復(fù)數(shù)的運(yùn)算說(shuō)課稿

復(fù)數(shù)的運(yùn)算說(shuō)課稿林萍萍2012—10—21一、說(shuō)教材（一） 教材的地位與作用：1、 依據(jù)新大綱及教材分析，復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章知識(shí)的重點(diǎn)。2、 新教材降低了對(duì)復(fù)數(shù)的要求，只要求學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及幾何意義,加減乘除運(yùn)算及加減的幾何意義.因此，復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)，在教學(xué)中要注意與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和性質(zhì)的比較，多采用類比的學(xué)習(xí)方法，在復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算的教學(xué)中，應(yīng)避免煩瑣的計(jì)算，多利用復(fù)數(shù)的概念解決問(wèn)題。.3、將實(shí)數(shù)的運(yùn)算通性、通法擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種創(chuàng)新，有利培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神。（二） 學(xué)情分析：1、 學(xué)生以了解復(fù)數(shù)的概念與定義以及復(fù)數(shù)在數(shù)域內(nèi)的地位。2、 學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)較為豐富，以具有類比知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法。3、 學(xué)生思維活潑，積極性高，已初步形成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的合作探究能力。4、 學(xué)生層次參差不齊，個(gè)體差異比較明顯.（三） 教學(xué)目標(biāo)：1、 知識(shí)目標(biāo)：掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則。2、 能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的能力。3、 情感、價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，勇于創(chuàng)新的精神。（四） 教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)（五） 教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除法法則。教學(xué)方法:（六） 啟發(fā)式教學(xué)法關(guān)鍵：掌握復(fù)數(shù)加法、減法的定義和復(fù)數(shù)相等定義的運(yùn)用。二、 說(shuō)教法：1、本節(jié)課通過(guò)復(fù)習(xí)整式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，通過(guò)類比思想體會(huì)整式的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的運(yùn)算的共性，使學(xué)生體會(huì)其中的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力。2、例題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在學(xué)會(huì)復(fù)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上歸納計(jì)算方法，提高運(yùn)算能力，歸納、概括能力.三、 說(shuō)學(xué)法：1、 復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)，為本節(jié)課學(xué)習(xí)作鋪墊.通過(guò)對(duì)數(shù)系學(xué)習(xí)的回憶，引出課題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。2、 讓學(xué)生板演運(yùn)算法則，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和主動(dòng)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)。3、 通過(guò)例題學(xué)會(huì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，歸納運(yùn)算簡(jiǎn)便方法。培養(yǎng)

學(xué)生歸納問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的努力。四、說(shuō)課過(guò)程：（一）、復(fù)習(xí)提問(wèn)：1、 1.虛數(shù)單位i:（1）它的平方等于一1，即i2=-1；（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.2、 i與一1的關(guān)系：i就是一1的一個(gè)平方根，即方程X2=—1的一個(gè)根，方程X2=—1的另一個(gè)根是一i3、 復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a,bUR）叫做復(fù)數(shù)，a,b分別叫做它的實(shí)部和虛部。4、 復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)a+bi（a,bUR），當(dāng)b=0時(shí)，就是實(shí)數(shù)；當(dāng)b尹0時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0,bU0時(shí)，叫做純虛數(shù);5、 復(fù)數(shù)Z1=a1+b1i與Z2=a2+b2i相等的充要條件是a1=a2,實(shí)數(shù)（b=0）［實(shí)數(shù)（b=0）［一般虛數(shù)（b莉,a^0）虛數(shù)（b。0）<—4燈/［純虛數(shù)（b豐0,a=0）復(fù)數(shù)Z=a+bi<6、復(fù)數(shù)的分類：虛數(shù)不能比較大小，只有等與不等。即使是也沒(méi)有大小。7、復(fù)數(shù)的模：若向量oz表示復(fù)數(shù)z，則稱oz的模r為復(fù)數(shù)z，(2)的模，k|-Ia+bi1=Ja2+b2；，(2)積或商的模可利用模的性質(zhì)（1）氣…刁=葉?！? n 1 2zTz28、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸： yb，b)點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a、beR)可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示~° ax復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)z=a+bi<――對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(二)類比代數(shù)式，引入復(fù)數(shù)運(yùn)算：一、 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算類似根據(jù)代數(shù)式的加減法，則復(fù)數(shù)z與z的和：z+z=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.1 2 1 2(a,b,c,deR)復(fù)數(shù)z與z的差：z一z=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.1 2 1 2(a,b,c,deR)二、 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律1、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律：z+z=z+z。1221證明：設(shè)z=a+bi,z=a+bi(a,b,a,bER).1 1 1 2 2 2 1122z+z= (a+bi) +(a+bi) =(a+a)+(b+b)i.12 11 22 12 12z+z=(a+bi) +(a+bi)=(a+a)+(b+b)i。21 22 11 21 21又?.?a+a=a+a,b+b=b+b.12211221「?z+z=z+z。即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律。12212、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律：(z+z)+z=z+(z+z)TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 3證明：設(shè)z=a+bi.z=a+bi,z=a+bi(a,a,a,b,b,111 222 333 12 3 1 2b3ER)。(z+z)+z=[(a+bi)+(a+bi)]+(a+bi)12 3 11 22 33=[(a+a)+(b+b)i]+(a+b)i12 12 33=[(a+a)+a]+[(b+b)+b]i12 3 12 3=(a+a+a)+(b+b+b)i。123 123z+(z+z)=(a+bi)+[(a+bi)+(a+bi)]1 23 11 22 33=(a1+b1i)+(a2+a3)+(b2+b3)i]=[a+(a+a)]+[b+(b+b)]i1 2 3 1 2 3=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iV(a+a)+a=a+(a+a),(b+b)+b=b+(b+b).12 31 23 12 31 23「.(z+z)+z=z+(z+z).即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律1 2 3 1 2 3 ■三、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)的加(減)法(a+bi)土(c+di)=(a±c)+(b±d)i。與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加(減)。1?復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)〈一一對(duì)應(yīng)>平面向量O2。 復(fù)數(shù)z=a+bi<——對(duì)應(yīng)>平面向量O3。 復(fù)數(shù)加法的幾何意義：設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z「c+di,在復(fù)平面上所 農(nóng)二了對(duì)應(yīng)的向量為%、0Z；,即OZ：、0Z2的坐標(biāo)形%式為0Z1=(a,b),0Z2=(c,d).以0Z：、0Z2為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量是0Z,.\0Z=0Z1+0Z2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i4。 復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=(a—c)+(b—d)i,所以z—zjz、z2+z1=z,由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以0Z為一條對(duì)角線，0Z]■為一條邊畫平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的另一邊oz2所表示的向量0Z2就與復(fù)數(shù)z—z1的差(a—c)+(b—d)i對(duì)應(yīng)由于應(yīng)2=乓,所以，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差z—z1與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).講解范例：例1計(jì)算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(—2—i)-(3+4i)=(5—2-3)+(—6-1-4)i=—11i例2計(jì)算：(1—2i)+(—2+3i)+(3—4i)+(—4+5i)+...+(—2002+2003i)+(2003—2004i)解法一：原式=(1—2+3—4+——2002+2003)+(—2+3—4+5+???+2003—2004i)=(2003—1001)+(1001—2004)i=1002—1003i。解法二：?..(1—2i)+(—2+3i)=—1+i,(3—4i)+(—4+5i)=—1+i,(2001—2002i)+(—2002+2003)i=—1+i。相加得(共有1001個(gè)式子)：原式=1001(—1+i)+(2003—2004i)=(2003—1001)+(1001—2004)i=1002—1003i.例3已知復(fù)數(shù)Z1=2+i,z2=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B,求AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z,z在平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？解：z=z2—z1=(1+2i)—(2+i)=—1+i,?「z的實(shí)部a=—1V0,虛部b=1>0,???復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)。點(diǎn)評(píng)：任何向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，總是這個(gè)向量的終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差.即AB所表示的復(fù)數(shù)是z—z，而BA所表示的復(fù)數(shù)是z—z，故切不可把被減B A. AB數(shù)與減數(shù)搞錯(cuò),盡管向量AB的位置可以不同，只要它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量AB所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的，因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量，即它只

與其方向和長(zhǎng)度有關(guān)，而與位置無(wú)關(guān).5、復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)i。(a,b,c,deR)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。實(shí)數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律，在復(fù)數(shù)集C中仍然成立。即對(duì)z1,z2,z3仁C及m,nEN大有： zmzn=zm+n,(z(zm)n二zmnnnn（z]z2）-Z]z2.6、 共軛復(fù)數(shù)：若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；特別地，虛部不為0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；乙=a+所,三=a-bi(a，beR)，兩共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)或向量關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。H=|z'=#a2+b22z2z+z=z+z,z-z=z-z,12 12 12 12，HJz2z1= a+biac+bdbc-ad.7、 復(fù)數(shù)的除法：z2(a+bi)+(c+di)二c+di=c2+d2c2+d21(a,b,c,deR),分母實(shí)數(shù)化是常規(guī)方法復(fù)數(shù)的運(yùn)算，典型例題精析：例4.(1)復(fù)數(shù)錯(cuò)誤!等于( )A.1—i B。1+i C。一1+iDo—1—i

解析:復(fù)數(shù)(1+i)21—i解析:復(fù)數(shù)(1+i)21—i2i=1-i=i(1+i)=—1+i(2)若復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足z—z=2i,z=iz(i為虛數(shù)單位)，則z解：已知nZ—iZ=2inZ=吝=i-1；(3)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系z(mì)+|z1=2+i，求z；解：解：設(shè)z=a+bi(a,b為實(shí)數(shù))，由已知可得a+所+*2+b2=2+iia+\；a2+b2=2 3 3由復(fù)數(shù)相等可得：〔b=1 ，解得"=4,b=1，所以z=4+'設(shè)z=a+bi—x+yi(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化.(4)若xeC，解方程I尤IT+3i—x解：設(shè)x=a+bi(a,bER)代入條件得：履2+b2=1—a+(3-b)i,由復(fù)JJa2+b2=1—a數(shù)相等的定義可得：【3—b=0 ,「?a二一4,b=3，「?x二一4+3io例4:(1)復(fù)數(shù)z滿足1z+i|2-|z-i|2=1，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為(A)A.直線B.圓C.橢圓。?拋物線解：令z=x+yi(x，y^R)，則X2+(y+1)2—[x2+(y—1)2]=1,「?y=1/4。故選A。80復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算技巧：(1)i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3二一i,i4n=1^^&Zi4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(neZ)

①(1+，)2=2，②(1T)2=—2，③口=1④TTi=~l1V3.CO=————十 I“1”的立方根2-2的性質(zhì)：11-①033=1②(￡)2=(0③l+CD+(D2=0④CD ⑤3擴(kuò)充知識(shí)：9、特別地，％=z-z常=網(wǎng)=|知-七|為兩點(diǎn)間的距離。BA.,般-z「=lz-寸z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段Zg的垂直平分線；般-％1=尸，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；般-平+lz-寸=2。耕2|<20z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓；I。寸I=2MzV|>2o),z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.10、顯然有公式:Z-ZII<10、顯然有公式:Z-ZII<Z±Z<z+ZK+qF+ly12-z2|2=2*|2+"11、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根問(wèn)題:(1)當(dāng)A=b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根氣土.(2)當(dāng)A=Z?2-4ac<。時(shí)，方程有兩個(gè)共輛虛根，其中氣=%.此時(shí)有iy=XX=—IX12［且1,2此時(shí)有iy=XX=—IX12［且1,2-b±J-Az2a注意兩種題型:⑴虬-x?|⑵|x|+|x2|虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)根問(wèn)題：不能用判別式法，一般用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等求解。但仍然適用韋達(dá)定理。已知lX2-XJ是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，求虬―X」的方法:

(1)當(dāng)A=b2-4ac>0時(shí)，=、M+x)2-4xx=展2-4acv1 2 12 a\(2)當(dāng)A=b2-4ac<0時(shí),|x-x|=J(x+x)2-4xx=邑件21，，12 12 |a|已知x1，x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，求lX2+lxj的方法：(1)當(dāng)A=b2-4ac>0時(shí),…U>0t…U>0t①氣.％>0,即a，則%|+|x=|x+xxx21+lx1=I|x-x|=((x+x)2-4xx如2-4ac1 2 ' 1 2 12ciifV0t②氣.％<0,即a，則(2)當(dāng)A=b2-4acv0時(shí),|+|x=2|x|=2^；x-2招+i+p2V996例6(1)計(jì)算：1+2011-iJ答案：-1+i設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：般+35=后，求|z|的最大值與最小值；解：|zI的最大值為3把，最小值為43;若xeC，解方程1x|=1+3i-x解：設(shè)x=a+bi(a，bER)代入條件得：七。2+b2=1-a+(3-b)i，由復(fù)

Ja2+b2=1-a數(shù)相等的定義可得： I3*=° ,