事件的獨(dú)立性

1.5事件的獨(dú)立性一、事件的獨(dú)立性二、重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)1例如,袋中有十張卡片,分別標(biāo)有數(shù)字0,1,…9,每次從中任意抽取一張,取后放回,共取兩次A:事件“第一次取到標(biāo)有奇數(shù)的卡片”B:事件“第二次取到的卡片上所標(biāo)數(shù)字小于3”一、事件的獨(dú)立性

={(i,j)|i,j=0,1,…,9}

n=100A={(i,j)|i=1,3,5,7,9,j=0,1,…,9}

mA=502有:B={(i,j)|i=0,1,…,9,j=0,1,2}

mB=30AB={(i,j)|i=1,3,5,7,9,j=0,1,2}

mAB=15得:這時(shí)稱A,B是相互獨(dú)立的P(B|A)=P(B)

P(AB)=P(A)P(B)3直接理解:由于是有放回抽取,第一次取卡對(duì)第二次取卡沒有影響,故可直接判斷獨(dú)立A,B相互獨(dú)立,若P(A)>0,P(B)>0,則P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A)其含義:B(或A)的概率不受附加條件“A(或B)已發(fā)生”的影響注:任一事件與不可能事件與必然事件也是相互獨(dú)立的4定理:若A與B相互獨(dú)立，則A與與B,與也相互獨(dú)立∵(1)且又P(AB)=P(A)P(B)則有:故,A與相互獨(dú)立5(2)由對(duì)稱性,與B也相互獨(dú)立(3)與B相互獨(dú)立,由(1)可知,與也相互獨(dú)立可見,若P(A)>0,P(B|A)=P(B),由定理,有:即,不論A發(fā)生與否,B發(fā)生的概率都一樣6例如,={1,2,3,4},A={1,2},B={1,3},

C={1,4}這一古典概型:有:得:P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)9(1≤m≤n,i1,i2,…,in為1,2,…,n的一個(gè)全排列)定理:A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則也相互獨(dú)立可知,A,B,C兩兩相互獨(dú)立但不是相互獨(dú)立的10注意:在實(shí)際應(yīng)用中,對(duì)于事件的獨(dú)立性,我們往往不是根據(jù)定義來判斷,而是根據(jù)實(shí)際意義來加以判斷的具體的說,題目一般把獨(dú)立性作為條件告訴我們,要求直接應(yīng)用定義中的公式進(jìn)行計(jì)算11例1有三批種子,發(fā)芽率分別為0.9,0.8,0.85,在這三批種子中各任取一粒,求取得的三粒種子中至少有一粒能發(fā)芽的概率解:A:“取得的三粒種子中至少有一粒能發(fā)芽”Ai:“由第i批種子中取得的一粒種子能發(fā)芽”(i=1,2,3)A1,A2,A3相互獨(dú)立,且A=A1∪A2∪A312=1

(1

0.9)(1

0.8)(1

0.85)=0.997有:P(A)=P(A1∪A2∪A3)13注:兩個(gè)事件獨(dú)立和兩個(gè)事件不相容是完全不同的兩個(gè)概念:前者說,一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率大小沒有影響;而后者說,兩個(gè)事件是不可能同時(shí)出現(xiàn)的14二、重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)在實(shí)際問題中,常常需將一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行若干次(比如n次),若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率不受其它各次試驗(yàn)結(jié)果的影響,則稱這n次試驗(yàn)為n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)例如,n次擲硬幣試驗(yàn),

n次有放回摸球試驗(yàn),等等15在n重貝努里試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為:若一個(gè)試驗(yàn)只有兩種結(jié)果:A、其中則稱這個(gè)試驗(yàn)為貝努里試驗(yàn),它的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)稱為n重貝努里試驗(yàn)定理:同時(shí),有16例2設(shè)有八門火炮獨(dú)立地同時(shí)向一目標(biāo)各射擊一發(fā)炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí),目標(biāo)算作被擊毀,如果每門炮彈命中目標(biāo)概率為0.6,求擊毀目標(biāo)的概率p是多少?解:A:“每門火炮命中目標(biāo)”則P(A)=0.6，n=8的貝努里概型故,17例3甲乙兩人各擲均勻硬幣n次，求兩人擲出正面的次數(shù)相等的概率。解：A：“兩人擲出的正面數(shù)等”；：“甲擲出了k次正面”；：“乙擲出了k次正面”；18又因?yàn)榧讛S硬幣n次，是n重貝努里試驗(yàn)，則有19小結(jié)1.闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān)系及運(yùn)算2.給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和