第11講-完全平方數(shù)

完全平方數(shù)一天，小狐貍偷吃了母雞媽媽生的蛋，動(dòng)物之家的治安隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)大灰熊要懲罰小狐貍，小狐貍怕被打得太慘，對(duì)大灰熊說(shuō)：“我犯了錯(cuò)，就要接受懲罰。這樣吧，灰熊大哥，961有多少個(gè)約數(shù)你就打我多少下，你看怎么樣？〞大灰熊摸摸腦袋，961！應(yīng)該不少吧，就點(diǎn)點(diǎn)頭容許了，你知道小狐貍最后被打了多少下嗎？解：961=31×31故961有3個(gè)約數(shù)，小狐貍被打3下。知識(shí)要點(diǎn)正方形的面積等于它的邊長(zhǎng)的平方，如果給出的正方形邊長(zhǎng)數(shù)為自然數(shù)，那么它的面積就是一個(gè)完全平方數(shù)。用字母表示，如果自然數(shù)A可以寫成兩個(gè)相等自然數(shù)B的乘積，即A=B2，那么A就是完全平方數(shù)。例如：所以，1、4、9、16、25就是完全平方數(shù)。完全平方數(shù)的性質(zhì)1、完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)時(shí)，它的每個(gè)不同質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次(即每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù))例如：16=24,25=52,36=22×32，49=72,…2、如果一個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)，這個(gè)數(shù)就是完全平方數(shù)。例如：9=3216=42=2425=5236=62=22×3212=22×324=23×3

3、完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只可能是0、1、4、5、6、9這個(gè)數(shù)。例1：計(jì)算自然數(shù)1—20的平方分別是多少？然后說(shuō)說(shuō)這20個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字有什么特點(diǎn)？解：這20個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只出現(xiàn)了0、1、4、5、6、9這六種情況，個(gè)位數(shù)字沒(méi)有可能出現(xiàn)2、3、7、8這四種情況。4、一個(gè)完全平方數(shù)如果是奇數(shù)，它一定能被4除余1，也一定能被8除余1，而一個(gè)完全平方數(shù)如果是偶數(shù)，它一定能被4整除。例如：9,25,49,81都可以被4除余1，也能被8除余1。4,16,36,64都可以被4整除。5、一個(gè)完全平方數(shù)的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)。解：9=32,9的約數(shù)的個(gè)數(shù)是2+1=3(個(gè))16=24,16的約數(shù)的個(gè)數(shù)是4+1=5(個(gè))25=52,25的約數(shù)的個(gè)數(shù)是2+1=3(個(gè))36=22×32,36的約數(shù)個(gè)數(shù)是(2+1)×(2+1)=9(個(gè))6、兩個(gè)完全平方數(shù)的積還是完全平方數(shù)，一個(gè)完全平方數(shù)與一個(gè)非完全平方數(shù)的積不是完全平方數(shù)。例如：9×16=32×42=(3×4)2=122=14425×36=52×62=(5×6)2=302=900隨堂練習(xí)下面是一個(gè)算式：這個(gè)算式的得數(shù)是否是某個(gè)數(shù)的平方？解：算式=1+2+6+24+120+720=873由于個(gè)位數(shù)字是3，所以算式的結(jié)果不是某個(gè)數(shù)的平方。例題2兩個(gè)質(zhì)數(shù)的平方的和等于9413，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少？解：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的平方和是9413，是奇數(shù)，那么這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的平方和應(yīng)該是一奇一偶。而一個(gè)質(zhì)數(shù)的平方是偶數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)一定是2.所以另一個(gè)質(zhì)數(shù)的平方和是9413-4=9409.估計(jì)：902=8100,1002=10000，所以這個(gè)質(zhì)數(shù)在90和100之間，只能是97.所以，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和97.隨堂練習(xí)三個(gè)質(zhì)數(shù)的平方的和等于390，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是多少？解：390是奇數(shù)，這三個(gè)質(zhì)數(shù)的平方的奇偶性可能是奇+奇+偶或者偶+偶+偶，而質(zhì)數(shù)的平方是偶數(shù)的話，這個(gè)質(zhì)數(shù)只能是2，不符合題意。所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)的平方的奇偶性只能是奇+奇+偶。所以，有一個(gè)質(zhì)數(shù)為2.另外2個(gè)質(zhì)數(shù)的平方和是390-4=386.52+192=386。這三個(gè)質(zhì)數(shù)和：2+5+19=26.完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)時(shí)，不同質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)是偶數(shù)次例題3利用分解質(zhì)因數(shù)的方法判斷以下數(shù)是否是完全平方數(shù)。7264144150169240解：分解質(zhì)因數(shù)：故64,144,169是完全平方數(shù)。例題4自然數(shù)24乘以自然數(shù)A的乘積等于B，要使B為完全平方數(shù)，那么A最小是多少？解：將24分解質(zhì)因數(shù)為：24=23×3因?yàn)橥耆椒綌?shù)分解質(zhì)因數(shù)時(shí)，不同質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)是偶數(shù)次，所以A至少要有一個(gè)2和一個(gè)3,即24×2×3=144=12×12所以，A最小是2×3=6.隨堂練習(xí)1485乘以一個(gè)自然數(shù)a，是一個(gè)完全平方數(shù)，a最小是多少？解：將1485分解質(zhì)因數(shù)是：1485=33×5×11

由完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)可知，a至少要有一個(gè)3、一個(gè)5和一個(gè)11，即3×5×11所以，a最小是3×5×11=165.完全平方數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)例題5求出以下完全平方數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)分別有多少個(gè)？43681256解：4的約數(shù)有：1、2、4共3個(gè)36的約數(shù)有：1,2,3,4,6,9,12,18,36共9個(gè)；