專題6.4 多邊形的內(nèi)角和與外角和（教師版）

專題6.4多邊形的內(nèi)角和與外角和1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論，并應(yīng)用他們解決基本的幾何問題；知識點01多邊形的內(nèi)角和與外角和【知識點】1）多邊形定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2）相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫多邊形的外角.多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°．對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為．【知識拓展1】多邊形的內(nèi)角和例1．（2023春·北京昌平·八年級校聯(lián)考期中）下列多邊形中，內(nèi)角和為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式為，進行求解即可．【詳解】解：∵n邊形的內(nèi)角和公式為，∴當(dāng)°，則．∴四邊形的內(nèi)角和等于．故選：C．【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2023春·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期中）十邊形的內(nèi)角和是（

）A．1440° B．1260° C．1080°

D．900°【答案】A【分析】n邊形的內(nèi)角和是，代入公式即可求出十邊形的內(nèi)角和．【詳解】解：十邊形的內(nèi)角和：；故選：A．【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和問題，熟記多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．【知識拓展2】多邊形的外角和例2．（2023·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）若一個多邊形的每一個外角都是，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的外角和為求解即可．【詳解】解：∵一個多邊形的每一個外角都是，∴這個多邊形的邊數(shù)為，故選：D．【點睛】本題考查多邊形的外角和，熟知多邊形的外角和為是解答的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖是由射線，，，，，組成的平面圖形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于解答即可．【詳解】解：由多邊形的外角和等于可知，，故選：B．【點睛】本題考查的是多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．2．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）正七邊形的外角和是（

）A．900° B．700° C．360° D．180°【答案】C【分析】由多邊形外角和為可得答案．【詳解】解：∵多邊形的外角和為：，∴正七邊形的外角和是，故選C．【點睛】本題考查的是正多邊形的外角和問題，熟記多邊形的外角和為是解本題的關(guān)鍵．【知識拓展3】多邊形的內(nèi)（外）角和綜合例3．（2023春·江蘇·七年級期末）若正多邊形的內(nèi)角和是，則該正多邊形的一個外角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和是，依此可以求出多邊形的一個外角．【詳解】解：∵正多邊形的內(nèi)角和是，∴多邊形的邊數(shù)為，∵多邊形的外角和都是，∴該正多邊形的每個外角為．故選：B．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征．【即學(xué)即練】1．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，這個多邊形是（

）A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．十邊形【答案】A【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得，，解得：，∴這個多邊形為六邊形．故選：A．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如果一個多邊形的每一個外角都相等，并且它的內(nèi)角和為，那么它的一個內(nèi)角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，求出，根據(jù)多邊形是正多邊形，求出多邊形的一個外角的度數(shù)，即可求出多邊形一個內(nèi)角的度數(shù)．【詳解】設(shè)這個多邊形是n邊形，∵多邊形的內(nèi)角和為，∴，解得：，∵這個多邊形的每一個外角都相等，∴這個多邊形是正多邊形，∴多邊形的外角為：，∴多邊形的一個內(nèi)角為：．故選：C【點睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式．【知識拓展4】多邊形的截角問題例4．（2023春·江蘇·七年級?？贾軠y）將一個多邊形截去一個角后，得到一個新的多邊形的內(nèi)角和為，則原來多邊形的邊數(shù)為___________．（用阿拉伯?dāng)?shù)字表示）【答案】21或22或23【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可以增加1、不變、減少1三種情況解答．【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為n，則，解得，多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可以增加1、不變、減少1，所以，，或，所以原來多邊形的邊數(shù)為21或22或23．故答案為：21或22或23．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是理解截去一個角后的方法，要分三種情況討論．【即學(xué)即練】1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）在計算某n邊形的內(nèi)角和時，不小心少算了一個內(nèi)角，得到和為，這個角的大小是_____________．【答案】/度【分析】n邊形的內(nèi)角和是，即為180度的倍數(shù)，多邊形的內(nèi)角一定大于0度，小于180度，因而多邊形中，除去一個內(nèi)角外，其余內(nèi)角和與180度相除，得到的余數(shù)的度數(shù)的補角即是少算的內(nèi)角的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴少加的內(nèi)角是：．故答案為：．【點睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角，正確理解多邊形角的大小的特點，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解決多邊形問題：(1)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個多邊形的內(nèi)角和時，重復(fù)加了一個角的度數(shù)，計算結(jié)果是，這個多邊形是幾邊形？【答案】(1)八邊形(2)八邊形【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式、多邊形的外角和等于建立方程，解方程即可得；（2）設(shè)這個多邊形是邊形，重復(fù)加的一個角的度數(shù)為，則，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式建立等式，結(jié)合建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】（1）解：設(shè)這個多邊形是邊形，由題意得：，解得，答：這個多邊形是八邊形．（2）解：設(shè)這個多邊形是邊形，重復(fù)加的一個角的度數(shù)為，則，由題意得：，解得，則，即，解得，為正整數(shù)，，答：這個多邊形是八邊形．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和、一元一次不等式組的應(yīng)用，正確建立方程和不等式組是解題關(guān)鍵．【知識拓展5】多邊形的對角線例5．（2023春·廣東·九年級專題練習(xí)）已知一個正多邊形的每個外角的度數(shù)都是，則該多邊形的對角線條數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的外角和定理，解求出多邊形的邊數(shù)，根據(jù)多邊形頂點引對角線的公式由此即可求解．【詳解】解：∵正多邊形的每個外角都等于，∴，∴這個正多邊形是正邊形，如圖所示，∴（條），∴這個正多邊形的對角線是條．故選：．【點睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，對角線的條數(shù)的計算方法，掌握正多邊形的外角和定理，頂點引對角線的公式是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022秋·河南·八年級?？茧A段練習(xí)）一個多邊形，它的內(nèi)角和比外角和的4倍多，求這個多邊形的邊數(shù)？并求出該多邊形共可以引出幾條對角線？【答案】邊數(shù)是11，對角線為44條【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和是，外角和是，列出方程，求出的值，再根據(jù)對角線的計算公式即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得設(shè)這個多邊形為n邊形，則，解得：．對角線總條數(shù)：則這個多邊形的邊數(shù)是11，對角線為44條．【點睛】本題考查了對多邊形內(nèi)角和定理和外角和的應(yīng)用，及對角線的計算公式．注意：邊數(shù)是的多邊形的內(nèi)角和是，外角和是．2．（2022秋·湖北恩施·八年級?？茧A段練習(xí)）若過邊形的一個頂點有7條對角線，邊形沒有對角線，邊形一共有條對角線，正邊形的內(nèi)角和與外角和相等，求代數(shù)式的值．【答案】500【分析】由多邊形的對角線條數(shù)，內(nèi)角和、外角和定理可以得到方程，解出數(shù)值代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：由題可知：，，，解得：，或（舍去），則【點睛】考查多邊形的性質(zhì)，掌握多邊形的對角線條數(shù)公式和內(nèi)角和、外角和公式是解題的關(guān)鍵．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，若干個一模一樣的正六邊形（各邊相等，各角也相等）排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個六邊形，要完成這一圓環(huán)，還需這樣的六邊形的數(shù)量為（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】D【分析】如圖，延長正六邊形的兩邊交于點，利用的度數(shù)，求出需要正六邊形的總個數(shù)，即可得解．【詳解】解：如圖，延長正六邊形的兩邊交于點，∵正六邊形的每個外角均為：，∴，∴組成一個圓環(huán)共需：個正六邊形，∴還需要正六邊形的個數(shù)為：，故選D．【點睛】本題考查正多邊形的外角和的應(yīng)用．熟練掌握正六邊形的外角和是，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形中，以為邊向內(nèi)作正方形，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正多邊形各邊長度相等，各角度數(shù)相等，即可逐項判斷．【詳解】解：∵在正六邊形和正方形中，∴，，∴，故A選項正確，不符合題意；∵在正六邊形和正方形中，∴，，∴，故B選項正確，不符合題意；∵多邊形是正六邊形，∴該多邊形內(nèi)角和為：，∴，∵多邊形是正方形，∴該多邊形內(nèi)角和為：，∴，∴，故C選項正確，不符合題意；∵，∴，故D選項不正確，符合題意故選：D．【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和公式，熟練掌握正多邊形“各邊長度相等，各角度數(shù)相等”是解題的關(guān)鍵．3．（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）如圖，邊長相等的正五邊形、正六邊形的一邊重合，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式，可得正五邊形的內(nèi)角、正六邊形的內(nèi)角，根據(jù)角的和差，可得答案．【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角，故．故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，利用正多邊形的內(nèi)角公式得出相應(yīng)正多邊形的內(nèi)角是解題關(guān)鍵．4．（2023春·北京豐臺·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正三角形、正五邊形的一邊重合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理，計算正五邊形，正三角形的內(nèi)角，再求兩個內(nèi)角的差即可．【詳解】∵邊長相等的正三角形、正五邊形的一邊重合，∴正五邊形的每個內(nèi)角為，正三角形的內(nèi)角為，∴，故選C．【點睛】本題考查了正五邊形，正三角形的內(nèi)角計算，外角計算，熟練掌握內(nèi)角和定理，外角和定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）永祚寺雙塔，又名凌霄雙塔，是山西省太原市現(xiàn)存的古建筑中最高的建筑，十三層均為正八邊形樓閣式空心磚塔，如圖1所示．如圖2所示的正八邊形是雙塔其中一層的平面示意圖，則其每個內(nèi)角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用外角和求得外角的度數(shù)，然后根據(jù)互補求得每個內(nèi)角的度數(shù)即可．【詳解】解：∵多邊形外角和為，八邊形是正多邊形，∴正八邊形每個外角為，∴正八邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角的知識，正多邊形的每個內(nèi)角相等，每個外角相等．解題的關(guān)鍵是了解多邊形的內(nèi)角和、外角和以及正多邊形的性質(zhì)．6．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正十邊形的外角和是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和，正十邊形的內(nèi)角與外角的總和，即可得到正確選項【詳解】解：∵正十邊形的內(nèi)角和是，正十邊形的內(nèi)角與外角的總和為，∴正十邊形的外角和是，故選：．【點睛】本題考查了正多邊形的外角和，正多邊形的內(nèi)角和，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江西宜春·八年級?？茧A段練習(xí)）正多邊形的一個外角是，則這個正多邊形是（

）A．正七邊形 B．正八邊形 C．正九邊形 D．正十邊形【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和多邊形的外角和即可得．【詳解】解：任意一個多邊形的外角和均為，由正多邊形的性質(zhì)可知，其每一個外角都相等，設(shè)這個正多邊形為正n邊形，則，解得，即這個正多邊形為正八邊形，故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)和多邊形的外角和，熟記正多邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023年河北省石家莊市中考一模數(shù)學(xué)試卷）如圖1，將兩條重合的線段繞一個公共端點沿逆時針和順時針方向分別旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，所得的兩條新線段夾角為，以為內(nèi)角，以圖中線段為邊作兩個正多邊形，正多邊形邊數(shù)為n．如圖2，當(dāng)時，得到兩個正六邊形．邊數(shù)n456…旋轉(zhuǎn)角90°108°120°…夾角180°m120°…（1）用含的代數(shù)式表示，__________；（2）邊數(shù)n，旋轉(zhuǎn)角，夾角的部分對應(yīng)值如表格所示，其中__________；（3）若，則n的最小值是__________．【答案】14472【分析】（1）由周角的含義建立方程即可；（2）把代入（1）中的結(jié)論可得答案；（3）由，可得，解得：，利用多邊形的內(nèi)角和公式可得，而且為整數(shù)，從而可得答案．【詳解】解：（1）由題意可得：，∴，故答案為：．（2）由題意可得：當(dāng)時，∴，故答案為：；（3）當(dāng)，∴，解得：，∴，而且為整數(shù)，∴，解得：，∴的最小值為：．故答案為：．【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，利用正多邊形的性質(zhì)建立方程或不等式求解是解本題的關(guān)鍵．9．（2023春·江蘇·七年級期末）一個多邊形的內(nèi)角和與它的外角和之比為，則這個多邊形的邊數(shù)是_______．【答案】8【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，外角和等于，列式求解即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，則，整理得，解得．故答案為：8．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，熟記公式與定理并列出比例式是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）如果一個多邊形的內(nèi)角都相等，且內(nèi)角是外角的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)為________．【答案】8/八【分析】多邊形的一個內(nèi)角與相鄰?fù)饨堑暮蜑?，?nèi)角是外角的3倍，從中建立方程求出一個外角的度數(shù)，再利用多邊形的外角和為求邊數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的一個外角的度數(shù)是，列方程，得，解得：，多邊形的邊數(shù)為：．故答案為：8．【點睛】本題考查了多邊形的外角和，抓住內(nèi)外角的關(guān)系列方程求出一個外角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測）一個多邊形除了一個內(nèi)角之外，其余各內(nèi)角的度數(shù)和為1510°，則這個多邊形的邊數(shù)為_____．【答案】11【分析】直接利用多邊形內(nèi)角和公式列出不等式組進行求解即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形邊數(shù)為n，，∴，∵n是整數(shù)，∴，故答案為11．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是牢記公式，列出不等式組．12．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）（1）若n邊形的內(nèi)角和是，求n的值；（2）若n邊形的外角都相等，且內(nèi)角與相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)之比為，求n的值【答案】（1）11（2）8【分析】（1）直接利用多邊形內(nèi)角和公式求解即可．（2）先求出每個外角的度數(shù)，再利用外角和求出邊數(shù)即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴n的值為11．（2）∵n邊形的外角都相等，∴n邊形的內(nèi)角都相等，設(shè)n邊形的內(nèi)角和外角的度數(shù)分別為和，∴，∴，∵多邊形外角和為，∴，∴．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，解題關(guān)鍵是牢記多邊形的內(nèi)角和公式，即n邊形的內(nèi)角和為．13．（2022秋·湖北恩施·八年級?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)采用把多邊形內(nèi)角逐個相加的方法計算多邊形的內(nèi)角和，求得一個多邊形的內(nèi)角和為，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)錯了以后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少加了一個內(nèi)角．請問：漏加的這個內(nèi)角是多少度？他求的這個多邊形的邊數(shù)是多少？【答案】，【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，列出不等式組求出整數(shù)解，然后求出漏加的內(nèi)角．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則解得：，∵n為整數(shù)，∴∴漏加的這個內(nèi)角是：，答：漏加的這個內(nèi)角是，他求的這個多邊形的邊數(shù)是．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，熟記多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2023·江西·模擬預(yù)測）如圖，七邊形中，，的延長線交于點，若，，，的外角和等于，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得、、、的和，由五邊形內(nèi)角和可求得五邊形的內(nèi)角和，則可求得．【詳解】解：、、、的外角的角度和為220°，，，五邊形內(nèi)角和，．故選：C．【點睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是利用內(nèi)角和外角的關(guān)系求得、、、的和．2．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級景德鎮(zhèn)一中?？茧A段練習(xí)）我們知道：五邊形具有不穩(wěn)定性，小文將正五邊形沿箭頭方向向右推，使點B在線段AC上，若，則（

）A．減小了 B．增加了 C．減少了 D．增加了【答案】B【分析】延長，交于點F，說明是的中位線，得到條件證明為等邊三角形，從而計算變形前后的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，延長，交于點F，則，∵，∴是的中位線，∴，∴為等邊三角形，∴，∴．圖（1）中，，∴增加了，故選B．【點睛】本題考查了中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判斷出為等邊三角形．3．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)校考一模）如圖，五邊形中，，、、是外角，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再利用多邊形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和和平行線的性質(zhì)，熟記多邊形的內(nèi)角公式為是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北石家莊·八年級石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）如圖，將矩形沿著裁剪得到一個四邊形和一個三角形，設(shè)四邊形的外角和與的外角和分別為，則（

）A． B． C． D．無法比較與【答案】C【分析】利用多邊形的外角和都等于，即可得出結(jié)論．【詳解】解：任意多邊形的外角和為，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和，正確利用任意多邊形的外角和等于是解題關(guān)鍵．5．（2023春·上?！ぐ四昙壠谥校┮粋€多邊形截去一個角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是，則原多邊形的邊數(shù)是__．【答案】17，18或19【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得：，求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個角的情況進行討論，計算即可．【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為，則，解得：，若截去一個角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為19，若截去一個角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為17，若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為18，則多邊形的邊數(shù)是17，18或19，故答案為：17，18或19．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式（且是整數(shù)），注意要分情況進行討論，避免漏解．6．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）若在同一平面內(nèi)將邊長相等的正五邊形徽章和正六邊形模具按如圖所示的位置擺放，連接并延長至點，則______．【答案】【分析】根據(jù)正邊形內(nèi)角和，則正邊形一個內(nèi)角的度數(shù)，即可求得正五邊形與正六邊形每個內(nèi)角的度數(shù)，由周角是可得的度數(shù)，再根據(jù)是等腰三角形可求出，最后根據(jù)平角是即可求解．【詳解】解：五邊形是正五邊形，，六邊形是正六邊形，，,正五邊形與正六邊形的邊長相等，，是等腰三角形，，．故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形內(nèi)角和公式，以及求正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)，理解并熟練記憶公式，靈活根據(jù)題意運用等腰三角形兩底角相等、以及平角、周角相結(jié)合求角度是解題的關(guān)鍵．7．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，點在正六邊形的邊上運動．若，寫出一個符合條件的的值_________．【答案】（答案不唯一）【分析】先求得，在根據(jù)點的不同位置，求得的取值范圍，從而得解．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴，，當(dāng)點在點處時，∵，，∴，當(dāng)點在點處時，延長交的延長線于點，∵，，∴，∴，∴是正三角形，∴，∵，，∴即，∴是正三角形，∴，∴，故答案為（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇·七年級期中）如圖，小明從點O出發(fā)，前進3米后到達點A（米），向右轉(zhuǎn)，再前進3米后到達點B（米），又向右轉(zhuǎn)，……這樣小明一直右轉(zhuǎn)了n次剛好回到出發(fā)點O處．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)n的值為____________．(2)小明走出的這n邊形的周長為____________米．(3)若一個正m邊形的內(nèi)角和比外角和多，求這個正m邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)．【答案】(1)15(2)45(3)【分析】（1）根據(jù)多邊形的外角和等于，即可求解；（2）用多邊形的邊數(shù)乘以的長，即可求解；（3）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理可得關(guān)于m的方程，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：．故答案為：15（2）解：由（1）得：這個n邊形為十五邊形，∴這n邊形的周長為（米）；故答案為：45（3）解：根據(jù)題意，得，解得，

∴這個正m邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的應(yīng)用，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·江蘇·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）看圖回答問題：(1)內(nèi)角和為2014°，小明為什么說不可能？(2)小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？【答案】(1)理由見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）根據(jù)題意設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）解：∵設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則邊形的內(nèi)角和是，∴內(nèi)角和一定是度的倍數(shù)，∵，∴內(nèi)角和為不可能．（2）解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，∴，解得，，∴多邊形的邊數(shù)是，∴小華求的是十三邊形的內(nèi)角和．【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇·七年級期中）一個多邊形如果內(nèi)角都相等，并且滿足其一個內(nèi)角的度數(shù)是其相對應(yīng)外角度數(shù)的整數(shù)倍，就稱這個多邊形為“整數(shù)多邊形”，已知一個“整數(shù)多邊形”一個內(nèi)角的度數(shù)是其相對應(yīng)外角度數(shù)的5倍，求這個“整數(shù)多邊形”的邊數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)一個外角和對應(yīng)的內(nèi)角和為180度，列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個“整數(shù)多邊形”的一個外角度數(shù)為，則它的一個內(nèi)角的度數(shù)為，由題意，得．解得．∴這個“整數(shù)多邊形”的邊數(shù)為．【點睛】此題考查了求多邊形的邊數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出一個外角和內(nèi)角和為180度列方程求解．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，四邊形中，，與，相鄰的兩外角的平分線交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用四邊形的內(nèi)角和等于，可求的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)可求的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接并延長，，，，、相鄰的兩外角平分線交于點，，，，即．故選：．【點睛】本題運用四邊形的內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確計算．2．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個四邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】一個邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是邊形或邊形或邊形．【詳解】解：∵當(dāng)剪去一個角后，剩下的部分是一個四邊形，∴這張紙原來的形狀可能是四邊形或五邊形或三角形，不可能是六邊形；即原多邊形紙片的邊數(shù)為:．故選．【點睛】本題考查了多邊形剪去一個角的的方法可能有三種：經(jīng)過兩個相鄰頂點，則少一條邊；經(jīng)過一個頂點和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條．3．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得，再由“8”字三角形可得，進而可得答案．【詳解】解：連接，如圖，∵，，∴，故選C．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，以及“8”字三角形的特點，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）一個正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)都是其相鄰?fù)饨嵌葦?shù)的5倍，則該正多邊形的邊數(shù)為______．【答案】12/十二【分析】一個多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)都是其外角度數(shù)的5倍，利用內(nèi)外角的關(guān)系得出等式，即可求得多邊形的外角和的度數(shù)，依據(jù)多邊形的外角和公式即可求解．【詳解】設(shè)多邊形的每個外角為，則其內(nèi)角為：，解得：，即這個多邊形是：．故答案為：12．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系以及多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和不隨邊數(shù)的變化而變化．5．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）“花影遮墻，峰巒疊窗”，蘇州園林空透的窗欞中蘊含著許多的數(shù)學(xué)元素．圖①中的窗欞是冰裂紋窗欞，圖②是這種窗欞中的部分圖案．若，則______°．【答案】【分析】根據(jù)多邊形的外角和為，求出另外三個外角的和，再根據(jù)補角的定義，進行求解即可．【詳解】解：如圖：∵多邊形的外角和為，∴，∵，∴；故答案為：．【點睛】本題考查多邊形的外角和的應(yīng)用．熟練掌握多邊形的外角和為，是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，，則______．【答案】/度【分析】過點作，得，得，；根據(jù)，是，的角平分線，；；根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，，即可求出的角度．【詳解】如圖：過點作，∵，∴，∴；，∵，是，的角平分線，∴；，∴；，∴在四邊形中，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，等量代換，四邊形內(nèi)角和，角平分線；設(shè)角等于，；角的等量代換是解題的關(guān)鍵．7．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，正十邊形與正方形共邊，延長正方形的一邊與正十邊形的一邊交于點，則_______.【答案】/度【分析】延長交于，根據(jù)正多邊形的外角為，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可求得，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于，則，，，，即，故答案為：．【點睛】本題考查正多邊形的外角和定理、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余，熟知正多邊形的外角計算公式是解答的關(guān)鍵．8．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀材料：解決問題：（1）如圖1，四邊形ABCD是凹四邊形，請?zhí)骄俊螧DC(∠BDC＜180°)與∠B，∠D，∠BAC三個角之間的等量關(guān)系．小明得出的結(jié)論是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他證明如下．請你將小明的證明過程補充完整．證明：連接AD并延長AD到點E．聯(lián)系拓廣：（2）下面圖2的五角星和圖3的六角星都是一筆畫成的(即從圖形上的某一頂點出發(fā)，找出一條路線，用筆不離開紙，連續(xù)不斷又不重復(fù)經(jīng)過圖形上所有部分畫成的)．請你根據(jù)上述解決問題的思路，解答下列問題：①圖2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為°；②圖3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為°．【答案】（1）證明見解析；（2）①180°；②360°．【分析】（1）先證明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可；（2）①利用（1）結(jié)論，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和進行等量代換即可求解；②利用（1）結(jié)論，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和進行等量代換即可．【詳解】解：（1）證明：連接AD并延長AD到點E．則∠BDE為△ABD的外角，∠CDE為△ACD的外角，∴∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC．（2）①如圖2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D，∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，∵∠BFE+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.故答案為：180°②如圖3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E，∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.故答案為：360°【點睛】本題考查了凹四邊形的角的關(guān)系，熟知三角形外角定理，應(yīng)用（1）結(jié)論，將圖形轉(zhuǎn)化三角形或四邊形內(nèi)角和知識是解題關(guān)鍵.9．（2023春·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習(xí)）【閱讀?領(lǐng)會】怎樣判斷兩條直線否平行？如圖①，很難看出直線a、b是否平行，可添加“第三條線”（截線c），把判斷兩條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷兩個角的數(shù)量