結(jié)構(gòu)可靠度講座-荷載統(tǒng)計分析

2結(jié)構(gòu)可靠度分析與估計2.1工程結(jié)構(gòu)可靠度基本概念

2.2一次二階矩方法2.1工程結(jié)構(gòu)可靠度基本概念

結(jié)構(gòu)設(shè)計的極限狀態(tài)與極限狀態(tài)方程

結(jié)構(gòu)可靠度計算的多重積分法結(jié)構(gòu)可靠指標2.1.1結(jié)構(gòu)設(shè)計的極限狀態(tài)與極限狀態(tài)方程結(jié)構(gòu)設(shè)計的極限狀態(tài)結(jié)構(gòu)的功能隨著設(shè)計條件的不同而變化，為了判別結(jié)構(gòu)的功能是否得到滿足，必須建立一個判別基準，在可靠度設(shè)計中，這個判別基準就是極限狀態(tài)。結(jié)構(gòu)整體的或部分的功能變化若超越某一基準狀態(tài)，致使其不能滿足設(shè)計規(guī)定的功能要求，這一基準狀態(tài)視為該功能的極限狀態(tài)。結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)通常采用約束值來表示，如結(jié)構(gòu)的應力或變形限值等。極限狀態(tài)方程

結(jié)構(gòu)設(shè)計借助功能函數(shù)實現(xiàn)極限狀態(tài)的數(shù)學描述;

結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)由一組基本設(shè)計變量構(gòu)成，并表示為式中稱為結(jié)構(gòu)設(shè)計的基本變量

結(jié)構(gòu)功能的狀態(tài)可分別表示為：

其中，結(jié)構(gòu)功能的極限狀態(tài)表示為

上式稱為結(jié)構(gòu)設(shè)計的極限狀態(tài)方程；是結(jié)構(gòu)可靠與失效邊界的數(shù)學描述；

也是結(jié)構(gòu)可靠度分析的基本出發(fā)點，可以是線性的或非線性的。

我國《工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標準》（GB50153-92）和《鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標準》（GB50216-94）等，將結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)分為承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)兩類。

1承載能力極限狀態(tài)是指結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達到最大承載能力或

達到不適于繼續(xù)承載的較大變形的狀態(tài)。

2正常使用極限狀態(tài)

是指結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達到使用功能上某一允許的限值狀態(tài)。2.1.2結(jié)構(gòu)可靠度計算的多重積分法基于結(jié)構(gòu)可靠度的定義，可以建立結(jié)構(gòu)可靠度的概率表達式，由（2-2）式可知，功能函數(shù)Z>0表示結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)，

該事件的概率就是結(jié)構(gòu)可靠度可表示為結(jié)構(gòu)失效概率表示為

如果功能函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)

可以確定，是相互獨立的則

現(xiàn)在我們分析一個簡單的例子。設(shè)功能函數(shù)Z有兩個互相獨立的隨機變量R和S，其中R一般代表結(jié)構(gòu)的抗力，S一般代表結(jié)構(gòu)的荷載效應，其相應的概率分布函數(shù)為

概率密度函數(shù)為fR(r)和fS(s),

結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為Z≡g(R,S)=R－S分析R＜S失效事件中的一個樣本兩個事件同時發(fā)生的概率為

結(jié)構(gòu)可靠度研究及其工程實踐經(jīng)驗表明，當失效概率

功能函數(shù)Z的概率分布FZ(z)的分布形式對于

有很敏感的影響，

采用不同的FZ(z)概率分布函數(shù)，會引起

值在幾個數(shù)量級的范圍內(nèi)變化。

＜

10-5時

當失效概率

≥10-3

時，

計算值對于FZ(z)的分布形式是很不敏感的，

合理的假定功能函數(shù)Z的概率分布形式，

值的計算結(jié)果大致都在同一數(shù)量級的范圍之內(nèi)，

對于工程結(jié)構(gòu)可靠度評估而言已足夠精確。

2.1.3結(jié)構(gòu)可靠指標

在一定的條件下，結(jié)構(gòu)可靠度也可通過結(jié)構(gòu)可靠指標來表達。

設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)的概率密度為

則結(jié)構(gòu)失效概率Pf可通過下式計算，功能函數(shù)Z=R－S遵從正態(tài)分布N

設(shè)結(jié)構(gòu)抗力R，荷載S是相互獨立的正態(tài)隨機變量

N

N

z

作標準化變量置換，即

失效概率

可表示為

以左的陰影部分面積等于失效概率Pf。

可靠度Ps可表示為β的函數(shù)，兩者之間存在一一對應的關(guān)系，

稱為可靠指標或結(jié)構(gòu)可靠指標。命則

例

計算基本變量為對數(shù)正態(tài)分布的可靠指標：設(shè)結(jié)構(gòu)的抗力與荷載R，S遵從對數(shù)正態(tài)分布；

R的均值和標準差為μR,σR；

S的均值和標準差為μs,σs；結(jié)構(gòu)可靠度的極限狀態(tài)方程可表示為

lnR-lnS=0或

其可靠指標由下式計算

式中

其中

從而得到當滿足；

或滿足

且

2.2一次二階矩方法

2.2.1概述計算結(jié)構(gòu)可靠度或失效概率，

一般無法得到失效概率的解析結(jié)果

在工程設(shè)計中要求重復執(zhí)行冗長繁復的運算是不可行的可通過基本變量的均值和標準差計算得出可靠指標，從而計算可靠指標和結(jié)構(gòu)可靠度

其條件是功能函數(shù)的概率分布必須遵從正態(tài)分布。

設(shè)其線性極限狀態(tài)方程為

；

式中

和是常數(shù)；

假定基本變量

是相互獨立的，則功能函數(shù)

Z的均值

標準差為式中

為基本變量的均值及標準差；

結(jié)構(gòu)可靠度指標為

如

遵從正態(tài)分布，其結(jié)構(gòu)失效概率的計算式為對于非線性功能函數(shù)的可靠度指標計算，從工程實用的觀點出發(fā)，一般是將非線性功能函數(shù)進行近似線性化處理。

具體的做法是將功能函數(shù)

展開成為Taylor級數(shù)并取其線性項作為的近似函數(shù)，從而按照線性功能函數(shù)條件來計算可靠度指標。

這種計算結(jié)構(gòu)可靠度的方法稱為一次二階矩方法。其特點是，結(jié)構(gòu)功能的函數(shù)是線性的，如果是非線性功能函數(shù)則近似的取其線性項；計算結(jié)構(gòu)可靠指標則是采用基本變量的一階矩和二階矩信息。

早期的近似線性化方法是將非線性功能函數(shù)

在其均值點處展開為Taylor級數(shù)

工程實際應用和研究分析表明，對于同一命題，隨著功能函數(shù)所取用的表達式不同，與之對應的可靠度指標計算結(jié)果可能出現(xiàn)顯著的差異為了避免此類問題的發(fā)生，需要在“失效面”

上的某一點展開功能函數(shù)

點稱為“設(shè)計驗算點”，或“驗算點”2.2.2一次二階矩均值法早期的一次二階矩方法，對于非線性功能函數(shù)的結(jié)構(gòu)可靠度分析，是將其在均值點展開為Taylor級數(shù)，并取線性項作為近似函數(shù)來計算結(jié)構(gòu)可靠指標。設(shè)極限狀態(tài)方程

將功能函數(shù)

在其均值點展開為Taylor級數(shù)并取線性項，即

式中，

表示偏導數(shù)在各基本變量均值點取值；

由概率論知Z的均值為標準差為

是相互獨立的基本變量

用一次二階矩法計算，其可靠指標為例2-3圓形截面直桿的設(shè)計公式為

其功能函數(shù)為結(jié)構(gòu)功能的極限狀態(tài)方程為

已知設(shè)計變量的統(tǒng)計值：拉力荷載P100kN，為常量；

材料抗拉強度R的均值和標準差為桿的直徑D的均值和標準差為

直桿的可靠指標

計算如下：在本例中P為常量無變異性，R和D是隨機變量功能函數(shù)在R,D的均值點取線性化近似表達式，有

式中表示功能函數(shù)對D,R的偏導數(shù)在其均值點取值；

根據(jù)本例題的參數(shù)，其值為

功能函數(shù)線性近似的平均值為

Z的方差為結(jié)構(gòu)可靠指標為如果變換極限狀態(tài)方程為

計算得出的可靠指標

，與以上的有顯著差別

隨著極限狀態(tài)方程形式的變化，其可靠指標的解答不是唯一的。2.2.3一次二階矩驗算點法

*將非線性功能函數(shù)在驗算點展開為Taylor級數(shù)

并取其一次項作為近似表達式，按照線性功能函數(shù)進行可靠度估計設(shè)非線性功能函數(shù)為在展開為Taylor級數(shù)并取線性項

式中表示功能函數(shù)對的偏導數(shù)在取值在失效面上，即故而如基本變量相互獨立，則功能函數(shù)的平均值為

功能函數(shù)的標準差差為結(jié)構(gòu)可靠指標為為了實施結(jié)構(gòu)可靠指標的迭代運算，需要將其表達式（2-33）進行變換設(shè)式中表示方向余弦，也稱為靈敏系數(shù)；其值在并滿足

將

式變換為可得到且上式可變換為

上式兩邊的右乘向量相等，可得出()

從而得到驗算點坐標值,()通過迭代法可解出()和

2.3當量正態(tài)分布對于非正態(tài)分布基本變量（相互獨立的）構(gòu)成的線性功能函數(shù)，

一方面

，可以通過直接積分的方法來計算可靠度（有時需進行數(shù)字積分）；

另一方面，也可將非正態(tài)分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為當量正態(tài)分布函數(shù)，

在此基礎(chǔ)上

計算可靠指標并借助可靠指標與可靠度的對應關(guān)系對結(jié)構(gòu)可靠度進行估計。當量正態(tài)分布的概念由Paloheimo（1974）和Rackwitz(1976)等人提出，并得到JCSS的采納和推薦（當量正態(tài)分布的方法又稱為JC法）；應用于我國《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標準》；《鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標準》；《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標準》；《港口工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標準》等設(shè)計規(guī)范。一個統(tǒng)計獨立的基本變量非正態(tài)分布函數(shù)變換為當量正態(tài)分布函數(shù)的準則是：在設(shè)計驗算點處，基本變量的非正態(tài)分布函數(shù)

及概率密度函數(shù)當量正態(tài)分布函數(shù)及當量概率密度函數(shù)的縱坐標相等。的原始非正態(tài)分布函數(shù)為其當量正態(tài)分布函數(shù)在設(shè)計驗算點