福建省寧德市2022-2023學年高二上學期區(qū)域性學業(yè)質量檢測（期末）數學試題（含解析）

2022-2023學年第一學期期末高二區(qū)域性學業(yè)質量檢測數學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1.若直線經過點，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線斜率等于其傾斜角的正切值求解即可.【詳解】設直線的傾斜角為，則，因為直線傾斜角的范圍為，所以故選：C2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線方程可判斷雙曲線的焦點位置并同時求出，，由此可求其漸近線方程.【詳解】由雙曲線得，所以漸近線方程為，故選：B3.圓與圓的位置關系為（）A.內切 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】【分析】求出圓的標準方程，可得圓心坐標與半徑，由圓心距與半徑之間的關系即可判斷【詳解】由題意，，圓心為，半徑，，圓心為，半徑，由，可知，兩圓的位置關系為相交.故選：B.4.已知數列的前項和，求等于（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】【分析】利用數列的項與前項和的關系求解即可.【詳解】由題可知故選：C5.已知動圓M經過點A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，則動圓圓心M的軌跡方程為（）A.y2＝12x B.y2＝－12xC.x2＝12y D.x2＝－12y【答案】A【解析】【分析】設出點M的坐標，由題意可知|MA|＝|MN|，進而根據拋物線的定義即可得到答案.【詳解】設動點M(x，y)，圓M與直線l：x＝－3的切點為N，則|MA|＝|MN|，即動點M到定點A和定直線l：x＝－3的距離相等.∴點M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點，以直線l：x＝－3為準線，故動圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x.故選：A.6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種【答案】C【解析】【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有4！種，根據乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數的分配情況，然后利用先選后排思想求解.7.如圖所示，一只裝有半杯水的圓柱形水杯，將其傾斜使杯底與水平桌面成，此時杯內水面成橢圓形，此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題干條件作出輔助線，求出，即，進而求出離心率.【詳解】如圖，由題意得：∠BAC=30°，，，且AC=DE，則在直角三角形ABC中，，所以，所以此橢圓的離心率.故選：C8.中國自古就有“橋的國度”之稱，福建省寧德市保留著50多座存世幾十年甚至數百年的木拱廊橋，堪稱木拱廊橋的寶庫.如圖是某木拱廊橋的剖面圖是拱骨，是相等的步，相鄰的拱步之比分別為，若是公差為的等差數列，且直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用題中關系建立等式求解即可.【詳解】由題可知因為所以，又是公差為的等差數列，所以，所以，故選:B二、多項選擇題（本題每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知直線，直線，則下列命題正確的有（）A.直線恒過點B.直線的方向向量為，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據已知直線方程，逐個驗證直線過的定點、方向向量和垂直平行所需的條件.【詳解】把代入直線的方程，等式不成立，A選項錯誤；直線的方向向量為，則直線斜率，得，B選項正確；直線方向向量為，直線的方向向量為，若，則有，解得，當時，與重合，C選項錯誤；若，則有，即，D選項正確.故選：BD10.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數項為160B.第3項二項式系數最大C.所有項的二項式系數和為D.所有項的系數和為【答案】ACD【解析】【分析】先求的通項公式可得選項A的正誤，利用的值可得選項B、C的正誤，所有項的系數和可以利用賦值法求解【詳解】展開式的通項為，由，得，所以常數項為，A正確；二項式展開式中共有項，所以第項二項式系數最大，B錯誤；由及二項式系數和的性質知，所有項的二項式系數和為，C正確；令，得，所有項的系數和為，D正確；故選：ACD11.為了考察冰川融化狀況，一支考察隊在某冰川劃定一考察區(qū)域，考察區(qū)域的邊界曲線由曲線和曲線組合而成，其方程為：和.則下列結論正確的是（）A.曲線關于軸成軸對稱圖形B.曲線關于原點成中心對稱圖形C.曲線上兩點之間的距離的最大值為D.直線到曲線的最短距離為3【答案】ACD【解析】【分析】畫圖即可驗證選項A,B選項，通過圖像可知曲線上兩點之間的距離的最大值為左右兩個端點的距離即可求解選項C，選項D利用平行與的直線相切與曲線時切點到直線的距離最短即可求解.【詳解】如圖所示可知，曲線關于軸對稱，故A正確，B錯誤.由圖像可知曲線上兩點之間的距離的最大值為左右兩個端點的距離，在中，令，在中，令，所以曲線上兩點之間的距離的最大值為左右兩個端點的距離為：，故C正確，因為直線過點，當平行與直線的直線與曲線的部分相切時，切點到直線的距離最小，設此時直線方程為，聯立，化簡得：，由解得：，當時，，當時，，不滿足題意，故，聯立解得切點為：所以直線到曲線的最短距離為點到的距離：即，故D正確，故選：ACD.12.已知等比數列的公比，等差數列的首項，若且，則以下結論正確的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據給定條件，確定數列相鄰兩項的特性判斷AC；再判斷等差數列單調性判斷BD作答.【詳解】因為等比數列的公比，則，，而的正負不確定，因此不能確定和的正負及大小關系，AC錯誤；顯然和異號，又且，則中至少有一個是負數，而，于是等差數列的公差，即數列單調遞減，因此，且，BD正確.故選：BD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置）13.已知，則兩平行線與間的距離為__________.【答案】2【解析】【分析】兩平行線與間的距離，轉化為上一點到的距離，利用點到直線距離公式計算.【詳解】，過點，點到的距離為，所以兩平行線與間的距離為2.故答案為：214.某中學為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晩會.晩會組委會計劃在原定排好的5個學生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來5個節(jié)目的出場順序不變，則有__________種不同排法.（用數字作答）【答案】42【解析】【分析】分兩種情況討論：2個教師節(jié)目相鄰與不相鄰，分別算出相加即可.【詳解】①當2個教師節(jié)目相鄰時利用插空法則有：種情況，②當2個教師節(jié)目不相鄰時有：種情況，所以共有種情況，故答案為：42.15.數列滿足，則________.【答案】【解析】【分析】將變形得到，然后逐項列舉，累加可得到，又，代入即可得出結果【詳解】由題意可得，所以，，，上式累加可得，又，所以.故答案為：16.反比例函數的圖象是雙曲線（其漸近線分別為軸和軸）；同樣的，“對勾函數”的圖象也是雙曲線.設，則此“對勾函數”所對應的雙曲線的焦距為__________.【答案】【解析】【分析】求得雙曲線為可得漸近線方程，運用對稱性可得實軸所在的直線方程，與函數聯立，求得交點坐標，由兩點的距離公式，可得的值，從而可得值，即可得雙曲線的焦距．【詳解】由題可得雙曲線為，所以漸近線為及，漸近線夾角為,則所以，焦點所在的直線方程為，由,得解得或此時，則所以，則焦距為.故答案為：.四、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知等差數列，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設數列公差為，依題意得到關于的方程，解得，即可求出數列的通項公式；（2）由（1），利用分組求和法及等比數列求和公式計算可得【小問1詳解】方法設數列公差為，由得，所以，所以；方法2：設數列公差，由得，解得，所以，所以；【小問2詳解】解：由（1），所以.18.如圖，在平面直角坐標系中，點，，.（1）求直線的方程；（2）記的外接圓為圓，求直線被圓截得的弦長.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）直線交軸于點，由題意可得為等邊三角形，故，可求直線的方程；（2）由可求的外接圓方程，幾何法求直線被圓截得的弦長.【小問1詳解】（如圖）直線交軸于點，中，，所以，故，

所以直線的方程為【小問2詳解】設圓的方程為，由（1）知，滿足圓的方程，則，解得，圓的方程為，即所以圓心半徑圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長.注：方法二（2）設圓的方程為，由（1）知，滿足圓的方程，則，解得，圓的方程為，可得，圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長.注：方法三（2）因為，，AB的中點為

所以的垂直平分線方程為：①，所以的垂直平分線方程為：②，由①②得，圓心為，圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長.19.定義：為廣義組合數，其中是正整數，且.這是組合數是正整數，且一種推廣.（1）計算：與；（2）猜想并證明：__________（用的形式表示，其中是正整數）.【答案】（1），（2），證明見解析【解析】【分析】（1）根據廣義組合數公式，計算即可求解．（2）結合(1)中的結果，根據廣義組合數公式，化簡等號左邊的算式，即可得到結果.【小問1詳解】所以【小問2詳解】猜想：時，，猜想成立.時，由得又所以.綜上，.20.在平面直角坐標系中，焦點在x軸上的橢圓過點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于兩點，求的面積最大值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據橢圓的離心率及橢圓過一點，列方程求解，即可得橢圓的方程；（2）設，聯立直線與橢圓求解交點坐標關系，即可得相交弦長，再利用點到直線距離求得點到直線的距離，即可得的表達式，利用函數性質求最值即可.【小問1詳解】設橢圓方程為，由橢圓過點，離心率所以，解得，所以橢圓的方程為：【小問2詳解】設，則，得，，得，所以，所以，點到直線的距離所以的面積當時，的面積取到最大值1.21.已知數列前項和為.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和；（3）恒成立，求實數的范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據數列與的關系，利用相減法得，檢驗首項后可得數列是等比數列，即可求得數列的通項公式；（2）直接根據錯位相減法求解數列的前項和即可；（3）利用數列單調性判斷方法確定最值，即可得實數的范圍.【小問1詳解】時，有，時有，又，也符合上式，故數列是首項為1，公比為2的等比數列，.【小問2詳解】由（1）知，，①，②由①-②有：【小問3詳解】記則所以當時，，即，當時，，即所以當時，有最大值故實數的范圍為22.雙曲線，恰好過中的三點.（1）求雙曲線的方程；（2）記雙曲線上不同的三點，其中為雙曲線的右頂點，若直線的斜率之積為1，證明：直線過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由雙曲線的對稱性知，雙曲線過，代入雙曲線方程即可求出；（2）法一：設直線的方程為，聯立直線與雙曲線的方程，由韋達定理結合題意即可表示出兩點的坐標，即可表示出直線的方程，求出直線過的定點；法二：設直線方程為：，聯立直線與雙曲線的方程，由韋達定理結合題意即可表示出兩點的坐標，即可表示出直線的方程，求出直線過的定點；法三：依據對稱性可知，直線必過設直線方程為：，由結合韋達定理化簡可得，即可求出直線過的定點；法四：以為原點，構建新的直角坐標系，則，雙曲線方程，設直線方程為：，聯立直線與雙曲線的方程可得，由可求出的值，即可得出答案.【小問1詳解】由雙曲線的對稱性知，雙曲線過所以，因為滿足，解得所以雙曲線的方程為：【小問2詳解】法一：設直線的