山東省濟南市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

絕密★啟用并使用完畢前高二年級學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘，注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號，考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回，一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.等差數(shù)列中，已知，，則（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出，代入數(shù)值即可得出答案.【詳解】因為，為等差數(shù)列，所以有，所以，.故選：D.2.已知兩個平面的法向量分別為，則這兩個平面的夾角為（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩平面夾角與其法向量夾角的關(guān)系，利用向量夾角公式即可得到答案.【詳解】，因為向量夾角范圍為，故兩向量夾角為，故兩平面夾角為，即，故選：B.3.直線與直線的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合【答案】A【解析】【分析】分和討論，其中時，寫出兩直線斜率，計算其乘積即可判斷.【詳解】當時，直線，直線，此時兩直線垂直，當時，直線的斜率，直線的斜率，因為，則兩直線垂直，綜上兩直線位置關(guān)系是垂直，故選：A.4.一種衛(wèi)星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心F位于焦點處，以頂點O為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，則該拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出拋物線的標準方程，代入點坐標求出系數(shù)既可.【詳解】由題意，拋物線開口向右，設(shè)拋物線的標準方程，點代入拋物線方程求得，得，則．拋物線的標準方程為.故選：B．5.在等比數(shù)列中，，其前三項的和，則數(shù)列的公比()A. B.C.或1 D.或1【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式得到關(guān)于的方程組，解出即可．【詳解】∵在等比數(shù)列中，，其前三項的和，∴，解得，或．∴的公比等于或1．故選：C．6.《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，P為的中點，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，然后得出和的坐標，即可得出答案.【詳解】如圖，由已知可得，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系.則，，，，，.所以，，所以.故選：A.7.若直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則n的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題得直線所過定點在橢圓上或橢圓內(nèi)，代入橢圓得到不等式，再結(jié)合橢圓焦點在軸上即可.【詳解】直線恒過定點，若直線與橢圓總有公共點，則定點在橢圓上或橢圓內(nèi)，，解得或，又表示焦點在軸上的橢圓，故，，故選：C.8.雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作圓D的切線與C的兩支分別交于M，N兩點，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)雙曲線的方程為.設(shè)切點為，過點作，垂足為，可推出.進而在中，可求得，.根據(jù)雙曲線的定義可得.在中，根據(jù)余弦定理可得，即可得出離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的方程為，則.設(shè)切線與圓相切于點，過點作，垂足為，則.所以，有，所以.又，，所以為等腰直角三角形，所以，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，所以.在中，由余弦定理可得，.所以，，所以，，.所以，C的離心率.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線與圓，則下列說法正確的是（）A.直線l恒過定點 B.圓M的圓心坐標為C.存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切 D.若，直線l被圓M截得的弦長為2【答案】AB【解析】【分析】A選項，將直線方程變形后得到，求出恒過的定點；B選項，將圓的一般式化為標準式方程，得到圓心坐標；C選項，令圓心到直線l的距離等于半徑，列出方程，結(jié)合根的判別式判斷出結(jié)論；D選項，當時，求出圓心在直線l上，故直線l被圓M截得的弦長為直徑4，D錯誤.【詳解】變形為，故恒過定點，A正確；變形為，圓心坐標為，B正確；令圓心到直線的距離，整理得：，由可得，方程無解，故不存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切，C錯誤；若，直線方程為，圓心在直線上，故直線l被圓M截得的弦長為直徑4，D錯誤.故選：AB10.已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為的直線交C于點，（其中），與C的準線交于點D．下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.F為線段AD中點 D.的面積為【答案】BC【解析】【分析】求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得出，，推出，可判斷A項；解方程得出點坐標，根據(jù)拋物線的定義求出的值，可判斷B項；求出點，得出線段AD中點的坐標，即可判斷C項；根據(jù)B可得出，進而求出點到直線的距離，即可得出面積，判斷D項.【詳解】由已知可得，，準線，直線的方程為.聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程可得，.由韋達定理可得，，.又，，所以，又，所以，故A項錯誤；對于B項，結(jié)合圖象，解可得，，.過點作，垂足為，則.根據(jù)拋物線的定義可得，，同理可得，故B項正確；對于C項，因為，所以，則點.將代入直線的方程為可得，，即.所以，線段中點坐標為，恰好為點，故C項正確；對于D項，.點到直線，即的距離為，所以，的面積，故D項錯誤.故選：BC.11.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)（互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如，．下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列為遞增數(shù)列C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列的前n項和為，則【答案】ACD【解析】【分析】對A列舉法即可判斷，對B舉反例即可，對C得到與，所有互質(zhì)的數(shù)均為正奇數(shù)，則，即可判斷，對D用乘公比錯位相減法即可.【詳解】對A，與11互質(zhì)的正整數(shù)有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故，故A正確；對B，當時，與8互質(zhì)的正整數(shù)有1,3,5,7，故，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯誤；對C，時，一定是2的倍數(shù)，則與互素的數(shù)為：1,3,5,7,9,11,，即正奇數(shù)，故，，故數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故C正確，對D，，則①②①②得，則，而，故，故D正確.故選：ACD.12.如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，G為線段上的動點，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.存在點G﹐使得平面C.G為中點時，直線EG與所成角最小 D.點F到直線EG距離的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等體積法可知，即可判斷A項；建系，假設(shè)存在點G﹐設(shè).根據(jù)向量的坐標，由，解出的值，即可判斷B項；由已知推出，根據(jù)二次函數(shù)以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合的取值范圍，即可判斷C項；求出在方向上投影的絕對值為，然后根據(jù)勾股定理表示出點F到直線EG的距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最小值.【詳解】如圖，以點坐標原點，建立空間直角坐標系.則，，，，，，，，，.對于A項，由正方體以及面面平行的性質(zhì)可得，平面，點G在線段上，所以到平面的距離等于.因為，所以.則是個定值，故A項正確；對于B項，假設(shè)存在點G﹐使得平面.設(shè).，，，，則.所以，，所以，滿足條件.此時有，，平面，平面，，所以，存在點G﹐使得平面，故B項正確；對于C項，設(shè)直線EG與所成角為.因為，.所以，所以.因為，所以當時，有最小值，顯然有，則有最大值，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，有最小值，故C項錯誤；對于D項，因為，，所以，在方向上投影的絕對值為，由C知，當時，有最小值，則有最大值為，又，所以，點F到直線EG距離的最小值為，故D項正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由點為線段上的動點，設(shè).可以通過的坐標，表示出與點有關(guān)的向量.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，其中，若，則的值為_________．【答案】##【解析】【分析】由已知可得，，即可求出的值，進而得出答案.【詳解】由已知可得，，.因為，所以，解得，，所以，.故答案為：.14.各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項和是，若，則的值為_________．【答案】##8.5【解析】【分析】由題得，化簡求出，利用求和公式即可.【詳解】數(shù)列為各項為正數(shù)的等差數(shù)列，則，化簡得，解得或0（舍），則，故答案為：.15.已知點，，若圓上存在點Р滿足，則實數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】由已知可得，圓的圓心、半徑，且點在以為直徑的圓上，進而得出圓心、半徑.然后根據(jù)兩圓有交點，即可得出，代入即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓可化為，圓心為，半徑.因為，所以，所以點在以為直徑的圓上.圓心為的中點，半徑.由題意可得，圓與圓有公共點P，則應(yīng)滿足，即有，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.16.設(shè)是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P滿足，記的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是R，r，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】化標準，得到，，然后根據(jù)正弦定理求出.進而根據(jù)余弦定理推出的面積.根據(jù)等面積法，可知，即可求出.【詳解】將橢圓化為標準方程可得，.所以，，，.所以，，，所以，.根據(jù)正弦定理可得，，所以.設(shè)，則.由余弦定理可得，，所以，，整理可得，，顯然是方程的兩個解，所以，所以的面積.又，所以.所以，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知圓C經(jīng)過點和且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）若點P為圓C上的任意一點，求點P到直線距離的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心、半徑，根據(jù)已知條件列出方程組，求解方程組即可得到圓的標準方程；（2）求出圓心到直線的距離，可知直線與圓相離.然后即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)圓心為，半徑為，則圓的標準方程為.由已知可得，，解得，所以，圓的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓心為，半徑.圓心到直線的距離.所以，直線與圓相離.所以，點P到直線距離的最大值為，最小值為.18.已知雙曲線經(jīng)過，兩點．（1）求C標準方程；（2）若直線與C交于M，N兩點，且C上存在點P﹐滿足，求實數(shù)t的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將點坐標代入雙曲線的方程，得到方程組，即可求出雙曲線的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程得出，根據(jù)韋達定理可得出，所以.進而由，表示出點的坐標，代入雙曲線即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，，解得，所以C的標準方程為.【小問2詳解】設(shè)，，.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，整理可得.由韋達定理可得，所以.所以，.則由可得，，解得，即.因為點在雙曲線上，所以有，整理可得，解得.19.如圖，四棱錐中，底面，底面為矩形，，，M，N分別為PB，CD的中點．（1）求證：面；（2）求直線PB與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系.寫出點的坐標，求出向量的坐標，根據(jù)，，證明，.即可根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)（1）中點的坐標，求出平面的法向量，進而即可根據(jù)向量求解出答案.【小問1詳解】由已知底面，底面為矩形，易知兩兩垂直.以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標系.因為，，所以，，，，，則，.所以，，.則，，所以，.因為平面，平面，，所以面.【小問2詳解】由（1）可得，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，則，，所以是平面的一個法向量.又，所以直線PB與平面所成角的正弦值為.20.已知數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列滿足，其中．（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)、累乘法求得和的通項公式；（2）結(jié)合分組求和法、裂項相消求和法求得.【小問1詳解】對于，當時，，當時，由得，兩式相減得，由于，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.對于，，所以，也符合上式，所以.【小問2詳解】當為奇數(shù)時，；，所以.當為偶數(shù)時，；所以.所以.21.已知橢圓的長軸長是4，離心率為．（1）求的方程；（2）若點P是圓上的一動點，過點P作的兩條切線分別交圓O于點A，B．①求證：；②求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，直接計算出，，，進而可得答案.（2）根據(jù)題意，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)直線與橢圓相切，再設(shè)，得到，進而得到，解得，，可證得；再過作，必有，得到三角形的面積，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍.【小問1詳解】由已知得，，，解得，可得，則的方程為【小問2詳解】①設(shè)，則過點的切線方程為：，聯(lián)立橢圓方程得到，，因為直線與橢圓相切，得，化簡得，，所以，，又因為，故，過點P作的兩條切線分別交圓O于點A，B，故必有；②由①得，必過圓心，過作，必有，設(shè)三角形的面積