2022-2023學(xué)年秦淮區(qū)初三（上）期中數(shù)學(xué)試卷【解析版】

2022/2023學(xué)年度第一學(xué)期第一階段學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)試卷

九年級(jí)數(shù)學(xué)

(滿分：120分考試時(shí)間：120分鐘)

注意：

1.選擇題答案請(qǐng)用23鉛筆填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

2.非選擇題答案必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫(xiě)在答題卷上的指定位置，在其他位置答題一律無(wú)

效.

一、選擇題(本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符

合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.)

1.已知0。的半徑是線段OP的長(zhǎng)為4a",則點(diǎn)P()

A在00外8,在。。上C.在。。內(nèi)D不能確定

【答案】C

【解析】由題意得：OP=4cm<r=5cm,所以點(diǎn)P在。。內(nèi).故選：C.

2.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.%--=0B.3f=lC.2x-y=5D.y2+x+2=0

x

【答案】B

【解析】A項(xiàng)是分式方程，不是整式方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

C項(xiàng)是二元一次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

O項(xiàng)是二元二次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

3.一個(gè)圓錐的底面半徑為3,母線長(zhǎng)為4,其側(cè)面積是()

A37tB.6萬(wàn)C.12兀D.24萬(wàn)

【答案】C

【解析】由題意得：圓錐底面半徑r=3,母線長(zhǎng)/=4,S1s=萬(wàn)”=12萬(wàn).故選：C.

4.用配方法解方程V-8x+5=()時(shí)，原方程應(yīng)變形為()

A.(x-8)2=21B.(x-8)2=11

C.(x-4)2=21D.(x-4)2=11

【答案】D

【解析】x2-8x+5=0=x2-8x=-5nx2-8x+16=-5+16n(x-4『=ll.故選：D.

5.如圖，在00中，直徑所與弦CD相交于點(diǎn)M,F為C。中點(diǎn).若CD=2,EM=5,則00的

半徑長(zhǎng)為（）

A.4B.3

【答案】C

【解析】如圖，連接OC,設(shè)OC=QE=OF=r,

?.?￡F_LC￡>,防是直徑，：.CM=MD=\

913

在HACOM中，OC2=OMaCM"r2=l2+（5-r）-,■

故選：C.

6.以下列三邊長(zhǎng)度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（）

A8,8,8B.4,10,10C.4,8,

【答案】A

【解析】對(duì)于A,如圖，設(shè)。是等邊AABC外心，

/.BF=CF=4,AF±BC,BE平分ZABC

ZOBF=-ZABC^3>Q

2

設(shè)OB=x,則0尸=也，

2

22

.?.在R/AOM中，2+8尸2=0*即+4=X,解得：x=.

...08=巡，...AABC的外接圓半徑為空.

33

對(duì)于如圖，設(shè)0是外心，連接80,連接AO并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)。，

?.?AB=AC=1(),AB=AC,:.ZBAO=ZCAO,AD±BC.BD=CD=^BC=2

在用AABZ)中，AD=y/AB2-BD2=>/102-22=476

設(shè)。4=OB=x,則O￡>=A￡>-OA=46-X,

在Rt^BOD中，BD2+OD2=BO2即22+(476-=

.108=生色，；.A45C的外接圓半徑為竺區(qū).

1212

對(duì)于C,設(shè)。是AABC的外心，00半徑為R,他=4,AC=8,8c=10,

過(guò)點(diǎn)A作AH,8c于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)。作ONJ_AH交A”延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,取3c的中點(diǎn)。，連接

由垂徑定理得：QDJ_5C,80=8=，=5,

2

設(shè)8〃=x,則a/=8C-8〃=10-x,

在Ri^ABH和Rt^ACH中，根據(jù)勾股定理得，

AB2-BH2=AH2,AC2-CH2=AH2,

AB2-BH2=AC2-CH2,即4?-V=8?-(10-x)2,

1313

解得：x=—,即

55

AH=xlAB2-BH2==^^~,ON=DH=BD-BH=5-=y

MQ1

設(shè)OD=HN=y,則AN=A，+”N=^—+y,

在Rt.AON和Rt^COD中，根據(jù)勾股定理得：

ON2+AN2=OA2=R2,OD2+CD2=OC2=R2

807231

t\—

231

對(duì)于O,如圖，設(shè)O是AABC外心,

-.■62+82=102):.AC2+BC2=AB2,:.ZACB=90

.?.AB是。。的直徑，.〔OO的半徑0B=gAB=5.

綜上所述，迎史＞空色＞5＞包1,所以外接圓半徑最小的是A選項(xiàng).

231123

故選：A.

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卷相應(yīng)位置上）

7.方程Y=9的根是.

【答案】％=3,X2=-3

2

【解析】x=9nx=±3=>方程的根為：%]=3,X2=-3.

8.關(guān)于x的一元二次方程（x-2）2=a-l有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是.

【答案】?>1

【解析】由題意得：a-l>0=>a>l.

9.一個(gè)扇形的半徑為2cm,弧長(zhǎng)為3a初，則此扇形的面積為cm2.

【答案】3n

【解析】扇形半徑R=2c/n,弧長(zhǎng)/=3萬(wàn)cm,所以S南=g/R=3%（病.

10.如圖，若A8是0O的直徑，CD是0。的弦，ZABD-55,則N3C。的度數(shù)為.

（第10題圖）

【答案】35

【解析】「AB是。。的直徑，ZABD=55,，ZA￡>8=90,NBA。=35,NBCD=/BAD=35.

11.已知m是方程d-x-l=0的一個(gè)根，則代數(shù)式京-〃?-2022的值是.

【答案】-2021

【解析】由題意得，m2-m-\=O=>nr-m=\=>nr-w-2022=-2021.

12.如圖，在AABC中，AB=2,AC=42,以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓與邊3c相切于點(diǎn)。，則

BC的長(zhǎng)是

(第12題圖)

【答案】x/3+l

【解析】如圖，連接A。，

???G)A與邊8c相切于點(diǎn)。，ZADB=ZADC=90,AD=l

.?.在MAADB中，AB2AD1+BDr

在R/AA/)C中，AC2=AD2+CD2

?.?/U5=2,AC=五,:.BD=68=1,:.BC=BD+CD=g+l.

13.某企業(yè)2020年盈利2000萬(wàn)元，2022年盈利2420萬(wàn)元，該企業(yè)盈利的年平均增長(zhǎng)率不變.設(shè)年

平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意，可列出方程.

【答案】2000(1+x)2=2420

【解析】?.?企業(yè)2020年盈利2000萬(wàn)元，企業(yè)盈利的年平均增長(zhǎng)率為x,

2021年盈利為2000(1+力萬(wàn)元，,2022年盈利2000(1+4=2420萬(wàn)元.

14.正六邊形的外接圓半徑是2,則其內(nèi)切圓半徑是.

【答案】上

【解析】設(shè)。。是正六邊形他CDEb的外接圓，過(guò)點(diǎn)。作O〃LAB交AB于點(diǎn)，,

由題意得：ZAOB=^-=60,所以N4O”=，NAOB=30,

62

又?.?。4=。3,.“AOB是等邊三角形，

/.AO=AB=2,AH=1,

在必△AO”中，由勾股定理得，

AO2=AH2+OH2,即22=r+O,2,解得：OH=叢,

所以內(nèi)切圓半徑是

15.如圖，矩形ABC。中，AB=3,BC=2.若P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，HZBPC<45,則所有符合條件

的點(diǎn)P形成的區(qū)域的面積是.

（第15題圖）

【答案】3--

2

【解析】當(dāng)NBPC=45時(shí)，點(diǎn)尸在以3c為弦長(zhǎng)，45為圓周角的圓弧上，設(shè)此圓的圓心為點(diǎn)O.

如圖，作出。。與邊CD、/W分別交于點(diǎn)E、F,

?.?NBPC445,且點(diǎn)P在矩形內(nèi)，.?.所有符合條件的點(diǎn)P形成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分

;BC=2,OB=OC,ZBOC=2NBPC=90

在Rt^BOC中，由勾股定理得BC2=OB2+OC2=2OB2

解得：OB=OC=>/2

與邊CD、43分別交于點(diǎn)E、F

.-.OE=OF=y[2

?;NBCE=9。,.?.BE是。O直徑，:.ZBFE=90

二四邊形AFED是矩形，；.￡F=BC=AO=2

同理得，CF是。0直徑，，NEOF=N8OC=90

10()7T

2

SAF?Qx/Fr=—2xOFxOE—1,S扇&形3步"F"CF=3--6--0----x乃xOE=—2

??E中,NBEC=±NBOC=45，,ABCE是等腰直角三角形

2

：.EC=BC=2,：.ED=CD-CE=3-2=\

設(shè)矩形A/;EC)的面積為S|,則S1=lx2=2,S陰影=￡+5/斯-S助形EOF=2+1-1=3-].

16.如圖，在R/AABC中，NC=90,BC=2,AC=20.0c的半徑長(zhǎng)為1，P是AABC邊上一動(dòng)

點(diǎn)（可以與頂點(diǎn)重合），并且點(diǎn)P到0c的切線長(zhǎng)為m.若滿足條件的點(diǎn)P的位置有4個(gè)，則/〃的取

值范圍是

（第16題圖）

【答案】72<m<\/3

【解析】作于點(diǎn)E,作EF切0C于點(diǎn)/，連接CE,則b=l,

vZACB=90,BC=2,AC=2y/3

AB=yjBC2+AC2=卜+(2百『=4

??SAABC=；x2x2\/i=^x4xCE,/.CE->/3

?.?EhOF,ZCFE=90,

EF=y/CE2-CF2=*可=>/2

作比)切G)C于點(diǎn)￡),連接切，則8=1,

.BDLCD,:.NCDB=90,BD=^BC2-CD2=>J22-12=V5

觀察圖形可知，點(diǎn)P的位置有4個(gè)需要滿足的條件是EF<m<BD

，機(jī)的取值范圍是夜<機(jī)<6.

三、解答題（本大題共U小題，共88分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、

說(shuō)理過(guò)程或演算步驟）

17.（6分）解方程V-21=0.

【解析】解：移項(xiàng)，得胃-2x=l

配方，得（x-1『=2

由此可得x—1=土0

解得：Xj=>/2+l,x,=-5/2+1

18.（6分）解方程（X+2）2=3（X+2）.

【解析】解：移項(xiàng)，得（x+2）2—3（x+2）=0

(x+2)(x+2-3)=0

(x+2)(x-l)=0

解得：x,=-2,x,=1

19.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程/+2履+公+后-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求Z的取值范圍；

(2)當(dāng)Z為正整數(shù)時(shí)，求方程的根.

【解析】(1)根據(jù)題意，得從一4?。=(2人)2-4僅2+々一2)=-^+8>0

解得：k<2.

(2)?.噥為正整數(shù)且％<2

k=\

二.方程可以化為x2+2x=0

解得：Xy=0,x2=-2.

20.(8分)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于OO,8C為的直徑，OA//CD.

(1)若ZABC=70,求N3AO的度數(shù)；票一'

(2)求證A8=A￡).\\\\

.、不

(第20題圖)

【解析】(1)-,OA=OB,ZASC=70

.-.ZABO=ZBAO=70

.-.ZBOA=40

?：OM!CD

ZC=ZBOA=40

■.?四邊形他CD是。。的內(nèi)接四邊形

ZC+ZBAD=180

ZBAD=\40.

(2)連接8,

\OC=OD

:.ZODC=ZOCD

-OMICD

ZAOD=ZODC,ZAOB=ZOCD

ZAOB=ZAOD

/.AB=AD.

21.（7分）如圖，等腰△45。中，AB=AC,O。過(guò)點(diǎn)3、。且與A3、AC分別相交于點(diǎn)。、E.

求證8O=CE.

（第21題圖）

【解析】證明：方法一

連接BE、CD

AB=AC

:.ZABC=ZACB

DC=BE

:.BE-DE=DC-DE,^BD=CE

:.BD=CE

方法二

連接BE、CD

\-DE=DE

:.ZABE=ZACD

在龐:和&48中，

Z=NA

<AB=AC

ZABE=ZACD

..△43E絲AACD（ASA）

:.AD=AE

.-.AB-AD=AC-AE

:.BD=CE

22.（7分）如圖所示，面積為4500加的矩形廣場(chǎng)上修建了兩個(gè)相鄰的正方形休閑區(qū)域，剩余區(qū)域?yàn)?/p>

綠化區(qū).已知大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形的邊長(zhǎng)大10機(jī)，求綠化區(qū)的面積.

（第22題圖）

【解析】解：方法一

設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為X”，則大正方形的邊長(zhǎng)為（x+10>“，綠化區(qū)的面積為10x病.

根據(jù)題意，得（2x+10）（x+10）=4500

整理，得V+lSx-2200=0

解方程得：％=40,%-55（不合題意，舍去）

.-.10x=4（X）.

答：綠化區(qū)的面積為400M.

方法二

設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xm,則大正方形的邊長(zhǎng)為（x+10>〃，綠化區(qū)的面積為10切『.

根據(jù)題意，得x2+（x+10y+10x=4500

整理，得W+lSx-ZZOO：。

解方程得：%,=40,Aj-55（不合題意，舍去）

.-.10x=400.

答：綠化區(qū)的面積為400/.

23.（8分）已知a、夕是關(guān)于x的一元二次方程（》-“）（》-"）-2（x-,〃）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)若a=夕，則用與〃滿足關(guān)系;

(2)若/<a<0,求加+〃的范圍.

【解析】解：(1)m=n+2.

—〃)一2(x-m)=0n(x-/n)[x-(〃+2)]=0=a=myJ3=n+2

又有a—Pnm=〃+2.

故答案為：m=n+2.

(2)方法一

,.,(x-w)(x-n)-2(x-zn)=0

/.(x-m)[x-(n+2)]=0

.?.方程的兩根分別為九〃+2

?方程的兩根a、〃滿足￡<a<0

.,.〃任，+2v()

帆+〃v—2.

方法二

將原方程整理為￡-(機(jī)+〃+2)x+機(jī)〃+2m=0.

a+/?=m+〃+2

?.?方程的兩根a、夕滿足用<av0

.\m+n+2<0

:.m+n<-2.

24.(8分)如圖，在0。中，回為。0的直徑，Q4與。0相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C在QO上，且PC=Q4.

(1)求證：PC與。。相切；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CDLA3,交。O于點(diǎn)。，若CD=PA=2B則圖中陰影部分的面積為.

(第24題圖)

【解析】(1)證明：連接OC、OP

?.?小與。。相切于點(diǎn)A

：.OAA.PB

:.ZPAO=90

在AOPA和AOPC中

OA=OC

-PA=PC

OP=OP

..△O朗絲AOPC(SSS)

:.ZPCO=ZPAO=90,即OCJ.PC

又?.?點(diǎn)c在。。上

.?.PC與。。相切

(2)--y5

3

如圖，作CMJ_AP于點(diǎn)"，

CD_LCE=3E=6,NCE4=90?.四邊形是矩形,

:.AM=CE=6，PA=2y/3,:.PM=AM=6,

.?二聞垂直平分線段處,;.。^。!，又?.?PC=P4,.?.APC4是等邊三角形,

:.ZPAC=60,二NC48=30,，NCOE=60,ZOCE=30,ZCOD=120

設(shè)OC=x,則OE=],?.?在MACOE中，OC?=O爐+c￡,+(V3)?,解得：x=2,

2

.-OC=2,OE=\,??.SWOCD=1|^^X2=^,SCOD=1XOEXCZ)=1X1X2X/3=>/3

所以，陰影部分的面積為土-石.

3

故答案為：———.

3

25.(8分)商店購(gòu)進(jìn)某種玩具的價(jià)格為30元.根據(jù)一段時(shí)間的市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，按銷售單價(jià)50元每

件出售時(shí)，能賣600件，而銷售單價(jià)每漲價(jià)().5元，銷售量就會(huì)減少5件.為獲得15000元的利潤(rùn),

銷售單價(jià)應(yīng)為多少元？

【解析】解法一：設(shè)該玩具銷售單價(jià)應(yīng)為x元.

根據(jù)題意，得（x-30）600-旨（x-50）=15000.

解方程得：為=60,々=80

答：該商品每件實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為60元或80元.

解法二：設(shè)該玩具銷售單價(jià)應(yīng)漲了x元，則銷售單價(jià)應(yīng)為（50+x）元,

根據(jù)題意，得（20+x）（600-W「|=15000

解方程得：%,=IO,x2=30

所以50+10=60或50+30=8（）

答：該商品每件實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為60元或80元.

26.（11分）【習(xí)題再現(xiàn)】

（教材P74第10題）如圖①，/是的內(nèi)心，4的延長(zhǎng)線交AA3C的外接圓于點(diǎn)￡>.加>和

/￡）相等嗎？為什么？

圖①

（第26題圖）

（1）完成原習(xí)題；

【逆向思考】

（2）如圖②，/為AA3C內(nèi)一點(diǎn)，4的延長(zhǎng)線交AA3C的外接圓于點(diǎn)。.若￡）3=￡）/=比，求證:

/為AABC的內(nèi)心.

圖②

（第26題圖）

【遷移運(yùn)用】

（3）如圖③，利用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)，作出A/WC的內(nèi)心/.（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)

明.）

圖③

（第26題圖）

（友情提醒：如完全用課本所學(xué)的方法作圖,本題最多得1分）

【解析】（1）BD=ID.

證明：如圖①，連接W,

/是AABC的內(nèi)心

ABAD=ZCAD,ZABI=ZIBC

?;NDBC、N/MC是QC所對(duì)的圓周角

：.ADBC=ZCAD

.-.ZDBC=ZBAD①

根據(jù)角之間的關(guān)系可得NIBD=ZDBC+NIBC

又NB1D是AAB/的一個(gè)外角

:.ZBID^ZBAD+ZABI

：.ZJBD=ZBID

：.BD=1D.

（2）證明：連接R,

:BD=CD

BD=CD

：.ABAD=ZDBC=ZCAD

即4)平分NBAC

?;BD=ID

：.ZJBD=ZJBID

是AAB/的一個(gè)外角

ZBID=ZBAD+XABI

?：ZJBD=ZDBC+Z/BC

：.ZABI=Z.CBI,即W平分NABC

/為AABC的內(nèi)心.

(3)如圖②，內(nèi)心/即為所求.

(文字說(shuō)明：先作出AABC的外接圓(作圖痕跡略)，再作的垂直平分線，與圓交于點(diǎn)。，在垂

直平分線上截取。=且使點(diǎn)/在AABC的內(nèi)部.)

27.(11分)在中，ZACB=90,點(diǎn)。是鉆邊上的動(dòng)點(diǎn)，AC=6,BC=8,經(jīng)過(guò)C、D

的00交