投影∥OYH；（2）正面投影∥OZ;(3)側(cè)面投影反映線段實長和對H、V的傾角。2.3.1直線的投影2.投影面垂直線鉛垂線

（1）正面投影⊥OX；（2）側(cè)面投影⊥OYW;(3)水平投影積聚成一點。2.3.1直線的投影2.投影面垂直線正垂線（1）水平投影⊥OX；（2）側(cè)面投影⊥OZ;(3)正面投影積聚成一點。2.3.1直線的投影2.投影面垂直線側(cè)垂線（1）正面投影⊥OZ；（2）水平投影⊥OYH;(3)側(cè)面投影積聚成一點。2.3.1直線的投影3.任意傾斜直線（普通斜直線）

三個投影都是傾斜的線段，其投影長度都比實長短。2.3.1直線的投影直線上的點投影有從屬性、定比性:k、k’、k”

分別在sa、s’a’、s”a”上，且sk:ka=s’k’:k’a’

=s"k":k“a"=SK:KA。2.3.2直線上的點例2-3已知側(cè)平線SB上點K的V面投影k′，求其水平投影。解：根據(jù)從屬性和點的投影規(guī)律，先求得k″，再求得k。也可以利用定比關(guān)系，作輔助線求得k。2.3.2直線上的點兩直線間的相對幾何關(guān)系有平行、相交和交錯三種情形。前兩種為共面直線，后一種為異面直線。1．兩直線平行由投影基本性質(zhì)可知，兩直線平行，其同面投影都平行。反之，如果兩直線的同面投影都平行，則空間兩直線必定平行。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系1．兩直線平行

任意傾斜直線，只要ab∥cd,a'b'∥c'd’,自然就有a"b"∥c"d"，所以只需任兩個投影有平行關(guān)系，即能說明空間直線是平行的。但對于投影面的平行線，必需在它們所平行的那個投影面上的投影有平行關(guān)系，才能說明兩直線平行。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系1．兩直線平行

但對于投影面的平行線，必需在它們所平行的那個投影面上的投影有平行關(guān)系，才能說明問題。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系2.兩直線相交AB與BC相交，各同面投影均相交，且各投影的交點符合同一點的投影規(guī)律。

任意傾斜二直線的任兩個投影的交點符合一點的投影規(guī)律，即能認定二直線是相交的。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系2.兩直線相交

對于二直線中有一條是某個投影面的平行線，則必需看該直線所平行的那個投影面上的投影才能說明問題。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系3.兩直線交錯

交錯二直線的某個同面投影可能出現(xiàn)平行，也可能出現(xiàn)相交，但投影的交點不符合點的投影規(guī)律。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系3.兩直線交錯

交錯二直線的某個同面投影可能出現(xiàn)平行，也可能出現(xiàn)相交，但投影的交點不符合點的投影規(guī)律。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系交錯直線同面投影的交點，不是同一個點的兩投影。3.兩直線交錯

交錯二直線的某個同面投影可能出現(xiàn)平行，也可能出現(xiàn)相交，但投影的交點不符合點的投影規(guī)律。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系交錯直線的兩投影可能平行，但不可能三投影都出現(xiàn)平行。3.兩直線交錯

交錯直線同面投影的交點，是二交錯直線上一對重影點的投影。重影點投影的可見性由它們與投影面的距離判定。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系4.一邊平行于投影面的直角投影直角投影法則：相交垂直或交錯垂直的兩直線，當(dāng)其中之一為投影面平行線時，它們在所平行的那個投影面上的投影，反映垂直關(guān)系。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系例2-4已知矩形ABCD的一邊AB為水平線，并給出AB的兩投影ab、a'b'和BC的正面投影b'c'，試完成該矩形的兩面投影圖。解：根據(jù)直角投影法則，應(yīng)有ab⊥bc。再根據(jù)矩形對邊平行的性質(zhì)即可完成矩形ABCD的兩投影。2.3.3兩直線間的相對幾何關(guān)系表示一個平面的方法有：給出不在同一直線上的三個點；一條直線和直線外一點；相交兩直線；平行兩直線；任意的平面圖形。2.3.4平面的投影平面與投影面的夾角，是用平面角來度量的，稱為平面對投影面的傾角。與水平投影面的傾角叫水平傾角，用α表示；與正立投影面的傾角叫正面傾角，用β表示；與側(cè)立投影面的傾角叫側(cè)面傾角，用γ表示。2.3.4平面的投影平面在投影圖上表現(xiàn)出來的特性，常與平面對投影面的傾斜狀態(tài)有關(guān)。根據(jù)平面對投影面的傾斜狀態(tài)，可將平面分成：

投影面平行面、投影面垂直面、任意傾斜平面（普通斜平面）。2.3.4平面的投影1.投影面平行面的投影特性

水平面：水平投影反映實形，其余二投影積聚成與投影軸平行的直線。2.3.4平面的投影1.投影面平行面的投影特性

正平面：正面投影反映實形，其余二投影積聚成與投影軸平行的直線。2.3.4平面的投影1.投影面平行面的投影特性側(cè)平面：側(cè)面投影反映實形，其余二投影積聚成與投影軸平行的直線。2.3.4平面的投影2.投影面垂直面的投影特性

鉛垂面：水平投影積聚成傾斜直線，且反映β、γ，其余二投影為相仿形。2.3.4平面的投影2.投影面垂直面的投影特性

正垂面：正面投影積聚成傾斜直線，且反映α、γ，其余二投影為相仿形。2.3.4平面的投影2.投影面垂直面的投影特性

側(cè)垂面：側(cè)面投影積聚成傾斜直線，且反映α、β，其余二投影為相仿形。2.3.4平面的投影3.任意斜平面的投影特性

各投影均為原圖形的相仿形。2.3.4平面的投影直線在平面內(nèi)的幾何條件：

通過平面內(nèi)的兩點；

通過平面內(nèi)一點且平行于面內(nèi)另一直線。2.3.5平面內(nèi)的直線例2-5已知△ABC平面內(nèi)的直線MN的正面投影m'n'，試作出其水平投影mn。解：延長MN直線使其與AC、BC直線相交于Ⅰ、Ⅱ兩點，MN是ⅠⅡ線上的一段。2.3.5平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的投影面平行線

直線在平面內(nèi)，又具有投影面平行線的投影特性。平面(非投影面平行面)內(nèi)同一投影面的平行線還是一組互相平行的直線，它們的同面投影有相同的方向。2.3.5平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的水平線2.3.5平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的正平線2.3.5平面內(nèi)的直線2.4點、線、面間的相對幾何關(guān)系幾何條件：

點在線上，線在面上，則點必在面上。

對于特殊平面，只要點的一個投影與平面的同面積聚投影相重合，不管其他投影如何，該點一定屬于該平面。2.4.1

平面內(nèi)的點例2-6已知△ABC平面上點M的正面投影m‘，求其水平投影m。解：在△a’b’c’內(nèi)連接c’m’，交a’b’于點d’，c’d’是平面上通過M點的輔助直線的正面投影；作出cd；在cd上作出M點的水平投影m。2.4.1平面內(nèi)的點例2-7已知平面四邊形ABCD的水平投影abcd和AD、DC兩條邊的正面投影a'd'和d'c'，試作出該正面的水平投影a'b'c'd'。解：由于三點定面，A、D、C三點的兩投影為已知，故B點應(yīng)在ADC平面上。ABCD為平面四邊形，則它的對角線必相交。2.4.1平面內(nèi)的點1.直線與平面相互平行

幾何條件：直線平行于面內(nèi)一條直線，則直線與平面平行。2.4.2直線與平面、平面與平面平行1.直線與平面相互平行檢查直線與平面是否平行，看能否在平面內(nèi)作出與直線平行的直線。如果平面的某投影有積聚性，只要積聚投影與直線的同面投影平行，則線、面必然平行。2.4.2直線與平面、平面與平面平行例2-8試判斷直線MN與△ABC平面是否相互平行。解：如果MN平行于△ABC，則在△ABC內(nèi)必可作出與MN平行的直線，否則MN必不平行于△ABC。2.4.2直線與平面、平面與平面平行2.平面與平面相互平行幾何條件：兩平面內(nèi)各有一對相交直線對應(yīng)平行，則兩平面相互平行。2.4.2直線與平面、平面與平面平行相交直線對應(yīng)平行，則平面平行平行直線對應(yīng)平行，則平面不一定平行例2-9試判定四邊形DEFG平面與△ABC平面是否平行。解：如果在四邊形DEFG平面內(nèi)能作出兩條相交直線與△ABC平面的兩條邊對應(yīng)平行，則△ABC平面與四邊形DEFG平面平行，否則它們不平行。2.4.2直線與平面、平面與平面平行2.平面與平面相互平行兩平面如果同面投影都有積聚性，則只需看積聚投影是否平行即可說明問題。

兩平面平行

兩平面不平行

2.4.2直線與平面、平面與平面平行2.平面與平面相互平行示例：ABCD與EFGH是否平行？2.4.2直線與平面、平面與平面平行

相交問題是求解共有元素的問題，即求交點、交線的問題；同時還要區(qū)分出可見性。相交的任何一方有積聚投影時，可利用積聚投影直接找到交點或交線的一個投影。2.4.3直線與平面、平面與平面相交例2-10試求直線AB與鉛垂面P的交點，并判別其投影的可見性。解：因為P的水平投影有積聚性，所以交點K的水平投影k必在p上；而交點K又屬于直線AB，故可得k'。從水平投影上可以看出，在交點的左面是平面在前，直線在后，所以正面投影上k'以左的一段直線為不可見，以右則為可見。2.4.3直線與平面、平面與平面相交例2-11試求鉛垂面P與任意斜平面△ABC的交線，并判斷各部分的可見性。解：鉛垂面的水平投影p有積聚性，故可直接求得△ABC平面上兩直線與P平面的兩個交點的水平投影m、n，MN為所求交線。由水平投影可以看出，p將△ABC平面分成兩部分，位于p前面的部分其正面投影可見。2.4.3直線與平面、平面與平面相交例2-12立體被鉛垂面P和正垂面Q切割，試在投影圖上作出P和Q兩平面交線MN的各投影。解：鉛垂面P的水平投影p有積聚性，所以交線MN的水平投影mn在p上，正垂面Q的正面投影q'有積聚性，則交線MN的正面投影m'n'在q'上。2.4.3直線與平面、平面與平面相交2.5輔助正投影輔助正投影

H、V、W都是基本投影面。有時為了表達上的需要，需增設(shè)新的投影面，使它與基本投影面之一垂直，并能滿足表達上的需要（例如平行于形體的某個表面）。這樣新增加的投影面稱為輔助投影面，在輔助投影面上的投影稱為輔助投影。2.5.1輔助投影及點的輔助投影畫法點的輔助投影設(shè)立輔助投影面V1垂直于H，與H交出輔助投影軸O1X1，V1和H構(gòu)成新的二投影面體系（V1/H）。垂直于V1面投射，得輔助投影a1',投影面展開后得新的投影圖，a和a1'符合點的兩面投影規(guī)律。2.5.1輔助投影及點的輔助投影畫法根據(jù)已知投影作輔助投影的要領(lǐng)：

1.新舊投影的連線垂直于新投影軸；

2.新投影到新軸的距離等于另一舊投影到原投影軸的距離。2.5.1輔助投影及點的輔助投影畫法當(dāng)直線平行于投影面時，其相應(yīng)的投影反映實長；當(dāng)直線垂直于投影面時，其相應(yīng)的投影有積聚性，這些都有利于形狀的表達或完成某些作圖問題。如何選擇輔助投影面，表現(xiàn)在投影圖上就是如何選擇輔助投影軸，這要看需要解決的問題是什么。主要有兩類：

1.原投影不反映線段實長、傾角的直線,需要其輔助投影反映線段的實長、傾角；

2.原投影無積聚性的直線,需要其輔助投影有積聚性。2.5.2直線的輔助投影

1.作任意斜直線的輔助投影，使其輔助投影反映線段的實長、傾角。2.5.2直線的輔助投影建立與AB平行且垂直于H的輔助投影面V1在投影圖上表現(xiàn)為O1X1與ab平行2.作投影面平行線的輔助投影，使其輔助投影有積聚性建立H1垂直于AB,則它就同時垂直于V表現(xiàn)在投影圖上即作O1X1垂直于a'b'2.5.2直線的輔助投影解決的仍是如何選擇輔助投影面，即如何擺放輔助投影軸的問題。1.原投影無積聚性的平面,需要其輔助投影有積聚性2.原投影不反映實形的平面,需要其輔助投影反映實形2.5.3平面的輔助投影1.作任意斜平面的輔助投影，使其輔助投影有積聚性

取面內(nèi)投影面平行線的垂直平面為輔助投影面，

投影圖上表現(xiàn)為輔助投影軸垂直于投影面平行線的相應(yīng)投影2.5.3平面的輔助投影2.作投影面垂直面的輔助投影，使其輔助投影反映實形

對于投影面垂直面，選擇平行于該平面的投影面可達目的。2.5.3平面的輔助投影例2-13求斜切棱柱頂部斜面的實形。解：頂部斜面是正垂面，可以通過作該面的輔助投影得到它的實形。2.5.3平面的輔助投影3.謝謝！第3章平面立體的投影3.1基本平面體的投影由多個平面圍成的立體，稱為平面立體，簡稱平面體，也稱多面體。最簡單的平面體有棱柱、棱錐、棱臺等。基本平面立體

棱柱是由兩個互相平行的多邊形底面和若干個棱面圍成的，相鄰兩棱面的交線稱為棱線，所有的棱線都互相平行。棱線垂直于底面的叫直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。3.1.1

棱柱棱錐是由多邊形底面和若干個匯交于頂點的棱面圍成的，相鄰棱面的交線叫棱線，所有的棱線都通過錐頂。底面是正多邊形且錐頂位于通過底面中心而垂直于底面的直線上，這樣的棱錐叫正棱錐。3.1.2棱錐棱錐被平行于底面的平面截割，截面與底面間的部分為棱臺。所以，棱臺的兩個底面彼此平行且相似，所有的棱線延長后交于一點。3.1.3棱臺平面體表面的可見性

可見性的判斷和表示規(guī)則：（1）各投影的外形輪廓線總是可見的；（2）位于可見表面或表面的可見區(qū)域的點、線是可見的，反之則不可見；（3）不可見表面與不可見表面的交線是不可見的；（4）可見線用實線表示，不可見線用虛線表示，二者投影重合時只畫實線。3.1.4平面體表面上的直線和點兩不可見表面的交線不可見平面體表面的可見性3.1.4平面體表面上的直線和點虛實重合只畫實線兩不可見表面的交線不可見例3-1：

已知四棱柱的三個投影，及四棱柱表面上點A、B的正面投影，點C的側(cè)面投影和點D的水平投影，試作出A、B、C、D四點的另外兩個投影。解：

四棱柱的上下底面為水平面，四個棱面為鉛垂面。3.1.4平面體表面上的直線和點例3-2：

已知四棱錐S-ABCD的三個投影，及四棱錐表面上折線KMN的正面投影k'm'n'，試求出KMN折線的另外兩個投影。解：K點在SA棱線上，M點在SB棱線上，可直接作出K、M的其他投影。N點在SBC棱面上，由平面上作點的方法，求得N點的其他投影。3.1.4平面體表面上的直線和點有些立體可以看作是由一些基本立體經(jīng)過簡單疊加（堆積）成型的。疊加是一種自然（無損傷）堆積，基本體之間只有簡單的接觸（疊合面），不另外產(chǎn)生表面交線。3.1.5基本平面體的疊加疊加形成的立體，投影圖上常有明顯的分塊痕跡。借助于投影圖上的分塊線框便于分析形體的構(gòu)成及其形狀。3.1.5基本平面體的疊加

把形體看作是疊加形成的，這只是認識形體構(gòu)形的一種思維方法，實際上形體本身是一個整體，在接觸面處并不存在接縫。3.1.5基本平面體的疊加3.2平面立體的截切與相貫立體被平面切割，也叫截切，形成截切體。切割平面稱為截平面，截平面與立體表面的交線稱為截交線，截交線所圍成的截面圖形稱為截斷面或斷面。多個截平面切割立體時截平面之間可能有交線，也可能形成切口或挖切出槽口、孔洞等。3.2.1基本平面體的切割平面體的表面都是平面，所以截交線是封閉的平面多邊形。多邊形的各邊是截平面與被截表面的交線，多邊形的各頂點是截平面與被截棱線或底邊的交點。因此，求作截交線的問題可歸結(jié)為求線面交點或面面交線的問題。3.2.1基本平面體的切割繪制截切體投影圖的一般方法與步驟：1.幾何抽象畫出切割前的原始形狀的投影；2.分析截交線的形狀判明截交線是幾邊形；3.分析截斷面的投影特性積聚性、實形性、相仿性；4.求截交線的頂點、邊線本質(zhì)問題是求交點和交線；5.整理修飾丟棄被截掉的棱線，補全、接上原圖中未定的圖線，分清可見性，加深描黑。3.2.1基本平面體的切割例3-3：

試求四棱錐被一正垂面P切割后的三面投影圖，并求截斷面的實形。解：P平面與四個棱面相交，截交線為四邊形，其四個頂點為四條棱線與P的交點，其正面投影重合在p'上，其他投影則為四邊形（相仿形）。3.2.1基本平面體的切割例3-4：

試補全圖示帶有槽口六棱柱的正面投影，并作出其側(cè)面投影。解：槽口是由三個截平面P、Q、R切割形成的，P為正平面，Q和R為側(cè)平面。3.2.1基本平面體的切割例3-4：

試補全圖示帶有槽口六棱柱的正面投影，并作出其側(cè)面投影。解：槽口由三個平面圖形組成，每個圖形由截交線和相鄰截平面間的交線所圍成。3.2.1基本平面體的切割例3-5：

試補全圖示帶切口的四棱錐的水平投影和側(cè)面投影。解：四棱錐被兩個截平面（水平面和正垂面）切割而成，因此，需要求出兩個截平面與四棱錐表面的交線以及兩截平面之間的交線。3.2.1基本平面體的切割例3-5：

試補全圖示帶切口的四棱錐的水平投影和側(cè)面投影。解：四棱錐被兩個截平面（水平面和正垂面）切割而成，因此，需要求出兩個截平面與四棱錐表面的交線以及兩截平面之間的交線。3.2.1基本平面體的切割兩立體相交連接，亦稱相貫。相貫兩立體的表面產(chǎn)生交線，稱為相貫線。

相貫線的形狀和數(shù)目取決于基本立體的形狀和它們的相對位置。相貫線一般是一條或兩條閉合的空間折線。

3.2.2基本平面體的交接全貫時相貫線有兩條互貫時相貫線有一條

相貫線上的邊是兩立體參與相交的表面間的交線，相貫線上的頂點是參與相交的棱線或底邊對另一立體表面的交點。求相貫線的方法有二：

1.求出兩立體上所有參與相交的棱面或底面間的交線；

2.求出每一立體上參與相交的棱線或邊線對另一立體表面的交點，再依次連接這些交點。3.2.2基本平面體的交接求相貫線的步驟：

1.分析相貫線的類型；確定折線的條數(shù)、每條折線的邊數(shù)或頂點數(shù)。

2.求交線；或者

3.求交點，連接成線；某兩點在第一個立體的同一表面上，又在第二個立體的同一個表面上，這樣的兩點才可以相連。

4.分清各邊線的可見性；產(chǎn)生該邊線的兩個表面的某個投影均都可見時，該邊線的相應(yīng)投影才是可見的。

5.整理修飾，描黑。3.2.2基本平面體的交接例3-6：

試完成圖示房屋模型的水平投影。解：需要求出兩個五棱柱表面間的相貫線。兩棱柱均水平放置，底部的兩個水平棱面共面，只需求出上部的棱面交線即可。大五棱柱前面的兩個棱面參與相交，小五棱柱上面的四個棱面參與相交，則相貫線為6條線段連成的空間折線。3.2.2基本平面體的交接例3-6：

試完成圖示房屋模型的水平投影。解：大五棱柱左右放置，其側(cè)面投影積聚為五邊形，小五棱柱前后放置，其正面投影積聚為五邊形。因此相貫線的正面投影和側(cè)面投影為已知。3.2.2基本平面體的交接例3-7：試完成直立三棱柱與水平三棱柱的相貫線。解：兩三棱柱為互貫，相貫線應(yīng)是一條空間折線。相貫線的水平投影和側(cè)面投影積聚，只需求出正面投影即可。3.2.2基本平面體的交接例3-7：試完成直立三棱柱與水平三棱柱的相貫線。解：如果抽出水平三棱柱，則相當(dāng)于直立三棱柱被三個平面切割出了一個槽口，槽口相貫線的作圖方法相同，所不同的是槽口內(nèi)不可見的棱線應(yīng)畫成虛線。3.2.2基本平面體的交接3.3軸測投影原理及平面立體的軸測圖畫法

由于多面正投影的投射方向總是與形體的基本方向一致，所以每個投影只能反映形體的兩個尺度。這樣的圖缺乏立體感。

選用不平行于任一坐標(biāo)面的方向為投射方向，將形體連同確定形體位置的坐標(biāo)系一起投射到同一個投影面上，得到的圖叫軸測圖，這種投影方法稱為軸測投影法。3.3.1軸測投影的形成及特性得到反映形體三個尺度圖的方法：1.改變投影面而仍然采用正投影；2.不改變投影面而改變投射方向。3.3.1軸測投影的形成及特性正軸測投影

投射方向垂直于投影面時所得到的軸測投影稱為正軸測投影。使坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸O1X1、O1Y1和O1Z1都與投影面P傾斜，然后用正投影法將形體連同坐標(biāo)系一起投射到P投影面上，即得到形體的正軸測投影。3.3.1軸測投影的形成及特性斜軸測投影

投射方向傾斜于投影面時所得到的軸測投影稱為斜軸測投影。通常使投影面P平行于X1O1Z1坐標(biāo)面，即平行于形體上包含長度和高度方向的表面，而使投射方向傾斜于P，即得到此形體的斜軸測投影。3.3.1軸測投影的形成及特性軸測投影是一種單面投影。投影面P稱為軸測投影面，坐標(biāo)軸的軸測投影叫軸測軸。

軸測軸之間的夾角稱為軸間角，它們確定了三條軸測軸的關(guān)系；

坐標(biāo)軸上的單位長度，投影后會改變長度，成為軸測單位長度。軸測單位長與對應(yīng)的坐標(biāo)單位長之比，稱為軸向伸縮系數(shù)，分別用p、q、r表示。3.3.1軸測投影的形成及特性繪制軸測投影時：1.畫軸測投影時必須保持平行性、定比性。軸向直線保持與軸平行。保持平行關(guān)系；2.軸向線段保持軸向伸縮比，即沿軸測量，軸向線段的軸測長度等于實際長度乘上相應(yīng)的軸向伸縮系數(shù)。3.3.1軸測投影的形成及特性軸間角、軸向伸縮系數(shù)與軸測圖的類型有關(guān)。1．正軸測圖

正等軸測圖

正二軸測圖p=q=r≈0.82，簡化伸縮系數(shù)為13.3.2工程上常用的軸測圖2．斜軸測圖斜二軸測圖水平斜等軸測3.3.2工程上常用的軸測圖畫軸測圖必須首先選定軸測圖類型，確定的基本條件：

1.知道軸間角，這樣才可以畫出軸測軸；

2.知道軸向伸縮系數(shù)，這樣才可以沿軸測量。畫軸測圖時為了增強軸測圖的立體感，通常軸測圖上只畫可見輪廓線，對看不見的部分則省略不畫。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-8：畫出三棱錐的正等軸測圖。解：設(shè)定三棱錐的坐標(biāo)系為O1－X1Y1Z1，從而可確定三棱錐上各點S、A、B、C的坐標(biāo)值。沿軸向截量每個點的三個坐標(biāo)，定出各點；連線，并描深可見的棱線和底邊。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-9：畫出正六棱柱的正等軸測圖。解：選定坐標(biāo)原點在棱柱頂面中心；畫出頂面的正等軸測圖；過頂面各頂點沿Z軸方向畫出互相平行的棱線，在棱線上截出棱柱的高度；連接各點即為下底面；最后描深可見圖線。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-10：畫出圖示棱柱體的斜二軸測圖。解：設(shè)定前端面為坐標(biāo)面X1O1Z1，前、后端面的斜二軸測投影為實形。過前端面各頂點作OY軸的平行線，在這些平行線上量取棱柱體厚度的一半得后端面上的各頂點，連接各點，最后描深可見的圖線。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-11：繪制圖示立體的正等軸測圖。解：該立體可以看成是長方體被切去某些部分后形成的，共有三個切割平面：P為正平面、Q為正垂面、R為側(cè)垂面。畫軸測圖時，可先畫出完整的長方體，再畫切割部分。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-12：畫出圖示立體的正等軸測圖。解：該立體可以看成是由三部分疊加而成的：Ⅰ為水平放置的矩形板（底部有前后貫通槽），Ⅱ為在Ⅰ上面放置的梯形平面體，Ⅲ為在Ⅱ上面橫放的五棱柱（接觸面與Ⅱ的頂面大小一樣）。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-13：畫出圖示建筑形體的水平斜等測。解：畫出水平投影的水平斜等測；過各頂點作豎直線（OZ軸方向），向上截量各立體的高度，畫出各立體的水平斜等測，最后描深可見的部分。3.3.3平面立體軸測圖的畫法

軸測草圖也稱軸測徒手圖，是徒手目測畫出的軸測圖。軸測草圖可以在空間思維過程中起到輔助作用，是表達設(shè)計思想、快速記錄形體造型和指導(dǎo)工程施工的很有用的工具。

繪制軸測草圖時除了要掌握軸測投影原理以外，還應(yīng)注意物體的平行關(guān)系在圖中的表現(xiàn)。3.3.4軸測草圖3.謝謝！第4章曲面和曲面立體的投影4.1曲線的投影曲線可以看成是不斷改變運動方向的點連續(xù)運動的軌跡。曲線可以分成規(guī)則曲線和不規(guī)則曲線。曲線也可以分成平面曲線與空間曲線。4.1.1曲線的形成與分類曲線的投影一般仍為曲線。曲線是點的集合，畫出曲線上一系列點的投影，并以曲線光滑連接，就得到該曲線的投影。

曲線上過一點的切線，其投影仍與曲線的投影相切于該點的同面投影。

平面曲線的投影：1.曲線平面平行于投影面，投影反映實形；2.曲線平面垂直于投影面，投影是一直線；3.曲線平面傾斜于投影面，投影是相仿形。4.1.2曲線的投影特性例4-1：

已知圓位于鉛垂面P內(nèi)，圓心為O點，直徑為D，試作出該圓的正面投影。解：根據(jù)圓平面對投影面的傾斜狀態(tài)，圓的投影而有三種情形：等大的圓長度等于直徑的線段長軸長度等于直徑的橢圓。4.1.2曲線的投影特性例4-1：

已知圓位于鉛垂面P內(nèi)，圓心為O點，直徑為D，試作出該圓的正面投影。4.1.2曲線的投影特性圓柱螺旋線：右旋

左旋動點繞圓柱軸線作勻速旋轉(zhuǎn)，同時又沿圓柱軸線方向作勻速移動，動點的運動軌跡即為圓柱螺旋線。動點旋轉(zhuǎn)一周沿軸線方向移動的距離稱為導(dǎo)程，螺旋線有右旋螺旋線和左旋螺旋線之分。4.1.2曲線的投影特性例4-2：

已知右旋螺旋線的軸線為鉛垂線O，動點的起點為M(m，m’)點，導(dǎo)程為h，試作出該螺旋線的兩投影。4.1.2曲線的投影特性4.2曲面的投影曲面是運動的線按照一定的控制條件運動的軌跡。運動的線稱為母線，任意位置的母線稱為素線，控制母線運動的線或面，稱為導(dǎo)線、導(dǎo)面。4.2.1曲面的形成與分類分類：1、

直紋面與曲線面2、

旋轉(zhuǎn)曲面與非旋轉(zhuǎn)曲面在旋轉(zhuǎn)曲面中，母線上任一點的運動軌跡是圓，稱之為緯圓（緯線），緯圓所在的平面垂直于旋轉(zhuǎn)軸，圓心在旋轉(zhuǎn)軸上。比相鄰兩側(cè)都大的緯圓稱為赤道，比相鄰兩側(cè)都小的緯圓稱為喉圓。在旋轉(zhuǎn)曲線面中過旋轉(zhuǎn)軸的平面稱為徑面，徑面與曲面的交線稱為經(jīng)線。4.2.1曲面的形成與分類原則上說，只要作出確定曲面的幾何要素的投影，就能用投影表示曲面。但在投影圖上表示一個曲面時，需畫出曲面的外形輪廓。4.2.2曲面投影的表示方法為了形象和確切表示曲面，有時還畫出曲面上有規(guī)律分布的若干條素線或曲面網(wǎng)格來表示曲面。4.2.2曲面投影的表示方法1.柱面形成：直母線l沿曲導(dǎo)線C運動，且始終保持與某一固定方向T平行。4.2.3常見曲面的投影2.錐面形成：直母線l沿曲導(dǎo)線C運動，且始終通過定點S。4.2.3常見曲面的投影3.柱狀面直母線沿著兩條曲導(dǎo)線運動，且始終平行于某一導(dǎo)平面，這樣形成的曲面稱為柱狀面。柱狀面橋墩4.2.3常見曲面的投影4.錐狀面直母線沿著一條直導(dǎo)線和一條曲導(dǎo)線移動，且始終平行于某一導(dǎo)平面，這樣形成的曲面稱為錐狀面。4.2.3常見曲面的投影5.螺旋面以圓柱螺旋線及其軸線為導(dǎo)線，直母線沿著它們移動而同時又與軸線保持一定角度，這樣形成的曲面稱為螺旋面。

直母線與軸線始終正交，則形成的是正螺旋面（或直螺旋面、平螺旋面）；若直母線與軸線斜交成某個定角，則形成的是斜螺旋面。4.2.3常見曲面的投影6.雙曲拋物面直母線l沿著兩條交錯的直導(dǎo)線AB、CD移動，且始終平行于某個導(dǎo)平面P，這樣形成的曲面稱為雙曲拋物面。4.2.3常見曲面的投影7.單頁旋轉(zhuǎn)雙曲面直母線l繞著與其交錯的軸線旋轉(zhuǎn)，形成的曲面稱為單頁旋轉(zhuǎn)雙曲面。4.2.3常見曲面的投影8.球面球面是由圓繞自身的任一直徑旋轉(zhuǎn)生成的曲線面，球面任意方向的正投影都是圓。4.2.3常見曲面的投影4.3曲面立體的投影形成：由圓柱面和兩個底平面圍成的立體，稱為圓柱體，簡稱圓柱。

直圓柱的底平面垂直于圓柱的軸線。4.3.1圓柱例4-3：

已知圓柱面上點M的正面投影m′，求作點M的其余兩投影。解：由于m′可見，所以M點位于前半圓柱面上，利用圓柱面的水平投影有積聚性，可作出水平投影m。由m′、m作出m″，因為M點在左半圓柱面上，所以m″可見。4.3.1圓柱形成：由圓錐面和底平面圍成的立體稱為圓錐體。直圓錐的底平面垂直于圓錐的軸線。4.3.2圓錐和圓臺圓錐用垂直于軸線的另一平面截去錐頂，得到圓臺。4.3.2圓錐和圓臺例4-4：

已知圓錐面上點M的正面投影m′，試作點M的其余兩投影。解：根據(jù)m′可見，得點M在前半錐面上，過m′作一素線的正面投影，求出該素線的水平投影，由從屬性可求出m，根據(jù)m、m′即可求出m″。借助于圓錐面上素線定點的方法叫做素線法。4.3.2圓錐和圓臺例4-4：

已知圓錐面上點M的正面投影m′，試作點M的其余兩投影。解：也可過點M作緯圓，并求出該緯圓對應(yīng)的水平投影和側(cè)面投影，求得點M的另兩投影。借助于圓錐面上緯圓定點的方法叫做緯圓法。4.3.2圓錐和圓臺球面自身封閉形成球體。與球面的投影相同，球的三個投影都是等大的圓。

球面上定點、定線只能使用緯圓法。4.3.3球4.4曲面立體的截切與相貫曲面體的截交線一般是平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形。截交線是截平面與被截表面的共有線。4.4.1截交線截交線的具體形狀，與曲面的類型及截平面的位置有關(guān)。當(dāng)截交線是曲線時，需要求出屬于曲線上的一些點，連接這些點才能畫出截交線。為了控制好截交線的形狀，求點時應(yīng)求出曲線上的一些特殊點和一般點。4.4.1截交線依據(jù)截平面與圓柱的相對幾何關(guān)系，平面與圓柱面的交線有3種情形。4.4.2平面截切圓柱例4-5：

已知圓柱被一正垂面截斷，求截斷圓柱的三面投影圖。解：截平面傾斜于圓柱的軸線，所以與圓柱面的交線是個橢圓。截平面是正垂面，所以橢圓的正面投影積聚在正垂面的傾斜線段上，水平投影與圓柱面的水平投影重合為圓，側(cè)面投影為橢圓。4.4.2平面截切圓柱例4-6：

已知圓柱被三個平面切割，求作其水平投影。解：圓柱被兩個水平截平面和一個正垂面切割，水平截平面截圓柱面得兩平行的素線，正垂截平面截圓柱面得橢圓弧。多個截平面切割立體,還應(yīng)作出相鄰截平面之間的交線。4.4.2平面截切圓柱圓柱被切割成型的一些例子4.4.2平面截切圓柱截平面與圓錐面的交線有五種形式：4.4.3平面截切圓錐截平面與圓錐面的交線有五種形式：4.4.3平面截切圓錐例4-7：

已知圓錐被一正垂面切割，求截斷圓錐的三面投影圖。解：截平面與錐面軸線傾斜且與所有素線相交，所以交線為橢圓。4.4.3平面截切圓錐例4-8：

已知有缺口圓錐的正面投影，求此圓錐的三面投影圖。4.4.3平面截切圓錐解：缺口由三個平面構(gòu)成，上面是通過錐頂?shù)恼姑?；中間是與圓錐最右側(cè)輪廓素線平行的正垂面；下面是垂直于圓錐軸線的水平面。平面與球面相交，交線總是圓。但圓的投影根據(jù)截平面對投影面的傾斜關(guān)系可能是直線、圓或者橢圓。4.4.4平面截切球例4-9：

球被正垂面切割，已知其正面投影，求作其水平投影。4.4.4平面截切球相貫線一般是由多條截交線組成的空間曲折線。曲折線的頂點是平面體的棱線與曲面體的交點，叫做貫穿點。求作平面體與曲面體的相貫線，可歸結(jié)為求曲面體的截交線和貫穿點問題。4.4.5平面體與曲面體相貫貫穿點截交線例4-10：

求作正三棱柱與圓錐表面間交線的三面投影。解：三個棱面與圓錐面相交形成三條截交線，均為雙曲線。4.4.5平面體與曲面體相貫曲面體相交，產(chǎn)生交線，亦稱相貫線。曲面體間的相貫線是空間曲線，特殊情形下可能是平面曲線或直線。

曲面體上開槽、穿孔，如果發(fā)生了曲表面間相交，這種關(guān)系也屬于相貫問題4.4.6兩曲面體或曲表面相交

相貫線是表面間的共有線，找到一些共有點，可連成光滑曲線。求點時應(yīng)求出特殊點和一般點。

求共有點的常用方法有表面定點法和輔助平面法。4.4.6兩曲面體或曲表面相交例4-11：

兩直徑不等的圓柱其軸線正交，試作出其相貫線。解：豎直大圓柱的水平投影積聚為圓；平放小圓柱的正面投影也積聚為圓，即有了相貫線的水平投影和正面投影，只需作出它的側(cè)面投影。4.4.6兩曲面體或曲表面相交在圓柱上穿孔，交線的求法與兩實體圓柱相貫時相同。在投影圖上需畫出圓孔內(nèi)的輪廓素線。4.4.6兩曲面體或曲表面相交例4-12：

求作圓柱和半球體間交線的三面投影。解：整個圓柱與半球的左側(cè)相交，相貫線是一條閉合的空間曲線。求點時用輔助平面法，選取水平輔助平面切割兩個立體。4.4.6兩曲面體或曲表面相交

兩曲面體或曲表面相交時，在特殊情形下相貫線可能是平面曲線或直線。4.4.6兩曲面體或曲表面相交4.5圓柱與圓錐的軸測圖投影在一般情況下，圓柱和圓錐的底面是位于或平行于某個坐標(biāo)面的。

畫圓柱和圓錐的軸測圖，需畫出底圓和柱面、錐面關(guān)于軸測投影投射方向的外形輪廓線的軸測投影。

曲面的外形線與底圓在軸測圖上是相切的關(guān)系。圓柱與圓錐的軸測圖投影在正等軸測投影中，平行于任一坐標(biāo)面的底圓，其正等軸測圖總是橢圓，可以證明，該橢圓的長軸垂直于對應(yīng)的軸測軸，各橢圓的短軸垂直于各自的長軸。位于或平行于坐標(biāo)面的圓的軸測圖在斜二軸測投影中，由于坐標(biāo)面XOZ平行于軸測投影面，凡是平行于該坐標(biāo)面的圓，其斜二軸測投影總是同樣大小的圓，而平行于另兩個坐標(biāo)面的底圓，其斜二軸測圖均為橢圓，它們的長軸方向均不與對應(yīng)的軸測軸垂直。位于或平行于坐標(biāo)面的圓的軸測圖圖中哪些軸測橢圓的長軸方向畫錯了？位于或平行于坐標(biāo)面的圓的軸測圖1.坐標(biāo)定點法是最基本的方法（可用于任意種類的軸測圖）4.5.1軸測橢圓的畫法有規(guī)律地取點方法：八點法（可用于任意種類的軸測圖）4.5.1軸測橢圓的畫法2.軸測橢圓的近似畫法，四心法（限于正等軸測圖）4.5.1軸測橢圓的畫法例4-13：

畫出圓拱洞門的斜二軸測圖。解：拱圈的底面平行于V面，在斜二軸測圖中反映