黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案詳解）

佳一中2022－2023學(xué)年度高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線SKIPIF1<0的準線方程是A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意得，拋物線可化為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以準線方程為SKIPIF1<0，故選C．考點：拋物線的幾何性質(zhì)．2.已知A，B，C，D，E是空間中的五個點，其中點A，B，C不共線，則“存在實數(shù)x，y，使得SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0平面ABC”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用存在實數(shù)x，y，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABC或SKIPIF1<0平面ABC，結(jié)合充分必要條件定義即可求解.【詳解】若SKIPIF1<0平面ABC，則SKIPIF1<0共面，故存在實數(shù)x，y，使得SKIPIF1<0，所以必要性成立；若存在實數(shù)x，y，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0共面，則SKIPIF1<0平面ABC或SKIPIF1<0平面ABC，所以充分性不成立；所以“存在實數(shù)x，y，使得SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0平面ABC”的必要不充分條件，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間向量共面的問題，理清存在實數(shù)x，y，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABC或SKIPIF1<0平面ABC是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3.已知直線SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為（）A.1 B.2 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行求出SKIPIF1<0，再由平行線間的距離公式求解即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗符合題意；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0，故選：A4.中國古人所使用的音階是“五聲音階”，即“宮徵（zhǐ）商羽角（jué）”五個音，中國古代關(guān)于這五個音階的律學(xué)理論，叫做“三分損益法”，相關(guān)記載最早見于春秋時期《管子·地緣篇》．“三分損益”包含“三分損一”和“三分益一”兩層含義，“三分損一”是指將原有長度作三等分而減去其一份生得長度，“三分益一”是指將原有長度作三等分而增添其一份生得長度．具體來說，以一段圓徑絕對均勻的發(fā)聲管為基數(shù)——宮（稱為“基本音”），宮管的“三分損一”為徵管，徵管發(fā)出的聲音即為徵，徵管的“三分益一”為商管，商管發(fā)出的聲音即為商，商管的“三分損一”為羽管，羽管的“三分益一”為角管，由此“宮、徵、商、羽、角”五個音階就生成了．關(guān)于五音，下列說法中不正確的是（）A.五音管中最短的音管是羽管B.假設(shè)基本音的管長為81，則角管的長度為64C.五音管中最長的音管是商管D.類比題中的“三分損益”可推算：商的“四分損一”為徵【答案】C【解析】【分析】設(shè)宮管的長為a，即可表示出徵、商、羽、角的管長，即可判斷A，B，C；根據(jù)“三分損益”的含義可求得商的“四分損一”為徵，判斷D.【詳解】不妨設(shè)宮管的長為a，則徵管的長為SKIPIF1<0，商管的長為SKIPIF1<0，羽管的長為SKIPIF1<0，角管的長為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故最長的音管是宮管，最短的音管是羽管，故選項A正確，選項C錯誤；令SKIPIF1<0，即基本音的管長為81，則SKIPIF1<0，即角管的長度為64，故選項B正確；商的“四分損一”為SKIPIF1<0，即為徵，選項D正確，故選︰C．5.如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則C到直線SKIPIF1<0的距離為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】取AC的中點O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，根據(jù)點到線距離的向量求法和投影的定義計算即可.【詳解】由題意知，SKIPIF1<0，取AC的中點O，則SKIPIF1<0，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的長度為SKIPIF1<0，故點C到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0.故選：D6.已知過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與圓心為SKIPIF1<0的圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，當(dāng)SKIPIF1<0面積最大時，直線SKIPIF1<0的方程為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由三角形面積公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0面積最大，設(shè)出直線SKIPIF1<0的方程，確定圓心到直線SKIPIF1<0的距離，列出方程，求解得出直線SKIPIF1<0的方程.【詳解】SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，當(dāng)僅當(dāng)SKIPIF1<0時“SKIPIF1<0”成立，此時點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，即SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，此時圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，不滿足題意；當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以方程為SKIPIF1<0.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是由三角形面積公式得出當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0面積最大，進而由距離公式得出方程.7.已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0成立的最大SKIPIF1<0值為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】由SKIPIF1<0可解得SKIPIF1<0，再利用等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式并結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解【詳解】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以公差SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以使SKIPIF1<0成立的最大SKIPIF1<0值為SKIPIF1<0故選：C8.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左，右焦點，過點SKIPIF1<0傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.2 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】設(shè)SKIPIF1<0，據(jù)雙曲線的定義可用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，構(gòu)造直角三角形可計算得SKIPIF1<0，并用勾股定理列出了SKIPIF1<0，進而可求SKIPIF1<0.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，進而SKIPIF1<0.過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.如圖：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A【點睛】（1）焦點三角形為條件求圓錐曲線的離心率，常利用圓錐曲線的定義；（2）求圓錐曲線的離心率，常利用有關(guān)三角形建立關(guān)于SKIPIF1<0的齊次等式，再化為SKIPIF1<0的等式可求；（3）此題的關(guān)鍵是作SKIPIF1<0得直角三角形，即可求出邊長，又可用來建立SKIPIF1<0的齊次等式.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0分別為平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0不重合），并且直線SKIPIF1<0均不在平面SKIPIF1<0內(nèi)，那么下列說法中正確的有（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】【分析】由空間向量的位置關(guān)系對選項逐一判斷，【詳解】已知直線SKIPIF1<0不在平面SKIPIF1<0內(nèi)，則SKIPIF1<0，故A正確，D錯誤，由空間向量的位置關(guān)系得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B，C正確，故選：ABC10.已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為實數(shù)，公比為q，則下列結(jié)論正確的是（）A.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，可判斷A、B、C、D的結(jié)論是否正確．【詳解】顯然SKIPIF1<0.A：因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此本選項正確；B：由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，因此本選項正確；C：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此本選項正確；D：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此本選項不正確.故選：ABC.11.以下關(guān)于圓錐曲線的命題中，其中是真命題的有（）A.雙曲線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有相同的焦點B.過雙曲線SKIPIF1<0的右焦點且被雙曲線截得的弦長為10的直線共有2條C.設(shè)A，B是兩個定點，k是非零常數(shù)，若SKIPIF1<0，則動點P的軌跡是雙曲線的一支D.動圓P過定點SKIPIF1<0且與定直線l：SKIPIF1<0相切，則圓心P的軌跡方程是SKIPIF1<0【答案】AD【解析】【分析】求出雙曲線與橢圓的焦點坐標(biāo)即可判斷A；求出雙曲線的實軸長及過右焦點的直線垂直x軸時所截弦長即可判斷B；由雙曲線的定義即可判斷C；根據(jù)拋物線的定義即可判斷D．【詳解】對于A，雙曲線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，故A正確；對于B，由雙曲線SKIPIF1<0的方程知，右焦點SKIPIF1<0，實軸長為10，所以過右焦點與雙曲線左右兩支各交于一點且滿足弦長為10的直線只有1條；過右焦點的直線垂直x軸時，得兩交點坐標(biāo)為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，此時弦長為SKIPIF1<0，所以過右焦點與雙曲線右支相交于兩點且滿足弦長為10的直線有2條，綜上，過雙曲線的右焦點且被雙曲線截得的弦長為10的直線共有3條，故B錯誤；對于C，當(dāng)SKIPIF1<0時，動點P的軌跡是一條射線，當(dāng)SKIPIF1<0時，動點P的軌跡是雙曲線的一支，故C錯誤；對于D，因為動圓P過定點SKIPIF1<0且與定直線l：SKIPIF1<0相切，即P點到SKIPIF1<0的距離與到直線l：SKIPIF1<0的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可得，P點的軌跡是為以SKIPIF1<0為焦點，SKIPIF1<0為準線的拋物線，所以點P的軌跡方程為SKIPIF1<0，故D正確．故選：AD．12.已知SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左焦點，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0軸，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的另一個交點為SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0的最小值為2 B.SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0C.直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0為鈍角【答案】BC【解析】【分析】A項，先由橢圓與過原點直線的對稱性知，SKIPIF1<0，再利用1的代換利用基本不等式可得最小值SKIPIF1<0，A項錯誤；B項，由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點坐標(biāo)，得出面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)最值；C項，由對稱性，可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則可得直線SKIPIF1<0的斜率與k的關(guān)系；D項，先由A、B對稱且與點P均在橢圓上，可得SKIPIF1<0，又由C項可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，排除D項.【詳解】對于A，設(shè)橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，A錯誤；對于B，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，B正確；對于C，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0SKIPIF1<0，C正確；對于D，設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率額為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D錯誤.故選：BC.【點睛】橢圓常用結(jié)論：已知橢圓SKIPIF1<0，AB為橢圓經(jīng)過原點的一條弦，P是橢圓上異于A、B的任意一點，若SKIPIF1<0都存在，則SKIPIF1<0.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.以點SKIPIF1<0為圓心，并且與y軸相切的圓的方程是__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)圓與SKIPIF1<0軸相切，圓的半徑等于點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離，求出半徑SKIPIF1<0，即可求出圓的標(biāo)準方程．【詳解】設(shè)圓方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓與SKIPIF1<0軸相切，SKIPIF1<0半徑SKIPIF1<0等于圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離，即SKIPIF1<0，因此，圓的方程為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.14.在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】665【解析】【分析】利用累加法求得SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0【詳解】依題意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<015.在拋物線SKIPIF1<0上任取一點SKIPIF1<0(不為原點)，SKIPIF1<0為拋物線的焦點，連接SKIPIF1<0并延長交拋物線于另一點SKIPIF1<0過SKIPIF1<0分別作準線的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0記線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0面積的最小值為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可變形為用SKIPIF1<0表示，設(shè)直線方程為SKIPIF1<0，與拋物線方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達定理得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，再由基本不等式可得最小值．【詳解】焦點為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0時面積最小為SKIPIF1<0.故答案為：4．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查拋物線中與焦點弦有關(guān)的面積問題．解題關(guān)鍵是把拋物線的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，這樣三角形的面積可以與焦點弦長聯(lián)系，從而利用韋達定理求解．16.對于數(shù)列SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列SKIPIF1<0的“加權(quán)和”SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)p的取值范圍為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，相減求得SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0的表達式，利用SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減可得：SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足上式，故SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)數(shù)列新定義可得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，相減求得SKIPIF1<0，從而可求得SKIPIF1<0的表達式，因此解答的關(guān)鍵就在于將SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立轉(zhuǎn)化為解SKIPIF1<0的問題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知雙曲線C的焦點在x軸上，焦距為4，且它的一條漸近線方程為SKIPIF1<0．（1）求C的標(biāo)準方程；（2）若直線SKIPIF1<0與雙曲線C交于A，B兩點，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）焦點在SKIPIF1<0軸上，設(shè)方程為SKIPIF1<0根據(jù)題意求出SKIPIF1<0即可（2）設(shè)點，聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，由韋達定理，然后利用弦長公式計算即可【小問1詳解】因為焦點在SKIPIF1<0軸上，設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準方程為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①又雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，②又SKIPIF1<0，③聯(lián)立上述式子解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求方程為SKIPIF1<0；【小問2詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<018.在①SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.問題：設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，_________.若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0.【答案】選擇見解析；SKIPIF1<0.【解析】【分析】若選①，由SKIPIF1<0得數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，進而得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)裂項相消求和法求和即可；若選②，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，進而根據(jù)SKIPIF1<0之間的關(guān)系得SKIPIF1<0，再根據(jù)裂項相消求和法求和即可；若選③，由SKIPIF1<0成等差數(shù)列，得SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故SKIPIF1<0，再根據(jù)裂項相消求和法求和即可.【詳解】解：若選①，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0SKIPIF1<0若選②，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0SKIPIF1<0若選③，因為SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)遞推關(guān)系（等差中項，SKIPIF1<0之間的關(guān)系等）證明數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，進而得SKIPIF1<0.考查運算求解能力，是中檔題.19.如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出SKIPIF1<0，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）以點SKIPIF1<0坐標(biāo)原點，以SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用SKIPIF1<0，可以求出SKIPIF1<0之間的關(guān)系，分別求出平面SKIPIF1<0、平面SKIPIF1<0的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角SKIPIF1<0的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角SKIPIF1<0的正弦值.【詳解】（1）證明：因為SKIPIF1<0是長方體，所以SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）[方法一]【三垂線定理】由（1）知，SKIPIF1<0，又E為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，為等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0．如圖2，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0相交于點O，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．作SKIPIF1<0，垂足為H，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0，由三垂線定理可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0平面角的補角．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0．[方法二]【利用平面的法向量】設(shè)底面邊長為1，高為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量．因為平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0為同一平面，故SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0成SKIPIF1<0角，所以二面角SKIPIF1<0，的正弦值為SKIPIF1<0．[方法三]【利用體積公式結(jié)合二面角的定義】設(shè)底面邊長為1，高為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等設(shè)為SKIPIF1<0．同理，A，E到平面SKIPIF1<0的距離相等，都為1，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．設(shè)點B到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由面積相等解得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0．[方法四]【等價轉(zhuǎn)化后利用射影面積計算】由（1）的結(jié)論知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正弦值與二面角SKIPIF1<0的正弦值相等．設(shè)SKIPIF1<0的中點分別為F，G，H，顯然SKIPIF1<0為正方體，所求問題轉(zhuǎn)化為如圖3所示，在正方體SKIPIF1<0中求二面角SKIPIF1<0的正弦值．設(shè)SKIPIF1<0相交于點O，易證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影．令正方體SKIPIF1<0的棱長SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．即二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0．[方法五]【結(jié)合（1）的結(jié)論找到二面角的平面角進行計算】如圖4，分別取SKIPIF1<0中點F，G，H，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0．過G作SKIPIF1<0，垂足為P，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0．易得E，F(xiàn)，G，H共面且平行于面SKIPIF1<0．由（1）可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因為E為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，且均為等腰三角形．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，四棱柱SKIPIF1<0為正方體．在SKIPIF1<0及SKIPIF1<0中有SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為直角三角形且全等．又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0（即SKIPIF1<0）的一個平面角．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0．[方法六]【最優(yōu)解：空間向量法】以點SKIPIF1<0坐標(biāo)原點，以SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量，所以SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的余弦值的絕對值為SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0.【整體點評】(2)方法一：三垂線定理是立體幾何中尋找垂直關(guān)系的核心定理；方法二：利用平面的法向量進行計算體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是垂直關(guān)系的進一步應(yīng)用；方法三：體積公式可以計算點面距離，結(jié)合點面距離可進一步計算二面角的三角函數(shù)值；方法四：射影面積法體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是將角度問題轉(zhuǎn)化為面積問題的一種方法；方法五：利用第一問的結(jié)論找到二面角，然后計算其三角函數(shù)值是一種常規(guī)的思想；方法六：空間向量是處理立體幾何的常規(guī)方法，在二面角不好尋找的時候利用空間向量是一種更好的方法.20.已知拋物線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點）．（1）求拋物線SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0的傾斜角互補，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）利用韋達定理法即求；（2）由題可求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再結(jié)合條件即得.【小問1詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故拋物線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；【小問2詳解】設(shè)SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.21.已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）分別求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0通項公式；（2）在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)組成一個公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，和等比數(shù)列的定義即可得出；利用已知條件和累乘法即可得出SKIPIF1<0的通項公式；（2）先利用已知條件得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0