八年級數(shù)學平移和旋轉（老師版）

領航圖形平移和旋轉專題

一：知識點

1、平移的定義與規(guī)律

關鍵：平移不改變圖形的形狀和大小，也不會改變圖形的方向.

(1)平移的規(guī)律：經(jīng)過平移，對應線段、對應角分別相等，對應點所連的線段平行且

相等(或共線且相等).

(2)簡單作圖

平移的作圖主要關注要點：1、方向，2、距離。整個平移的作圖，就像把整個圖案的每

個特征點放在一套平行的軌道上滑動一樣，每個特征點滑過的距離是一樣的.

2、旋轉的定義與規(guī)律

(1)定義：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形

運動稱為旋轉.

關鍵：旋轉不改變圖形的大小和形狀，但改變圖形的方向.

(2)旋轉的規(guī)律

經(jīng)過旋轉，圖形上的每一點，都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對

應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等.

(3)簡單的旋轉作圖：旋轉作圖關鍵有兩點：①旋轉方向，②旋轉角度.主要分四步:

邊、轉、截、連.旋轉就像把每個特征點與旋轉中心用線連住的風箏，每個點轉的角度是相

同的，每個點與旋轉中心的距離是不會改變的，即對應點與旋轉中心距離相等.

二、幾種常見的類型

(一)正三角形類型

在正AABC中，P為AABC內一點，將△ABP繞A點按逆時針方向旋轉60°,使得AB與AC

重合。經(jīng)過這樣旋轉變化，將圖(l-1-a)中的PA、PB、PC三條線段集中于圖(l-1-b)中

的一個AP'CP中，此時AP'AP也為正三角形。

圖(l-1-a)圖(l-1-b)1

=>

例1、如圖：（1-1）：設P是等邊△ABC內的一點，PA=3,PB=4,PC=5,/APB的度數(shù)是

簡解：在△ABC的外例，作/BA尸三NCAP,且AP=AP=3,^,

則△BAP組易證△APP為正三角形，△PBP為取△“

ZAPB=NAP尸'+NPPB=60:+90s=150%'

（二）正方形類型

在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內一點，將AABP繞B點按順時針方向旋轉90°,使

得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）

中的ACPP'中，此時ABPP'為等腰直角三角形。

=

圖(2-1-a)圖(2-1-b)，

例2、如圖（2-1）：P是正方形ABCD內一點，點P到正方形的三個頂點A、B、C的距離

分別為PA=1,PB=2,PC=3。求此正方形ABCD面積。

=

圖（2-1）圖(2-2).

簡解…

作aAED使NDAE=NBAP,AE=AP迫SEP,KIJAADE^AABP.

同樣方法，作ADFC且有^DFCg△BPC,P

易證為等腰直角三角形，又二蚌1.，

,-.PE=72同理，PF=30P

ZEDA=NPBA,上FDC=」PBC，

XVZPBA+ZPBC=90s.

/.ZEDF=ZEDA+ZFDC+ZADC=90490三180，

二點E、D、F在一條直線上。"

/.EF=ED+DF=2+2=4,。

在AEPF中，EF=4,EP=V2,FP=30，

由勾股定理的逆定理，可知^EPF為取

S正方形ABCD哆憨S就母代S期對題戶印C=3+彳+-=8-

（三）等腰直角三角形類型

在等腰直角三角形△ABC中，/C=Rt/,P為△ABC內一點，將AAPC繞C點按逆時針方

向旋轉90°,使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉變化，在圖（3-1-b）中的一個AP'CP為等

腰直角三角形。

=>

圖（3-1-a）

例3,如圖，在AABC中，/ACB=900,BC=AC,P為AABC內一點，且PA=3,PB=1,PC=2。

求/BPC的度數(shù)。

簡解：在RgABC的外側，作NBCPNACP,且CP=CP=2,連結PPN

則ABCP烏AACP。易證RgCPP為等腰直角三角形，.

在APBP中，BP=3,BP=1,PP=20,q

由勾股定理的逆定理可知，APPB為奧△為取A,NPPB=90。

:.NBPC=NCPP+NPPB=453+90,=135”

例4、如圖，將MBC繞頂點A順時針旋轉605后得到MB'C,且U為BC的中點，則C'D:DB'=

()

A.1:2B.1:C.1:D.1:3

分析：由于M8'C'是M8C繞頂點A順時針旋轉60?后得到的,

所以，旋轉角NCAC=60±

：.AC=AC,ZGAC=609,二反。。是等邊三角形，

：.AC=AC.又C'為BC的中點，

：.BC'=CC,

易得MB，C、A4BC是含30。角的直角三角形，

從而KACD也是含30。角的直角三角形

--.CB=-AC,AC=-BC,--.CD=-BC,故CDDB=1:3<

224

點評：本例考查靈活運用旋轉前后兩個圖形是全等的性質、等邊三角形的判斷和含30。角

的直角三角形的性質的能力，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)AAC'C是等邊三角形.

例5、如圖，將矩形A8CD沿AE折疊，若N84/=30。，則NAED，等于（)

A.30°B.45°

C.60°D.75°

分析：由已知條件/BAD，=30。，易得/DAD，=60。，又：。、。關于AE對稱,

：.ZEAD=ZEAD'=30^,

：.ZAED^ZAED'^60^.

故選C

點評：本例考查靈活運用翻折前后兩個圖形是全等的性質的能力，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)NEAD=

ZEAD',ZAED=ZAED'

例6、如圖，直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB_LBC,AD=2,BC=3,將腰CD以D為中

心，逆時針旋轉90°至ED,連結AE、CE,則4ADE的面積是（）

分析：解題的關鍵是求4ADE的邊AD上的高?可先求作直角梯形的高DF,想到將△

CDF繞D逆時針旋轉90°至AEDG,由EG=GF,只要CF的長，就可以求出4ADE的面

積。

解：過D做DF_LBC于F,過E做EG_L,交AD的延長線于G

VZB=90°,AD〃BC

四邊形ABFD為矩形

FC=BC-AD=3—2=1,ZEDC=ZFDC=90°

.,.ZFDC=ZEDG.又：/DFC=NG=90°,ED=CD

.".△EDG^ACDF,；.EG=CF=1

△ADE的面積

因此，選擇A

點評：明確4ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫成DE,作梯形高是常見的解題方法

之一。

例7、D、E為AB的中點，將AABC沿線段DE折疊，使點A落在點F處。若NB=50°,

則/BDF=

分析：通過折紙實驗，多次嘗試，得出結論。

解：：D、E為AB的中點，

，DE〃BC,ZADE=ZB=50°

由折紙實驗得：/ADE=/FDE

.".ZBDF=1800-ZADE-ZFDE=180°-2X50°=80°

點評：幾何變換沒有可套用的模式，關鍵是同學們要善于多角度、多層次、多側面地

思考問題，觀察問題、分析問題。

例8、如圖，已知長方形ABCD的周長為20,AB=4,點E在BC上，且AE±EF,AE=EF,

求CF的長。

【解析】：

將4ABE以點E為旋轉中心，順時針旋轉90。，此時點B旋轉到點B'處，AE與EF

重合，由旋轉特征知：B'E_LBC，

四邊形B'ECF為長方形，，CE=BF'=AB

CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6

.,.CF=BC-CE=6-4=2

例9、如圖，在等邊/XABC中，點E、D分別為AB、BC上的兩點，且BE=CD,AD與CE交于

點M,求NAME的大小。

【解析】：

因為BC=AC,/ABC=/ACD=60°，BE=CD,所以以△械的中心（等邊三角形三條中線的交點）°

為旋轉中心，將^ADC順時針旋轉120°就得到了ACEB,.-.ZAME=180°-ZAMC=180°

-120°=60°

例10、如圖，點F在正方形ABCD的邊BC上,AE平分/DAF，請說明DE=AF-BF成立的理由。

提圖訓練

一、填空題

1.如圖，AABC平移后得到AA'B'。，線段AB與線段A'B'的位置關系是

2.在1題中，與線段AA'平行且相等的線段有

3.如圖，Z\ABC旋轉60°后得到AAB'C',旋轉方向是時針.

4.在3題中，與NBAB'相等的角是___________.

6.如圖，4ABC以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉60°,得△AB'C',則aABB，是

三角形.

7.如圖把正方形繞著點0旋轉，至少要旋轉度后與原來的圖形重合.

8.如圖，把三角形AABC繞著點C順時針旋轉35°,得到AA'B'C,A'B'交AC于點D,

若NA'DC=90°,則NA的度數(shù)是.

9.RtZ\ABC中，ZC=90°,四邊形ECFD為正方形，若AD=3,DB=4,陰影部分的面積為.

A

cCB

F

第8題圖第9題圖

7、將直角邊長為5cm的等腰直角AABC繞點A逆時針旋轉15。后，得到AABC,則圖中陰影部

分的面積是空些cm?

-6

2.（2012四川南充3分）如圖，四邊形ABCD中,NBAD=NBCD=90°,AB=AD,若四邊形ABCD

的面積是24cm：則AC長是▲cm.

【答案】4x/3o

【考點】等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理。

【分析】如圖，將△ADC旋轉至4ABE處，則aAEC的面積和四

邊形ABC1）的面積一樣多為24cm）,這時三角形AAEC為等腰直

角三角形，作邊EC上的高AF,則AF=LEC=FC,

2

二SAAEC=-AF?EC=AF2=24。.*.AF2=24.

2

.\AC2=2AF2=48AC=4反

6.（2012江西南昌3分）如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將AAEF繞

頂點A旋轉，在旋轉過程中，當BE=DF時，NBAE的大小可以是▲.

【答案】15°或165°。

【考點】正方形和正三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質。

【分析】正三角形AEF可以在正方形的內部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別

求解:

①當正三角形AEF在正方形ABCD的內部時，如圖1,

?正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，

，AB=AD,AE=AFo

?.,當BE=DF時，在4ABE和AADF中，AB=AD,BE=DF,AE=AF,

.?.△ABE^AADF(SSS)?AZBAE-ZFADo

VZEAF=60",AZBAE+ZFAD=30°。ZBAE=ZFAD=15°。

②當正三角形AEF在正方形ABCD的外部，順時針旋轉小于180°時，如圖

2,

同上可得△ABEgZXADF(SSS)o/BAE=NFAD。

VZEAF=60°,.,.ZBAF=ZDAEo

V90°+60l,+ZBAF+ZDAE=360°,AZBAF=ZDAE=105°。

；./BAE=NFAD=165°?

③當正三角形AEF在正方形ABCD的外部，順時針旋轉大于180°時,

如圖3,

同上可得△ABETZiADF(SSS)oAZBAE=ZFADO

VZEAF=60°,ZBAE=90°,

.?.90°+ZDAE=60°+ZDAE,這是不可能的。

此時不存在BE=DF的情況。

綜上所述，在旋轉過程中，當BE=DF時，NBAE的大小可以是15°或165°。

7.(2012吉林省3分)如圖，在等邊aABC中，D是邊AC上一點，連接BD.將4BCD繞點

B逆時

針旋轉60°得到ABAE,連接ED.若BC=10,BD=9,則4AED的周長是▲.

【答案】19。

【考點】旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質。

【分析】（△BCD繞點B逆時針旋轉60°得到aBAE,

.,?根據(jù)旋轉前、后的圖形全等的旋轉性質，得，CD=AE,BD=BE。

：△ABC是等邊三角形,BC=10,.\AC=BC=10,/.AE+AD=AC=10o

又；旋轉角NDBE=60",...△DBE是等邊三角形。：.DE=BD=9。

AAAED的周長=DE+AE+AD=9+10=19。

5、（2009年衡陽市）點A的坐標為（JL0）,把點A繞著坐標原點順時針旋轉135。到點

B,那么點B的坐標是.

4

6、（2009年棗莊市）如圖，直線y=-§x+4與x軸、y軸I

分別交于A、8兩點，把△AOB繞點A順時針旋轉90。后得到b\Or……二海

△AO'B',則點"的坐標是_____________.\

7、（2009年撫順市）如圖所示，在平面直角坐標系中，△043三-0|一kX

個頂點的坐標是。（0,0）、A⑶4）、8（5,2）.將△QA6繞原點

。按逆時針方向旋轉90°后得到△Q4.4,則點A的坐標

是.

二、選擇題

12.下列圖形屬于平移位置變換的是（）.

A.B.C.D.

13.下列圖案中，含有旋轉變換的有（）.

★OW□

A.4個B.3個C.2個D.1個

14.將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為（）.

A.旋轉B.旋轉對稱C.中心對稱D.平移

15.下列圖形中，繞某個點旋轉180°能與自身重合的有（）

①正方形②長方形③等邊三角形④線段⑤角⑥平行四邊形

A.5個B.2個C.3個D.4個

17.在以下現(xiàn)象中，

①溫度計中，液柱的上升或下降；②打氣筒打氣時，活塞的運動；

③鐘擺的擺動；④傳送帶上，瓶裝飲料的移動

屬于平移的是（）

A.①②B.①③C.②③D.②④

18.下列圖形中，是由（1）僅通過平移得到的是（）

第19題圖F

19.如圖，兩個邊長相等的兩個正方形ABCD和0EFG,若將正方形0EFG繞

點。按逆時針方向旋轉150°,兩個正方形的重疊部分四邊形0MCN的面積（）

A.不變B.先增大再減小C.先減小再增大D.不斷增大

1、如圖,所給的圖案由AABC繞點。順時針

旋轉（）前后的圖形組成的。

A.45°、90°、135°B.90°、135°、180°

C.45°、90°、135°、180°D.45°、180°、225°

4、如圖，線段A8=CD,AB與CD相交于點O,且NAOC=

與A8的大小關系是：（）

A、AC+BD<ABB、AC+BD=ABC、AC+BD>ABD、無法確定

（第4題圖）（第5題圖）（第6題圖）

5、如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形A8C。'，則圖中陰影

部分面積為（）

A、ZB、BC、"BD.i

3342

10、如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的點，連結BE,將4BCE繞點C順時針方向旋

轉90°得到△DCF,連結EF,若/BEC=60°,則NEFD的度數(shù)為（）.Q

0250K

A、100B、15°C、20°

BCF

aF

3.如圖可以看作正△0AB繞點0通過（A）旋轉所得到的7\

6次

A.3次B.4次C.5次D.B4--V--AE

r.n

1、如圖，XACB色XNCB、ZBCB'二30。，則NACW的度數(shù)為

（）

A.20°B.30°C.35°D.40°

:

2、如圖，將AABC繞著點C順時針旋轉50°后得到AA'B'C'.若NA=40°.NB'=110°,

則NBCA'的度數(shù)是【】

;一,

C

A.110°B.80°C.40°D.30°

【答案】Bo

7.（2012貴州黔東南4分）點P是正方形ABCD邊AB上一點（不與A、B重合），連接PD

并將線段PD繞點P順時針旋轉90°,得線段PE,連接BE,則ZCBE等于【】

A.75°B.60°

【答案】Co

【分析】過點E作EFLAF,交AB的延長線于點F,則NF=90°,

；四邊形ABCD為正方形，,*.AD=AB.ZA=ZABC=90°。AZADP+ZAPD=90°?

由旋轉可得：PD=PE,ZDPE=90°,.,.ZAPD+ZEPF=90°。

.,.ZADP=ZEPFo

在AAPD和AFEP中，VZADP=ZEPF,NA=NF,PD=PE,

.,.△APD^AFEP(AAS)0.\AP=EF,AD=PF。

又：AD=AB,，PF=AB,即AP+PB=PB+BF。.,.AP=BFo.\BF=EF

又???/F=90",.?.△BEF為等腰直角三角形。/.ZEBF=45°。

XVZCBF=90°,...NCBE=45°。故選C。

1>（2009年瀘州）如圖1,P是正AABC內的一點,若將△PBC繞點B旋轉到APBA,則NPBP'

的度數(shù)是（)

A.45°B.60°C.90°D.120°

X

2、（2009年陜西?。┤鐖D，ZAOB=90°,ZB=30°,ZWOB，可以看作是由△AOB繞點。順

時針旋轉a角度得到的，若點/V在AB上，則旋轉角a的大小可以是（）

A.30°B.45。C.60°D.90°

3、（2009年桂林市、百色市）如圖所示，在方格紙上建立的平面直角坐標系中，將△AB。

繞點。按順時針方向旋轉90。,得△43'。，則點A的坐標為（）.

A.（3,1）B.（3,2）C.（2,3）D.（1,3）

8、（2009年四川省內江市）已知如圖1所示的四張牌，若將其中一張牌旋轉180。后得到圖2,

則旋轉的牌是（）

A.

10、（2009年崇左）已知點A的坐標為（a,h）,。為坐標原點，連結。A,將線段OA繞點

。按逆時針方向旋轉90。得。則點A的坐標為（）.

A.（—a,b）B.（a,—b）C.ci）D.（b,-a）

三、解答題（每小題10分，共50分）

12.如圖，AA8C的NBAC=120°,以BC為邊向形外作等邊ABC。，把繞著D點按

順時針方向旋轉60°后到AECO的位置。若AB=3,AC=2,求NBAD的度數(shù)和AD

的長.

8、在矩形A8CD中，AD=2AB,E是AO的中點，一塊三角板的直角頂點與點E重合,

將三角板繞點E按順時針方向旋轉.當三角板的兩直角邊與AB,BC分別交于點M,N

時，觀察或測量8"與CN的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論.

（8題圖）

8、【答案】：BM-CNo過點E作EFLBC,可得四邊形ABFE是正方形，所以AE=EF,NA=NEFN.

又因為/AEF=MEN=90°,所以4AEM絲ZXFEN,所以AM=FN,又因為AB=FC,所以BM=CN.

點評：證明全等三角形是證明線段和角相等的方法之一，本題需要添加輔助線構建全等三角

形.

9、在矩形A8CD中，AB=2,AD=g.

（1）在邊CD上找一點E,使EB平分NAEC,并加以說明；（3分）

（2）若P為BC邊上一點，且BP=2CP,連接EP并延長交A8的延長線于F.

①求證：點B平分線段AF；（3分）

②E能否由△「用繞P點按順時針方向旋轉而得到，若能，加以證明，并求出旋轉

度數(shù)；若不能，請說明理由.（4分）

9、【答案】（1）當E為CD中點時，EB平分NAEC。

由ND=90°，DE=1,AD=6，推得/DEA=60°,同理，ZCEB=60°,

從而/AEB=NCEB=60°,即EB平分NAEC。

,、cCECP1

(2)①：CE〃BF,；.—=——=一；.BF=2CE。

BFBP2

,/AB=2CE,點B平分線段AF

②能。

證明：":CP=-1△,CE=1,ZC=90°,/.EP=2-V3o

33

在RtZXADE中，AE={9與1+/

=2,AAE=BF,

又???

PB=26,PB=PE

3

VZAEP=ZBP=90°,.;△PAS四△PFB。

.1△PAE可以4PFB按照順時針方向繞P點旋轉而得到。

旋轉度數(shù)為120°。

12、已知正方形46(力中，2為對角線劭上一點，過E點、作EF_LBD交BC于F,連接加，G

為加1中點，連接CG.

(1)求證：EG-CG-,

(2)將圖①中△以尸繞6點逆時針旋轉45°,如圖②所示，取分'中點G,連接EG,CG.問

(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)將圖①中△曲繞8點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問(1)

中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？(均不要求證明)

15、復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題："如圖①，已知在AABC中,

AB^AC,P是AA8c內部任意一點，將AP繞A順時針旋轉至AQ,使NQAP=N8AC,連接8Q、

CP,貝IJBQ=CP."

小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖①的分析，證明了△ABQ2△ACP,從而證得

BQ=CP^JS,將點P移到等腰三角形A8C之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)"8Q=C7仍然成立,

請你就圖②給出證明.

圖①圖②

17、已知：正方形ABC。中，NMAN=45,NM4N繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別

交CB,DC（或它們的延長線）于點M,N.

當NMAN繞點A旋轉到BM=ON時（如圖1）,易證BM+DN=MN.

（1）當NM4N繞點A旋轉到3MHON時（如圖2）,線段8W,ON和MN之間有怎樣

的數(shù)量關系？寫出猜想，并加以證明.

（2）當NMAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段DN和MN之間又有怎樣的數(shù)

量關系？請直接寫出你的猜想.

則可證得E,B,M三點共線（圖形畫正確）

證明過程中，

證得：REAM=NNAM

證得：XAEM9XANM:.ME=MNME=BE+BM=DN+BM

：.DN+BM=MN(2)DN-BM=MN

10、已知：如圖1,E、F分別是正方形A8CD的邊BC、C。上的點，且NEAF=45。.

求證：BE+FD=EF

分析：可把AADF繞點A旋轉至圖2所示位置則

△A尸則EF'=EF,又EF'=BE+F'8=BE+FD所以，Bl

證明：如圖2,把△ADF繞點A順時針旋轉90°,至此

"：AD=AB,ZDAB=90°

，點、B與。，重合

VZABE+ZABF=180°,；.尸、8、E在一條直線上，即

?.?/EAF=45°,AZBAE+ZDAF=45"

：.ZF'AB+ZBAE=45°,

：.ZF'AB=ZFAE=45°

又?：AF=AF,AE=AE,：./\F'AE^/\FAE

：.EF=EF',：.BE+FD=EF圖2

11、四邊形ABC。、DEFG都是正方形，連接AE、CG.

（1）求證：AE=CG；

（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，

并證明你的猜想.

⑴證明：如圖6,

AD=CD,DE=DG,ZADC=ZGDE=90°,

又ZCDG=90°+ZADG=ZADE,

：.△ADE/XCDG.：.AE=CG.

⑵猜想：AELCG.

c圖6

證明：如圖6,

設AE與CG交點為M,AD與CG交點為N.

/\ADE^/\CDG,：.ZDAE=ZDCG.

又；NANM=NCND，；."MNsACDN.

：.ZAMN=ZADC=90°.：.AE±CG.

點評：本題也是典例的一個變式題，不僅有正方形旋轉的情形（正方形A8CD可繞點D旋

轉），還隱含著三角形的旋轉（/XADE繞點。旋轉某一角度與aCDG重合）.第一小題是常規(guī)題,

只需找到相應的全等三角形即可證明，較易解決；第（2）小題是一開放探索題，可大膽猜想，

細心求證.

2、如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點，且BE+DF=EF,求/EAF

圖11-4

3、如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于O,E是AC上一點，過點A作AG

1EB,垂足為G,AG交BD于點F,求證：0E=0F。

9、如圖，正方形ABCD的邊長為1,AB、4。上各有一點P、Q,如果A4PQ的周長為2,

求NPCQ的度數(shù)。

6.(2012四川樂山12分)如圖1,AABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、

F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF,BD_LCF成立.

(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉。(0°<0<90°)時，如圖2,BD=CF成立嗎？

若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3,延長BD交CF于點G.

①求證：BD±CF；

②當AB=4,AD=&時，求線段BG的長.

【答案】解：(1)BD=CF成立。理由如下：

「△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

.\AB=AC,AD=AF,ZBAC=ZDAF=90°?

VZBAD=ZBAC-ZDAC,ZCAF=ZDAF-ZDAC,AZBAD=ZCAF0

在△BAD和ACAF中，VAB=AC,ZBA1)=ZCAF,

/.△BAD^ACAF(SAS),，BD=CF。

(2)①證明：設BG交AC于點也

VABAD^ACAF(已證)，AZABM=ZGCMo

AB

②過點F作FNLAC于點N。

?.?在正方形ADEF中,AD=DE=&,

AE=A/AD2+DE2=722+22=2,

.".AN=FN=-AE=1?

2

?.,在等腰直角aABC中，AB=4,；.CN=AC-AN=3,

BC=VAB2+AC2="毋=4及。

FN1

/.在RtAFCN中，tan/FCN=—=-。

CN3

在RtAABM中，tanZFCN=tanZABM=—=-

AB3

3.「4癡

VABMA^ACMG,:.典=亶，即Z1----,.?VU----------o

BACG4CG5

2245/ioY8710

.,.在RtABGC中,BG=\/BC-CG=(40-

5)5

13.（2012遼寧丹東12分）已知:點C、A、D在同一條直線上，ZABC=ZADE=a,線段BD、

CE交于

點M.

（1）如圖1,若AB=AC,AD=AE

①問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；

②求NBMC的大?。ㄓ胊表示）；

（2）如圖2,若AB=BC=kAC,AD=ED=kAE

則線段BD與CE的數(shù)量關系為,ZBMC=（用a表示）；

（3）在（2）的條件下，把AABC繞點A逆時針旋轉180°,在備用圖中作出旋轉后的圖

形（要求：尺

規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接EC并延長交BD于點M.則/BMC=（用

a表示）.

【答案】解：⑴如圖U

①BD=CE,理由如下：

VAD=AE,ZADE=a,/.ZAED=ZADE=a,。AZDAE=180°-

2ZADE=180°-2ao同理可得：ZBAC=180°-2aoZDAE=ZBAC?

/.ZDAE+ZBAE=ZBAC+ZBAE,即：ZBAD=ZCAE(.

在AABD與AACE中，：AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

.,.△ABD絲△ACE(SAS)?.\BD=CE?

(2)VAABD^AACE,/BDA=NCEA。

VZBMC=ZMCD+ZMDC,AZBMC=ZMCD+ZCEA=ZI)AE=180°-2a0

(y

(2)如圖2,BD=kCE,90°一一a0

2

(3)作圖如下：

【分析】（1）①先根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質及三角形內角和定理得出NDAE=NBAC,

則NBAD=NCAE,再根據(jù)SAS證明△ABD嶺Z\ACE,從而得出BD=CE。

②先由全等三角形的對應角相等得出NBDA=NCEA,再根據(jù)三角形的外角性質

即可得出

NBMC=NDAE=180°-2ao

ieno_/ADFa

（2）VAD=ED,NADE二a,AZDAE=——■=上上=90。一上。

22

同理可得：ZBAC=90°--o

2

???ZDAE=ZBACo

ZDAE+ZBAE=ZBAC+ZBAE,即：/BAD=NCAE。

VAB=kAC,AI>kAE,.'.AB：AC=AD：AE=k。

在AABD與AACE中，TAB：AC=AD：AE=k,ZBDA=ZCEA,AAABD^AACEo

ABD：CE=AB：AC=AD：AE=k,NBDA二NCEA。/.BD-kCEo

a

ZBMC=ZMCD+ZMDC,ZBMC=ZMCD+ZCEA=ZDAE=90°――。

2

（3）先在備用圖中利用SSS作出旋轉后的圖形，再根據(jù)等腰三角形等角對等

zy

邊的性質及三角形內角和定理得出NDAE=NBAC=90°——，由AB=kAC,AD=kAE,得出AB：

2

AC=AD：AE=k,從而證出△ABDs^ACE,得出/BDA=/CEA,然后根據(jù)三角形的外角性質即可

a

得出NBMO90o+-：

2

1OQO_/ADFzy

AD=ED,ZADE=a,ZDAE=ZAED=----=------=90°--。

22

（y

同理可得：ZBAC=90°一一o

2

.'.ZDAE=ZBAC,即NBAD二NCAE。

VAB=kAC,AD=kAE,AAB：AC=AD：AE二k。

在aABD與4ACE中，TAB：AC=AD：AE=k,ZBAD=ZCAE,AABD^AACEo

AZBDA=ZCEAo

VZBMC=ZMCD+ZMDC,ZMCD=ZCED+ZADE=ZCED+a,

aa

：.ZBMC=ZCED+a+ZCEA=ZAED+a=90°——+a=90°+—。

22

14.（2012遼寧阜新12分）（1）如圖，在AABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

①當點D在AC上時，如圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你猜想

的結論；

②將圖1中的AADE繞點A順時針旋轉a角（0。<a<90°）,如圖2,線段BD、CE有怎

樣的數(shù)量關系和位置關系？請說明理由.

（2）當aABC和aADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段BD、CE在（1）中的

位置關系仍然成立？不必說明理由.

甲：AB：AC=AD：AE=1,ZBAC=ZDAE^90°；

乙：AB：AC=AI)：AEW1,/BAC=NDAE=90°；

丙：AB：AC=AI)：AEW1,/BAC=/DAEW90°.

【答案】解：(1)①結論：BD=CE,BDXCEo

②結論：BD=CE,BD±CE?理由如下:

,/ZBAC=Z1)AE=9O0,/.ZBAD-ZDAC=ZDAE-ZDAC,B|JZBAD=ZCAE,

在RtZ\ABD與RtZ\ACE中，VAB=AC,ZBAD=ZCAE,AI)=AE,

/.△ABD^AACE(SAS)?；.BD=CE。

延長BD交AC于F,交CE于H。

在AABF與aHCF中，

VZABF=ZHCE,ZAEB=ZHFC,

.../CHF=/BAF=90°..\BDXCEo

(2)結論：乙.AB：AC=AD：AE,ZBAC=ZDAE=90°。

【考點】全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，旋轉的性質。

【分析】(1)①BD=CE,BD±CEo根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知

△ABD^AACE,然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等

ZABF=ZECA；然后在aABD和4CDF中，由三角形內角和定理可以求得

ZCFD=90°,即BDJ_CF。

②BD=CE,BDICEo根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知

△ABD^AACE,然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等

ZABF=ZECA；作輔助線(延長BD交AC于F,交CE于H)BH構建對頂角NABF=NHCF,再

根據(jù)三角形內角和定理證得NBHC=90°。

(2)根據(jù)結論①、②的證明過程知，ZBAC=ZDFC(或/FHC=90°)時，該結論成

立了，所以本條件中的/BAC=NI)AE#90°不合適。

16.（2012遼寧本溪12分）已知，在aABC中，AB=AC.過A點的直線a從與邊AC重合的

位置開始繞點A按順時針方向旋轉角0,直線a交BC邊于點P（點P不與點B、點C重合.）,

△BMN的邊MN始終在直線a上（點M在點N的上方），且BM=BN,連接CN。

（1）當NBAC=NMBN=90°時，

①如圖a,當。=45°時，/ANC的度數(shù)為；

②如圖b,當6W45°時，①中的結論是否發(fā)生變化？說明理由；

（2）如圖c,當/BAC=/MBN#90°時，請直接寫出/ANC與NBAC之間的數(shù)量關系，不必

證明。

【答案】解：(1)①45。。

②不變。理由如下

過B、C分別作BD1AP于點D,CELAP于點E。

VZBAC=90°,.,.ZBAD+ZEAC=90°?

VBD±AP,/.ZADB=90°。AZABD+ZBAD=90°。

.,.ZABD=ZEACo

又；AB=AC,