2023中考數(shù)學(xué)(北師大版)圖形的相似講義

第四章圖形的相似

一本章知識點(diǎn)

1、線段的比：在同一單位長度下，兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比。

2、成比例線段：對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的長度的比與另外兩條線段的長

度的比相等，即￡_￡（或a：b=c：d）,那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。

bd

此時(shí)也稱這四條線段成比例。

注：在劭二cd中，a叫做第一比例項(xiàng)，。叫做第二比例項(xiàng)，c叫做第三比例項(xiàng)，d叫做第四比

例項(xiàng)。

2

如果a:ZFC:d,那么ad二cb。特別地，假設(shè)a:b=Z?:d,即b=ad,那么人叫a,d的比

例中項(xiàng)，

3、根本性質(zhì)：0=￡U>ad=cb比例式與乘積式互化：

ha

如果那么a小A：反之亦成立：如果a:那么Z/=ac；反之亦成立

*等積式先變4個(gè)比例式一上下顛倒或左右互換

①如果a片歷，那么q=￡；②更換內(nèi)項(xiàng)@=

bd|cd

③更換外項(xiàng):=￡；④同時(shí)更換內(nèi)外項(xiàng)@=2；

baca

4、合比定理：￡=￡^￡±*=￡±rf（在分子上進(jìn)行加或減）（了解）

bdbd

acitr?/zr\c+d^a-bc-d個(gè).不但a+hc+d

如果一二一，那么①----=-----②----=----①+②得----=-----

bdbdbda-bc-d

5、等比定理：凹=￡=…匕="++…+"0）

bdnb+d+---+nb

6、比例尺：比例尺=圖上距離，即圖上距離=實(shí)際距離X比例尺。

實(shí)際距離

7、平行線分三角形兩邊成比例

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例.

【如圖，VDE/ZBC,?.上，上，上，及其變形書寫】

8、黃金分割：點(diǎn)C把線段岫分房兩案線段AC、BC,且滿足AC』B?BC（或BCJAOAB）,那么

點(diǎn)C即為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC:AB=BC:AC（或BC:AB）即為黃金比.

9、相似三角形的判定

預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的三角形與原三

角形相似.

應(yīng)用格式：VDE/7BC,AAADE^AABC

作EF〃AB,證Z7BDEF,.\DE=BF；

判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.D/\E

判定定理2：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.//\

判定定理3：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.夕N----嗓一"

判定結(jié)論4：斜邊、直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.小

10、相似三角形的性質(zhì)

⑴相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；

⑵相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

⑶相似三角形周長的比等于相似比；

⑷相似三角形面積的比等于相似比的平方.

注：相似多邊形有類似的性質(zhì)

11、利用相似三角形測高

1.利用陽光下的影子測物體的高度

測量工具：皮尺

測量方法：量出觀側(cè)者的身高以及同一時(shí)刻觀測者和被測物體的影子的長度。

測量數(shù)據(jù)：觀測者身高、影長和被測物體的影長

測量原理：由太陽光線是平行線得出兩個(gè)直角三角形相似。

優(yōu)點(diǎn)：除觀測者外不需要其它工具，簡單易行，好操作。

缺點(diǎn)：受太陽光的限制，只能在有太陽光時(shí)進(jìn)行操作。

2.利用標(biāo)桿測物體的高度

測量工具：標(biāo)桿（高度要高于觀測者的身高），皮尺。

測量方法：觀測者的眼睛要與標(biāo)桿的頂端和被測物體的頂端在一條直線上。

測量數(shù)據(jù)：觀測者的眼睛到地面的距離、觀測者與標(biāo)桿的距離、標(biāo)桿與被測物體的距離。

測量原理：由標(biāo)桿和被測物體平行得出兩個(gè)宜角三角行相似。

優(yōu)點(diǎn)：只需要標(biāo)桿和觀測者即可，不受太陽光的限制。

缺點(diǎn)：計(jì)算量大。

3.利用鏡子的反射測物體的高度

1

測量工具：小鏡子、皮尺。

測量方法：在鏡子上做標(biāo)記，使被測物體頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合。

測量數(shù)據(jù)：觀測者的眼睛與地面的距離、觀測者和鏡子的距離、鏡子和被測物體的距離。

測量原理：由入射角等于反射角得出兩個(gè)直角三角形相似。

優(yōu)點(diǎn)：只需要鏡子和觀測者即可，不受太陽光的限制。

缺點(diǎn)：操作過程稍顯復(fù)雜。

12、位似：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，

像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。

13、圖形的放大（縮小）

所謂圖形的放大與縮小，實(shí)際上就是畫原圖形的相似圖形。方法有：位似圖形法、平行線法、

測量法、格點(diǎn)法等。

位似圖形法;;.確定位似中心；2.連接并延長對應(yīng)點(diǎn)；3.連接關(guān)鍵點(diǎn)。

14、平面直角坐標(biāo)系中的圖形的位似

在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)數(shù)k（kWO）,所對

應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為|k|。

15、證明等積式（比例式）策略

1、直接法：通過證明三角形相似

觀察比例式分子中兩條線段（三個(gè)頂點(diǎn)字母）與分母中兩條線段是否在兩個(gè)（相彳以）三角形

中；變化：等號同側(cè)的分子與分母組成三角形

2、間接法：⑴3種代換①等線段代換；②等比代換；③等積代換；

⑵創(chuàng)造條件①添加平行線一一創(chuàng)造“A〃字型、“X〃字型②先證其它三角形相似一一創(chuàng)造

邊、角條件

二規(guī)律與方法

1根本圖形及變化圖-給出一對角相等證相似

幾個(gè)重要KD翻轉(zhuǎn)△嗎EE

給出一對角相

旋轉(zhuǎn)△ADEA

等證相似重要模型1直（射影定理）如圖TNAC限ABAAACD

①NADE=NABC

幾個(gè)重蟒逛'遍固A%A

或NAED=NACB,平移DE

D

證平行得相似⑴△班s2^%AC：BC小店__________

②或：根據(jù)所給⑵&監(jiān)一At：:AB=嬴：AOCD:BC、,輪二AD?AB

條件（同上）加上⑶:AB=BC:AC二B華曲颼

隱含條件（公共⑷⑵的貓底BU=AD:BD'

現(xiàn)網(wǎng)法彳導(dǎo)人三族任唱（：一比例式

角或?qū)斀窍啖葿

特第圖形——八'八-八'，（"

等）證相似⑹/ACD=/R(/A=/A平移DE

△ABC,ACD-*QD:BCW>AB=AD:

“雙垂直〃中的計(jì)算:7)

例如圖，在RtZ^ABC中，NA%端添霖）乃

，平移DE

(1)AB=29,AD=4,求CD和AC；、；

(2)BC=5,CD=4,求AD和BD；/減少字母

(3)BO10,AD=6,求BD和AC?

(4)CD=10,ADM,求BC和AC右*C」

重要模型2——“一線三等角〃D

(圖1)(圖2)

例

（1）如圖1：三角形ABC中，AB=AC,NADE=NB,那么一定存在的相似三角形有

（2）如圖2：三角形ABC中，AB=AC,NDEF=NB,那么一定存在的相似三角形有

見多識廣：其他常見的一線三等角圖形

例：女幗，矩形ABC9峭AB=（DC邊上I之BC于F,連結(jié)AF.

在aAijE與ac區(qū)/西ADE|與△/EF中，

⑴如相似，i?

（3）如果一卬根，請指出世$b時(shí)相似.

等腰梯形中底邊

重要模型三垂型角形內(nèi)（外）1等腰三角形中底用：

上?線三等角

三角形內(nèi)角平分線定理：三角邊上一線三等角爭于它們邊之比。

二角形外角平分線定理：二角寸」式夾角的外角平分線外分對邊之比

1＞：1:的哼角NBA￡的平分菖,求證：BA/AC=BD/DC:

按以E

①過E②過［財(cái)繼:〃即交AD的:線于'E:〃AD交BA的延

長線二

f的羊與1球'褊￡BD

2、：LrrDC

直角坐標(biāo)系

矩形中一線號

中一線三等角

^E'；

一選擇題

1.以下四組圖形中，不是相似圖形的是()

3.梯形兩底分別為加、〃，過梯形的對角線的交點(diǎn)，引平行于底邊的直線被兩腰所截得的線

段長為()

(A)*(B)亞(C)皿(D)*

innm+nm+n2mn

An?

4.如圖，在正三角形四。中，D,夕分別在力G48上,且——=-,AE=BE,那么()

AC3

(A)△也s△喇(B)RAE"ACBD(C)XAEMXABD(D)XBAMXBCD

題4題6題7

5.尸是放△4T斜邊比上異于反。的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線截△4?。，使截得的三角形與

△4成■相似，滿足這樣條件的直線共有()

(A)1條(B)2條(C)3條(D)4條

6.如圖，NABD=NACD,圖中相似三角形的對數(shù)是()

(A)2(B)3(C)4(D)5

7.如圖，是正方形，￡是⑦的中點(diǎn)，戶是回邊上的一點(diǎn)，以下條件中，不能推出△/外

與△灰?相似的是()

(A)4APB=NEPC(B)NAPE=9Q°(C)戶是比1的中點(diǎn)(D)BP：BC=2：3

8.如圖，△ABC中,AD1.BC于D,且有以下條件：

(1)N8+NZMO=90°；(2)NB=NDAC：(3)—=—；(4)AS=BD'BC

ADAB

其中一定能夠判定△48C是直角三角形的共有()

(A)3個(gè)⑻2個(gè)(C)1個(gè)(D)0個(gè)

題8題9題10

9.如圖，將應(yīng)繞正方形力及力頂點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△AHF,連結(jié))交加于〃，那

么以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

(A)AEX.AF(B)EF：AF=>l2：1(C)AP=FH?FE(D)FB：FC=HB：EC

10.如圖，在矩形4?切中，點(diǎn)E是4。上任意一點(diǎn)，那么有()

(A)△/應(yīng)■的周長+△口必的周長=△腔的周長

(B)△板的面積+族的面積=△腔?的面積

(C)△小s△龐c(D)△ABEs/^EBC

11.如圖，在CJABCD中,后為4〃上一點(diǎn)，DE：CE=2：3,連結(jié)｛樂BE、BD,且4反即交于

點(diǎn)F,那么心版*S&淵?SdABF等于()

(A)4：10：25⑻4：9：25(C)2：3：5(D)2：5：25

題11題12題13

12.如圖，直線a〃b,AF\FB=3:5,BC：0)=3：1,那么AE：EC為().

(A)5：12(B)9：5(C)12：5(D)3：2

13.如圖，矩形紙片力四的長/L9=9cm,寬43=3cm,將其折疊，使點(diǎn)〃與點(diǎn)8重合，那

么折疊后施的長和折痕成的長分別為()

(A)4cm、V1Ocm⑻5cm、710cm(C)4cm、2>/3cm(D)5cm、273cm

AED

14.某學(xué)生想測量學(xué)校旗桿的高度，如圖測得學(xué)生身高和其影子長均為1.75m,影子長為

13.8m,那么學(xué)校旗桿的高度約為()

A.15.55mB.13.8m

C.12.05mD.數(shù)據(jù)不夠不能確定

15.如圖，小李用長為4m竹竿做測量工具測量學(xué)校，竹移動(dòng)竿，使竹竿、頂端影子恰好落在

地面同一點(diǎn).此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距8m,與相距22nb那么高為()

A.llmB.15mC.30mD.60m

16.小紅所在的數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用的反射來測教學(xué)樓的，其中不需要測量的量為(

A.人到鏡子的距離

B.鏡子到教學(xué)樓的距離

C.人眼到地面的距離

D.鏡子到人眼的距離

17.兩個(gè)相似三角形的相似比是1:2,其中較小三角形的周長是6CM,那么較大的三角形的周長

3

是()

A.3CMB.6CMC.9CMD.12CM

18.（2023?鄂州三模）如果兩個(gè)多邊形的比為16：9,那么這兩個(gè)多邊形的比為（）

A.16：9B.4：3C.2：3D.256：81

19.（2023?河北）圖中的兩個(gè)三角形是圖形，它們的中心是（）

A.點(diǎn)PB.點(diǎn)OC.點(diǎn)MD.點(diǎn)N

20.以下說法正確的是（）

A,位似圖形可以通過平移而相互得到

B.位似圖形的對應(yīng)邊平行且相等

C.位似圖形的位似中心不是只有一個(gè)

D,位似圖形上對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離都相等

21.以下五個(gè)圖案：其中，位似圖形共有（）

%3含個(gè)偏

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二填空題

1.假設(shè)CD=25cm,那么AB：CD=；假設(shè)線段AB=m,CD=n,那么AB：CD二—

2.假設(shè)MN:PQ=4：7,那么PQ：MN二,MN=PQ,PQ二MN.

3.假設(shè)線段a,b,c,d成比例，其中a=5cm,b=7cm,c=4cm,那么，d=.

4.假設(shè)a?b=c?d那么有a:d=；假設(shè)m:x=n：y,那么x：y=.

5.4x—5y=0,那么(x+y):(x—y)的值為_.

6.假設(shè)x：y：z=2：7：5,且x—2y+3z=6,那么x=,y=,z=；

7?設(shè)：，那么牛=——，蕊=——?

8.點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn),且AOBC,那么AC：AB=

9.線段a=6cm,b=2cm,那么a、b>a+b的第四比例項(xiàng)是cm,a+b與

a-b的比例中項(xiàng)是cm.

￡

10.如圖，DABCD中，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)在AD上，且AF=^FD,EF交AC于G,那么AG：AC

題10題11題12

11.如圖，AB//CD,圖中共有_對相似三角形.

12.如圖，Z\ABC,P是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CP,要使△ACPS/XABC,只需添加條件（只

要寫出一種適宜的條件）.

13.如圖,AD是AABC的角平分線,DE〃AC,EF〃BC,AB=15,AF=4,那么DE的長等于.

題13題14

14.如圖，△ABC中，AB=AC,AD_LBC于D,AE=EC,AD=18,BE=15,那么

△ABC的面積是.

15.要測量旗桿的高度，已測得旗桿的影長為20m,如果此時(shí)附近小樹影長為2.5m,且小樹

高為1.5m,那么旗桿的高度是m.

16、41.（2023?朝陽）如圖，身高是1.6m的某同學(xué)直立于旗桿影子的頂端處，測得同一時(shí)刻

該項(xiàng)同學(xué)和旗桿的影子長分別為1.2m和9m,那么旗桿的高度為m.

17.（2023?龍崗區(qū)模擬）如圖；課外活動(dòng)小組測量學(xué)校旗桿的高度.如圖，在地面上C處放

一小鏡子，當(dāng)鏡子離旗桿AB底端6米，小明站在離鏡子3米的E處，恰好能看到鏡子中旗桿

的頂端，測得小明眼睛D離地面1.5米，那么旗桿AB的高度約是米.

18.為了測量操場中旗桿的高度，小明學(xué)習(xí)了“太陽光與影子〃，設(shè)計(jì)了如下列圖的測量方案，

根據(jù)圖中標(biāo)示的數(shù)據(jù)可知旗桿的高度為.

19.小華要測量鐵塔AB的，他在地面上放置一個(gè)平面鏡E.與鐵塔的距離EB=20m.小華距離

4

ED=2m.此時(shí)小華剛好從中看到鐵塔的頂端A.假設(shè)小華的眼睛距離地面CD=1.5m,那么鐵塔

的是.m.

20.如圖，空白局部的與陰影局部的相似比是.，陰影局部的與大三角形的相似比—.

21.,如圖，A'B'〃AB,B'C〃BC,且0A'：A'A=4：3,那么aABC與.,是位似圖

形，比為,；△OAB與.是位似圖形，位似比為.

三解答題

1.方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線邊

的三角形叫做格點(diǎn)三角形.請你在圖示的loxio的方格。

中，畫出兩個(gè)相似但不全等的格點(diǎn)三角形，并加以證明(要所

畫三角形是鈍角三角形，并標(biāo)明相應(yīng)字母).

2.如圖，AABC與AADB中，ZABC=ZADB=90°,AC=5cm,AB=4cm,如果圖中的兩個(gè)直角三

角形相似，求AD的長。

3.如圖，ZABC是等邊三角形，點(diǎn)D,E分別在BC,AC上,且BD=CE,AD與BE相

交于點(diǎn)F.

⑴試說明ZABDW/BCE。(2)ZAEF與ZIABE相似嗎？說說你的理由。

⑶BD?=AD?DF嗎?請說明理由。

4.：如圖，F(xiàn)是四邊形ABCD對角線AC上一點(diǎn)，EF〃BC,FG〃AD.求

AECG

證A8+CD=1

5.在正方形ABCD中，AB=2,P是BC邊上與B、C不重合的任

意點(diǎn)，DQJ_AP于Q。

(1)試說明4兇人64人1^。

(2)當(dāng)P點(diǎn)在BC上變化時(shí)，線段DQ也隨之變化。設(shè)PA=x,,

DQ=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式？

6.如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF_LEC交AB于F,連結(jié)FC(AB>AE).

(1)4AEF與aEFC是否相似？假設(shè)相似，證明你的結(jié)論；假設(shè)不相似，請說明理由;

AB

(2)設(shè)5C=k,是否存在這樣的k值，使得△AEFs/XBFC,假設(shè)存在，證明你的結(jié)論并求

出k的值；假設(shè)不存在，說明理由.

7.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC=6cm,CA=8cm,動(dòng)AED

點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2cm的速度沿CA、AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,那F

么從C點(diǎn)出發(fā)多少秒時(shí)，可使SZ\BCP=Ws/\ABC?

且

平

8.如圖，小華家(點(diǎn)A處)和公路(L)之間豎立著一塊351n?長

中

行于公路的巨型廣告牌(DE).廣告牌擋住了小華的視線，請?jiān)趫D畫

勻

速

出視點(diǎn)A的盲區(qū)，并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路設(shè)為BC.一輛以60kln/hB

行駛的汽車經(jīng)過公路段BC的時(shí)間是3s,廣告牌和公路的距離是40m,

求小華家到公路的距離(精確到1m).

9.陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)(如下列圖)，亮區(qū)到窗口下的墻腳

距離EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底邊離地面的高BC.

10、如圖，在加BC中，AB=8c/n,BC=16cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)