八年級數(shù)學(xué) 分式講義

分式

一、從分?jǐn)?shù)到分式：

A

(1).分式定義：一般地，形如2的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母。整式和分式稱

B

為有理式。注意：判斷代數(shù)式是否是分式時(shí)不需要化簡。

例：下列各式區(qū),—,-x+y,-3/,0中，是分式的有___________________；是整式的有

兀x+15a-h

;是有理式的有.

練習(xí)：

丫2_]921

1.下列各式:①土一;②M—；③」?；④上.其中分式有__________________________

3XX71

2.在代數(shù)式女二二一,a+即中,

分式的個(gè)數(shù)是________________________________

m4xyx+y3

(2)分式有意義的條件：分母不等于0.

例：下列分式，當(dāng)x取何值時(shí)有意義.

(1)空!11；(2)三三

3x+22x—3

練習(xí)：

1.當(dāng)_________________時(shí)，分式-------------有意義.

(x-l)(x-2)

2.當(dāng)__________________時(shí)，分式f)無意義.

尤一2

3.當(dāng)m時(shí)，分式有意義.

1-4m

4.下列各式中，不論字母x取何值時(shí)分式都有意義的是()

5x+3

D.

2x4-1O.5x+1x22x2+1

5,下列各式中，無論x取何值，分式都有意義的是（）

.1nX小3x+lX2

A.----B.----C.——D.--——

2x4-12x+lX22x+1

7.使分式一^無意義，x的取值是（）

1x1-1

A.0B.1C.-1D.±1

8.應(yīng)用題:一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做需a天完成，乙隊(duì)獨(dú)做需b天完成，問甲、乙兩隊(duì)合作，需天完成.

(3)分式的值為0：分子等于0,分母不等于0

Y~_Y

例：1.當(dāng)x=時(shí)，分式一的值為0,

X

2.當(dāng)x時(shí)，分式2/7的值為零.

x~+x-2

1

3.當(dāng)x時(shí)，分式」-的值為正；當(dāng)x時(shí)，分式二的值為負(fù).

—x+5x+1

4.下列各式中，可能取值為零的是（）

2

Am+1-加2-1萬tn+1門加之+1

A.———B.-----C.———D.-----

nr—1〃？+1rrr—1+1

練習(xí)：

1.分式當(dāng)X時(shí)，分式有意義；當(dāng)X時(shí)，分式的值為零.

x--4

2

2.若分式X一-—9二的值為零，則x的值為

3.當(dāng)機(jī)=時(shí)，分式件則二2的值為零.

ITT—3m+2

Y—3

4.若分式一的值為負(fù)，則x的取值是（）

x

A.xV3且xMB.x>3C.x<3D.x>-3且x#）

5.分式立巴中，當(dāng)x=-a時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）

3x—1

A.分式的值為零；B.分式無意義

C.若aK-!■時(shí)，分式的值為零；D.若時(shí)，分式的值為零

33

6.下列各式中，可能取值為零的是（）

,trr+1「tn2-1c/7?+1、nr+1

A.———B.-----C.--——D.-----

m~-1m+1nr-1m+\

7.已知>=（4，x取哪些值時(shí)：（1）y的值是正數(shù)；（2）y的值是負(fù)數(shù)；（3）y的值是零；（4）分

式無意義.

8.若分式合-1的值是正數(shù)、負(fù)數(shù)、。時(shí)’求x的取值范圍.

c口1443x2—5xy+2v2小0s口”J1今45x+3xy-5y/士

9.已知一=一，求---——J■的值.10.已知-----=3,求------一的1t1A值.

y32/+3劃一5尸Xyx-2xy-y

2

二、分式的基本性質(zhì)：分式的分子或分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

例：1.不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)：

12

-X+-V

23.0.3。+0.5〃_

120.2a-b

-X—y

23-

2.不改變分式的值，使下列分式的分子與分母都不含號。

L衛(wèi)-x2m-x

2.---=3.——二4.-----=

一6。3y-n-yz

網(wǎng)=12.小3ab3b

3.填空：(1)(2)--=—

3b3ab4a()

________時(shí)，，=("+?("T)+l成立.

4.當(dāng)a_____

a+5

5.對有理數(shù)x,下列結(jié)論中一定正確的是()

A.分式的分子與分母同乘以|x|,分式的值不變

B.分式的分子與分母同乘以x2,分式的值不變

C.分式的分子與分母同乘以|x+2,分式的值不變

D.分式的分子與分母同乘以(+1,分式的值不變

6.對于分式」一，總有(

)

a+\

121a+1CL—11-1

A.----=-----B.(a#—1)C.---D.----=-----

12

a—1CL—2a-\a-1a-\a-1a—1a+1

⑵a—b_(a-b)-

a+b)

分式約分：化簡分式

(1)約分的概念：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.

(2)分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì).

(3)分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式.

(4)最簡分式的概念：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式.

分式約分的基本步驟：1分子分母能進(jìn)行因式分解的式子分解因式。

2找出分子分母的最大公因式。

3分子分母同時(shí)除以最大公因式。

4最間分式的分子分母不含有公因式或公因數(shù)。

例：1.找出下列分式中分子分母的公因式:

3a3b3c2

⑴生⑶

⑵--2---

MacUac初’(x+y)

2把下列分式化為最簡分式：

8a2_125a2比3,26(a+b)2_26a-\-b

12a45ah2c13(a+613a2-b2a2+ab

3

練習(xí)

22

1.分式空包，勺，x-xy+y:這?中是最簡分式的有（

)

4。x-1%+y

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.下列分式中是最簡分式是()

2c22

m2一n2加+3"?rx-y.(m一〃)2

A,2，U.2)

機(jī)+m--9(x+?m--rr

3.約分：

,、8/6⑵8a

(1)-----(3)

24ab224ah2(l-a)x—2x+1

一15。％3%2—4

4.約分：（1）⑵

25a5//x+2

5.不改變分式的值，使分式的分子、分母不含負(fù)號.

—3x—32

⑴⑵一

—2x—3x+2

6.化簡求值:

%2—4y廿.11/一9

(1)—；——2其中x=-，y=—(2)其中a=5

4x一Sxy2-4ci~-6a+9

4

分式通分：把幾個(gè)異分母的分?jǐn)?shù)化成同分母的分?jǐn)?shù)，而不改變分?jǐn)?shù)的值，叫做分?jǐn)?shù)的通分。

步驟：先求出幾個(gè)異分母分式的分母的最簡公分母，作為它們的公分母，把原來的各分式化成用這個(gè)公分

母做分母的分式。

找最簡公分母的步驟：

(1)把分式的分子與分母分解因式；

(2)取各分式的分母中系數(shù)最小公倍數(shù)；

(3)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

(4)相同字母(或因式)的累取指數(shù)最大的；

(5)所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各字母(或因式)的最高次累的積(其中系數(shù)都取正數(shù))即為最簡公分母。

例：1.求分式一^,的最簡公分母。2.求分式一J與一一的最簡公分母。

3222

2xyz4/y36盯44x-2xx-4

3.通分:

4a3c5b

⑴七十心;5b2c'1OcJb'-

x12x12x

(4)

(2%—4—6x—3x2x~—4—1—3x+2

練習(xí):

1、通分:

⑴Xy;)⑵，xx1(3),

x+yx-14a2ac

(4)⑹ii1

9-3。a2-9(a-b)(b-c)(b-c)(c-a)(a-c)(a-b)

2.求下列各組分式的最簡公分母:

2____15

(1)(2)_L_>___

3ah2'4。,’6機(jī)二2mn6m"n''9m'c

11111

(3)(4)-----——―------y

a-b\h-a)(a+b)’3x(尢一2)(%-2)(%+3)2(x+3)-

x11

2尤+2+x]?—1

5

3