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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)
填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o
2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦
干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先
劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。
4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.小張家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:30-7:30之間把報(bào)送到小張家,小張離開家去工作的時(shí)間在早上
7.00-8:0()之間.用A表示事件:“小張?jiān)陔x開家前能得到報(bào)紙”,設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x,小張離開家的時(shí)間為y,
(x,y)看成平面中的點(diǎn),則用幾何概型的公式得到事件A的概率P(A)等于()
523
A.-B.-c.一D.2
8558
2.已知等差數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S“,,
4=7,S3-=9,則《0=()
A.25B.32C.35D.40
3.已知集合人={0,1},B={0,1,2},則滿足AUC=B的集合C的個(gè)數(shù)為()
A.4B.3C.2D.1
4.若i為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)*則表示復(fù)數(shù)口的點(diǎn)是()
y
?--「十一一1
1??11
r-p-f---I-1-1
r■■
iiiQ11.
111111
-4-4
卜十卡-111
L-4---4-4-4
111111
L-4--i-------4--4-4
A.EB.FC.GD.H
5.設(shè)P={yb=—/+i,x£R},Q={y\y=2x,x€R},貝()
A.PQQB.QQP
C.CRP^QD.QQCRP
6.要得到函數(shù)/(x)=sin(3x+g)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖像,只需將/(x)的圖像()
A.向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍
B.向右平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的1倍
JT1
C.向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的三倍
D.向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍
O
7.如圖,在AABC中,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn),過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若麗=根印法,
AC^nAN>貝!1利+”=()
3
A.1B.-C.2D.3
2
8.若復(fù)數(shù)z=(37)(l+i),則同=()
A.2V2B.2亞c.V10D.20
9.設(shè)a,/?為兩個(gè)平面,則a〃//的充要條件是
A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與“平行
B.a內(nèi)有兩條相交直線與《平行
C.?,/?平行于同一條直線
D.a,“垂直于同一平面
10.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試,先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為001,002,
599,600.從中抽取60個(gè)樣本,下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行:
32211831297864540732524206443812234356773578905642
84421253313457860736253007328623457889072368960804
32567808436789535577348994837522535578324577892345
若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是()
A.324B.522C.535D.578
11.復(fù)數(shù)息的虛部是()
1+21
?1-1C.1D.-1
TC
12.若,是第二象限角且sin,=一,則tan(6+—)=
134
177177
A.——B.——C.—D.——
717717
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.已知/(x)=sin[|(x+1)—6cos[|(x+1)],則/(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=
14.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為5:5:4,現(xiàn)按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取若干人,若抽取的高
三年級(jí)為12人,則抽取的樣本容量為人.
15.(x+l)(x—2)6展開式中/的系數(shù)為.
16.已知數(shù)列{%}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若%-々=5,則%+84的最小值為.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)在數(shù)列{%}中,已知4=1,S.nan+I=(n+l)an+3n(n+l),n&N*.
(1)求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)2=△~~L,數(shù)列也}的前〃項(xiàng)和為T.,證明:-<?;,<-.
anan+\4J
18.(12分)已知數(shù)列{4}滿足丁二+白£+丁三+…+一£=
2a1-52al-52%-52an-53
(1)求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列」一的前〃項(xiàng)和為7;,證明:Tn<-.
164+J6
x=2>/2+2/
19.(12分)在直角坐標(biāo)系xO),中,直線/的參數(shù)方程為《廣。為參數(shù)),以。為極點(diǎn),x軸的正半軸為極
y={2T
軸建立極坐標(biāo)系,曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=2sin8.
(1)求/的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程;
(2)把曲線G向下平移1個(gè)單位,然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線C?(縱坐標(biāo)不變),設(shè)點(diǎn)尸是曲線G上
的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線/的距離的最小值.
20.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線G的參數(shù)方程為{.c.(e為參數(shù)),"為G上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)滿
y-2+2sina
足。戶=20麻,點(diǎn)P的軌跡為曲線
(I)求G的方程;
TT
(II)在以。為極點(diǎn),X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線。=§與G的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極
點(diǎn)的交點(diǎn)為8,求|A6|.
21.(12分)如圖,在三棱錐P—ABC中,平面Q4C_L平面ABC,AB=BC,PA上PC.點(diǎn)E,F(xiàn),。分別為線
段Q4,PB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn).
B
(1)求證:PA_L平面自3。.
(2)判斷尸G與平面所0的位置關(guān)系,并證明.
22.(10分)已知函數(shù)f(x)=x+a(l-e'),aeR.
(1)討論/(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),證明:f(x)-a\na+a<l.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.D
【解析】
這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.
【詳解】
解:事件A發(fā)生,需滿足即事件A應(yīng)位于五邊形3CDEE內(nèi)
,111
1——X—X—r
P(A)=——-~-~~-=-
J18
故選:D
【點(diǎn)睛】
考查幾何概型,是基礎(chǔ)題.
2.C
【解析】
設(shè)出等差數(shù)列{a,,}的首項(xiàng)和公差,即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程,求出通項(xiàng)公式,從而求得%。.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列{q}的首項(xiàng)為4,公差為。,則
久=4+2d=7_
區(qū)=3%+3d=9'解得q=.W=4,...%=4"-5,W^0=4x10-5=35.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用,涉及等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于容易題.
3.A
【解析】
由ADC=5可確定集合。中元素一定有的元素,然后列出滿足題意的情況,得到答案.
【詳解】
由AuC=6可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4種情況,所以選
A項(xiàng).
【點(diǎn)睛】
考查集合并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.
4.C
【解析】
由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(-1,1),所以z=-1+i,然后將z=-l+i代入一化簡(jiǎn)后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).
Z
【詳解】
由z=-l+i,所以」=".=i(一1一,)=1一,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)G.
z—1+i
故選:C
【點(diǎn)睛】
此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
5.C
【解析】
解:因?yàn)镻={y[y=-x2+1,x£R}={y|y<1},Q={y|y=2x,x£R}={y|y>0},因此選C
6.D
【解析】
先求得f(x),再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識(shí),選出正確選項(xiàng).
【詳解】
依題意/(x)=3cos3xd?—=3cos
于(x)=sin(3x+1)向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍得到/(X)的圖像.
故選:D
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,考查誘導(dǎo)公式,考查三角函數(shù)圖像變換,屬于基礎(chǔ)題.
7.C
【解析】
連接A。,因?yàn)?。為中點(diǎn),可由平行四邊形法則得布=;(通+恁),再將其用初,麗表示.由M、0、N
mn
三點(diǎn)共線可知,其表達(dá)式中的系數(shù)和一+—=1,即可求出機(jī)+〃的值.
22
【詳解】
連接A。,由。為6c中點(diǎn)可得,
AO=~(AB+AC)=—AM+-AN,
222
。、N三點(diǎn)共線,
mn,
=1
22
m+n=2.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了向量的線性運(yùn)算,由三點(diǎn)共線求參數(shù)的問題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.
8.B
【解析】
化簡(jiǎn)得到z=(3—i)(l+i)=4+2i,再計(jì)算模長(zhǎng)得到答案.
【詳解】
z=(3-z)(l+z)=4+2z,故國(guó)=同=2方.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
9.B
【解析】
本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),利用面面平行的判定定理與性質(zhì)
定理即可作出判斷.
【詳解】
由面面平行的判定定理知:a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是&//,的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若二//用,
則a內(nèi)任意一條直線都與夕平行,所以a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是二///的必要條件,故選B.
【點(diǎn)睛】
面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若
aua,buB,al1b,則a/此類的錯(cuò)誤.
10.D
【解析】
因?yàn)橐獙?duì)600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào),所以編號(hào)必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,
重復(fù)出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個(gè)編號(hào).
【詳解】
從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:
436,535,577,348,522,535,578,324,577,…,因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為
436,535,577,348,522,578,324,…,故第6個(gè)數(shù)據(jù)為578.選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用,正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.
11.C
【解析】
5z5/(1-2z)10+5/汽.5i
因?yàn)槎《?兀一^77^=一丁=2+,,所以丁下的虛部是1,故選C.
l+2z(l+2z)(l-2z)51+21
12.B
【解析】
10/____________cc12
由。是第二象限角且sin〃=一知:cos6=—Jl—sb?*——,tan6=----
13135
7Ttan0+tan4507
所以"R
1一tan。tan45°17
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.百
【解析】
TT
化簡(jiǎn)得,f(x)=2sin§x,利用周期即可求出答案.
【詳解】
解:/(x)=sin[?(x+l)]—6cos=2sinyx,
...函數(shù)的最小正周期為6,
.-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,
/./(1)+/(2)+/(3)+...+/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=百,
故答案為:V3.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
14.42
【解析】
根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.
【詳解】
設(shè)抽取的樣本為〃,
45+5+4
則由題意得一一,解得〃=42.
12n
故答案為:42
【點(diǎn)睛】
本題考查了分層抽樣的知識(shí),算出抽樣比是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.
15.48
【解析】
變換(x+l)(x—2)6=x(x—2『+(x—2)6,根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.
【詳解】
666
(X—2)6的展開式的通項(xiàng)為:加=C;產(chǎn)「.(_2丫,(X+1)(X-2)=X(X-2)+(X-2),
取r=5和r=4,計(jì)算得到系數(shù)為:C^(-2)5+C^-(-2)4=48.
故答案為:48.
【點(diǎn)睛】
本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.
16.40
【解析】
設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4,根據(jù)4-4=5,可得4=一~^,因?yàn)?/p>
%+8。,=。應(yīng)3+84悶=_^一^=5^-1+—+2,根據(jù)均值不等式,即可求得答案.
q-iI-7-1)
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列{a,,}的公比為4,
,/%一。2=5,
5
4=
q(q-D
??,等比數(shù)列{4}的各項(xiàng)為正數(shù),
q>\9
(,、5年+8)
/+8%+8)=—
(9)
=54-1+--4-2>40,當(dāng)且僅當(dāng)q—1=3,
Iq—i)
即q=4時(shí),%+8%取得最小值40.
故答案為:40.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題,解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式和靈活使用均值不等式,考查了分析能力和
計(jì)算能力,屬于中檔題.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
3
17.(1)an=3M-2n;(2)見解析.
【解析】
(1)由已知變形得到也-5=3,從而{巴}是等差數(shù)列,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可;
n+lnn
(2)先求出數(shù)列{2}的通項(xiàng),再利用裂項(xiàng)相消法求出7“即可.
【詳解】
(1)由已知,—=%+3,即烏&―%=3,又a=1,則數(shù)列{3}是以1為首項(xiàng)3
n+1nn+ln1n
為公差的等差數(shù)列,所以組=1+(〃—l)x3=3〃-2,即為=3〃2—2〃.
n
+1
(2)因?yàn)閝="(3〃-2),則“
a?an+\(3n-2)(3n+l)33/1-23〃+1
所以小扣-;)+(;-;)+…+(七--高)《又
口一二二}是遞增數(shù)列,所以7;27;=,,綜上,\<Tn<\.
3n+l443
【點(diǎn)睛】
本題考查由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.
18.(1)(2)見解析.
2
【解析】
n.nS],〃=1
(1)令"=在=,利用dh〃〉,可求得數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式,由此可得出數(shù)列{??}的通
.5“-S“T,
項(xiàng)公式;
1_41
(2)求得利用裂項(xiàng)相消法求得7,,進(jìn)而可得出結(jié)論.
33〃+53(〃+1)+5
【詳解】
nn
⑴令s,,=5,3t/'
當(dāng)“22時(shí),”=S“-S“T=]-?=;;
17〃13〃+5
當(dāng)〃=1時(shí),則2=75>故%=---;
32^-532
1_________4__________4_J__________]
anan+i(3〃+5)[3(〃+1)+5]33〃+53(〃+1)+5
(_J_________1>+(_J_________+(_J________________]'
13x1+53x2+5J(3x2+53x3+5J3x/i+53(〃+l)+5,
411I411
383(n+l)+5j386
【點(diǎn)睛】
本題考查利用S“求通項(xiàng),同時(shí)也考查了裂項(xiàng)相消法求和,考查計(jì)算能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.
2^/10
19.(1)/:x+2y-4&=0,C:x2+(y-l)2=1;
5
【解析】
(1)在直線/的參數(shù)方程中消去參數(shù)/可得出直線/的普通方程,在曲線G的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以「得
"=2夕sin。,進(jìn)而可化簡(jiǎn)得出曲線C的直角坐標(biāo)方程;
?2
(2)根據(jù)變換得出G的普通方程為、+丁=1,可設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2cos8,sin8),利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合
正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.
【詳解】
X-2&+ItX-2V2r-
(1)由,廣。為參數(shù)),得^―%?=-2,化簡(jiǎn)得x+2y-4/=0,
y=yJ2-ty_.2
故直線I的普通方程為x+2y-40=O.
由/7=2sin9,得0?=22sin,,Xp2=x2+y2,x=°cos6,y=psin0.
所以G的直角坐標(biāo)方程為-+(y-i)2=1;
(2)由(1)得曲線G的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-l)2=l,向下平移1個(gè)單位得到x?+y2=i,
縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線C的方程為三+V=1,
4
x=2cose
所以曲線。2的參數(shù)方程為.八(6為參數(shù)).
y=sm0
故點(diǎn)P到直線/的距離為|2cos6+2sin。-4閥_20sm(e+/-4及,
忑=忑
當(dāng)。=彳時(shí),4最小為名叵.
45
【點(diǎn)睛】
本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點(diǎn)到直線的距
離最值的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.
20.(I){,,.(a為參數(shù));(II)2G
y=4+4sma
【解析】
x—2x
(I)設(shè)點(diǎn)P(x,y),"(內(nèi),x),貝"丫=2;’代入化簡(jiǎn)得到答案.
77
(II)分別計(jì)算G,Q的極坐標(biāo)方程為。=4sin。,夕=8sin6,取代入計(jì)算得到答案.
【詳解】
(I)設(shè)點(diǎn)P(x,y),M(X[,x),0戶=20必,故(J,
x=4cosa
故C)的參數(shù)方程為:\.(。為參數(shù)).
y=4a+a4sina
x=2cosa今.
(D)cc?,故X+y-4y=0,極坐標(biāo)方程為:〃=4sine;
[y=2+2sina
x=4coscc
C2:\,故d+y2_8y=0,極坐標(biāo)方程為:夕=8sind.
[y=4+4sina
6=5,故月=4sin(=26,p2=8siny=4A/3,故=忱—勾=26.
【點(diǎn)睛】
本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,弦長(zhǎng),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.
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