中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)《幾何模型》專題03 一線三垂直模型構(gòu)造全等三角形（教師版）

專題03一線三垂直模型構(gòu)造全等三角形【專題說明】一線三垂直問題，通常問題中有一線段繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)900，或者問題中有矩形或正方形的情況下考慮，作輔助線，構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)量關(guān)系使問題得到解決?！局R總結(jié)】過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)或者正方形直角頂點(diǎn)的一條直線。過等腰直角三角形的另外兩個頂點(diǎn)作該直線的垂線段，會有兩個三角形全等（AAS）常見的兩種圖形：圖1圖2

1、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，設(shè)∠BCD=α，以D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE.當(dāng)α=45°時，求△EAD的面積.當(dāng)α=30°時，求△EAD的面積當(dāng)0°＜α＜90°，猜想△EAD的面積與α大小有無關(guān)系，若有關(guān)，寫出△EAD的面積S與α的關(guān)系式，若無關(guān)，請證明結(jié)論.解析：∵AD∥BC,DG⊥BC∴∠GDF=90°又∵∠EDC=90°∴∠1=∠2在△CGD和△EFD中∠DGC=∠DFE∠1=∠2CD=DE∴△DCG≌△DEF∴EF=CG∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2，BC=3∴BG=AD=2∴CG=1，EF=1，△EAD的面積與α無關(guān)2、如圖，向△ABC的外側(cè)作正方形ABDE,正方形ACFG，過A作AH⊥BC于H，AH的反向延長線與EG交于點(diǎn)P，求證：BC=2AP解析：過點(diǎn)G作GM⊥AP于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN⊥AP交AP的延長線于點(diǎn)N∵四邊形ACFG是正方形∴AC=AG,∠CAG=90°∴∠CAH+∠ACH=90°∴∠ACH=∠GAM在△ACH和△GAM中∠AHC=∠GMA∠ACH=∠GAMAC=GA∴△ACH≌△GAM∴CH=AM,AH=GM同理可證△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP

3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多點(diǎn)A的一條直線，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于點(diǎn)E.當(dāng)直線AE處于如圖1的位置時，有BD=DE+CE,請說明理由.當(dāng)直線AE處于如圖2的位置時，則BD、DE、CE的關(guān)系如何？請說明理由.解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE∴∠BDA=∠AEC=90°∴∠ABD+∠BAD=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°∠ABD=∠EACAB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)AD=CE,BD=AE∵AE=AD+DE∴BD=DE+CE（2）在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°AB=CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD=CE,BD=AE∵AE=DE-AD∴BD=DE-CE.4、如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，點(diǎn)F是△ABC的高AD、BE的交點(diǎn)，已知CD=4，AF=2，則線段BC的長為（）解析:∵AD是△ABC的高∴∠ADB=90°∵∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴∠ABC=∠BAD∴AD=BD∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD∴∠AFE=∠C在△BDF和△ADC中∠CAD=∠FBDAD=BD∠BDF=∠ADC∴△BDF≌△ADC（ASA）∴DF=CD=4∴AD=AF+DF=2+4=6=BD∴BC=BD+CD=6+4=10

5、如圖所示，直線α經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過頂點(diǎn)B,D作DE⊥α于點(diǎn)F，若DE=4，BF=3，則EF的長為（）解析：∵ABCD是正方形，∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE，∴∠ABF=∠DAE在△AFB和△AED中，∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD∴△AFB≌△AED∴AF=DE=4，BF=AE=3∴EF=AF+AE=4+3=76、如圖，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周長為16，則AE的長是（）解析：∵矩形ABCD中，EF⊥EC,∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°，∴∠AEF=∠DCE,又∵EF=EC，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=CD∵矩形的周長為16，即2CD+2AD=16，∴CD+AD=8∴AD-2+AD=8AD=5∴AE=AD-DE=5-2=3.7、如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分線BD交AC于D，CE⊥BD的延長線于點(diǎn)E，求證：CE=12解析：延長CE、BA相交于點(diǎn)F.∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF在△BCE和△BFE中，∠EBF=∠CBE，BE=BE，∠CEB=∠FEB∴△BCE≌△BFE(ASA)∴CE=EF∴CE=12CF=12

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC有兩個頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求第三個頂點(diǎn)的坐標(biāo).解析：(1)過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,∴∠BCD+∠DBC=90°由等腰Rt△ABC可知，BC=AC,∠ACB=90°∴∠BCD+∠AC0=90°∴∠DBC=∠ACO在△BCD和△CAO中∠BDC=∠AOC∠DBC=∠ACOBC=AC∴△BCD≌△CAO∴CD=OA,BD=OC(2)的證明方法一樣

2、已知點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于點(diǎn)B，PC⊥AF于C，點(diǎn)M、N分別是射線AE、AF上的點(diǎn).如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC的延長線上，且PM=PN，求證BM=CN.在（1）的條件下，直接寫出線段AM、CN與AC的數(shù)量關(guān)系_______解析：（1）∵點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于B,PC⊥AF于C，∴PB=PC在Rt△PBM和Rt△PCN中PB=PCPM=PN∴Rt△PBM≌Rt△PCN∴BM=CN（2）在Rt△PBA和Rt△PCA中PB=PCAP=AP∴Rt△PBA≌Rt△PCA∴AB=AC∴AM+CN=AM+BM=AB=AC

3、如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B,C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E.當(dāng)DC等于多少是，△ABD≌△DCE?請證明你的結(jié)論.解析：∵∠B=40°∴∠BAD+∠BDA=140°∵∠ADE=40°∴∠CDE+∠BDA=140°∴∠BAD=∠CDE在△ABD和△DCE中∠B=∠C∠BAD=∠CDEAB=DC∴△ABD≌△DCE

4、如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，點(diǎn)D在線段BC上，∠BDE=12∠C,BE⊥DE，垂足為E，DE與AB交于點(diǎn)F，求證：BE=12解析：過點(diǎn)D做DG∥AC交BE的延長線于點(diǎn)GBE與DH的延長線交于G點(diǎn)，如圖，∵DH∥AC，∠BDH=∠C=45°∴△HBD為等腰直角三角形∴HB=HD，而∠EBF=22.5°∵∠EDB=12∠C∴DE平分∠BDG而DE⊥BG，∴BE=GE,即BE=12∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，∴∠DFH=∠G∵∠GBH=90°-∠G,∠FDH=90°-∠G∴∠GBH=∠FDH在△BGH和△DFH中，SKIPIF1<0，∴△BGH≌△DFH(AAS)，∴BG=DF∴BE=12

5、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC邊上的點(diǎn)，AF⊥BE交BC于點(diǎn)D,如果AE=CD證明：BF平分∠ABC證明：AB+AE=BC解析：（1）作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)M，易證BAE≌△ACM（ASA）得CM=AE=CD∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD，AB=BD，∴BF平分∠ABD（等腰三角形三線合一）（2）AB+AE=BD+DC=BC【鞏固提升】1、如圖，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC,AP⊥PC,求證：△ABP≌△PDC解析：∵AP⊥PC,∴∠APB＋∠CPD=900,∵AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D,∴∠B=∠D=900∴∠CPD+∠PCD=900,∴∠APB=∠PCD,又AP=PC,∴△ABP≌△PDC

2、如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)N，以AB為邊在x軸上作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E。求拋物線的解析式；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB（點(diǎn)p不與O，B重合）上運(yùn)動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值；在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M，連接MN，MB，請問：△MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解析：（1）將點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0）代入拋物線解析式可求得，b=-2,c=-3,所以y=x2-2x-3.通過同角的余角相等得∠EPO=∠PCB,∠EOP=∠PBC-900,得△EPO∽△PCB，所以SKIPIF1<0,設(shè)OE=y，OP=x，則y=-SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x=-SKIPIF1<0(x-SKIPIF1<0)2+SKIPIF1<0(0<x<3)又-SKIPIF1<0<0，所以當(dāng)x=SKIPIF1<0時，OE有最大值為SKIPIF1<0。過點(diǎn)M作MG∥y軸，交BN于點(diǎn)G，設(shè)M（m,m2-2m-3）。由N、B兩點(diǎn)可求得直線BN的解析式：Y=x-3，可得G（m,m-3），則GM=-m2+3m，所以S△MBN=SKIPIF1<0×（-m2+3m）×3=-SKIPIF1<0（m-SKIPIF1<0）2+SKIPIF1<0.當(dāng)M(SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0)時，△BMN的面積取得最大值。

3、如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)p，連接PB，得△PCB≌△BOA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)M是點(diǎn)C，F(xiàn)間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m.直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；當(dāng)m為何值時，△MAB的面積S取得最小值和最大值？請說明理由；求滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)。解析：(1)由△PCB≌△BOA可得PC=OB=3,BC=OA=1,所以P（3，4），（0，4）.將P（3，4），C（0，4）代入解析式得，b=3,c=4，所以拋物線y=-x2+3x+4。過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，則S△AMB=S梯形MNOB-S△AOB-S△AMN,代入整理得；S△AMB=-SKIPIF1<0（m-3）2+5,又知，0≤m≤4，且a=-SKIPIF1<0<0，所以當(dāng)m=3時，有最大值為5，當(dāng)m=0時，面積最小為SKIPIF1<0。此問分兩種情況①當(dāng)M點(diǎn)在OP左側(cè)，當(dāng)∠MPO=∠POA時，M點(diǎn)與P重合，此時M（0，4）.②當(dāng)M點(diǎn)在OP的右側(cè)，當(dāng)∠MPO=∠POA時，有PG=OG,設(shè)G（x，0）由勾股定理得PG2=（x-3）2+16，所以x2=（x-3）2+16，解得x=SKIPIF1<0，這樣可求得PM的解析式：Y=-SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0與y=-x2+3x+4建立方程組可求得M(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)當(dāng)∠MPO=∠POA時,M(0,4)或M(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)

4、如圖，線段AB=8，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APCD，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E，使∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合）。求證：△AEP≌△CEP；判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；求△AEF的周長。解析：（1）∵四邊形APCD是正方形，DP是對角線，∴根據(jù)SAS可證△AEP≌△CEP。過C作CN⊥BP交BP于點(diǎn)N，這樣就構(gòu)造出一線三垂直基本圖形，由AAS容易證△ABP≌△PNC,∴∠PAB=∠CPN,∵△AEP≌△CEP,∴∠PAE=∠PCE又∠EAP=∠BAP,∴∠CPN=∠PCE,∴CF∥BN,∵BG⊥AB,∴CF⊥AB.△AEF的周長=AE+AF+EF,又AE=CE,CE+EF=PN+PB,PB=CN=FB,PN=AB∴△AEF的周長=AB+FB+AF=2AB=16.

5、如圖，在四邊形ABFG中，AB=10，BF=4，∠B=600,設(shè)AE=x，AG=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。解析：過點(diǎn)F作FD⊥AB,垂足為D,∵∠B=600,BF=4，∴DF=2SKIPIF1<0,DB=2∴AD=8,由AE=x得DE=8-x。由一線三垂直，知△AEG∽△DFE,∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,∴y=SKIPIF1<0(8x-x2)

6、如圖，在正方形ABCD中，E是DC邊上一點(diǎn)，（與D、C不重合），連接AE，將△ADE沿AE所在的直線折疊得到△AFE，延長EF交BC于G，連接AG,作GH⊥AG，與AE的延長線交于