立體幾何中的翻折問題

立體幾何中的翻折問題宜良二中學(xué)段開銀【思考題】1.如有一只小蟲要從A爬到點(diǎn)M，所走的最短路徑是什么？回憶知識：在平面內(nèi)，兩點(diǎn)間線段距離最短2.如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，①BM∥ED；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM⊥BN以上四個(gè)命題中正確的序號是()(A)、①②③(B)、②④(C)、②③④(D)、③④D3.如圖，ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，如將△DAE和△CBE沿虛線DE和CE折起，使AE和BE重合,記A與B重合后的點(diǎn)為P，那么面PCD與面ECD所成的二面角為__________.ABCDE30°ECDPF(A、B)

圖形的展開與翻折問題就是一個(gè)由抽象到直觀,由直觀到抽象的過程.在歷年高考中以圖形的展開與折疊作為命題對象時(shí)常出現(xiàn),因此,關(guān)注圖形的展開與折疊問題是非常必要的.

把一個(gè)平面圖形按某種要求折起，轉(zhuǎn)化為空間圖形，進(jìn)而研究圖形在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上的變化，這就是翻折問題。(1)先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過程中不變，哪些已發(fā)生變化，

(2)將不變的條件集中到立方體圖形中，將問題歸結(jié)為一個(gè)條件與結(jié)論明朗化的立幾問題。小結(jié)：求解翻折問題的根本方法：AEFP(B,C,D)BDC例1.：E、F是邊長為2的正方形ABCD的邊BC和CD的中點(diǎn)，分別沿AE,EF,AF將△ABE,△ECF,△AFD折起使B,C,D三點(diǎn)重合于P點(diǎn)，如圖，〔1〕求證：AP垂直于EF〔2〕求二面角A-EF-P成角的正切值；〔3〕求所得幾何體的體積；〔4〕求點(diǎn)P到平面AEF的距離。AEFPBDCM解：(2)取EF重點(diǎn)M,連結(jié)AM、PM.∵AE=AF,PE=PF,∴AM⊥EF,PM⊥EF.∴

∠AMP為二面角A-EF-P的平面角。∵

AP=2,MP=AP⊥MP,∴

tan∠AMP=2√2(2)∵AP⊥PE,PE⊥PF,PF⊥AP,∴VP-ABC=×1×1×2=(3)設(shè)P到平面AEF的距離為h,則S△AEF·h=3VP-ABC∴h=2√2132343ABCDABCDHABCDHABCDABCDABCDHADBCABCDXYZ分析:(1)建系,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA、OB、OC所在直線為X軸、Y軸、Z軸，則有A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,),O1(0,0,)從而xABCDyz小結(jié):1.要解決好折疊和展開這類問題需要較強(qiáng)的空間想象能力，并明確以下兩點(diǎn)：(1)．折疊前、后的平面圖與立體圖中各個(gè)元素間大小和位置關(guān)系，哪些發(fā)生變化，哪些不變．一般情況下，原圖中的一局部仍在同一個(gè)半平面內(nèi)，與組成這局部圖形的元素保持著原有的數(shù)量及位置關(guān)系，抓住這些不變量和不變關(guān)系是解決折疊問題的關(guān)鍵．(2).根據(jù)不變量及有關(guān)定理、公式進(jìn)行推理或計(jì)算．

2.本節(jié)課主要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力,表達(dá)‘化歸’的數(shù)學(xué)思想.作業(yè)：如圖，正三角形ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于B1、C1.將△AB1C1沿B1C1折起到△A1B