中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)《幾何模型》專題08 相似三角形中的基本模型（學(xué)生版）

專題08相似三角形中的基本模型【專題說(shuō)明】相似三角形本章節(jié)內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)中是一個(gè)重點(diǎn)，也是歷年中考必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。復(fù)習(xí)時(shí)我們首先要掌握本章節(jié)內(nèi)容的重難點(diǎn)。【模型】一、“8”字型及其變形模型展示：(1)如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).(2)如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).圖1圖2[1、如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，BD和CE相交于點(diǎn)F.如果DF＝2，那么線段BF的長(zhǎng)度為____.2、已知：如圖，AD·AB＝AF·AC，求證：△DEB∽△FEC.【模型】二、“A”字型及其變形模型展示：(1)如圖1，DE∥BC?△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).(2)如圖2，∠AED＝∠B?△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).(3)共邊共角模型，如圖3，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(CD,BC).圖1圖2圖31、在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2eq\r(2)，AB＝3，則BD＝____.2、如圖，已知BE，CD是△ABC的兩條高，連接DE，求證：△ADE∽△ACB.

3、如圖，AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，且AB∥EF∥CD，求證：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).【模型】三、“手拉手”旋轉(zhuǎn)型模型展示：如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來(lái).Com]1、如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求證：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.【模型】四、“子母(雙垂直)”型模型展示：如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D.如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)2、如圖，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，EF⊥AB.證明：△AEF∽△ABE.

【模型】五、“三垂直”模型與“一線三等角”模型模型展示：(1)“三垂直”模型如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.1、如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，使得AE⊥DE.(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長(zhǎng)．

2、如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合)，滿足∠DEF＝∠B，且點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．(1)求證：△BDE∽△CEF；(2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分∠DFC.[【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.（2019浙江杭州中考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，DE∥BC，M為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AM交DE于點(diǎn)N，則（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝2.如圖，在矩形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG，邊EF交CD于點(diǎn)H，在邊BE上取點(diǎn)M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于點(diǎn)L，交FG于點(diǎn)N，歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖解釋了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，現(xiàn)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)E為半徑作圓弧交線段DH于點(diǎn)P，連結(jié)EP，記△EPH的面積為S1，圖中陰影部分的面積為S2．若點(diǎn)A，L，G在同一直線上，則的值為（）A． B． C． D．3.如圖，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，則AB的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．54.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對(duì)應(yīng)中線，若AD＝10，A'D'＝6，則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)比是（）A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：95.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，EM∥AD，交AB于點(diǎn)M，EN∥AB，交AD于點(diǎn)N，則下列式子一定正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝6.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，則＝（）A．2 B． C．3 D．7.如圖，已知△AOB和△A1OB1是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且△AOB和△A1OB1的周長(zhǎng)之比為1：2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（）A．（2，﹣4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣4，2）

填空題1.在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的長(zhǎng)是．2.如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起10cm，已知杠桿的動(dòng)力臂AC與阻力臂BC之比為5：1，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓cm．3.已知正方形ABCD的面積是2，E為正方形一邊BC在從B到C方向的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，若CE＝，連接AE，與正方形另外一邊CD交于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)，與線段DE交于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)為．4.教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容．例2如圖，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，AD，CE相交于點(diǎn)G，求證：＝＝證明：連結(jié)ED．請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過(guò)程結(jié)論應(yīng)用：在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為邊BC的中點(diǎn)，AE、BD交于點(diǎn)F．（1）如圖②，若?ABCD為正方形，且AB＝6，則OF的長(zhǎng)為．（2）如圖③，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)G，若四邊形OFEG的面積為，則?ABCD的面積為．5.如圖，A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)B、D在y軸正半軸上，△ABD是△COD關(guān)于點(diǎn)D的位似圖形，且△ABD與△COD的位似比是1：3，△ABD的面積為1，則k的值為．

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心．位似比為2：3，點(diǎn)B、E在第一象限，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)是．

7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是邊AB上的一點(diǎn)，E是邊AC上的一點(diǎn)（D、E與端點(diǎn)不重合），如果△CDE與△ABC相似，那么CD的長(zhǎng)是．8.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADE，△BCE，△CDE兩兩相似時(shí)，則AE＝．【鞏固提升】1.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是1，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°．（2）類比探究如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題當(dāng)α＝90°時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．2.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，C、E是⊙O上的兩點(diǎn)，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求證：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的長(zhǎng)．3.如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上．小明的作法1．如圖②，在邊AC上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G．2．以點(diǎn)D為圓心，DG長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E．3．在EB上截取EF＝ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求作的菱形．（1）證明小明所作的四邊形DEFG是菱形．（2）小明進(jìn)一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個(gè)數(shù)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化……請(qǐng)你繼續(xù)探索，直接寫出菱形的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的CD的長(zhǎng)的取值范圍．4.閱讀下面材料，完成（1）﹣（3）題數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分線與BC相交于點(diǎn)F，BG⊥AF，垂足為G，探究線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，交流了自已的想法：小明：“通過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠BAE與∠DAC相等．”小偉：“通過(guò)構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步推理，可以得到線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系．”……老師：“保留原題條件，延長(zhǎng)圖1中的BG，與AC相交于點(diǎn)H（如圖2），可以求出的值．”（1）求證：∠BAE＝∠DAC；（2）探究線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示），并證明；（3）直接寫出的值（用含k的代數(shù)式表示）．5.已知：如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB＝AC，D是AO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO?AD，求證：四邊形ABDC是菱形．6.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)M，Q分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與A，B重合），且MQ⊥BC，過(guò)點(diǎn)M作BC的平行線MN，交AC于點(diǎn)N，連接NQ，設(shè)BQ為x．（1）試說(shuō)明不論x為何值時(shí)，總有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說(shuō)明理由；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值．

7.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以線段BC為直徑作圓，圓心為E，直線AC交⊙E于點(diǎn)D，連接OD．（1）求證：直線OD是⊙E的切線；（2）點(diǎn)F為x軸上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接CF交⊙E于點(diǎn)G，連接BG；①當(dāng)tan∠ACF＝時(shí)，求所有F點(diǎn)的坐