初中數(shù)學(xué)模型解題法

初中數(shù)學(xué)模型解題法

解答題

1.（2001江蘇蘇州6分）如圖，已知AB是半圓0的直徑,AP為過點(diǎn)A的半圓的

切線。在上任取一點(diǎn)C（點(diǎn)C與A、B不重合），過點(diǎn)C作半圓的切線CD交AP于點(diǎn)D;

過點(diǎn)C作CE1AB,垂足為E.連接BD,交CE于點(diǎn)F。

（1）當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)（如圖1）,求證:CF=EF;

（2）當(dāng)點(diǎn)C不是的中點(diǎn)時(shí)（如圖2）,試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變，

并證明你的結(jié)論。

【答案】解：⑴證明：?..DA是切線,AB為直徑，.?.DA_LAB。

???點(diǎn)C是的中點(diǎn)，且CEJ_AB,.,.點(diǎn)E為半圓的圓心。

又YDC是切線，...DCLEC。

又???CELAB,四邊形DAEC是矩形。

.,.CD/7A0,CD=ADo即EF=AD=EC。

...F為EC的中點(diǎn),CF=EF。

（2）CF=EF保持不變。證明如下：

如圖,連接BC,并延長BC交AP于G點(diǎn),連接AC,

-AD、DC是半圓0的切線，.JDC=DA。

.\ZDAC=ZDCAO

：AB是直徑，，NACB=90°。.,.ZACG=90°。

：.ZDGC+ZDAC=ZDCA+ZDCG-90°。

.,.ZDGC=ZDCGo

■△GDC中,GD=DC?

VDC=DA,.\GD=DA?

VAP是半圓0的切線，.'.APLAB。

XVCE1AB,ACE^APo.,.△BCF^ABGD,ABEF^ABAD?

VGD=AD,.\CF=EFo

【考點(diǎn)】探究型，圓的綜合題,切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行線分線段

成比例定理,等腰三角形的判定,相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）由題意得DA_LAB,點(diǎn)E為半圓的圓心,DC1EC,可得四邊形DAEC

是矩形，即可得出，即可得EF與EC的關(guān)系，可知CF=EF?

（2）連接BC,并延長BC交AP于G點(diǎn),連接AC,由切線長定理可得

DC=DA,ZDAC=ZDCA,由角度代換關(guān)系可得出NDGC=NDCG,即可得GD=DC=DA,由已知

可得CE/7AP,所以，即可知CF=EF?

2.（2001江蘇蘇州7分）已知一個(gè)三角形紙片ABC,面積為25,BC的長為

10,NB、NC都為銳角,M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（M與A、B不重合），過點(diǎn)M作MN〃BC

交AC于點(diǎn)N,設(shè)MN=x。

(1)用x表示AAMN的面積;

(2)AAMN沿MN折疊，使aAMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM

所在的平面內(nèi))，設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)A',4A'MN與四邊形BCNM重疊部分

的面積為y。

①用的代數(shù)式表示y,并寫出x的取值范圍；

②當(dāng)x為何值時(shí),重疊部分的面積y最大,最大為多少？

【答案】解：⑴:MN〃BC,，△AMNsAABC。。

即。

(2)①當(dāng)點(diǎn)A'落在四邊形BCMN內(nèi)或BC邊上時(shí)，

(0<xW5)。

當(dāng)點(diǎn)A'在四邊形BCMN外，

連接AA'與MN交于點(diǎn)G與BC交于點(diǎn)F,

VMN/7BC,即。

.*.AG=xo.'.AA'=2AG=Xo:.A'F=x-5。

即。

*

??o

...重合部分的面積。

綜上所述，重合部分的面積。

②：

當(dāng)X=時(shí),y最大，最大值為y最大=。

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值。

【分析】(1)根據(jù)已知條件求出△AMNs/^ABC,再根據(jù)面積比等于相似比的平

方的性質(zhì)即可求出AAMN的面積。

(2)根據(jù)已知條件分兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)點(diǎn)A'落在四邊形BCMN內(nèi)或BC邊

上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)A，在四邊形BCMN外時(shí)進(jìn)行討論,第一種情況很容易求出，第二種情況

進(jìn)行畫圖,連接AA'與MN交于點(diǎn)G與BC交于點(diǎn)F,再根據(jù)面積比等于相似比的平方

的性質(zhì)求出即可.再根據(jù)求出的式子，即可求出重疊部分的面積y的最大值來。

3.(江蘇省蘇州市2002年7分)已知：。與。外切于點(diǎn),過點(diǎn)的直線分別交

。、。于點(diǎn)、，。的切線交。于點(diǎn)、，為。的弦，

(1)如圖⑴，設(shè)弦交于點(diǎn)，求證：;

(2)如圖(2),當(dāng)弦繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，弦的延長線交直線B于點(diǎn)時(shí)，試問：是否仍然成立?

證明你的結(jié)論。

【答案】解：(1)證明:連結(jié),過點(diǎn)作。與。的公切線。

又???是。的切線，

人v???，???O

v???

即。

（2）仍成立。證明如下：

連結(jié),過點(diǎn)作。和。的公切線。

???是。的切線，

又

又

即。

【考點(diǎn)】相切兩圓切線的性質(zhì)，弦切角定理,切線長定理,等腰三角形的性質(zhì)，

對頂角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）連結(jié),過點(diǎn)作。與。的公切線。根據(jù)弦切角定理可得，由也是。的

切

線,根據(jù)切線長定理可得,從而根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，得到，由對

頂角相等的性質(zhì)，得到。又,從而,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明。

（2）同⑴可以證明。

4.（江蘇省蘇州市2002年7分）如圖,梯形0ABC中,0為直角坐標(biāo)系的原

點(diǎn),A、B、C的坐標(biāo)分別為（14,0）、（14,3）、（4,3）。點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別

作勻速運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P沿0A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位;點(diǎn)Q沿0C、CB向

終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)。當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。

(1)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了秒,如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位,試分別寫出這時(shí)點(diǎn)

Q在0C上或在CB上時(shí)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示,不要求寫出的取值范圍)；

(2)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了秒,如果點(diǎn)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC

的周長的一半。

①試用含的代數(shù)式表示這時(shí)點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程和它的速度；

②試問：這時(shí)直線PQ是否可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分？

如有可能,求出相應(yīng)的的值和P、Q的坐標(biāo);如不可能,請說明理由。

【答案】解：⑴當(dāng)點(diǎn)Q在0C上時(shí)，如圖,過點(diǎn)C作CE10A于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作

QF1.0A于點(diǎn)F。

依題意,有0E=4,EC=3,0C=5,0Q=2。

由△OCEs/\()QF得，

即。

二。，當(dāng)點(diǎn)Q在0C上時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。

當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí),如圖,過點(diǎn)C作CM10A于點(diǎn)M,過點(diǎn)Q作QN±OA于點(diǎn)N。

VCQ=2-5,/.0M=4+2-5=2-1。

又MQ=3,當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()?

(2)①?.?點(diǎn)P所經(jīng)過的路程為，點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程為0Q,且點(diǎn)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過

的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，

/.+0Q=(14+3+10+5),即0Q=16-o

.?.點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程為16-速度為。

②不能。理由如下：

當(dāng)Q點(diǎn)在0C上時(shí)，如圖，過點(diǎn)Q作QF10A于點(diǎn)F。

則0P=,QF=o

*

??o

又???，??.令,解之，得。

,/當(dāng)時(shí),，這時(shí)點(diǎn)Q不在0C上,故舍去；

當(dāng)時(shí),，這時(shí)點(diǎn)Q不在0C上,故舍去。

.?.當(dāng)Q點(diǎn)在0C上時(shí),PQ不可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部

分。

當(dāng)Q在CB上時(shí),CQ=16—5=11-,

??O

?,

/.當(dāng)Q點(diǎn)在CB上時(shí),PQ不可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部

分。

綜上所述,這時(shí)PQ不可能同時(shí)平分梯形OABC的面積。

【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題,勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)Q在0C上時(shí),作直角三角形OCE和OQF,由二者相似即可求

出此時(shí)點(diǎn)

Q的坐標(biāo)。當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí),過點(diǎn)C作CM±OA于點(diǎn)M,過點(diǎn)Q作QN±OA于點(diǎn)

N,即可得出0M=4+2—5—2—1,從而求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)°

(2)①由點(diǎn)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半,列出等

式,+()Q=(14+3+10+5),即可求出點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程。用路程+時(shí)間即可求得速度。

②分Q點(diǎn)在OC上和Q點(diǎn)在OC上,分別討論即可得出結(jié)論。

5.(江蘇省蘇州市2003年7分)如圖1,O0的直徑為AB,過半徑0A的中點(diǎn)G

作弦CE1AB,在上取一點(diǎn)D,分別作直線CD、ED,交直線AB于點(diǎn)F、M。

⑴求/C0A和NFDM的度數(shù)；

(2)求證：△FDMs/^cOM;

(3)如圖2,若將垂足G改取為半徑0B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在上,仍作直線

CD、ED,分別交直

線AB于點(diǎn)F、Mo試判斷:此時(shí)是否仍有△FDMs/SCOM?證明你的結(jié)論。

【答案】解：(1)VAB為直徑,CEJ_AB,CG=EG。

在RSC0G中，?.，0G=OC,Z0CG=30°。AZC0A=60°。

又YNCDE的度數(shù)=的度數(shù)=的度數(shù)=NCOA的度數(shù)=60°,

.,.ZFDM=180°-ZCDE=120°。

(2)證明:，/ZC0M=180°-ZC0A=120°,AZC0M=ZFDMo

在RtACGM和RtAEGM中，,ARtACGM^RtAEGM(HL)o

ZGMC=ZGMEo

XVZDMF=ZGME,AZGMC=ZDMF0AAFDM^ACOMo(3)結(jié)論仍成立。證明

如下：

???/EDC的度數(shù)=的度數(shù)=的度數(shù)=NC0A的度數(shù)，

AZFDM=180°-ZC0A=ZC0Mo

VAB為直徑，,CELAB。

在RtACGM和RtAEGM中，,RSCGM絲RtAEGM(HL)。

ZGMC=ZGMEoAFDM^ACOMo

【考點(diǎn)】圓周角定理,銳角三角函數(shù),特殊角的三角函數(shù)值，線段垂直平分線的

性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系,平角定義,直角三角形全等的判定和性質(zhì)，垂徑定理,

相似三角形的判定。

【分析】(1)由于CG1OA,根據(jù)垂徑定理可得出，，那么根據(jù)圓周角定理可得出

ZCDE=ZC0A,在RtACOG中，可根據(jù)0G是半徑的一半得出NA0C是60°,那么就能

得出NFDM=180°-ZCDE=120°。

(2)在(1)中根據(jù)垂徑定理得出0A是CE的垂直平分線,那么△CMG和△BMG就

應(yīng)該全等,可得出NCMA=NEMG,也就可得出NCM0=NFMD,在(1)中已經(jīng)證得

NA0C=NEDC=60°,那么NC0M=NMDF,因此兩三角形相似。

(3)可按(2)的方法得出/DMF=NCM0,關(guān)鍵是再找出一組對應(yīng)角相等,還是用垂

徑定理來求,根據(jù)垂徑定理我們可得此那么NAOC=NEDC,根據(jù)等角的余角相等即可

得出ZC0M=ZFDM,由此可證出兩三角形相似。

6.(江蘇省蘇州市2003年7分)0ABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙

片,0為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上,0A=10,0C=6。

(1)如圖1,在OA上選取一點(diǎn)G,將ACOG沿CG翻折，使點(diǎn)0落在BC邊上,記為

E,求折痕CG所在直線的解析式。

(2)如圖2,在0C上選取一點(diǎn)D,將AAOD沿AD翻折，使點(diǎn)0落在BC邊上,記

為。

①求折痕AD所在直線的解析式；

②再作F〃AB,交AD于點(diǎn)F,若拋物線過點(diǎn)F,求此拋物線的解析式,并判斷它

與直線AD的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

(3)如圖3,一般地,在0C、0A上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，使紙片沿翻折后，點(diǎn)0落在BC

邊上,記為。請你猜想:折痕所在直線與②中的拋物線會(huì)有什么關(guān)系?用(1)中的情形

驗(yàn)證你的猜想。

【答案】解：(1)由折疊法知，四邊形OCEG是正方形，.?.0G=0C=6。

AG(6,0),C(0,6)。

設(shè)直線CG的解析式為y=kx+b,貝山解得。

二直線CG的解析式為:y=-x+6。

(2)①在RtAABE'中，。.\CE,=2。

設(shè)0D=x,則DE'=x,CD=6-x,

在RtZkDCE'中,，解得。則D(0,)。

設(shè)AD所在直線的解析式為y=k'x+,由于它過A(10,0),。

.??AD所在直線的解析式為。

②E'F〃AB,E'(2,6),.?.設(shè)F(2,yF)。

?.?F在AD上，.,.F(2,)o

又：點(diǎn)F在拋物線上，解得h=3o

二拋物線的解析式為。

聯(lián)立和得，即。

?.?△=0,.?.直線AD與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)(2,)。(3)例如可以猜想：(i)折痕

所在直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；

或(ii)若作E''F''〃AB,交D'G'于F',則F'在拋物線上。

驗(yàn)證：(i)在圖1中,折痕為CG,將y=-x+6代入，

得，即。

?.?△=0,.?.折痕CG所在直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。

或(ii)在圖1中,D'即C,E''即E,G'即G,交點(diǎn)F'也為G(6,0),

/.當(dāng)x=6時(shí)