第四章 圖形的認(rèn)識(shí)

第四章圖形的認(rèn)識(shí)第1講角、相交線和平行線A級(jí)基礎(chǔ)題1．(2015年廣西百色)一個(gè)角的余角是這個(gè)角的補(bǔ)角的eq\f(1,3)，則這個(gè)角的度數(shù)是()A．30°B．45°C．60°D．70°2．(2015年廣西賀州)如圖4-1-10，下列各組角中，是對(duì)頂角的一組是()A．∠1和∠2B．∠3和∠5C．∠3和∠4D．∠1和∠5圖4-1-10圖4-1-113．(2014年廣東汕尾)如圖4-1-11，能判定EB∥AC的條件是()A．∠C＝∠ABEB．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABCD．∠A＝∠ABE4．(2015年廣東佛山)如圖4-1-12，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三條邊上的點(diǎn)，EF∥AC，DF∥AB，∠B＝45°，∠C＝60°，則∠EFD＝()A．80°B．75°C．70°D．65°圖4-1-12圖4-1-135．(2014年廣東梅州)如圖4-1-13，把一塊含有45°的直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數(shù)是()A．15°B．20°C．25°D．30°6．(2015年新疆)如圖4-1-14，某同學(xué)的家在A處，星期日他到書(shū)店B處去買(mǎi)書(shū)，想盡快趕到書(shū)店，請(qǐng)你幫助他選擇一條最近的路線()A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B圖4-1-14圖4-1-157．(2015年吉林)圖4-1-15中是對(duì)頂角量角器，用它測(cè)量角的原理是________．8．(2014年廣東廣州)已知命題：“如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．”寫(xiě)出它的逆命題：________________________________________，該逆命題是________命題(選填“真”或“假”)．9．(2014年廣東汕尾)已知a，b，c為平面內(nèi)三條不同的直線．若a⊥b，c⊥b，則a與c的位置關(guān)系是________．10．(2015年遼寧錦州)如圖4-1-16，已知l1∥l2，∠A＝40°，∠1＝60°，∠2＝________.圖4-1-1611．如圖4-1-17，線段AC＝6cm，線段BC＝15cm，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，在CB上取一點(diǎn)N，使得CN∶NB＝1∶2，求MN的長(zhǎng)．圖4-1-1712．(2014年湖南益陽(yáng))如圖4-1-18，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°.求∠C的度數(shù)．圖4-1-18B級(jí)中等題13．(2015年江蘇揚(yáng)州)如圖4-1-19，已知矩形紙片的一條邊經(jīng)過(guò)直角三角形紙片的直角頂點(diǎn)．若矩形紙片的一組對(duì)邊與直角三角形紙片的兩條直角邊相交成∠1，∠2，則∠2－∠1＝________.圖4-1-19圖4-1-2014．(2015年江蘇泰州)如圖4-1-20，直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，則∠2＝________.15．如圖4-1-21，∠AOB為直角，∠AOC為銳角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC.(1)如果∠AOC＝50°，求∠MON的度數(shù)；(2)如果∠AOC為任意一個(gè)銳角，你能求出∠MON的度數(shù)嗎？若能，請(qǐng)求出來(lái)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖4-1-2116．(1)如圖4-1-22，已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度；圖4-1-22(2)在(1)中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其他條件不變，你能猜出MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你用一句簡(jiǎn)潔的話表述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；(3)對(duì)于(1)題，如果我們這樣敘述它：“已知線段AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度．”結(jié)果會(huì)有變化嗎？如果有，求出結(jié)果．C級(jí)拔尖題17．(2014年內(nèi)蒙古赤峰)如圖4-1-23(1)，E是直線AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA，ED.(1)探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，則∠AED等于多少度？②若∠A＝20°，∠D＝60°，則∠AED等于多少度？③猜想圖4-1-23(1)中∠AED，∠EAB，∠EDC的關(guān)系并證明你的結(jié)論．(2)拓展應(yīng)用：如圖4-1-23(2)，射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，①②③④分別是被射線FE隔開(kāi)的4個(gè)區(qū)域(不含邊界)，其中區(qū)域③④位于直線AB上方，P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的點(diǎn)，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關(guān)系．(不要求證明)(1)(2)圖4-1-23

第2講三角形第1課時(shí)三角形A級(jí)基礎(chǔ)題1．(2015年四川廣安)下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是()A.B.C.D.2．(2015年福建泉州)已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么邊AC的長(zhǎng)可能是()A．11B．5C．2D．13．(2015年廣西桂林)如圖4-2-9，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，則外角∠ABD的度數(shù)是()A．110°B．120°C．130°D．140°圖4-2-9圖4-2-10圖4-2-114．(2015年福建莆田)如圖4-2-10，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列選項(xiàng)中的()A．AB＝CDB．EC＝BFC．∠A＝∠DD．AB＝BC5．(2015年江蘇泰州)如圖4-2-11，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交AC，AD，AB于點(diǎn)E，O，F(xiàn)，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是()A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)6．(2015年浙江紹興)如圖4-2-12，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過(guò)點(diǎn)A，C畫(huà)一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫(huà)圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE＝∠PAE.則說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是()A．SASB．ASAC．AASD．SSS圖4-2-12圖4-2-137．(2015年廣西柳州)如圖4-2-13，△ABC≌△DEF，則EF＝________.8．(2015年湖南永州)如圖4-2-14，在△ABC中，若∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，則CE＝________.圖4-4-14圖4-2-159．(2015年四川南充)如圖4-2-15，點(diǎn)D在△ABC邊BC的延長(zhǎng)線上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，則∠ACE的大小是________．10．(2015年四川巴中)若a，b，c為三角形的三邊，且a，b滿足eq\r(a2－9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－2))2＝0，則第三邊c的取值范圍是________．11．(2015年江蘇無(wú)錫)如圖4-2-16，AB∥CD，E是AB的中點(diǎn)，CE＝DE.求證：(1)∠AEC＝∠BED；(2)AC＝BD.圖4-2-1612．(2015年四川南充)如圖4-2-17，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求證：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.圖4-2-17B級(jí)中等題13．(2015年湖北宜昌)兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖4-2-18，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AD＝CD，AB＝CB，詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，得到如下結(jié)論：①AC⊥BD；②AO＝CO＝eq\f(1,2)AC；③△ABD≌△CBD.其中正確的結(jié)論有()圖4-2-18A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)14．(2015年湖北宜昌)如圖4-2-19，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)圖4-2-19圖4-2-2015．(2015年山東泰安)如圖4-2-20，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正確的結(jié)論共有()A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)16．(2015年貴州銅仁)如圖4-2-21，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，EF＝FD.求證：AD＝CE.圖4-2-21C級(jí)拔尖題17．(2015年山東濟(jì)南)如圖4-2-22(1)，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠EAC＝90°，點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)(不與A重合)，連接CM.過(guò)C作CN⊥CM，截取CN＝CM，直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F，D.(1)直接寫(xiě)出∠NDE的度數(shù)；(2)如圖4-2-22(2)、圖4-2-22(3)，當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時(shí)，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)(2)(3)4-2-22

第2課時(shí)等腰三角形與直角三角形A級(jí)基礎(chǔ)題1．(2014年海南)在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于60°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是()A．120°B．90°C．60°D．30°2．(2015年江蘇淮安)下列四組線段中，能組成直角三角形的是()A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4C．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝5D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝53．(2015年四川內(nèi)江)如圖4-2-36，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AE∥BD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若∠E＝35°，則∠BAC的度數(shù)為()A．40°B．45°C．60°D．70°圖4-2-36圖4-2-374．(2015年廣東茂名)如圖4-2-37，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PD＝6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為()A．6B．5C．4D．35．(2015年湖北隨州)如圖4-2-38，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長(zhǎng)是()A．8B．9C．10D．11圖4-2-38圖4-2-396．(2015年四川德陽(yáng))如圖4-2-39，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高．若點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn)，則∠B的度數(shù)是()A．60°B．45°C．30°D．75°7．(2015年烏魯木齊)等腰三角形的一個(gè)外角是60°，則它的頂角的度數(shù)是________．8．(2015年四川廣元)一個(gè)等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2cm,5cm，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.9．(2015年貴州畢節(jié))如圖4-2-40，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D.若CD＝1，則BD＝________.圖4-2-4010．(2015年遼寧遼陽(yáng))如圖4-2-41，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AD＝6，DE＝5，則線段BD的長(zhǎng)等于________．圖4-2-4111．(2015年湖南株洲)如圖4-2-42，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一條角平分線．點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別在BD，BC，AC上，且四邊形OECF是正方形．求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．圖4-2-4212．(2014年遼寧錦州)如圖4-2-43，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，且CD＝CB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，連接EF交CD于點(diǎn)M，連接AM.(1)求證：EF＝eq\f(1,2)AC；(2)若∠BAC＝45°，求線段AM，DM，BC之間的數(shù)量關(guān)系．圖4-2-43B級(jí)中等題13．(2015年山東淄博)如圖4-2-44，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，DE是BC的垂直平分線，點(diǎn)E是垂足．已知DC＝5，AD＝3，則圖中長(zhǎng)為4的線段有()圖4-2-44A．4條B．3條C．2條D．1條14．(2015年山東煙臺(tái))如圖4-2-45，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2015的值為()圖4-2-45A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2012B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2013C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2012D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))201315．(2015年河北)如圖4-2-46，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫(huà)圖：以A為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OC于點(diǎn)A3，得第3條線段A2A3；…這樣畫(huà)下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫(huà)出符合要求的線段了，則圖4-2-2616．(2015年黑龍江牡丹江)在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC為一邊作等邊三角形ACD，連接BD.請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出△BCD的面積．C級(jí)拔尖題17．(2015年遼寧營(yíng)口)【問(wèn)題探究】(1)如圖4-2-47，銳角三角形ABC中分別以AB，AC為邊向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；【深入探究】(2)如圖4-2-48，四邊形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的長(zhǎng)；(3)如圖4-2-49，在(2)的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng)．圖4-2-47圖4-2-48圖4-2-49第3講四邊形與多邊形第1課時(shí)多邊形與平行四邊形A級(jí)基礎(chǔ)題1．(2015年浙江麗水)一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120°，則這個(gè)多邊形是()A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形2．(2015年四川廣元)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為()A．5B．6C．7D．83．(2015年遼寧葫蘆島)如圖4-3-8，在五邊形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P的度數(shù)是()A．60°B．65°C．55°D．50°圖4-3-8圖4-3-94．(2015年福建)如圖4-3-9，在ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．AB∥CDB．AB＝CDC．AC＝BDD．OA＝OC5．(2015年遼寧本溪)如圖4-3-10，ABCD的周長(zhǎng)為20cm，AE平分∠BAD.若CE＝2cm，則AB的長(zhǎng)度是()圖4-3-10A．10cmB．8cmC．6cmD．4cm6．(2015年廣東廣州)下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)有()①對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)7．(2015年四川資陽(yáng))若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是________．8．(2015年廣東梅州)如圖4-3-11，在ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝6，DE＝2，則ABCD的周長(zhǎng)等于________．圖4-3-11圖4-3-12圖4-3-139．(2015年黑龍江牡丹江)如圖4-3-12，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AO＝CO，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________(只添一個(gè)即可)，使四邊形ABCD是平行四邊形．10．(2015年山東泰安)如圖4-3-13，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)．若AB＝8，AD＝12，則四邊形ENFM的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．11．(2014年廣東廣州)如圖4-3-14，ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O且與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：△AOE≌△COF.圖4-3-1412．(2015年廣東茂名)補(bǔ)充完整三角形中位線定理，并加以證明：(1)三角形中位線定理：三角形的中位線________；(2)如圖4-3-15，DE是△ABC的中位線，求證：DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.圖4-3-15B級(jí)中等題13．(2015年廣東廣州)如圖4-3-16，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3eq\r(3)，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_______．圖4-3-16圖4-3-1714．(2015年四川巴中)如圖4-3-17，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分別為△ABC的中線和角平分線，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE于點(diǎn)H，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接DH，則線段DH的長(zhǎng)為_(kāi)_______．15．(2014年廣東深圳)如圖4-3-18，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.(1)證明：四邊形ABDF是平行四邊形；(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的長(zhǎng)．圖4-3-1816．(2015年廣西柳州)如圖4-3-19，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿A→D→C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ∥CD?(2)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，△PQC為直角三角形？圖4-3-19

C級(jí)拔尖題17．(2014年廣東佛山)(1)證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要求根據(jù)圖4-3-20(1)寫(xiě)出已知、求證、證明；在證明過(guò)程中，至少有兩處寫(xiě)出推理依據(jù)(“已知”除外)](2)如圖4-3-20(2)，在ABCD中，對(duì)角線交點(diǎn)為O，A1，B1，C1，D1分別是OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，A2，B2，C2，D2分別是OA1，OB1，OC1，OD1的中點(diǎn)……以此類推．若ABCD的周長(zhǎng)為1，直接用算式表示各四邊形的周長(zhǎng)之和l；(3)借助圖4-3-20(3)反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少．(1)(2)(3)圖4-3-20第2課時(shí)特殊的平行四邊形A級(jí)基礎(chǔ)題1．(2014年浙江寧波)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8，則此菱形的邊長(zhǎng)是()A．10B．8C．6D．52．(2014年重慶)如圖4-3-34，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，則∠AOB的大小為()A．30°B．60°C．90°D．120°圖4-3-34圖4-3-353．(2014年廣東廣州)將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它的形狀改變．當(dāng)∠B＝90°時(shí)，如圖4-3-35(1)，測(cè)得AC＝2，當(dāng)∠B＝60°時(shí)，如圖4-3-35(2)，AC＝()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D.eq\r(6)4．(2015年山東臨沂)如圖4-3-36，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是()A．AB＝BEB．DE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE圖4-3-36圖4-3-375．(2015年山東日照)小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使ABCD為正方形(如圖4-3-37)，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是()A．①②B．②③C．①③D．②④6．(2015年江西南昌)如圖4-3-38，小賢為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，B與D兩點(diǎn)之間用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動(dòng)框架，觀察所得四邊形的變化，下列判斷錯(cuò)誤的是()A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蜝．BD的長(zhǎng)度增大C．四邊形ABCD的面積不變D．四邊形ABCD的周長(zhǎng)不變圖4-3-38圖4-3-397．(2015年貴州銅仁)已知一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6cm和8cm，則這個(gè)菱形的面積為_(kāi)_______cm2.8．(2015年海南)如圖4-3-39，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_(kāi)_______．9．(2015年湖北黃岡)如圖4-3-40，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E.若∠CBF＝20°，則∠AED等于________．圖4-3-40圖4-3-4110．(2015年吉林)如圖4-3-41，在菱形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．11．(2015年湖北荊門(mén))如圖4-3-42，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)為對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求證：四邊形ABCD為菱形．圖4-3-4212．如圖4-3-43，在ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：△ADE≌△CBF；(2)求證：四邊形BFDE為矩形．圖4-3-43B級(jí)中等題13．(2015年黑龍江哈爾濱)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AD上，且四邊形BCFE為菱形．若線段EF的中點(diǎn)為點(diǎn)M，則線段AM的長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖4-3-4414．(2015年江蘇徐州)如圖4-3-44，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．15．(2014年黑龍江牡丹江)如圖4-3-45，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE.(1)求證：CE＝AD；(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；(3)若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．圖4-3-45C級(jí)拔尖題16．(2015年湖北荊州)如圖4-3-46(1)，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且PA＝PE，PE交CD于F.(1)證明：PC＝PE；(2)求∠CPE的度數(shù)；(3)如圖4-3-46(2)，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠ABC＝120°時(shí)，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(1)(2)圖4-3-46

第4講圓第1課時(shí)圓的基本性質(zhì)A級(jí)基礎(chǔ)題1．(2014年浙江臺(tái)州)從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是()A.B.C.D.2．(2015年黑龍江大慶)在⊙O中，圓心O到弦AB的距離為AB長(zhǎng)度的一半，則弦AB所對(duì)圓心角的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°3．(2015年廣東深圳)如圖4-4-11，AB為⊙O的直徑，已知∠DCB＝20°，則∠DBA為()A．50°B．20°C．60°D．70°圖4-4-11圖4-4-12圖4-4-134．(2015年湖南湘潭)如圖4-4-12，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形．若∠DAB＝60°，則∠BCD的度數(shù)是()A．60°B．90°C．100°D．120°5．(2014年廣西南寧)在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖4-4-13.若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為()A．40cmB．60cmC．80cmD．100cm6．(2015年甘肅武威)△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形．若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是()A．80°B．160°C．100°D．80°或100°圖4-4-14圖4-4-157．(2015年湖南婁底)如圖4-4-14，在⊙O中，AB為直徑，CD為弦，已知∠ACD＝40°，則∠BAD＝________.8．(2015年湖南長(zhǎng)沙)如圖4-4-15，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于點(diǎn)D，則OD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．9．(2015年福建漳州)如圖4-4-16，一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的刻度是58°，則∠ACD的度數(shù)為_(kāi)_______．圖4-4-16圖4-4-1710．(2015年浙江衢州)一條排水管的截面如圖4-4-17，已知排水管的半徑OA＝1m，水面寬AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時(shí)排水管水面寬CD等于________m.11．(2014年廣東佛山)如圖4-4-18，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OP的長(zhǎng)度范圍．圖4-4-1812．(2014年江蘇南通)如圖4-4-19，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，MD恰好經(jīng)過(guò)圓心O，連接MB.(1)若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直徑；(2)若∠M＝∠D，求∠D的度數(shù)．圖4-4-19B級(jí)中等題13．(2015年山東威海)如圖4-4-20，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為()A．68°B．88°C．90°D．112°圖4-4-20圖4-4-2114．(2015年黑龍江)如圖4-4-21，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，且1≤OP≤2，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)是()A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°15．(2015年江蘇南京)如圖4-4-22，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且DC＝DE.(1)求證：∠A＝∠AEB；(2)連接OE，交CD于點(diǎn)F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．圖4-4-2216．(2015年廣東佛山)如圖4-4-23，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)若∠E＝∠F時(shí)，求證：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°時(shí)，求∠A的度數(shù)；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.請(qǐng)你用含有α，β的代數(shù)式表示∠A的大小．圖4-4-23C級(jí)拔尖題17．(2015年湖南永州)如圖4-4-24，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，使CF∥BD.(1)求證：BE＝CE；(2)試判斷四邊形BFCD的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的長(zhǎng)．圖1-1-1

第2課時(shí)與圓有關(guān)的位置關(guān)系A(chǔ)級(jí)基礎(chǔ)題1．(2014年廣西梧州)已知⊙O的半徑是5，點(diǎn)A到圓心O的距離是7，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)A在⊙O上B．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)A在⊙O外D．點(diǎn)A與圓心O重合2．(2015年廣東廣州)已知⊙O的半徑為5，直線l是⊙O的切線，則點(diǎn)O到直線l的距離是()A．2.5B．3C．5D．103．(2015年浙江嘉興)如圖4-4-32，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以點(diǎn)C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為()A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6圖4-4-32圖4-4-33圖4-4-344．(2015年河北)如圖4-4-33，AC，BE是⊙O的直徑，弦AD與BE交于點(diǎn)F，下列三角形中，外心不是點(diǎn)O的是()A．△ABEB．△ACFC．△ABDD．△ADE5．(2015年湖北)點(diǎn)O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，則∠BAC的度數(shù)為()A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°6．(2015年廣西賀州)如圖4-4-34，BC是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，切點(diǎn)為D，AD與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，∠C＝30°，給出下面四個(gè)結(jié)論：①AD＝DC；②AB＝BD；③AB＝eq\f(1,2)BC；④BD＝CD，其中正確的個(gè)數(shù)為()A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)7．(2015年黑龍江大慶)邊長(zhǎng)為1的正三角形的內(nèi)切圓半徑為_(kāi)_______．8．(2015年江蘇鹽城)如圖4-4-35，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則r的取值范圍是________．圖4-4-35圖4-4-369．(2015年江蘇徐州)如圖4-4-36，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D.若∠C＝20°，則∠CDA＝________.10．(2015年浙江寧波)如圖4-4-37，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，過(guò)A，D兩點(diǎn)的⊙O與BC邊相切于點(diǎn)E，則⊙O的半徑為_(kāi)_______．圖4-4-3711．(2015年江蘇鹽城)如圖4-4-38，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AC上，且滿足ED＝EA.(1)求∠DOA的度數(shù)；(2)求證：直線ED與⊙O相切．圖4-4-3812．(2015年貴州畢節(jié))如圖4-4-39，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，AC＝FC.(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)已知圓的半徑R＝5，EF＝3，求DF的長(zhǎng)．圖4-4-39B級(jí)中等題13．(2015年廣西貴港)如圖4-4-40，已知P是⊙O外一點(diǎn)，Q是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，連接OP，OM.若⊙O的半徑為2，OP＝4，則線段OM的最小值是()圖4-4-40A．0B．1C．2D．314．(2015年福建漳州)已知⊙P的半徑為2，圓心在函數(shù)y＝－eq\f(8,x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切于點(diǎn)D時(shí)，則符合條件的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．415．(2015年湖北鄂州)已知點(diǎn)P是半徑為1的⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且PA＝1，AB是⊙O的弦，AB＝eq\r(2)，連接PB，則PB＝________.16．(2015年甘肅武威)已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A作直線EF.(1)如圖4-4-41(1)，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個(gè)條件是(至少說(shuō)出兩種)：________或者_(dá)_______；(2)如圖4-4-41(2)，如果AB是不過(guò)圓心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷．(1)(2)圖4-4-41C級(jí)拔尖題17．(2014年福建三明)已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持CD＝OA.(1)當(dāng)直線CD與半圓O相切時(shí)[如圖4-4-42(1)]，求∠ODC的度數(shù)；(2)當(dāng)直線CD與半圓O相交時(shí)[如圖4-4-42(2)]，設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE，若AE∥OC，①AE與OD有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？②求∠ODC的度數(shù)．(1)(2)圖4-4-42

第3課時(shí)與圓有關(guān)的計(jì)算A級(jí)基礎(chǔ)題1．如圖4-4-53，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠B＝135°，則的長(zhǎng)()A．2πB．πC.eq\f(π,2)D.eq\f(π,3)圖4-4-53圖4-4-54圖4-4-552．(2015年四川甘孜州)如圖4-4-54，已知扇形AOB的半徑為2，圓心角為90°，連接AB，則圖中陰影部分的面積是()A．π－2B．π－4C．4π－2D．4π－43．(2014年貴州安順)已知圓錐的母線長(zhǎng)為6cm，底面圓的半徑為3cm，則此圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是()A．30°B．60°C．90°D．180°4．(2015年湖北潛江)已知一塊圓心角為300°的扇形鐵皮，用它做一個(gè)圓錐形的煙囪帽(接縫忽略不計(jì))，圓錐的底面圓的直徑是80cm，則這塊扇形鐵皮的半徑是()A．24cmB．48cmC．96cmD．192cm5．(2015年內(nèi)蒙古包頭)已知圓內(nèi)接正三角形的邊心距為1，則這個(gè)三角形的面積為()A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．4eq\r(3)D．6eq\r(3)6．(2015年四川眉山)已知⊙O的內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)圓的半徑是________cm.7．(2015年天津)如圖4-4-55，在正六邊形ABCDEF中，連接對(duì)角線AC，CE，DF，EA，F(xiàn)B，BD，可以得到一個(gè)六角星．記這些對(duì)角線的交點(diǎn)分別為H，I，J，K，L，M，則圖中等邊三角形共有________個(gè)．8．(2015年貴州貴陽(yáng))如圖4-4-56，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形．若正方形的面積等于4，則⊙O的面積等于________．圖4-4-56圖4-4-579．(2015年山東煙臺(tái))如圖4-4-57，將弧長(zhǎng)為6π，圓心角為120°的圓形紙片AOB圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA與OB重合(粘連部分忽略不計(jì))，則圓錐形紙帽的高是________．10．(2015福建寧德)如圖4-4-58，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC＝∠B.(1)求證：直線AE是⊙O的切線；(2)若∠D＝60°，AB＝6時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)．(結(jié)果保留π)圖4-4-5811．(2015年山東臨沂)如圖4-4-59，點(diǎn)O為Rt△ABC的斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接AD.(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．圖4-4-59B級(jí)中等題12．(2015年湖北咸寧)如圖4-4-60，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中點(diǎn)D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰在EF上，設(shè)∠BDF＝α(0°＜α＜90°)，當(dāng)α由小到大變化時(shí)，圖中陰影部分的面積()A．由小到大B．由大到小C．不變D．先由小到大，后由大到小圖4-4-60圖4-4-61圖4-4-6213．(2014年四川南充)如圖4-4-61，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)是()A.eq\f(25,2)πB．13πC．25πD．25eq\r(2)14．(2014年浙江金華)一張圓心角為45°的扇形紙板和圓形紙板按如圖4-4-62所示方式分別剪成一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)都為1，則扇形和圓形紙板的面積比是()A．5∶4B．5∶2C.eq\r(5)∶2D.eq\r(5)∶eq\r(2)15．(2015年廣西梧州)如圖4-4-63，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，以E為圓心，ED為半徑作半圓，交A，B所在的直線于M，N兩點(diǎn)，分別以MD，ND為直徑作半圓，則陰影部分面積為()圖4-4-63A．9eq\r(5)B．18eq\r(5)C．36eq\r(5)D．72eq\r(5)C級(jí)拔尖題16．(2015年遼寧本溪)如圖4-4-64，點(diǎn)D是等邊△ABC中BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AC＝CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)連接OC，交⊙O于點(diǎn)G，若AB＝4，求線段CE，CG與圍成的陰影部分的面積S.圖4-4-64第5講尺規(guī)作圖A級(jí)基礎(chǔ)題1．(2014年福建寧德)如圖4-5-9，用尺規(guī)作圖：“過(guò)點(diǎn)C作CN∥OA”，其作圖依據(jù)是()圖4-4-9A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行2．(2015年浙江嘉興)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，四位同學(xué)圍繞作圖問(wèn)題：“如圖4-5-10，已知直線l和l外一點(diǎn)P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點(diǎn)Q.”分別作出了下列四個(gè)圖形．其中作法錯(cuò)誤的是()圖4-5-10A.B.C.D.3．(2015年福建)如圖4-5-11，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以相同的長(zhǎng)(大于eq\f(1,2)AB)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接CD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()圖4-5-11A．AD＝BDB．BD＝CDC．∠A＝∠BEDD．∠ECD＝∠EDC4．(2015年廣東深圳)已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PA＋PC＝BC，則下列選項(xiàng)正確的是()A.B.C.D.5．(2014年貴州安順)用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖4-5-12，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是()A．SASB．SSSC．ASAD．AAS圖4-5-126．(2015年浙江衢州)數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫(huà)Rt△ABC，使其斜邊AB＝c，一條直角邊BC＝a.小明的作法如圖4-5-13，你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是()圖4-5-13A．勾股定理B．直徑所對(duì)的圓周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑7．如圖4-5-14，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB，AC于點(diǎn)M和N，再分別以M，N為圓心，大于eq\f(1,2)MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則∠ADB＝________.圖4-5-148．(2014年河南)如圖4-5-15，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于eq\f(1,2)BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，則∠ACB的度數(shù)為_(kāi)_______．圖4-5-159．如圖4-5-16，已知線段AB，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，相交于點(diǎn)C，D，連接AC，BC，BD，CD和AD.其中AB＝4，CD＝5，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______．圖4-5-1610．如圖4-5-17，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于eq\f(1,2)AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD.若△ADC的周長(zhǎng)為10，AB＝7，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖4-5-1711．兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B與兩條公路l1，l2的位置如圖4-5-18.電信部門(mén)需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)谙聢D中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)C.(不寫(xiě)已知、求作、作法，只保留作圖痕跡)圖4-5-1812．(2015年湖北宜昌)如圖4-5-19，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交BA，BC于點(diǎn)G，H，再分別以點(diǎn)G，H為圓心，大于eq\f(1,2)GH的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點(diǎn)O，畫(huà)射線BO，交AD于點(diǎn)E.(1)求證：AB＝AE；(2)若∠A＝100°，求∠EBC的度數(shù)．圖4-5-19

B級(jí)中等題13．(2014年甘肅慶陽(yáng))如圖4-5-20，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于eq\f(1,2)MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6a,2b－1)，則a和b的數(shù)量關(guān)系為()A．6a－2b＝1B．6a＋2b＝1C．6a－b＝1D．6圖4-5-20圖4-5-2114．(2014年曲靖)如圖4-5-21，分別以線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)A，C為圓心，大于eq\f(1,2)AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于B，D兩點(diǎn)，連接BD，AB，BC，CD，DA.以下結(jié)論：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC＝BD；④四邊形ABCD是中心對(duì)稱圖形．其中正確的有()A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④15．(2015年山西)如圖4-5-22，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.(1)尺規(guī)作圖：作⊙C，使它與AB相切于點(diǎn)D，與AC相交于點(diǎn)E，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，請(qǐng)標(biāo)明字母；(2)在你按(1)中要求所作的圖中，若BC＝3，∠A＝30°，求的長(zhǎng)．圖4-5-2216．(2015年廣西河池)如圖4-5-23，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AD.(1)作∠A的平分線交CD于點(diǎn)E；(2)過(guò)B作CD的垂線，垂足為F；(3)請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩對(duì)全等三角形(不添加任何字母)，并選擇其中一對(duì)加以證明．圖4-5-23C級(jí)拔尖題17．(2015年孝感)如圖4-5-24，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧()．(1)用直尺和圓規(guī)作出所在圓的圓心O；(要求保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)(2)若的中點(diǎn)C到弦AB的距離為20m，AB＝80m，求所在圓的半徑．圖4-5-24

第四章基礎(chǔ)題強(qiáng)化提高測(cè)試時(shí)間：45分鐘滿分：100分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．如圖J4-1，經(jīng)過(guò)刨平的木板上的兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是()A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩點(diǎn)之間線段最短C．垂線段最短D．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直圖J4-1圖J4-22．如圖J4-2，直線a，b與直線c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，則∠4＝()A．70°B．80°C．110°D．100°3．已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為()A．8或10B．8C．10D．6或124．如圖J4-3，ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件，使△ABE≌△CDF，那么添加的條件不能為()A．BE＝DFB．BF＝DEC．AE＝CFD．∠1＝∠2圖J4-3圖J4-45．如圖J4-4，⊙O為△ABC的外接圓，∠A＝72°，則∠BCO的度數(shù)為()A．15°B．18°C．20°D．28°6．如圖J4-5，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，并且∠DAC＝60°，∠ADB＝15°.點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)EO交BC于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A移動(dòng)過(guò)程中(點(diǎn)E與點(diǎn)D，A不重合)，則四邊形AFCE的變化是()圖J4-5A．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形B．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→正方形→平行四邊形D．平行四邊形→矩形→菱形→正方形→平行四邊形二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)7．若正多邊形的一個(gè)外角為30°，則這個(gè)多邊形為正________邊形．8．把命題“如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2”的逆命題改寫(xiě)成“如果……那么……”9．順次連接矩形四邊中點(diǎn)所形成的四邊形是__________；學(xué)校的一塊菱形花園兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6m和8m，則這個(gè)花園的面積為_(kāi)_________．圖J4-610．如圖J4-6所示的扇形是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，若∠AOB＝120°，弧AB的長(zhǎng)為12πcm，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________cm2.三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分)11．如圖J4-7，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°.(1)用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.(保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明)(2)求證：BD平分∠CBA.圖J4-712．如圖J4-8，在△ABC中，D為AC邊的中點(diǎn)，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的長(zhǎng)；(2)在△ABC中，求BC邊上高的長(zhǎng)．圖J4-813．如圖J4-9，在△ABC中，AB＝AC，分別以B，C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑在BC下方畫(huà)?。O(shè)兩弧交于點(diǎn)D，與AB，AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AD，BD，CD.(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若BC＝6，∠BAC＝50°，求，的長(zhǎng)度之和(結(jié)果保留π)．圖J4-9

14.如圖J4-10，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點(diǎn)D，D是BC的中點(diǎn)．(1)求BC的長(zhǎng)；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E.求證：直線DE是⊙O的切線．圖J4-1015．正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線DB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是DB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥DC于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)[如圖J4-11(1)]，猜測(cè)AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上(不與點(diǎn)D，O，B重合)時(shí)[如圖J4-11(2)]，探究(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P在DB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)將圖J4-11(3)補(bǔ)充完整，并判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，直接寫(xiě)出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論．(1)(2)(3)圖J4-11

第四章圖形的認(rèn)識(shí)第1講角、相交線和平行線【演練·鞏固提升】1．B2.B3.D4.B5.C6.B7.對(duì)頂角相等8．如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等假9．平行10.100°11．解：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴MC＝AM＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×6＝3(cm)．又∵CN∶NB＝1∶2，∴CN＝eq\f(1,3)BC＝eq\f(1,3)×15＝5(cm)．∴MN＝MC＋NC＝3＋5＝8(cm)．12．解：∵EF∥BC，∴∠BAF＝180°－∠B＝100°.∵AC平分∠BAF，∴∠CAF＝eq\f(1,2)∠BAF＝50°.∵EF∥BC，∴∠C＝∠CAF＝50°.13．90°解析：∵∠2＋∠3＝180°，∴∠3＝180°－∠2.∵直尺的兩邊互相平行，∴∠4＝∠3.∴∠4＝180°－∠2.∵∠4＋∠1＝90°，∴180°－∠2＋∠1＝90°，即∠2－∠1＝90°.14．140°解析：如圖D16，延長(zhǎng)AE交l2于點(diǎn)B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.圖D1615．解：(1)∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，∴∠MOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠NOC＝eq\f(1,2)∠AOC.∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝eq\f(1,2)(∠BOC－∠AOC)＝eq\f(1,2)(90°＋50°－50°)＝45°.(2)能求出來(lái)．∠MON＝∠MOC－∠NOC＝eq\f(1,2)(∠BOC－∠AOC)＝eq\f(1,2)(∠BOA＋∠AOC－∠AOC)＝eq\f(1,2)∠BOA＝45°.16．解：(1)∵AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴MN＝eq\f(1,2)(AC＋CB)＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)．(2)MN＝eq\f(a＋b,2).直線上相鄰兩線段中點(diǎn)間的距離為兩線段長(zhǎng)度和的一半．(3)如圖D17，D18，有變化，會(huì)出現(xiàn)兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，MN＝eq\f(1,2)(AC＋BC)＝5(cm)；圖D17圖D18②當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，MN＝eq\f(1,2)(AC－BC)＝1(cm)．17．解：(1)①∠AED＝70°.②∠AED＝80°.③猜想：∠AED＝∠EAB＋∠EDC.證明：如圖D19，延長(zhǎng)AE交DC于點(diǎn)F.∵AB∥DC，∴∠EAB＝∠EFD.∵∠AED為△EDF的外角，∴∠AED＝∠EDF＋∠EFD＝∠EAB＋∠EDC.圖D19圖D20(2)(如圖D20)根據(jù)題意，得點(diǎn)P在區(qū)域①時(shí)，∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠PFC)；點(diǎn)P在區(qū)域②時(shí)，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；點(diǎn)P在區(qū)域③時(shí)，∠EPF＝∠PEB－∠PFC；點(diǎn)P在區(qū)域④時(shí)，∠EPF＝∠PFC－∠PEB.第2講三角形第1課時(shí)三角形【演練·鞏固提升】1．D2.B3.B4.A5.D6.D7．58.39.60°10.1＜c＜511．證明：(1)∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∠BED＝∠EDC.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠EDC.∴∠AEC＝∠BED.(2)∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE.在△AEC和△BED中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝BE，,∠AEC＝∠BED，,EC＝ED，))∴△AEC≌△BED(SAS)．∴AC＝BD.12．證明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°.∴∠CFD＝∠B.∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B.在△AEF與△CEB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠AFE＝∠B，,∠AEF＝∠CEB，,AE＝CE，))∴△AEF≌△CEB(AAS)．(2)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2CD.∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.∴AF＝2CD.13．D解析：在△ABD與△CBD中，∵AD＝CD，AB＝BC，DB＝DB，∴△ABD≌△CBD(SSS)，故結(jié)論③正確；在△AOD與△COD中，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，OD＝OD，∴△AOD≌△COD(SAS)，∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，∴AC⊥DB，AO＝CO＝eq\f(1,2)AC，故結(jié)論①②正確．綜上所述，故選D.14．C解析：已知AB是△ABP與△ABC公共邊，要使△ABP與△ABC全等，點(diǎn)P到AB的距離應(yīng)該等于點(diǎn)C到AB的距離，即3個(gè)單位長(zhǎng)度，故點(diǎn)P的位置可以是P1，P3，P4三個(gè)．故選C.15．A解析：根據(jù)已知條件，由BF∥AC，可推理出∠C＝∠ABC，由此可得△ABC是等腰三角形，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正確；容易證明△CDE≌△BDF，故DE＝DF，CE＝BF，∴AC＝AE＋CE＝3BF，故①④正確．16．證明：如圖D21，作DG∥BC交AC于G.圖D21則∠DGF＝∠ECF.在△DFG和△EFC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DGF＝∠ECF，,∠DFG＝∠EFC，,FD＝EF，))∴△DFG≌△EFC(AAS)．∴GD＝CE.∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB.∴∠A＝∠ADG＝∠AGD.∴△ADG是等邊三角形．∴AD＝GD.∴AD＝CE.17．解：(1)∵∠ACB＝90°，∠MCN＝90°，∴∠ACM＝∠BCN.在△MAC和△NBC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACM＝∠BCN，,MC＝NC，))∴△MAC≌△NBC(SAS)．∴∠NBC＝∠MAC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∠EAC＝90°，∴∠NDE＝90°.(2)不變．在△MAC≌△NBC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACM＝∠BCN，,MC＝NC，))∴△MAC≌△NBC(SAS)．∴∠N＝∠AMC.又∵∠MFD＝∠NFC，∴∠MDF＝∠FCN＝90°，即∠NDE＝90°.第2課時(shí)等腰三角形與直角三角形【演練·鞏固提升】1．D2.D3.A4.A5.C6.C7．120°8.129.210.811．證明：如圖D25，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB.圖D25∵BD是∠ABC的平分線，∴OE＝OM.∵四邊形OECF是正方形，∴OE＝OF.∴OF＝OM.∴AO是∠BAC的平分線，即點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．12．(1)證明：∵CD＝CB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，∴CE⊥BD.∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)．∴EF＝eq\f(1,2)AC.(2)解：∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形．∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，∴EF垂直平分AC.∴AM＝CM.∵CD＝CM＋DM＝AM＋DM，CD＝CB，∴BC＝AM＋DM.13．B14．C解析：根據(jù)題意：第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2；第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：eq\f(\r(2),2)×2；第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2×2，…第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))n－1×2，所以S2015的值是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2012.15．9解析：由題意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，則∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，….∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠16．解：(1)如圖D26，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC為一邊作等邊△ACD，∴∠BAD＝90°，∠ABC＝∠ACB＝75°，AB＝AD＝DC＝4.∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠DBE＝30°，∠DCE＝45°.∴DB＝4eq\r(2)，則DE＝EC＝2eq\r(2)，BE＝BDcos30°＝2eq\r(6).則BC＝BE－EC＝2eq\r(6)－2eq\r(2).則△BCD的面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)(2eq\r(6)－2eq\r(2))＝4eq\r(3)－4.圖D26圖D27(2)如圖D27：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵∠BAC＝30°，△ACD是等邊三角形，∴∠DAB＝30°.∴AB垂直平分DC.BD＝BC.設(shè)AB，CD的交點(diǎn)為F.∴AF＝eq\r(AD2－DF2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).∴BF＝AB－AF＝4－2eq\r(3).∴△BCD的面積為eq\f(1,2)×CD×BF＝eq\f(1,2)×4×(4－2eq\r(3))＝8－4eq\r(3).17．解：(1)BD＝CE.理由是：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.在△EAC和△BAD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAD，,AC＝AD，))∴△EAC≌△BAD(SAS)．∴BD＝CE.(2)如圖D28，在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA，EB，EC.∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°.∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.在△EAC和△BAD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAD，,AC＝AD，))∴△EAC≌△BAD(SAS)．∴BD＝CE.∵AE＝AB＝7，∴BE＝eq\r(72＋72)＝7eq\r(2)，∠ABE＝∠AEB＝45°.又∵∠ABC＝45°，∴∠EBC＝∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°.∴EC＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7\r(2)))2＋32)＝eq\r(107).∴BD＝CE＝eq\r(107).圖D28圖D29(3)如圖D29，在線段AC的右側(cè)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°.又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°.∴AE＝AB＝7，BE＝eq\r(72＋72)＝7eq\r(2).又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴∠BAE＝∠DAC＝90°.∴∠BAE－∠BAC＝∠DAC－∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.在△EAC和△BAD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAD，,AC＝AD，))∴△EAC≌△BAD(SAS)．∴BD＝CE.∵BC＝3，∴BD＝CE＝7eq\r(2)－3(cm)．第3講四邊形與多邊形第1課時(shí)多邊形與平行四邊形【演練·鞏固提升】1．C2.B3.A4.C5.D6.B7.88.209．BO＝DO(答案不唯一)10.2011．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB∥CD.∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠EAO＝∠FCO，,AO＝CO，,∠EOA＝∠FOC，))∴△AOE≌△COF(ASA)．12．(1)解：三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半故答案為：平行于第三邊，且等于第三邊的一半．(2)證明：如圖D31，延長(zhǎng)DE到F，使FE＝DE，連接CF.圖D31在△ADE和△CFE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝EC，,∠AED＝∠CEF，,DE＝EF，))∴△ADE≌△CFE(SAS)．∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB.又∵AD＝BD，∴CF＝BD.∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.13．3解析：∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝eq\f(1,2)DN，∴DN最大時(shí)，EF最大，∵N與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)DN＝DB＝eq\r(AD2＋AB2)＝6，∴EF的最大值為3.14．1解析：∵AE為△ABC的角平分線，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF＝AC.∵AC＝3，∴AF＝AC＝3，HF＝CH.∵AD為△ABC的中線，∴DH是△BCF的中位線，∴DH＝eq\f(1,2)BF.∵AB＝5，∴BF＝AB－AF＝5－3＝2，∴DH＝1.15．(1)證明：∵BD垂直平分AC，∴AB＝BC，AD＝CD.在△ADB與△CDB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,AD＝DC，,DB＝DB，))∴△ADB≌△CDB(SSS)．∴∠BCD＝∠BAD.∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF.∴AB∥FD.∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD.∴四邊形ABDF是平行四邊形．(2)解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF＝DF＝5，∴ABDF是菱形．∴AB＝BD＝5.∵AD＝6，設(shè)BE＝x，則DE＝5－x.∴AB2－BE2＝AD2－DE2，即52－x2＝62－(5－x)2.解得x＝1.4.∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(24,5).∴AC＝2AE＝eq\f(48,5).16．解：(1)當(dāng)PQ∥CD時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形，此時(shí)PD＝QC，∴12－2t＝t，∴t＝4.∴當(dāng)t＝4秒時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形，即PQ∥CD.(2)如圖D32，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∴DF＝AB＝8.FC＝BC－AD＝18－12＝6，CD＝10.①當(dāng)PQ⊥BC，則BQ＋CQ＝18.即：2t＋t＝18，∴t＝6；②當(dāng)QP⊥PC，此時(shí)P一定是DC上，CP1＝10＋12－2t＝22－2t，CQ2＝t.易知△CDF∽△CQ2P1，∴eq\f(22－2t,6)＝eq\f(t,10).解得t＝eq\f(110,13).③當(dāng)PC⊥BC時(shí)，因∠DCB＜90°，此種情形不存在．∴當(dāng)t＝6或eq\f(110,13)時(shí)，△PQC是直角三角形．圖D32圖D3317．解：(1)已知：在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)．求證：DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.證明：如圖D33，延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE.∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE.在△ADE和△CFE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DE＝EF，,∠AED＝∠CEF，,AE＝CE，))∴△ADE≌△CFE(SAS)．∴AD＝CF(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)，∠A＝∠ECF(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)．∴AD∥CF.∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD.∴BD＝CF，且BD∥CF.∴四邊形BCFD是平行四邊形．(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)∴DF∥BC，且DF＝BC.(平行四邊形的對(duì)邊平行且相等)∵DE＝EF＝eq\f(1,2)DF，∴DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.(2)∵A1，B1，C1，D1分別是OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，∴A1B1＝eq\f(1,2)AB，B1C1＝eq\f(1,2)BC，C1D1＝eq\f(1,2)CD，A1D1＝eq\f(1,2)AD.∴四邊形A1B1C1D1的周長(zhǎng)為eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2).同理，可得四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)為eq\f(1,2)×e