專題10 圓錐曲線的綜合問題-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學年高二數(shù)學上學期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊）含解析

專題10圓錐曲線的綜合問題專題10圓錐曲線的綜合問題-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學年高二數(shù)學上學期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊）含解析圓錐曲線中的求值與證明問題1．（2023上·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谀┮阎獟佄锞€，p為方程的根.(1)求拋物線的方程；(2)若拋物線與直線無公共點，求此拋物線的通徑（通徑：過拋物線的焦點且與對稱軸垂直的直線被拋物線所截得的線段）.2．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓左右焦點分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點）交橢圓于兩點，當直線過時，周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求的值，并求當面積為時，直線的方程．3．（2023上·浙江杭州·高二杭州高級中學?？计谀┮阎p曲線C：的漸近線方程為，且過點．(1)求雙曲線C的方程；(2)若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率．4．（2023上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的右焦點為F，過F的直線l與雙曲線交于M，N兩點，當軸時，．(1)求雙曲線C的離心率e；(2)當l傾斜角為時，線段MN垂直平分線交x軸于P，求的值．5．（2023上·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的焦點分別為，過的動直線與過的動直線相互垂直，垂足為，若在兩直線轉(zhuǎn)動的過程中，點僅有兩次落在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若直線的斜率不等于，且直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于，兩點，證明：四邊形的面積大于.6．（2023上·山西陽泉·高二統(tǒng)考期末）已知是橢圓的左焦點，上頂點B的坐標是，離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)O為坐標原點，直線l過點且與橢圓相交于P，Q兩點，過點作，與直線相交于點E，連接OE，與線段PQ相交于點M，求證：點M為線段PQ的中點.7．（2023上·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）設(shè)過拋物線對稱軸上的定點，作直線與拋物線交于兩點，且，相應于點的直線稱為拋物線的“類準線”.(1)若，求的值；(2)若點是“類準線”上任意一點，設(shè)直線(其斜率都存在)的傾斜角依次為，求證：.8．（2023上·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）設(shè)第一象限的點是雙曲線上的一點，已知C的一條漸近線的方程是．(1)求b的值，并證明：；(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求．圓錐曲線中的最值與范圍問題9．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O(shè)B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．10．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽四中?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為F，準線為l，直線，動點M在C上運動，記點M到直線l與的距離分別為，O為坐標原點，則當最小時，（

）A． B． C． D．11．（2023上·江蘇南京·高二南京外國語學校?？计谀┮阎本€與曲線僅有三個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（2023上·四川綿陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的上焦點為，直線與橢圓交于M，N兩點，則的周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．13．（2023上·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）已知F是雙曲線C：的右焦點，過F的直線l交雙曲線右支于P，Q兩點，PQ中點為M，O為坐標原點，連接OM交直線于點N．(1)求證：；(2)設(shè)，當時，求三角形面積S的最小值．14．（2023上·吉林長春·高二?？计谀┮阎本€分別經(jīng)過橢圓左頂點和上頂點，，是橢圓的左、右兩個焦點，橢圓的離心率．(1)求實數(shù)和橢圓方程；(2)設(shè)過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．15．（2023上·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）已知點分別為雙曲線的左頂點和右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點，的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，記，的面積分別為，（為坐標原點）．若，求實數(shù)的取值范圍．16．（2023上·浙江杭州·高二浙江大學附屬中學校考期末）已知拋物線的頂點在原點，焦點在直線上．(1)求拋物線的標準方程；(2)過點的直線m與焦點在x軸上的拋物線交于A，B兩點，若原點O在以線段AB為直徑的圓外，求實數(shù)a的取值范圍．圓錐曲線中的定值與定點問題17．（2023上·山東棗莊·高二棗莊八中?？计谀┰O(shè)橢圓的上頂點為，且長軸長為，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，兩點，則直線過定點．18．（2023上·河北唐山·高二開灤第一中學?？计谀┮阎獟佄锞€，在直線上任取一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則直線恒過定點.19．（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設(shè)點P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經(jīng)過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.20．（2023上·浙江溫州·高二?？计谀┮阎p曲線：的焦距為8．過左焦點的直線與的左半支交于，兩點，過，作直線：的垂線，垂足分別為，，且當垂直于軸時，．(1)的標準方程；(2)設(shè)點，判斷是否存在，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，說明理由．21．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，記其焦點為.設(shè)直線：，在該直線左側(cè)的拋物線上的一點P到直線的距離為，且.(1)求的方程；(2)如圖，過焦點作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若交于點，交拋物線于、兩點，證明：為定值.22．（2023上·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓E：經(jīng)過點和.(1)求E的方程；(2)過E的右焦點的直線l與E交于A，B兩點，在直線上是否存在一點D，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.23．（2023上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為，是上一點.(1)求雙曲線的方程；(2)直線過點，與雙曲線的右支交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，求證：兩點所在直線過點.24．（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知平面上的動點到定點的距離比到直線的距離小1．(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線交于兩點，在軸上是否存在定點，使得變化時，直線與的斜率之和是0，若存在，求出定點的坐標，若不存在，寫出理由．25．（2023上·北京·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為F，準線為，點P在拋物線上，于點Q．若是銳角三角形，則點P的橫坐標的取值范圍是（

）A． B． C． D．26．（2023上·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谀┮阎獧E圓，直線l與兩個坐標軸分別交于點M，N．且與橢圓E有且只有一個公共點，O是坐標原點，則面積的最小值是（

）A． B．4 C． D．227．（2023上·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）歐幾里得生活的時期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點．現(xiàn)有橢圓，長軸長為4，從橢圓的一個焦點發(fā)出的一條光線經(jīng)該橢圓內(nèi)壁上一點反射之后恰好與軸垂直，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知為坐標原點，A為橢圓的左頂點，若斜率為且不經(jīng)過點A的直線與橢圓交于，兩點，記直線，的斜率分別為，，且滿足，且，求的值.28．（2023上·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線：（，）的左頂點為，到的一條漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于，兩點，求的值．29．（2023上·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）如圖，直線與拋物線相交于A，B兩點．(1)求線段AB的長；(2)證明：．30．（2023上·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的中心在原點，焦點，在坐標軸上，離心率為，且過點．(1)求雙曲線方程；(2)若點在雙曲線上，求證：；(3)在（2）的條件下，求的面積．31．（2023上·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線（，）的實軸長為2，直線為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線的標準方程；(2)直線與雙曲線相交于不同兩點，求的取值范圍．32．（2023上·江蘇蘇州·高二常熟中學校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，且與橢圓交于兩點，線段的中點恰在拋物線上.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)是拋物線上一點，求的取值范圍，使得的面積存在最大值.33．（2023上·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：（），橢圓的中心到直線的距離是短半軸長，長軸長是焦距的倍.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，過點作斜率不為0的直線交橢圓于，兩點，，兩點在直線上且，，設(shè)直線、的斜率分別為，，試問：是否為定值？若是，求出該定值.若不是，請說明理由.34．（2023上·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點．(1)求的方程；(2)為坐標原點，過雙曲線上一動點（在第一象限）分別作的兩條漸近線的平行線為，且，與軸分別交于P，Q，求證：為定值．35．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎p曲線的離心率，，分別為其兩條漸近線上的點，若滿足的點在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標原點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點的動直線與雙曲線相交于，兩點，在軸上是否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．36．（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的左、右焦點分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點為焦點.

(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點為拋物線的準線上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，連接并延長交拋物線于點，求證：直線過定點.專題10圓錐曲線的綜合問題圓錐曲線中的求值與證明問題1．（2023上·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谀┮阎獟佄锞€，p為方程的根.(1)求拋物線的方程；(2)若拋物線與直線無公共點，求此拋物線的通徑（通徑：過拋物線的焦點且與對稱軸垂直的直線被拋物線所截得的線段）.【答案】(1)或(2)4【分析】（1）代入求解得到或6，從而得到拋物線方程；（2）先聯(lián)立拋物線方程與直線，由根的判別式得到與直線無公共點，從而求出兩點坐標，得到.【詳解】（1）由題意得，解得或6.或.（2）聯(lián)立與可得，即，由，故拋物線與直線有公共點，不合要求，舍去；聯(lián)立與可得，即，由，故拋物線與直線無公共點，∴焦點，中令，可得，解得，.2．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓左右焦點分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點）交橢圓于兩點，當直線過時，周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求的值，并求當面積為時，直線的方程．【答案】(1)；(2)；或.【分析】（1）根據(jù)的周長為求出，再根據(jù)離心率求出，從而求出橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達定理表示出依次成等比數(shù)列，進而求出的值；再利用弦長公式和點到直線距離公式表示出的面積，求解即可得到的值，從而得到直線的方程.【詳解】（1）由題意，，解得，所以.故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，且，所以．由題意，，故..此時，，.又點O到直線的距離，故三角形的面積,解得或，所以直線l方程為或.

3．（2023上·浙江杭州·高二杭州高級中學?？计谀┮阎p曲線C：的漸近線方程為，且過點．(1)求雙曲線C的方程；(2)若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程為和雙曲線過點，聯(lián)立求解；（2）由題意設(shè)直線方程為，令，得到M的坐標，設(shè)，根據(jù)，用k表示點Q的坐標，再根據(jù)點Q在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.【詳解】（1）解：因為雙曲線C：的漸近線方程為，所以，又因為雙曲線C：過點，所以，解得，所以雙曲線的方程為；（2）由（1）知：，則，由題意設(shè)直線方程為，令，得，則，設(shè)，則，因為，所以，則，解得，因為點Q在雙曲線上，所以，解得，所以直線l的斜率為.4．（2023上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的右焦點為F，過F的直線l與雙曲線交于M，N兩點，當軸時，．(1)求雙曲線C的離心率e；(2)當l傾斜角為時，線段MN垂直平分線交x軸于P，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得：，也即，進而求出雙曲線的離心率；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得雙曲線C的方程為，設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達定理和中點坐標公式可得MN的垂直平分線的方程為，進而得到P的坐標為，計算可得，，進而求解.【詳解】（1）根據(jù)題意．所以，所以雙曲線C的離心率．（2）由（1）知，雙曲線C的方程為．直線MN的方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，，，則，．因為，所以MN的中點坐標為．MN的垂直平分線的方程為，所以P的坐標為，所以．又，所以．5．（2023上·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的焦點分別為，過的動直線與過的動直線相互垂直，垂足為，若在兩直線轉(zhuǎn)動的過程中，點僅有兩次落在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若直線的斜率不等于，且直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于，兩點，證明：四邊形的面積大于.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得，單位圓與橢圓有兩個交點，可求橢圓的方程；（2）四邊形對角線互相垂直，由題意通過聯(lián)立方程組用韋達定理表示出弦長，再表示出面積求取值范圍.【詳解】（1）由題可知圓與橢圓有且只有兩個公共點，這兩個公共點為短軸的頂點，..橢圓的方程為.（2）當直線的斜率不為0，且斜率存在時，設(shè)直線的方程為且.聯(lián)立方程組得，

消去得.設(shè)，則..同理得.與相互垂直，則四邊形的面積.令，則且，.，當時等號成立∴且時，.當直線其中一條的斜率不存在時，另一條的斜率為0，不妨設(shè)直線的斜率為0，則直線的方程為，直線的方程為.代入橢圓方程可得，，，，.綜上，可知四邊形的面積大于.6．（2023上·山西陽泉·高二統(tǒng)考期末）已知是橢圓的左焦點，上頂點B的坐標是，離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)O為坐標原點，直線l過點且與橢圓相交于P，Q兩點，過點作，與直線相交于點E，連接OE，與線段PQ相交于點M，求證：點M為線段PQ的中點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標準方程.（2）設(shè)出直線的方程，求得直線的方程、直線的方程，求得點坐標，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得中點坐標，進而判斷出是的中點.【詳解】（1）因橢圓的上頂點，則，令橢圓半焦距為c，由離心率得，即，解得，∴橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，，，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線，顯然，直線l不垂直于y軸，因直線過點，且，則直線的方程可設(shè)為，由得點，直線OE的方程為：，由解得：，因此點，由消去x并整理得：，設(shè)，，則，所以，，即線段PQ中點坐標為，∴點M為線段PQ的中點.7．（2023上·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）設(shè)過拋物線對稱軸上的定點，作直線與拋物線交于兩點，且，相應于點的直線稱為拋物線的“類準線”.(1)若，求的值；(2)若點是“類準線”上任意一點，設(shè)直線(其斜率都存在)的傾斜角依次為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)的方程為，與拋物線聯(lián)立得交點坐標關(guān)系即可求得的值；（2）根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系，設(shè)，則，根據(jù)坐標關(guān)系即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題可知直線的斜率存在，設(shè)為，則的方程為，聯(lián)立得，恒成立，所以，則；（2）證明：如圖，由（1）可得，，所以，且，，又設(shè)，則，

所以又，所以.8．（2023上·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）設(shè)第一象限的點是雙曲線上的一點，已知C的一條漸近線的方程是．(1)求b的值，并證明：；(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可得，進而根據(jù)分析法即可求解，（2）聯(lián)立方程，由韋達定理以及弦長公式即可求解.【詳解】（1）的漸近線方程為，故，雙曲線方程為，在雙曲線上，所以，要證，只需證，由于，若，顯然成立，若時，只需要證明，即證，因此只需要證明，由，得，而，故成立，因此（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，設(shè),則，所以由弦長公式得：，圓錐曲線中的最值與范圍問題9．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O(shè)B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，確定，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】，設(shè)，則，，當時，最大為.故選：B10．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽四中校考期末）已知拋物線的焦點為F，準線為l，直線，動點M在C上運動，記點M到直線l與的距離分別為，O為坐標原點，則當最小時，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線的定義可知，設(shè)于點，則，當三點共線時，取得最小值，再結(jié)合點到直線的距離公式，以及直角三角形的余弦，即可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線的定義可知，設(shè)于點，則，當三點共線時，取得最小值，由拋物線得，所以點到直線的距離為，設(shè)直線與交于點，令，得，所以，在中，,所以，故選：C11．（2023上·江蘇南京·高二南京外國語學校?？计谀┮阎本€與曲線僅有三個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將曲線的表達式整理變形可知，其圖象是由上半橢圓和上半雙曲線組成的，再根據(jù)直線與雙曲線的漸近線平行，利用數(shù)形結(jié)合討論臨界位置結(jié)合交點個數(shù)即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得曲線，即，可得；當時得到即；當時得到；由以上可得曲線的如圖中所示，易知直線與雙曲線的一條漸近線平行；把直線向上平移到點時，即與曲線有兩個交點，此時；繼續(xù)向上平移至與半橢圓相切前有3個交點．當直線與橢圓的上半部分相切時，聯(lián)立直線與橢圓的方程代入整理得即或（舍），由圖示可得；綜上可知.故選：C12．（2023上·四川綿陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的上焦點為，直線與橢圓交于M，N兩點，則的周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓定義和橢圓的對稱性即可求得的周長的取值范圍.【詳解】直線與橢圓交于M，N兩點，橢圓的上焦點為，令下焦點為，連接由橢圓的對稱性可得，則的周長為,又，則，則的周長的取值范圍是故選：D13．（2023上·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）已知F是雙曲線C：的右焦點，過F的直線l交雙曲線右支于P，Q兩點，PQ中點為M，O為坐標原點，連接OM交直線于點N．(1)求證：；(2)設(shè)，當時，求三角形面積S的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)出PQ的方程，與雙曲線聯(lián)立消元，利用韋達定理求出點的坐標，再利用向量的數(shù)量積等于0即可證明；（2）利用直線中范圍，通過韋達定理與建立起聯(lián)系，從而求出的范圍，再將面積用關(guān)于的函數(shù)來表示，通過函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】（1）由題知，在雙曲線中，，，，所以，因此.因為過F的直線l交雙曲線右支于P，Q兩點，故可設(shè)PQ的方程為，設(shè)，，由得，，，，得∴，得直線OM的方程為，從而得由，，得，所以即，故（2）因直線PQ與雙曲線右支交于兩點，得由，，得又因，得，，得，又因，得，，，由，，不妨設(shè)，令，，在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.14．（2023上·吉林長春·高二?？计谀┮阎本€分別經(jīng)過橢圓左頂點和上頂點，，是橢圓的左、右兩個焦點，橢圓的離心率．(1)求實數(shù)和橢圓方程；(2)設(shè)過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．【答案】(1)，橢圓方程為(2)【分析】（1）由直線方程求出，，結(jié)合離心率求出，，得到橢圓方程，求出，從而求出；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩根之和，兩根之積，從而求出線段的中點坐標，得到線段的垂直平分線方程，令，求出，得到的取值范圍.【詳解】（1）中令，解得：，故，所以，因為離心率，所以，解得：，所以，故橢圓方程為，且，代入中得：，解得：；（2）由題意得：，直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得：，恒成立，設(shè)，則，，則，故線段的中點坐標為，故線段的垂直平分線方程為，令得：，因為，故.15．（2023上·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）已知點分別為雙曲線的左頂點和右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點，的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，記，的面積分別為，（為坐標原點）．若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程即可寫出之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積公式解得，即可得到雙曲線的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理和弦長公式即可寫出的表達式，同理可得的面積表達式，再通過構(gòu)造函數(shù)即可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由題意可知，所以，，由已知，可得，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，整理可得所以，解得，由，可得，，原點到直線的距離，所以設(shè)，，易知漸近線方程為，不妨設(shè)在漸近線上，由得，同理，所以，到直線的距離，所以所以，，則令，則故的取值范圍是16．（2023上·浙江杭州·高二浙江大學附屬中學?？计谀┮阎獟佄锞€的頂點在原點，焦點在直線上．(1)求拋物線的標準方程；(2)過點的直線m與焦點在x軸上的拋物線交于A，B兩點，若原點O在以線段AB為直徑的圓外，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由拋物線的頂點在原點及焦點在直線上，可根據(jù)直線與坐標軸的交點，求得拋物線的焦點，即可求得拋物線的方程；（2）由直線與拋物線聯(lián)立求得弦長，及交點的中點，即可求得以線段AB為直徑的圓的方程，再由原點在圓外，代入原點，即可求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當時，，此時焦點為，即此時拋物線焦點在軸，開口向下，頂點在原點，則拋物線方程為；當時，，此時焦點為，即此時拋物線焦點在軸，開口向右，頂點在原點，則拋物線方程為；（2）設(shè)過點直線m的方程為，設(shè)直線m與拋物線的交點分別為聯(lián)立方程消去得，即，；AB的中點為；；則以線段AB為直徑的圓的方程為若原點O在以線段AB為直徑的圓外，則化簡得，即或.圓錐曲線中的定值與定點問題17．（2023上·山東棗莊·高二棗莊八中?？计谀┰O(shè)橢圓的上頂點為，且長軸長為，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，兩點，則直線過定點．【答案】【分析】根據(jù)題意求出橢圓C的方程，設(shè)直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理與，求得的值，進而可得答案．【詳解】根據(jù)題意橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓的方程為∵上頂點為，∴，又長軸長為，∴，則橢圓C的方程為，

易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，由可得，∴，又，∴，解得或．當時，直線AB經(jīng)過點D，不滿足題意，則直線AB的方程為，故直線AB過定點．故答案為：．18．（2023上·河北唐山·高二開灤第一中學校考期末）已知拋物線，在直線上任取一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則直線恒過定點.【答案】【分析】設(shè)，，，，由，利用導數(shù)的幾何意義推導出的方程為，由此能證明直線過定點．【詳解】設(shè)，，，，，，直線為，化簡得同理的方程，直線，過點，，．，滿足方程,故，是方程的兩個根，，，的方程為，化簡得將，代入得，直線過定點．19．（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設(shè)點P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經(jīng)過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用斜率公式即可化簡求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到韋達定理，即可結(jié)合斜率公式求解.【詳解】（1）設(shè)，則由直線PA，PB的斜率之積是可得，化簡可得（2）設(shè)直線方程為：，則與橢圓方程聯(lián)立可得：，則，故或，設(shè)，則，.故.

.20．（2023上·浙江溫州·高二?？计谀┮阎p曲線：的焦距為8．過左焦點的直線與的左半支交于，兩點，過，作直線：的垂線，垂足分別為，，且當垂直于軸時，．(1)的標準方程；(2)設(shè)點，判斷是否存在，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)焦距得，利用及通經(jīng)長度即可求得的值，從而得的標準方程；（2）討論直線斜率不存在與存在兩種情況，存在時，直線方程為，，聯(lián)立直線與雙曲線，得交點坐標關(guān)系，利用直線方程與雙曲線方程轉(zhuǎn)化，通過系數(shù)成比例解方程確定定值是否存在即可.【詳解】（1）由題可知，焦距，所以，當AB垂直于x軸時，，又，聯(lián)立，解得或（舍），所以則的標準方程為；（2）如圖，①當直線斜率不存在時，此時，則，所以，要使得為定值，則；②當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，，則，由于均在左半支，所以，且，所以，消去得，則所以，同理，則，要使得為定值，則滿足，解得，此時，經(jīng)檢驗，此結(jié)果也符合斜率不存在的情況綜上，存在使得為定值.21．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，記其焦點為.設(shè)直線：，在該直線左側(cè)的拋物線上的一點P到直線的距離為，且.(1)求的方程；(2)如圖，過焦點作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若交于點，交拋物線于、兩點，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用拋物線的定義以及準線方程即可求解；（2）利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和即可求解.【詳解】（1）拋物線的準線的方程為，則可知，解得，所以的方程為.（2）作于，于.由拋物線定義，，，又因為，，所以，，由此，，，所以，，所以，為定值.22．（2023上·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓E：經(jīng)過點和.(1)求E的方程；(2)過E的右焦點的直線l與E交于A，B兩點，在直線上是否存在一點D，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）把兩個點的坐標代入方程可得的值，得到橢圓的方程；（2）先討論斜率不存在時的情況，利用垂直可得不存在；再討論斜率存在的情況，利用韋達定理及等腰直角三角形的性質(zhì)可得也不存在.【詳解】（1）因為橢圓E經(jīng)過和兩點，所以，，，則E的方程為.（2）假設(shè)在直線上存在點D，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形.①當l的斜率不存在時，只有當D點為，才滿足以AB為底邊的等腰三角形，此時不妨取，，此時，顯然AD與BD不垂直，則不是等腰直角三角形.此時，不符合題意.

②當l的斜率存在時，設(shè)l：，聯(lián)立方程組消去y，得，則，設(shè)，，AB的中點為，則，，所以，又可得，，，因為是以AB為斜邊的等腰直角三角形，所以MD的斜率為，又D點的橫坐標為2，，所以，即，得，無解，此時不存在這樣的D點.綜上，不存在這樣的D點，使是以AB為斜邊的等腰直角三角形.

23．（2023上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為，是上一點.(1)求雙曲線的方程；(2)直線過點，與雙曲線的右支交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，求證：兩點所在直線過點.【答案】(1)；(2)證明負了解析.【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率可得，再將給定點代入計算作答.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合向量共線的坐標表示推理作答.【詳解】（1）雙曲線的離心率，則，即，又點在上，即，解得，所以雙曲線的方程為.（2）顯然直線不垂直于坐標軸，設(shè)直線的方程為：，由（1）知，雙曲線漸近線，而直線l與雙曲線右支交于兩點，則，即，由消去x并整理得：，，則，設(shè)，則，于是，則，而，有，因此，即，而有公共點，從而三點共線，所以兩點所在直線過點.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中動直線過已知定點問題，根據(jù)條件求出動直線與圓錐曲線的兩個交點的坐標關(guān)系，再借助共線向量的坐標表示推理解決.24．（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知平面上的動點到定點的距離比到直線的距離小1．(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線交于兩點，在軸上是否存在定點，使得變化時，直線與的斜率之和是0，若存在，求出定點的坐標，若不存在，寫出理由．【答案】(1)(2)存在，定點【分析】（1）由題意可得動點到定點的距離與到直線的距離相等．可得動點的軌跡是拋物線；（2）設(shè)直線方程為，，代入拋物線方程得交點坐標關(guān)系，假設(shè)存在定點，由斜率關(guān)系可得，利用坐標轉(zhuǎn)化與坐標關(guān)系可求得為定值，即可確定定點坐標.【詳解】（1）由題意可得動點到定點的距離與到直線的距離相等．動點的軌跡是拋物線：點為焦點，直線為準線，可得方程為：．（2）由題意可設(shè)，直線方程為，，則，消去得，恒成立，所以，假設(shè)存在點，則設(shè)，所以，于是可得，故存在定點.25．（2023上·北京·高二校考期末）已知拋物線的焦點為F，準線為，點P在拋物線上，于點Q．若是銳角三角形，則點P的橫坐標的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在軸上取點，推導出為銳角，設(shè)點，可得出，可求得的范圍.【詳解】如圖所示：在軸上取點，由拋物線的定義可得，則，由于為銳角三角形，則為銳角，由已知可得軸，所以，則為銳角，焦點，設(shè)點，則，，則，解得，因此，點的橫坐標的取值范圍是.故選：D.26．（2023上·北京豐臺·高二北京市第十二中學校考期末）已知橢圓，直線l與兩個坐標軸分別交于點M，N．且與橢圓E有且只有一個公共點，O是坐標原點，則面積的最小值是（

）A． B．4 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意首先設(shè)直線l方程為，和橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達定理求得參數(shù)和之間的關(guān)系，利用面積公式結(jié)合基本不等式求最值即可得解.【詳解】若要直線l與兩個坐標軸分別交于點M，N，則直線l的斜率存在，故設(shè)直線l方程為，代入到橢圓方程可得，根據(jù)提意可得，所以，根據(jù)題意對方程，，所以令得，令得，所以，當且僅當時取等，所以面積的最小值是.故選：D27．（2023上·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）歐幾里得生活的時期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點．現(xiàn)有橢圓，長軸長為4，從橢圓的一個焦點發(fā)出的一條光線經(jīng)該橢圓內(nèi)壁上一點反射之后恰好與軸垂直，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知為坐標原點，A為橢圓的左頂點，若斜率為且不經(jīng)過點A的直線與橢圓交于，兩點，記直線，的斜率分別為，，且滿足，且，求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用橢圓的定義得出，再利用垂直關(guān)系和進行求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，韋達定理，利用斜率公式及得到關(guān)于、的關(guān)系式，化簡兩根之和與積，利用及點在橢圓上得到，代入化簡即可求解.【詳解】（1）不妨設(shè)、是橢圓的左焦點、右焦點，則軸，又因為，，所以，所以點，代入得，又，解得，，所以橢圓的標準方程為：；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得：，則，，因為，所以，即，即，即，則，即，即，則或，當時，直線可化為，即直線過定點（與左焦點重合，舍去），所以，則，，且，解得；因為，所以，即，即，即，即，即，即，則或，所以或28．（2023上·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線：（，）的左頂點為，到的一條漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于，兩點，求的值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）由題意知，取雙曲線的一條漸近線，再根據(jù)點到直線的距離公式即可得到與關(guān)系式，從而求得，進而可求得的方程；（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則可得到，的坐標，進而可直接求解的值；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線的方程和的方程可得到關(guān)于的一元二次方程，從而可得到，，代入即可求解的值，綜上，即可得到的值．【詳解】（1）由題意知，的一條漸近線方程為，即，所以到的一條漸近線的距離為，所以，又，解得，所以的方程為．（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，易得，或，，所以；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，解得，所以，，所以．綜上，．29．（2023上·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）如圖，直線與拋物線相交于A，B兩點．(1)求線段AB的長；(2)證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系、向量數(shù)量積等知識證得結(jié)論成立.【詳解】（1）設(shè)，，由，得．，，所以．（2）由（1）知：，，所以，所以，所以．30．（2023上·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的中心在原點，焦點，在坐標軸上，離心率為，且過點．(1)求雙曲線方程；(2)若點在雙曲線上，求證：；(3)在（2）的條件下，求的面積．【答案】(1)(2)證明見解析(3)6【分析】（1）首先根據(jù)離心率設(shè)出雙曲線方程，再代入點的坐標，即可求解；（2）首先將點代入雙曲線方程求，再根據(jù)斜率公式或是數(shù)量積公式，證明垂直；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果，代入面積公式，即可求解.【詳解】（1）因為，所以可設(shè)雙曲線方程為．因為過點，所以，即．所以雙曲線方程為，即（2）由（1）可知，雙曲線中，所以，不妨設(shè)，分別為雙曲線的左右焦點，則，．方法一：，，因為點在雙曲線上，所以，，所以,所以，所以．方法二：因為，，所以．因為點在雙曲線上，所以，即，所以．

（3）的底邊長，的高，所以．31．（2023上·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線（，）的實軸長為2，直線為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線的標準方程；(2)直線與雙曲線相交于不同兩點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，再由雙曲線的漸近線求出，即可得解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去得到關(guān)于的方程，依題意可得，解得即可.【詳解】（1）由雙曲線可得漸近線方程為，∵實軸長為2，∴，即，∵直線為雙曲線的一條漸近線，∴，∴，故雙曲線的標準方程為；（2）解：雙曲線與直線聯(lián)立得，消去整理得，因為直線與雙曲線相交于不同兩點，所以有，解得且，即或或，所以的取值范圍為：．32．（2023上·江蘇蘇州·高二常熟中學?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，且與橢圓交于兩點，線段的中點恰在拋物線上.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)是拋物線上一點，求的取值范圍，使得的面積存在最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用“設(shè)而不求法”表示出，代入拋物線，結(jié)合，求出的取值范圍；（2）表示出的面積，利用導數(shù)研究最值，求出的取值范圍.【詳解】（1）由直線與軸交于點，可得：.聯(lián)立，消去，可得：，所以，可得：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：.設(shè)，則.將代入拋物線，有，即，得：，代入①可得：，可得：，解得：.因為，所以.（2）由，則點到直線的距離為.因為,所以的面積為.將代入②式整理化簡可得：.令，記.則.要使的面積存在最大值，只需：由在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一極值點，所以，解得：因為點D在橢圓的上方，所以.由③④解得：.所以的取值范圍為.33．（2023上·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：（），橢圓的中心到直線的距離是短半軸長，長軸長是焦距的倍.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，過點作斜率不為0的直線交橢圓于，兩點，，兩點在直線上且，，設(shè)直線、的斜率分別為，，試問：是否為定值？若是，求出該定值.若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性