2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)B選擇性必修第二冊同步練習(xí)-4.2.5 正態(tài)分布

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)B選擇性必修第二冊

4.2.5正態(tài)分布

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一正態(tài)曲線及其特點(diǎn)

1(-1)2

1.若隨機(jī)變量bN3,/),其概率密度函數(shù)為(p(x)=；e-F-(x￡R),!^o=()

2V27r

A.lB.2C.4D.8

2.如圖是當(dāng)O取三個(gè)不同值6,02,03時(shí)的三種正態(tài)曲線，那么的大小關(guān)系

是()

A.Ol>l>O2>O3>0B.0<O1<O2<1<O3

C.Ol>O2=l>O3>0D.0<O|<O2=l<O3

3.(2021山東濟(jì)南H^一校聯(lián)考)設(shè)隨機(jī)變量X?N(O,1),定義f(x)=P(XNx),其中x>0,則

下列等式成立的是()

A.f(2x)=2f(x)

B.f(-x)=l-f(x)

C.P(X<x)=2f(x)-l

D.P(|X|>x)=2-f(x)

4.(2020江蘇揚(yáng)州大橋高級中學(xué)期中)若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(O,1),且X在

區(qū)間(-2,-1)和(1,2)上取值的概率分別為P|,P2,則P1,P2的大小關(guān)系為.

題組二正態(tài)分布的概率計(jì)算

5.(多選)(2022河北石家莊一模)正態(tài)分布N(1Q2)的密度曲線如圖所示，則下列選項(xiàng)

中，可以表示圖中陰影部分面積的是()

A.^-P(X<0)

B.^-P(X>2)

C.1P(X<2)-1P(X<O)

D.^-P(1<X<2)

6.(2022安徽亳州一中期末)已知隨機(jī)變量匕服從正態(tài)分布N(3,°2),若P化<4)=0.78,

貝!JP(2<&<3)=()

A.0.2B.0.24C.0.28D.0.32

7.(2021吉林四模)已知隨機(jī)變量X?N(5,l),且P(n-o<X<n+o)-0.683,P(|i-

2o0XWn+2o)M).954,貝ijP(6<XW7)為()

A.0.1358B.0.1355

C.0.2716D.0.2718

8.(2020福建廈門線上質(zhì)量檢查)設(shè)隨機(jī)變量X?N(禺(A若

P(XSl)=0.3,P(l<X<5尸04,則產(chǎn)()

A.lB.2C.3D.4

題組三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

9.甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(同,□彳),N(眼,□打其正態(tài)曲

線如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.甲類水果的平均質(zhì)量同=0.4kg

B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小

D.乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)6=1.99

10.（2020山東濟(jì)南期末）某工廠生產(chǎn)的零件外直徑X（單位:cm）服從正態(tài)分布

N（10,0.04）,今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測得其外直徑分

別為9.75cm和9.35cm廁可認(rèn)為（）

A.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常

B.上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常

C.上、下午生產(chǎn)情況均正常

D.上、下午生產(chǎn)情況均異常

11.（2021江蘇蘇州星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）某班有60名學(xué)生，一次考試后的數(shù)學(xué)成績自

近似服從正態(tài)分布N（110Q2）,若p（ioog岳no尸0.35,則估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在

120分以上的人數(shù)為（）

A.10B.9C.8D.7

12.（多選）（2022江蘇南京第五中學(xué)月考）已知在某市的一次學(xué)情檢測中，學(xué)生的數(shù)

學(xué)成績X服從正態(tài)分布N（100,100）,其中90分為及格線,120分為優(yōu)秀線,下列說

法正確的是（）

附:若隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布則P（p-o<^<|i+o）-0.683,P（|i-

2oW0+2o戶0.954,P"3o旦孕+3o）M）.997.

A.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為100

B.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的均值為100

C.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率超過0.8

D.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等

13.（2022江蘇南通期中聯(lián)考）已知某校高三女生的身高X（單位:cm）近似地服從正

態(tài)分布N（163,5?）.若隨機(jī)選擇一名該校的女生，其身高不高于168cm的概率

為.

注:若X?Ng,/),貝ijp(p,-o<x<|j.+o)~0.683.

14為了解一種植物的生長情況，抽取一批該植物樣本測量高度(單位:cm)淇頻率

分布直方圖如圖所示.

⑴求該植物樣本高度的平均數(shù)可和樣本方差s3同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值作代表)；

⑵假設(shè)該植物的高度Z(單位:cm)服從正態(tài)分布N3，/),其中p近似為樣本平均數(shù)

方,人近似為樣本方差s1利用該正態(tài)分布求P(64.5<Z<96).

附:若Z?N(mo2),貝ijP(H-O<Z<H+O)~68.3%,P(H-2O<Z<H+2O)=95.4%,VH0=10.5.

頻率

W.

0.020

0.010

0.005

5060708090100高度加

能力提升練

題組一正態(tài)分布及其概率計(jì)算

1.（2021湖南三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考）已知連續(xù)型隨機(jī)變量Xi?N（限，□分（i=l,2,3）,其

正態(tài)曲線如圖所示,則下列結(jié)論正確的是（）

A.p（Xi<g2）<P（x2<m）

B.P（X2印2）>P（X3印3）

C.P（Xl<g2）<P（X2<g3）

D.p（|ii-2oi<Xi<|ii+2oi）=p（nn+1-2nn+1<nn+1<nn+j+2n0+1）（i=i,2）

2.（2022江蘇海門期末）若對某物理量做n次測量，最后結(jié)果的誤差Xn~N（0」）,則

為使|Xng的概率控制在0.046以下,至少要測量的次數(shù)為（）

附:隨機(jī)變量X?NQ,4）,則p（|i.a<X<n+o）=0.683,P（g-2o<X<g+2o）=0.954,P（n-

3o<X<n+3c>）=0.997.

A.32B.64C.128D.256

題組二正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

3.（2022江西八校聯(lián)考）江西某中學(xué)為測試高三學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，組織學(xué)生參加了

聯(lián)考，共有1000名學(xué)生參加,已知該校上次測試中，成績X（滿分150分）服從正態(tài)

分布N（100,4）,且120分及以上的人數(shù)為160.假設(shè)這次考試成績和上次成績的分

布相同，那么可推測這次數(shù)學(xué)成績優(yōu)異的人數(shù)為（成績在140分及以上為優(yōu)異）

)

注:若X?則p(|i-o<x<|i+o)=0.68,P(|i-2o<X<|i+2o)=0.95,P(|i-3o<X<

p,+3o)=0.99.

A.20B.25C.30D.40

4.（2021吉林白城期末）某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測量其內(nèi)

徑Z（單位:cm）的數(shù)據(jù)如下:87,87,88,92,95,97,98,99,103,104.設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均

值為出標(biāo)準(zhǔn)差為<5.

（1）求R與。；

⑵假設(shè)這批零件的內(nèi)徑Z（單位:cm）服從正態(tài)分布NS,。）

①從這批零件中隨機(jī)抽取5個(gè)，設(shè)這5個(gè)零件中內(nèi)徑大于107cm的零件個(gè)數(shù)為X,

求D（2X+1）;

②若該車間又購進(jìn)一臺新設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測量其內(nèi)徑（單

位:cm）分別為76,85,93,99,108,以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試問這臺設(shè)備是否需要

進(jìn)一步調(diào)試?說明你的理由.

參考數(shù)據(jù):0.9974M.99.若X?NQ,（j2）,則P（n-2o<X<n+2o）-0.954,P（g-

3oWX印+3。戶0.997.

5.在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情

況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次），通過隨機(jī)抽樣,得到參

加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

[30,[40,[50,[60,[70,[80,[90,

40)50)60)70)80)90)100]

⑴由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分X?N(p,198)小近似為這100

人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表).

①求的值；

②利用該正態(tài)分布求P(74.5<X<88.5);

(2)在⑴的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制訂如下獎勵(lì)方案：

①得分不低于R的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于n的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi);

②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率如下：

獲贈的隨機(jī)話費(fèi)

(單位:元)

31

44

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記Z(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi),

求Z的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):若X?N(PQ2),則P(|i-o<X<n+o)-0.683,P(n-2o<X<g+2o)=0.954,P(n-

3o<X<n+3o)=0.997.V198=14.

6.(2021陜西西安中學(xué)模擬)公平正義是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主

義法治觀念的價(jià)值追求.考試作為一種公平公正選拔人才的有效途徑正被廣泛采

用.某企業(yè)準(zhǔn)備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用300名應(yīng)聘人員，其中

275個(gè)高薪職位,25個(gè)普薪職位.已知此次招聘中，實(shí)際報(bào)名人數(shù)為2000,考試滿分

為400分,考試成績的部分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:考試平均成績是180分,360分及以上的

高分考生有30名(一般地，對于一次成功的考試來說，考試成績應(yīng)服從正態(tài)分布).

(1)求此次招聘中的最低錄用分?jǐn)?shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

⑵已知考生甲的成績?yōu)?86分,試判斷甲能否被錄用，若被錄用，進(jìn)一步判斷其能

否獲得高薪職位.

附:①當(dāng)X?NQd)吐令丫=二，則Y?N(0,l);②當(dāng)Y-N(0,l)

時(shí),P(Y<2.17戶O.985,P(Y<1.28戶0.900,P(Y<1.09戶O.863,P(Y<1.04戶

0.85.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B

2.D由正態(tài)曲線的性質(zhì)及曲線所表示的意義可知，當(dāng)x=0時(shí)，曲線所對應(yīng)的函數(shù)

取得最大值卷，所以6=1.當(dāng)時(shí)，正態(tài)曲線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于焉;當(dāng)

<7>1時(shí)，正態(tài)曲線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于意.

故選D.

3.B因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(O,1),

所以此正態(tài)曲線關(guān)于直線產(chǎn)0對稱.

因?yàn)樨)=P(XN%)(%>0),

所以根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得/(-%)=P(XN-%)=P(XSr)=l/X),故B正確；

42x)=P(XN2x),"%)=2P(X》)『(忍2%)與2尸(X》)不一定相等，故A錯(cuò)誤；

P(XW%)=1-P(6)=1次r),故C錯(cuò)誤；

P(|X|m)=P(XN%或XS-%)=Mx),故D錯(cuò)誤.

故選B.

4.答案尸尸尸2

解析根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，該曲線關(guān)于直線A0對稱,所以隨機(jī)變量X在區(qū)

間(-2,-1)和(1,2)上取值的概率相等，即尸尸尸2.

5.ABC易知此正態(tài)分布密度曲線關(guān)于直線戶1對稱，故圖中陰影部分可表示為

P(O<XS1)=尸(XS1)-P(XSO)W-P(XWO),故A正確；

P(0<X<lh1-P(X<0)=1-P(X>2)>B正確；

P(0<X<lh1[P(X<2)-P(X<0)],i^C正確；

了(10X02)=P(XSO)=尸(XN2),故D錯(cuò)誤.

故選ABC.

6.C易知正態(tài)曲線的對稱軸為直線％=3.

由。(&4)=0.78,得。(殳4)=P(%2)=1-0.78=0.22,貝ij尸(2<34)=1-2x0.22=0.56,

故P(2<e<3)=1p(2<e<4)=1x0.56=0.28.

故選C.

7.B由隨機(jī)變量X-N(5,D知”5,戶1,

所以P(4<X<6)=0.683,P(3<X<7)=0.954,

所以P(6<X<7)=1[P(3<X<7)-P(4<X<6)]~|x(0.954-0.683)=0.1355,故選B.

8.C由題意得P(XN5尸1-P(X01)-P(1<X<5)=1-O.3-O.4=O.3=P(XW1),根據(jù)正態(tài)曲線

的對稱性可知從=等=3.故選C.

9.D由題圖可知，甲類水果的平均質(zhì)量〃產(chǎn)0.4kg,乙類水果的平均質(zhì)量償=0.8kg,

故A,C中說法正確;由題圖可知B中說法正確;乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的

參數(shù)滿足島:1.99,，6#1.99,故D中說法不正確.

故選D.

10.B?.?X服從正態(tài)分布N(10,0.04),(7=0.2,.*.Xe[10-0.2x3,10+0.2x3],EPX

￡[9.4,10.6],...上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常，故選B.

11.B由題意得。(110W120)=0.35,

所以P(^>120)=-x(1-0.35-0.35)=0.15,

所以估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為0.15x60=9.

12.BC由X服從正態(tài)分布N(100,100),可得〃=100,(7=10,故A錯(cuò)誤,B正確；

P(X<90)=P(X<//-cr)=|[l-P(//-a<X^/+cr)]~|x(l-0.683)=0.1585,

P(X>90)=l-P(X<90)=l-0.1585=0.8415>0.8,故C正確；

P(X>120)=尸(X>〃+2c)Wx(l-0.954)=0.023,故優(yōu)秀率約為0.023,而及格率約為0.841

5,故D錯(cuò)誤.故選BC.

13.答案0.8415

解析由題意可得〃=163,k5,

故P(158<X<168)=P(i/-cF<X<//+6r)=0.683,

所以P(163<X<168)=P(//<X<?+cr)=0.3415,

又尸(X<163)=尸(X<〃)=0.5,

所以P(X<168)=P(X<163)+P(163<X<168)=0.5+0.3415=0.8415.

14.解析(1)由題意可得平均數(shù)三=55x0.1+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.05=75,

?=(55-75)2XO.1+(65-75)2XO.2+(75-75)2XO.35+(85-75)2XO.3+(95-75)2XO.O5=11O.

(2)由(1)知,Z?N(75,l10),從而P(64.5<Z<75)=|xP(75-

11

10.5<Z<75+10.5)^x68.3%=34.15%,P(75<Z<96)=ixP(75-

1

2x10.5*075+2x10.5)苦x95.4%=47.7%,

所以P(64.5<Z<96)=P(64.5<Z<75)+P(75<Z<96h34.15%+47.7%=81.85%.

能力提升練

1.D對于A,P(XI%2)表示題中產(chǎn)小%)的圖象在第二條豎向虛線左側(cè)的部分與工

軸圍成的圖形的面積，尸(X20/1)表示題中產(chǎn)叢X)的圖象在第一條豎向虛線左側(cè)的部

分與％軸圍成的圖形的面積，

由題圖可知P(X192)>P(X2&/1),故A錯(cuò)誤；

對于B,P(X2孕2)《,P(X3孕3)三,則P(X2孕2)=P(X3型3),故B錯(cuò)誤；

對于C,與A中分析相同,P(Xi&/2)>尸(X20/3),故C錯(cuò)誤；

對于D,由于正態(tài)分布中，隨機(jī)變量X落在某區(qū)間的概率表示曲線和入軸及對應(yīng)直

線圍成的圖形的面積，與i或Z+1無關(guān)，

故2Mx國汁2內(nèi)=尸(出+1-26+10左+13出+1+2/+1)。=1,2)成立,故D正確.

2.C由題意得P(|Xn|>：)<0.046,

所以P(|Xn|V1)={—；<xn<i)>l-0.046=0.954.

因?yàn)椤?0,所以尸(-2把XW2。戶0.954,

所以2三三=k伊』=>應(yīng)128.故選C.

3.B因?yàn)樵撔Ｉ洗螠y試的成績X服從正態(tài)分布Ml。。,冷,且120分及以上的人

數(shù)為160,所以80分及以下的人數(shù)也為160,

故P(80<X<120)=i廠6。=0.68,

由此可知(7=20,X?N(I。。？。?)，

所以P(60<X<140)=0.95,

故推測這次數(shù)學(xué)成績優(yōu)異的人數(shù)為"叱詈卻段=25,故選B.

4.解析(1)//磊x(87+87+88+92+95+97+98+99+103+104)=95,

否小[(87-95)2+(87-95)2+(88-95)2+(92-95)2+(95-95)2+(97-95)2+(98-95)2+(99-

95)2+(103-95)2+(104-95)2]=36,

則(7=6.

⑵①由題可知Z?N(956),

所以P(Z>107)=P(Z>〃+2。戶0.5-等=0.023,

則X?8(5,0.023),

所以￡)(X)=5x0.023x(1-0.023)=0.112355,

故D(2X+l)=4D(X)=0.44942.

②需要.理由如下：

因?yàn)镻(//-3EX3z+3cr戶0.997,

所以5個(gè)零件中恰有1個(gè)零件的內(nèi)徑不在k3a,〃+3司內(nèi)的概率為禺x0.9974x(l-

0.997戶5x0.99x0.003=0.01485.

因?yàn)?62[//-36//+3司=[77,113],所以試生產(chǎn)的5個(gè)零件中出現(xiàn)了1個(gè)零件的內(nèi)徑

不在4-364+3用內(nèi),出現(xiàn)的頻率是巳=0.2,大概是0.01485的13倍，根據(jù)“3。原則”可

知,這臺設(shè)備需要進(jìn)一步調(diào)試.

5.解析(1)①由題意得

1

〃=y^x(30x2+40x13+50x21+60x25+70x24+80x11+90x4)=60.5.

②易知r7=7198=14,

11

.,.P(X>88.5)=P(X>//+2cr)=j[l-P(^-2a<X<r/+2(7)]-jx(l-0.954)=0.023,

。(60.5美74.5)『"登+嘰等=0.34]5,

.,.P(74,5<X<88.5)=0.5-P(60.5<X<74.5)-P(X>88.5)=0