高等代數(shù)(北大版第三版)習(xí)題答案

高等代數(shù)（北大*第三版）答案目錄第一章多項(xiàng)式第二章行列式第三章線性方程組第四章矩陣第五章二次型第六章線性空間第七章線性變換第八章—矩陣第九章歐氏空間第十章雙線性函數(shù)與辛空間注：答案分三部分，該為第三部分，其他請(qǐng)搜索，謝謝！第九章歐氏空間1.設(shè)是一個(gè)階正定矩陣,而,,在中定義內(nèi)積,證明在這個(gè)定義之下,成一歐氏空間；求單位向量,,…,，的度量矩陣；具體寫出這個(gè)空間中的柯西—布濕柯夫斯基不等式。解1)易見(jiàn)是上的一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，且(1)，(2)，(3)，(4)，由于是正定矩陣，因此是正定而次型，從而，且僅當(dāng)時(shí)有。2)設(shè)單位向量,,…,，的度量矩陣為，則=，，因此有。由定義，知，，，故柯西—布濕柯夫斯基不等式為

2.在中,求之間(內(nèi)積按通常定義)，設(shè):1),，2),，3),。解1)由定義,得，所以。2)因?yàn)椋?，，，所以?)同理可得,,,，所以。3.通常為的距離，證明；。證由距離的定義及三角不等式可得。4在R中求一單位向量與正交。解設(shè)與三個(gè)已知向量分別正交，得方程組，因?yàn)榉匠探M的系數(shù)矩陣A的秩為3，所以可令x，即。再將其單位化，則，即為所求。5．設(shè)是歐氏空間V的一組基，證明：如果使，那么。如果使對(duì)任一有，那么。證1)因?yàn)闉闅W氏空間V的一組基，且對(duì)，有，所以可設(shè)，且有即證。2)由題設(shè)，對(duì)任一總有，特別對(duì)基也有，或者，再由1)可得，即證。6設(shè)是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，證明： 也是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。證因?yàn)?，同理可得，另一方面，同理可得，即證也是三維歐氏空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。7.設(shè)也是五維歐氏空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,，其中,,，求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。解首先證明線性無(wú)關(guān).事實(shí)上，由，其中的秩為3，所以線性無(wú)關(guān)。將正交化，可得，，單位化，有，，，則為的標(biāo)準(zhǔn)正交基。8.求齊次線性方程組的解空間(作為的子空間)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。解由可得基礎(chǔ)解系為，，，它就是所求解空間的一組基。將其正交化，可得，，，再將單位化,可得，，，則就是所求解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。9.在R[X]中定義內(nèi)積為(f,g)=求R[X]的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基(由基1.出發(fā)作正交化)。解取R[X]的一組基為將其正交化,可得，，其中(，又因?yàn)椋?，，所以，同理可得，再將單位化，即得，，，，則即為所求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。10.設(shè)V是一n維歐氏空間,是V中一固定向量,1)證明:V是V的一個(gè)子空間；2)證明:V的維數(shù)等于n-1。證1)由于0因而V非空.下面證明V對(duì)兩種運(yùn)算封閉.事實(shí)上,任取則有(，于是又有(，所以。另一方面，也有(，即。故V是V的一個(gè)子空間。2)因?yàn)槭蔷€性無(wú)關(guān)的，可將其擴(kuò)充為V的一組正交基，且((，。下面只要證明:對(duì)任意的可以由線性表出，則的維數(shù)就是。事實(shí)上，對(duì)任意的，都有，于是有線性關(guān)系，且，但有假設(shè)知，所以，又因?yàn)椋?，從而有，再由的任意性，即證。11．1）證明：歐氏空間中不同基的度量矩陣是合同的。2）利用上述結(jié)果證明：任一歐氏空間都存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。證：1）設(shè)與是歐氏空間的兩組不同基，它們對(duì)應(yīng)的度量矩陣分別是和，另外，設(shè)到的過(guò)渡矩陣為，即，===，另一方面,令，則D的元素為，故的元素，即證。再由皆為V的基，所以C非退化，從而B(niǎo)與A合同。2）在歐氏空間V中，任取一組基，它的度量矩陣為其中，且度量矩陣A是正定的，又因?yàn)檎ň仃嚺c單位矩陣合同，即。于是只要，則由上面1）可知基的度量矩陣為E ，這就是說(shuō)，就是所求的標(biāo)準(zhǔn)正交基。12．設(shè)是n維歐氏空間V中的一組向量，而證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)線性無(wú)關(guān)。證設(shè)有線性關(guān)系，將其分別與取內(nèi)積，可得方程組，由于上述方程組僅有零解的充要條件是系數(shù)行列式不等于0，即證。13．證明：上三角的正交矩陣必為對(duì)角矩陣，且對(duì)角線上元素為+1或-1。證設(shè)為上三角矩陣，則也是上三角矩陣。由于A是正交陣，所以，即，所以，因而為對(duì)角陣。再由知，即證或-1。14．1）設(shè)A為一個(gè)n階矩陣，且，證明A可以分解成A=QT，其中Q是正交矩陣，T是一上三角矩陣，且，并證明這個(gè)分解是唯一的；2)設(shè)A是n階正交矩陣，證明存在一上三角矩陣T，使。證1)設(shè)A的n個(gè)列向量是由于，因此是線性無(wú)關(guān)的。從而它們也是V的一組基，將其正交單位化，可得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為，其中，，其中。即，令，則T是上三角矩陣,且主對(duì)角線元素。另一方面，由于是n維列向量，不妨記為，且令，則有,由于是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，故是正交矩陣。再證唯一性，設(shè)是兩種分解，其中是正交矩陣，是主對(duì)角線元素大于零的上三角陣，則，由于也是正交矩陣,且為上三角陣，因此,是主對(duì)角線元為1或-1的對(duì)角陣，但是的主對(duì)角線元大于零，所以的主對(duì)角線元只能是1，故，即證。進(jìn)而有,從而分解是唯一的。2)因?yàn)槭钦ǖ?，所以與合同，即存在可逆陣使,再由1)知,其中是正交矩陣為三角陣，所以。15.設(shè)是歐氏空間中一單位向量，定義，證明:1)是正交變換,這樣的正交變換稱為鏡面反射；2)是第二類的；3)如果維歐氏空間中正交變換以1作為一個(gè)特征值,且屬于特征值1的特征子空間的維數(shù)為，那么是鏡面反射。證:1),有:，所以是線性變換。又因?yàn)?，注意到，?此即是正交變換。2)由于是單位向量，將它擴(kuò)充成歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,則，即，所以是第二類的。3)的特征值有個(gè)，由已知有個(gè)特征值為1，另一個(gè)不妨設(shè)為，則存在一組基使，因?yàn)槭钦蛔儞Q，所以，但，所以，于是現(xiàn)令，則是單位向量，且與正交，則為歐氏空間的一組基。又因?yàn)?，，，所以，即證。16.證明：反對(duì)稱實(shí)數(shù)矩陣的特征值是零或純虛數(shù)。證:設(shè)是屬于特征值的特征向量，即，則，于是，令，可得，即證。17.求正交矩陣使成對(duì)角形，其中為1)2)3)4)5)解1）由，可得A的特征值為。對(duì)應(yīng)的特征向量為將其正交單位化，可得標(biāo)準(zhǔn)正交基為故所求正交矩陣為且。2）由，可得 A的特征值為。的特征向量為的特征向量為正交化，可得，再單位化，有:，于是所求正交矩陣為且。3）由，可得 A的特征值為，相應(yīng)的特征向量為，，將其正交單位化，可得標(biāo)準(zhǔn)正交基為，，故所求正交矩陣為且。4）由，可得A的特征值為。相應(yīng)的特征向量為，，正交化后得，，再單位化，可得，，故所求正交矩陣為且。5）由，可得的特征值為。相應(yīng)的特征向量為，，將其正交化，可得，，再單位化后，有，，故所求正交矩陣為且。18用正交線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：1）；2）；3）；4）。解1)設(shè)原二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為A，則，且A的特征多項(xiàng)式為，特征值為，相應(yīng)的特征向量為，，單位化后，有，令X=TY，其中，則。2)原二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，且A的特征多項(xiàng)式為，特征值為。相應(yīng)的特征向量為，正交化,可得，再單位化,有，令X=TY，其中，則。3)原二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，且A的特征多項(xiàng)式為，特征值為。相應(yīng)的特征向量為，，標(biāo)準(zhǔn)正交基為，，令X=TY，其中，則。4)原二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，且A的特征多項(xiàng)式為，特征值為。相應(yīng)的特征向量為，，標(biāo)準(zhǔn)正交基為，，令X=XY，其中，故。19.設(shè)A是n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：A正定的充分必要條件是A的特征多項(xiàng)式的根全大于零。證明二次型經(jīng)過(guò)正交變換X=TY，可使，其中為A的特征根。由于A為正定的充分必要條件是上式右端的二次型為正定，而后者為正定的充分必要條件是，即證。20.設(shè)A是n級(jí)實(shí)矩陣，證明：存在正交矩陣T使為三角矩陣的充分必要條件是A的特征多項(xiàng)式的根是實(shí)的。證明為確定起見(jiàn)，這里三角矩陣不妨設(shè)為上三角矩陣。先證必要性，設(shè)，其中T，A均為實(shí)矩陣，從而都是實(shí)數(shù)。又因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣鞫囗?xiàng)式，所以從而A的n個(gè)特征根均為實(shí)數(shù)。再證充分性，設(shè)為A的所有不同的實(shí)特征根，則A與某一若爾當(dāng)形矩陣J相似，即存在可逆實(shí)矩陣，使，其中，而，由于都是實(shí)數(shù),所以J為上三角實(shí)矩陣。另一方面，矩陣可以分解為，其中是正交矩陣，為上三角矩陣，于是，即。由于都是上三角矩陣，因而它們的乘積也為上三角矩陣，即證充分性。21.設(shè)A，B都是上三角實(shí)對(duì)稱矩陣，證明；存在正交矩陣T使的充分必要條件是A，B的特征多項(xiàng)式的根全部相同。證明必要性是顯然的，因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦怠，F(xiàn)證充分性，設(shè)是A的特征根，則它們也是B的特征根。于是存在正交矩陣X和Y，使，所以YXAXY=B。令T=XY則T也是正交矩陣，從而TAT=B,，即證。22.設(shè)A是n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且A=A，證明：存在正交矩陣T使得TAT=。證設(shè)是A的任一特征值，是屬于的特征向量，則A=,A=A()=A=，由于A=A=(-)=0，又因?yàn)椋?=0，即得=0,=1。換句話說(shuō)，A的特征值不是1就是0。故存在正交矩陣T，使TAT=。上式中，對(duì)角線元素中1的個(gè)數(shù)為A的特征值1的個(gè)數(shù)，0的個(gè)數(shù)是A的特征值0的個(gè)數(shù).。23.證明：如果是n維歐氏空間的一個(gè)正交變換，那么的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間。證設(shè)W是的任意一個(gè)不變子空間，現(xiàn)證W也是的不變子空間。任取W,下證W。取，，是W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，再擴(kuò)充成V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為，，，，，，則W=L(，，),W=L(，，)。因?yàn)槭钦蛔儞Q，所以，也是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，由于W是——子空間，，W，且為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，于是，，W，所以=k++kW。24.歐氏空間V中的線性變換稱為反對(duì)稱的，如果對(duì)任意，V，有（，）=—（，）。證明： 1)為反對(duì)稱的充分必要條件是：在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為反對(duì)稱的。2)如果V是反對(duì)稱線性變換的不變子空間，則V也是。證1）必要性。設(shè)是反對(duì)稱的，，，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。則 =k+k++k(I=1,2,,n)，(,)=k,(,)=k，由反對(duì)稱知(,)=—（，）k=--k，從而，故(，，)=(，，)=(，，)，充分性。設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)正交基，，下的矩陣為，有已知，有(,)=—（，），對(duì)任意，V，設(shè)，，則（，）=（）=。同理，故（，）=—（，），所以是反對(duì)稱的。2）任取V，可證V，即V，事實(shí)上，任取V，由于V是子空間，因此，而V，故（，）=0。再由題設(shè)，是反對(duì)稱的，知（，）=—（，）=0，由的任意性，即證V。從而V也是A子空間。25.證明:向量V是向量在子空間V上的內(nèi)射影的充分必要條件是：對(duì)任意有。證必要性，設(shè)V是在V上的內(nèi)射影，則,，26設(shè)從而再證第二式.用 ，所以。 27.求下列方程的最小二乘解 ，用“到子空間距離最短的線是垂線”的語(yǔ)言表達(dá)出上面方程的最小二乘解的幾何意義，由此列出方程并求解(用三位有效數(shù)字計(jì)算)。 解 令 ， ，那么“到子空間距離最短的線是垂線”的意思就是。 令C=B-Y，由最小二乘法可得，其中 ，，即 ，解之得。三、補(bǔ)充題參考解答證明：正交矩陣的實(shí)特征根為。證 設(shè)A正交矩陣A是任一實(shí)特征值是，是A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，則 A。于是。注意到2.證明：奇數(shù)維歐氏空間中的旋轉(zhuǎn)一定以1作為它的一個(gè)特征值。證 因?yàn)锳是正交矩陣,,則=-。即。3.證明：第二類正交變換一定以-1作為它的一個(gè)特征值。證 當(dāng)即-。4.設(shè)那么它一定是線性的,因而它是正交變換。證 因?yàn)?，所? ，故 。又因?yàn)? =，所以。即證。5．和。證：下證充分性。設(shè)，則有，于是，另一方面，因，于是，在，從而即證。再將:，則由充分性假設(shè)兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基和則存在可逆線性變換，使，且（T=(=(==(，即（I=1,2,，于是，由，有故==(I=1,2,，即證。6．是n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且證明：存在正交矩陣T使得。證證法1因?yàn)锳是n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在n級(jí)矩陣Q，使，其中為的n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)列出）。于是又因?yàn)樗浴Ｒ虼擞?（I=1,2,n），不妨設(shè)=1的重?cái)?shù)為r，則的重?cái)?shù)為n-r。只要將集中排列在前面，則有正交矩陣T，使。證法2因?yàn)閚級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且若令g(x)=則g(x)為A的零多項(xiàng)式，且它無(wú)重根，故A相似于對(duì)角矩陣，設(shè)為A的任一特征值，則。不妨設(shè)的重?cái)?shù)為n-r。只要將集中排列在前面，則有正交矩陣，使。7．設(shè)f()=是一實(shí)二次型，是A的特征多項(xiàng)式的根，且。證明：對(duì)任意一個(gè)X,有。證存在正交矩陣Q，使，其中為的個(gè)特征值。作正交變換則實(shí)二次型可化為，由題設(shè)有，于是，且，故。8．設(shè)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，是的特征多項(xiàng)式的根，證明：存在中的非零向量使的。證設(shè)是矩陣A的特征值，則存在非零向量，使，其中，于是有，即證。9．1）設(shè)是歐氏空間中兩個(gè)不同的單位向量，證明存在一鏡面反射，使。2）證明：n維歐氏空間中任一正交變換都可以表成一系列鏡面反射的乘積。證1）記n維歐氏空間為V，當(dāng)為歐氏空間為V的單位向量時(shí)，由，所確定的正交變換A是一個(gè)鏡面反射，代入單位向量，有,若記，則，因?yàn)槭菤W氏空間中兩個(gè)不同的單位向量，所以，故可解得,其中，即，于是只要取，就有=1，即為歐氏空間中的單位向量，從而是一個(gè)鏡面反射，且==。2)設(shè)是維歐氏空間的任一正交變換，取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,,，則=，=，=也是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。此時(shí)，若，則是一個(gè)恒等變換，只要作鏡面反射，則有且，結(jié)論成立。若與不全相同，不妨設(shè),則為兩個(gè)不同的單位向量，由1)知,存在鏡面反射,使.令,若,則,結(jié)論成立。否則可設(shè)，再作鏡面反射：,其中,則且，如此繼續(xù)下去，設(shè)，則，其中都是鏡面反射，即證。10.設(shè)是兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，且是正定矩陣，證明:存在一個(gè)實(shí)可逆矩陣使與同時(shí)為對(duì)角形。證:因?yàn)槭钦ň仃嚕源嬖谝粋€(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣，使:，其中為階單位矩陣，又因?yàn)檫€是階實(shí)對(duì)稱矩陣，所以也存在一個(gè)階正交矩陣，使，其中為的特征值，于是，只要令，就有,且，即證。11.證明：酉空間中兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣是酉矩陣。證:設(shè)與分別為酉空間中兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且則。于是，即所以過(guò)渡矩陣是酉矩陣。12．酉矩陣的特征值根的模為1。證因?yàn)橛暇仃嘇對(duì)應(yīng)的變換是酉變換，設(shè)的任一特征值是，是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則（，）=（=（）=，注意到（，），因而有=1，即。13．設(shè)A是一個(gè)n級(jí)可逆復(fù)矩陣，證明可以分解成A=UT，其中U是酉矩陣，T是一個(gè)上三角矩陣：T=，其中對(duì)角元素都是正實(shí)數(shù)，并證明這中分解是唯一的。證設(shè)A=（，其中為A的列向量，則由A可逆知向量組線性無(wú)關(guān)。由施密特正交化方法，可得，其中單位化，可得，則是一組正交基，從而U=（）為又酉矩陣，且可解得，其中T為上三角矩陣，且為正實(shí)數(shù)。再證分解的唯一性，設(shè)還有酉矩陣及對(duì)角線元素都是正實(shí)數(shù)的上三角形矩陣，使得，則，于是既是一個(gè)酉矩陣，又是一個(gè)上三角形矩陣，從而是對(duì)角矩陣，但的對(duì)角線元素都是正實(shí)數(shù)，即，再由是酉矩陣，知是單位矩陣，故，即證。14．證明：埃爾米特矩陣的特征值是實(shí)數(shù)，并且它的屬于不同特征值的特征向量相互正交。證：設(shè)是埃爾米特矩陣的任一特征值，是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則有，于是，因此有，即，但，故，即證為實(shí)數(shù)，另外是的任意兩個(gè)不同的特征值，分別為的對(duì)應(yīng)于和的特征向量，則有：，由于，因此，但，故（，即證的屬于不同特征值的特征向量相互正交。第十章雙線性函數(shù)與辛空間設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)三維線性空間，，，是它的一組基，f是V上的一個(gè)線性函數(shù)，已知f(+)=1,f(-2)=-1,f(+)=-3求f(X+X+X).解因?yàn)閒是V上線性函數(shù)，所以有f()＋

f()=1f()-2f()=-1f()+f()=-3解此方程組可得f()＝4，f()＝－7，f()＝－3于是f(X+X+X).＝Xf()＋Xf()＋Xf()＝4X－7X－3X設(shè)V及，，同上題，試找出一個(gè)線性函數(shù)f,使f(+)＝f(-2)=0,f(+)=1解設(shè)f為所求V上的線性函數(shù)，則由題設(shè)有f()＋

f()=0f()-2f()=0f()+f()=1解此方程組可得f()＝－1，f()＝2，f()＝1于是aV,當(dāng)a在V的給定基，，下的坐標(biāo)表示為a=X+X+X時(shí)，就有f(a)=f(X+X+X)=Xf()＋Xf()＋Xf()=-X+2X+X設(shè)，，是線性空間V的一組基，f1,f2,f3是它的對(duì)偶基，令1＝－，2＝＋－，3＝＋試證：1，2，3是V的一組基，并求它的對(duì)偶基。證：設(shè)（1，2，3）＝（，，）A由已知，得A＝因?yàn)椤?，所以1，2，3是V的一組基。設(shè)g1,g2,g3是1，2，3得對(duì)偶基，則（g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）＝（f1,f2,f3）因此g1=f2-f3g2=f1-f2+f3g3=-f1+2f2-f34.設(shè)V是一個(gè)線性空間，f1,f2,…fs是V中非零向量，試證：∈V，使fi()≠0(i=1,2…,s)證：對(duì)s采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)s＝1時(shí)，f1≠0,所以∈V，使fi()≠0，即當(dāng)s＝1時(shí)命題成立。假設(shè)當(dāng)s=k時(shí)命題成立，即∈V，使fi()=i≠0(i=1,2…,k)下面證明s=k+1時(shí)命題成立。若f()≠0,則命題成立，若f()＝0，則由f≠0知，一定∈V使f()＝b,設(shè)fi()=di(i=1,2…,k),于是總可取數(shù)c≠0，使ai+cdi≠0(i=1,2…,k)令，則∈V，且fi()=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)f()＝cb≠0即證。5．設(shè)1，2，…s是線性空間V中得非零向量，試證：fi()≠0(i=1,2…,s)證：因?yàn)閂是數(shù)域P上得一個(gè)線性空間，V是其對(duì)偶空間，若取定V中得一個(gè)非零向量，則可定義V的一個(gè)線性函數(shù)如下：(f)=f()(f∈V)且是V的對(duì)偶空間（V)中的一個(gè)元素，于是，V到其對(duì)偶空間的對(duì)偶空間（V)的映射→是一個(gè)同構(gòu)映射，又因?yàn)?，2，…s是V中的非零向量，所以1，2，…s對(duì)偶空間V的對(duì)偶空間（V)中的非零向量，從而由上題知，f∈V使f()＝i(f)≠0(i=1,2…,s)即證.6.設(shè)V＝P[x],對(duì)P(x)=C0+C1x+C2x∈V,定義f(p(x))=f(p(x))=f(p(x))=試證f，f，f都是V上線性函數(shù)，并找出V的一組基p1(x),p2(x),p3(x),使f，f，f是它的對(duì)偶基。證：先證是V上線性函數(shù)，即f∈V，對(duì)g(x),h(x)∈V,k∈P,由定義有f（g(x)＋h(x)）＝＝＋＝f(g(x))+f(h(x))f(kg(x))==k=kf(g(x))即證f。同理可證f，f∈V。再設(shè)p1(x),p2(x),p3(x)為V的一組基，且f，f，f是它的對(duì)偶基。若記P1(x)=C0+C1x+C2x則由定義可得f(p(x))=＝C0+C1+C2=1f(p(x))==2C0+2C1+C2=0f(p(x))==-C0+C1-C2=0解此方程組得C0=C1=1,C2=-故P1(x)=1+x-x同理可得p2(x)=-+xp3(x)=-+x-x7.設(shè)V是個(gè)n維線性空間，它得內(nèi)積為（，），對(duì)V中確定得向量，定義V上的一個(gè)函數(shù)：（）=（，）證明是V上的線性函數(shù)證明V到V的映射是V到V的一個(gè)同構(gòu)映射（在這個(gè)同構(gòu)下，歐氏空間可看成自身的對(duì)偶空間。）證：1）先證明是V上的線性函數(shù)，即∈V，對(duì)1，2∈V，k∈P，由定義有：（1＋2）＝（，1＋2）＝（，1）＋（，2）＝（1）＋（2）（k1）=（，k1）=k（，1）=k（1）故是V上的線性函數(shù)。2）設(shè)，…是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且對(duì)∈V由定義（）＝（）(i=1,2…,n)知（）＝（，）＝于是，…是，…的對(duì)偶基，從而V到V的映射是V與V中兩基間的一個(gè)雙射因此它也是V到V的一個(gè)同構(gòu)映射8．設(shè)是數(shù)域P上N維線性空間V得一個(gè)線性變換。1）證明，對(duì)V上現(xiàn)行函數(shù)f，f仍是V上的線性函數(shù)；2）定義V到自身的映射為f→f證明是V上的線性變換；3）設(shè)，…是V的一組基，f，f，f是它的對(duì)偶基，并設(shè)在，…的矩陣為A。證明：在f，f，…f下的矩陣為A′。證：1）對(duì)∈V，由定義知（f）（）＝f（（））是數(shù)域P中唯一確定的元，所以f是V到P的一個(gè)映射。又因?yàn)?，∈V，k∈P,有（f）（＋）＝f（（＋））＝f（（）＋（））＝（f）（）＋（f）（）（f）（k）＝f（（k））=f（k（））=kf（（））=k（f）（）所以f是V上線性函數(shù)。2）對(duì)f∈V，有（f）=f∈V,故是V上的線性變換。3）由題設(shè)知（，…）＝（，…）A設(shè)（f，f，…f）＝（f，f，…f）B其中A=(a),B=(b),且f，f，…f是，…的對(duì)偶基，于是f＝（f），所以a=b(i,j=1,2,…n),即證在f，f，…f下的矩陣為B=A′.9.設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)線性空間，f，f，…f是V上的n個(gè)線性函數(shù)。1）證明：下列集合W＝{∈V︱f()=0(1≤i≤n)}是V的一個(gè)子空間，W成為線性函數(shù)f，f，…f的零化子空間；2）證明：V的任一子空間皆為某些線性函數(shù)的零化子空間。證：1）因?yàn)閒，f，…f是V上的n個(gè)線性函數(shù)，所以f∈V(1≤i≤n)，且f(0)=0(i=1,2,…n)，因而0∈W，即證W非空。又因?yàn)?，∈V，∈P，有f(＋)＝f()＋f()＝0(i=1,2,…n)f()＝f()＝0所以＋∈W，∈W，即證W是V的一個(gè)子空間。2）設(shè)W是V的任一子空間，且dim（W）＝m,則當(dāng)m＝n時(shí)，只要取f為V的零函數(shù)，就有W＝V＝{∈V︱f()=0}所以W是f的零化子空間。當(dāng)m<n時(shí)，不妨設(shè)，…為W的一組基，將其擴(kuò)充為V的一組基，…，，…，并取這組基的對(duì)偶基f，f，…f的后n-m個(gè)線性函數(shù)f,f,…,f,則W=V={∈V︱f()=0(m+1≤i≤n)}即W是f,f,…,f的零化子空間，事實(shí)上，若令U＝{∈V︱f()=0(m+1≤i≤n)}則對(duì)＝a+a+…+a∈W,有f()=f()=…=f()=0因而∈U，即WU。反之，＝b+b+…+b+b+…b∈U，由f()=f()=…=f()=0，可得b＝b=…=b=0,因而＝b+b+…+b+b+…b∈W，即UW，故U＝W。10．設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)m極矩陣，定義P上的一個(gè)二元函數(shù)f(X,Y)=tr(X′AY)(X,Y∈P)證明f(X,Y)是P上的雙線性函數(shù)；求f(X,Y)在基E,E,…,E,E,…,E,…,E,E,…,E下的度量矩陣。證：1）先證f(X,Y)是P上的雙線性函數(shù)，對(duì)X,Y,Z∈P,k,k∈P由定義有f(X,kY+k,Z)=tr(X′A(kY+kZ))=ktr(X′AY)+ktr(X′AZ)=kf(X,Y)+kf(Y,Z)因而f(X,Y)是P上的雙線性函數(shù)。2）由EAE＝aE知f(E,E)=tr(EAE)=tr(aE)=以下設(shè)f(X,Y)在基E,E,…,E,E,…,E,…,E,E,…,E下的度量矩陣為B，則B=其中，E為n階單位矩陣。11．在P中定義一個(gè)雙線性函數(shù)f(X,Y),對(duì)X＝（x1,x2,x3,x4）,Y=(y1,y2,y3,y4)∈P有f(X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y31)給定P的一組基＝（1，－2，－1，0），＝（1，－1，1，0）＝（－1，2，1，1），＝（－1，－1，0，1）求f(X,Y)在這組基下的度量矩陣；2）另取一組基，，，，且（，，，）＝（，，，）T其中T＝求f(X,Y)在這組基下的度量矩陣。解1）設(shè)f(X,Y)在給定基，，，下的度量矩陣為A=(a),則A＝其中a＝f(,).設(shè)f(X,Y)在給定基，，，下的度量矩陣為B,則由（，，，）＝（，，，）T可得B=T′AT=12.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的線性空間，其維數(shù)n>=2,f()是V上的一個(gè)對(duì)稱雙線性函數(shù)。1）證明V中有非零向量使f(，)＝02）如果f()是非退化的，則必有線性無(wú)關(guān)的向量，滿足f(，)＝1f(，)＝f(，)＝0證1）設(shè)，…為復(fù)數(shù)域上N維線性空間V的一組基，f()是V上的對(duì)稱雙線性函數(shù)，則f()關(guān)于基，…的度量矩陣A為對(duì)稱矩陣，于是，存在非退化的矩陣T，使T′AT==B若令（，，，…）＝（，…）T則，，，…也是V的一組基，且f()關(guān)于基，，，…的度量矩陣為B，因此＝X+X+…X,=Y+Y+…Y∈V,有f(,)=XY+XY+…+XYf(,)=X+X+…+X(0≤r≤n)故而當(dāng)r=0時(shí)，對(duì)V中任一非零向量，恒有f(,)=0；當(dāng)r=1時(shí)，只要取＝≠0，就有f(,)=0；當(dāng)r≥2時(shí)，只要?。絠+≠0，就有f(,)=0；2)如果f()是非退化的，則f(,)=XY+XY+…+XY因而只要?。?，=－就有f(,)=（）＋（）（－）＝1f(,)=（）＋（）＝0f(,)=（）＋（－）＝0即證。13．試證：線性空間V上雙線性函數(shù)f()是反對(duì)稱的充要條件是：對(duì)任意的∈V，都有f()=0證：必要性。因?yàn)閒()是反對(duì)稱的，所以∈V，恒有f()=－f()故f()=0充分性。因?yàn)閒()是雙線性函數(shù)，所以∈V，有f(+,+)=f()=f(,)=0故f()＝－f(,)即f()是反對(duì)稱的。14．設(shè)f()是V上對(duì)稱或反對(duì)稱的雙線性函數(shù)，是V中的兩個(gè)向量，若f()＝0，則稱正交，再設(shè)K是V的一個(gè)真自空間，證明：對(duì)K必有0∈K+L()使f(,)＝0對(duì)所有∈K都成立證明：1）先證f()是對(duì)稱的雙線性函數(shù)的情形。因?yàn)镵是V的子空間，所以f()是K上的對(duì)稱雙線性函數(shù)，設(shè)dim（K）＝r則f()關(guān)于K的任意一組基的度量矩陣皆為對(duì)稱矩陣，于是，必存在K的一組基，…，使f()在這組基下的度量矩陣為對(duì)角矩陣D＝diag(d,d,…d)只要令＝＋＋…－且當(dāng)d=0(1≤i≤r)時(shí)，就刪除d相應(yīng)的項(xiàng)，則0∈K+L()，于是對(duì)任意∈K,恒有f(,)＝02）再證f()是反對(duì)稱雙線性函數(shù)的情形，首先，若對(duì)給定K，若存在∈K，使f(,)=0,則可令＝，＝，使得f(，)=1.又因?yàn)镵+L()是V的子空間，所以f()也是K+L()上的反對(duì)稱雙線性函數(shù)，于是可將，擴(kuò)充為K+L()的一組基：，，，，…，，，…使故而當(dāng)s≠0時(shí)，只要取＝，則對(duì)∈K，恒有f(,)=0;當(dāng)s=0時(shí)，只要取＝，則由＝，K=L(，，，，…，),對(duì)∈K，也有f(,)=0。其次，若對(duì)給定的K，，及任意∈K，使f(,)=0,則只要?。郊纯?。15．設(shè)V與f()同上題，K是V的一個(gè)子空間，令=1)試證K是 V的子空間（K稱為K的正交補(bǔ)）；2）試證：如果K∩K＝{0},則V＝K＋K證：1）因?yàn)椤蔏，恒有f(0,)=0,所以0∈K，即K非空。另一方面，，∈K，k∈P,∈K，有f(+,)=f(,)+f(,)=0f(k,)=kf(,)=0故+，k∈K，從而K是V的子空間。2）由于K和K都是V的子空間，知K+KV不妨設(shè)K是V的一個(gè)真子空間，∈V,若∈K，則證畢，若K，則存在0∈K+L()，使f(,)=0（∈K）于是∈K。又因?yàn)椋剑玨(∈K,k∈P)顯然K0,否則＝＝K∩K＝{0}從而＝＝0，這是不可能的。因此有＝－＋∈K+K故VK+K。即證。16．設(shè)V，，K同上題，并設(shè)f(,)限制，試證：V＝K+K的充要條件是f(,)在V上是非退化的.證：必要性。設(shè)V＝K+K，且f(,)＝0（∈K）下證＝0，設(shè)＝+，∈K，∈K，則∈K，有0＝f(,)＝f(+,)＝f(,)＋f(,)＝f(,)由于f(,)在K上是非退化的，故＝0，從而＝∈K同理，∈K，由f(,)＝0可得∈（K），但K∩K＝{0}因而得知＝0。充分性：設(shè)∈K∩K，若≠0，則只要將擴(kuò)充為一組基，，…由于∈K，因而必有于是，∈K，皆有f(,)＝0，這與f(,)限制在K上非退化矛盾，所以＝0，也就是K∩K＝{0}由此即證V=K+K.17.設(shè)f(,)是N維線性空間V上的非退化對(duì)稱雙線性函數(shù)，對(duì)V中的一個(gè)元素定義V中的一個(gè)元素：（）＝f(,)（∈V）試證：1）V到V的映射→是一個(gè)同構(gòu)映射。2）對(duì)V的每組基，…，有V的唯一的一組基，，，使f(,)＝如果V是復(fù)數(shù)域上的N維線性空間，則有一組基，，…，，使＝(i=1,2…n)證：1）因?yàn)閒(,)是N維線性空間V上的非退化對(duì)稱雙線性函數(shù)，所以存在V的一組基，…，使f(,)=再由V的定義作，…∈V，設(shè)有線性關(guān)系k+k+…+k=0則0＝0（）＝（k+k+…+k）（）＝k（）＋k（）+…+k（）＝kf(,)+kf(,)+…+kf(,)=kd(i=1,2…n)但d≠0(i=1,2…n)，故