山西省晉中市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023年1月山西省高二年級期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1.經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用斜率公式即可求得經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率.【詳解】由斜率公式可得：，則經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率為2故選：D2.已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于啥軸對稱啥不變，其它坐標(biāo)變相反的對稱變換口訣，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.【詳解】依題意，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn).故選：A.3.曲線和，則和更接近圓的是（）A. B. C.相同 D.無法判斷【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，分別求出兩個(gè)曲線的離心率進(jìn)行比較，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】分別將曲線和化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，，由橢圓的性質(zhì)可得，曲線的離心率為，曲線的離心率為，顯然，因此曲線更接近圓.故選：A.4.已知為等比數(shù)列，且，，則A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義與性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，所以.故選：C.5.已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像自左至右是先減后增，可知函數(shù)y＝f(x)圖像的切線的斜率自左至右先減小后增大，且，在處的切線的斜率為0，故BCD錯誤，A正確.故選：A.6.與兩圓及都外切的圓的圓心的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線的一支 C.拋物線 D.圓【答案】B【解析】【分析】設(shè)所求動圓圓心為，圓的半徑為，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義可得出結(jié)論.【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，設(shè)所求動圓圓心為，圓的半徑為，由于動圓與圓、圓均外切，則，所以，，因此動圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支.故選：B.7.洛書（如圖）是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)圖案，年正式入選國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五為中，形成如圖所示的九宮格.將自然數(shù)、、、填入行列的方格內(nèi)，使各行、各列、各條對角線上的數(shù)字之和（簡稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“階幻方”.洛書就是一個(gè)三階幻方，若記階幻方的對角線上數(shù)的和為，例如，，，，那么階幻方的對角線上數(shù)的和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出階幻方中對角線的數(shù)字之和，然后令即可得解.【詳解】在階幻方中，共有個(gè)數(shù)，這些數(shù)的和為，每一條對角線上的數(shù)字和與每一行的數(shù)字和相等，均為，因此當(dāng)時(shí)，.故選：B.8.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，則該雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離的平方為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再求出到漸近線的距離作答.【詳解】雙曲線的半焦距，則焦點(diǎn)，由，知點(diǎn)在的中垂線上，設(shè)點(diǎn)，由，得，解得，即點(diǎn)或，而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得，雙曲線的漸近線為，點(diǎn)到漸近線的距離為，所以該雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離的平方為.故選：D二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.是空間的一個(gè)基底，與、構(gòu)成基底的一個(gè)向量可以是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷即可.【詳解】由于，故與、共面，無法構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B錯誤；因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，由于不存在實(shí)數(shù)對、，使得，若成立則，顯然方程組無解，故、與可以作為空間的一個(gè)基底，故A正確，同理可得C、D正確；故選：ACD10.關(guān)于、的方程表示的軌跡可以是（）A.橢圓 B.雙曲線 C.直線 D.拋物線【答案】BC【解析】【分析】對實(shí)數(shù)取值進(jìn)行分類討論，化簡原方程，結(jié)合圓的方程以及圓錐曲線方程可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，該方程表示的軌跡是直線；當(dāng)時(shí)，該方程表示的軌跡是直線；當(dāng)且時(shí)，原方程可化.當(dāng)或時(shí)，，該方程表示的軌跡是雙曲線；當(dāng)，又，則，此時(shí)方程為，該方程表示圓；綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.故選：BC.11.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，公比，且，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，最小C.當(dāng)時(shí)，最小D.存在，使得【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用，得到，再利用條件即可得得到結(jié)果；選項(xiàng)B和C，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合條件即可判斷出B和C的正誤；選項(xiàng)D，結(jié)合條件，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A，，所以，又，所以，故選項(xiàng)A正確；對于B和C，由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故，則，，于是，則，故，故當(dāng)時(shí)，最小，故選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)C正確；對于D，因?yàn)?，所以?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，故，故D錯誤.故選：AC.12.設(shè)函數(shù)，其中，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.的最大值為，最小值為D.方程無解【答案】ACD【解析】【分析】求得的值判斷選項(xiàng)A；求得在上單調(diào)性判斷選項(xiàng)B；求得的最大值和最小值判斷選項(xiàng)C；求得方程解的個(gè)數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，則，A正確；由，可得，結(jié)合得，或，由得，，結(jié)合得，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，B錯誤；由在在上單調(diào)遞增，區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得在時(shí)取極大值，在時(shí)取極小值，當(dāng)增大時(shí)，值不變，但值增大，又當(dāng)時(shí)，，，所以的最大值為，最小值為.所以C正確；令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以，所以，從而無解，所以選項(xiàng)正確.故選：ACD三，填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.請將正確答案填人答題卡中對應(yīng)的位置）13.過點(diǎn)，且垂直于的直線的一般式方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的條件，設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)代入即可求解.【詳解】又題意可設(shè)所求直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，所以所求直線的一般式方程為，故答案為：.14.寫出一個(gè)各項(xiàng)均小于的無窮遞增數(shù)列的通項(xiàng)公式：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性以及題意可得出滿足條件的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】對任意的，，則，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故滿足條件的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：（答案不唯一）.15.函數(shù)的圖象與軸相切，則____.【答案】【解析】【分析】利用題給條件列出關(guān)于a的方程組，解之即可求得a的值.【詳解】由，可得，又函數(shù)的圖象與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得故答案為：16.以拋物線上的動點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則線段長度的最大值為___.【答案】【解析】【分析】先求得點(diǎn)到直線的距離的最小值，進(jìn)而利用垂徑定理求得線段長度的最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，故當(dāng)時(shí)，d取到最小值為，此時(shí)有最大值.故答案為：四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長方形（長、寬分別為、）和圓弧構(gòu)成，截面總高度為，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有米，已知行車道總寬度.（1）試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出圓弧所在圓的一般方程；（2）車輛通過隧道的限制高度為多少米？【答案】（1）答案見解析（2）米【解析】【分析】（1）以拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，分析可知點(diǎn)在圓上，求出的等式，解之即可；（2）將的方程代入圓的方程，求出值，結(jié)合題意可求得車輛通過隧道的限制高度.【小問1詳解】解：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，故圓心在軸上，原點(diǎn)在圓上，可設(shè)圓的一般方程為易知，點(diǎn)在圓上，將的坐標(biāo)代入圓的一般方程得，則該圓弧所在圓的一般方程為.【小問2詳解】解：令代入圓的方程得，得或（舍），由于隧道的總高度為米，且（米），因此，車輛通過隧道的限制高度為米.18.甲、乙兩同學(xué)在復(fù)習(xí)數(shù)列時(shí)發(fā)現(xiàn)原來曾經(jīng)做過的一道數(shù)列問題因紙張被破壞，導(dǎo)致一個(gè)條件看不清，具體如下：甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng)的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問的答案是，，成等差數(shù)列，如果甲、乙兩同學(xué)記得的答案是正確的，請你通過推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知______．（1）判斷，，的關(guān)系；（2）若，設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1），，成等差數(shù)列（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的基本量關(guān)系求解可得，再代入，，判斷即可；（2）由可得，代入可得，再根據(jù)錯位相減求和求得即可證明.【小問1詳解】由，，成等差數(shù)列，得，即，由題意知，所以．又，所以．綜上可知缺少的條件是．因?yàn)?，所以，，所以，即，，成等差?shù)列．【小問2詳解】由，可得，解得，所以，則，，上面兩式相減可得，化簡可得，由，可得．19.如圖所示，在棱長為2的正四面體中，為等邊三角形的中心，分別滿足.（1）用表示，并求出；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先利用正四面體幾何性質(zhì)用表示，進(jìn)而求得；（2）先求得直線與直線所成角的余弦值，進(jìn)而得到直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】連接并延長交于，則為中點(diǎn)，則，，則【小問2詳解】根據(jù)題意，平面，因此，直線與平面所成角的正弦值即為直線與直線所成角的余弦值的絕對值.，且故.則直線與平面所成角的正弦值為.20.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過焦點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中垂線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可得解；（2）不妨取拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，、，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長公式表示出，再求出中垂線方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，根據(jù)建系方案的不同，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種可能，分別是，，，.【小問2詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的位置并不影響的取值，因此不妨取拋物線的方程為，此時(shí)焦點(diǎn)，根據(jù)題意，直線的斜率存在且不為，因此設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，得關(guān)于的一元二次方程，則，設(shè)、，則，，，，則，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中垂線方程為，令，解得，即中垂線與軸交于，所以，則.21.在正方體中，為的中點(diǎn)，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，為直線上的動點(diǎn).（1）點(diǎn)在棱上，當(dāng)時(shí)，平面，試確定動點(diǎn)在直線上的位置，并說明理由；（2）若為底面的中心，求點(diǎn)到平面的最大距離.【答案】（1）為的中點(diǎn)，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面平行性質(zhì)定理和面面平行性質(zhì)定理即可確定動點(diǎn)在直線上的位置；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法即可求得點(diǎn)到平面的最大距離.【小問1詳解】設(shè)平面與平面的交線為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所?由正方體知，平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，所以，取的中點(diǎn)，連接，易知，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).【小問2詳解】法一：以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，其中，設(shè)平面的法向量為，則有即，不妨取，，則，所以點(diǎn)到平面的距離當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，d取到最大值為.綜上，點(diǎn)到平面的最大距離為22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若有零點(diǎn)