小升初奧數(shù)講義

★小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)的根本分類★一、工程問(wèn)題★跟知識(shí)握握手顧名思義，工程問(wèn)題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其實(shí)，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問(wèn)題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問(wèn)題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，工作效率=工作總量÷工作時(shí)間。【工作總量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可以是局部工作量，常用分?jǐn)?shù)表示。例如工程的一半表示成..............工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天〞，或“工作量/時(shí)〞等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫工作效率的單位?！俊镄≡嚺５都滓覂蓚€(gè)水管單獨(dú)開(kāi)，注滿一池水，分別需要20小時(shí)，16小時(shí).丙水管單獨(dú)開(kāi)，排一池水要10小時(shí)，假設(shè)水池沒(méi)水，同時(shí)翻開(kāi)甲乙兩水管，5小時(shí)后，再翻開(kāi)排水管丙，問(wèn)水池注滿還是要多少小時(shí)？2．修一條水渠，單獨(dú)修，甲隊(duì)需要20天完成，乙隊(duì)需要30天完成。如果兩隊(duì)合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊(duì)的工作效率是原來(lái)的五分之四，乙隊(duì)工作效率只有原來(lái)的十分之九?，F(xiàn)在方案16天修完這條水渠，且要求兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊(duì)要合作幾天？3．一件工作，甲、乙合做需4小時(shí)完成，乙、丙合做需5小時(shí)完成?，F(xiàn)在先請(qǐng)甲、丙合做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成。乙單獨(dú)做完這件工作要多少小時(shí)？一項(xiàng)工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時(shí)間要比前一種多半天。乙單獨(dú)做這項(xiàng)工程需17天完成，甲單獨(dú)做這項(xiàng)工程要多少天完成？5．師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時(shí)，徒弟完成了120個(gè)。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時(shí)，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個(gè)？7．一個(gè)池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先翻開(kāi)甲管，當(dāng)水池水剛溢出時(shí)，翻開(kāi)乙,丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)翻開(kāi)甲管注滿水是，再翻開(kāi)乙管，而不開(kāi)丙管，多少分鐘將水放完？8．某工程隊(duì)需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，假設(shè)由甲隊(duì)去做，恰好如期完成，假設(shè)乙隊(duì)去做，要超過(guò)規(guī)定日期三天完成，假設(shè)先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，問(wèn)規(guī)定日期為幾天？9．兩根同樣長(zhǎng)的蠟燭，點(diǎn)完一根粗蠟燭要2小時(shí)，而點(diǎn)完一根細(xì)蠟燭要1小時(shí)，一天晚上停電，小芳同時(shí)點(diǎn)燃了這兩根蠟燭看書(shū)，假設(shè)干分鐘后來(lái)點(diǎn)了，小芳將兩支蠟燭同時(shí)熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長(zhǎng)是細(xì)蠟燭的2倍，問(wèn)：停電多少分鐘？★二．雞兔同籠問(wèn)題★跟知識(shí)握握手1、根本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那局部置換出來(lái)。2、根本思路：①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在〔甲和乙一樣或者乙和甲一樣〕；②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。3、根本公式：①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝〔兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)〕÷〔兔腳數(shù)－雞腳數(shù)〕②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝〔總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)〕÷〔兔腳數(shù)一雞腳數(shù)〕4、關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。5、解“雞兔同籠問(wèn)題〞的常用方法是“替換法〞、“轉(zhuǎn)換法〞、“置換法〞等。通常把其中一個(gè)未知數(shù)暫時(shí)當(dāng)作另一個(gè)未知數(shù)，然后根據(jù)條件進(jìn)行假設(shè)性的運(yùn)算，直到求出結(jié)果?！靖爬ㄆ饋?lái)，解“雞兔同籠問(wèn)題〞的根本公式是】：雞數(shù)＝〔每只兔腳數(shù)×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)〕÷〔每只兔子腳數(shù)－每只雞的腳數(shù)〕兔數(shù)＝雞兔總數(shù)－雞數(shù)★小試牛刀1、有假設(shè)干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，問(wèn)雞、兔各多少只？2、蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀。現(xiàn)在這三種小蟲(chóng)共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀，問(wèn)每種小蟲(chóng)各多少只？3、每一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)計(jì)算，每只2角，如有破損，破損的不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償1元，結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元，問(wèn)這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只？4、六年級(jí)甲班有50個(gè)同學(xué)向汶川災(zāi)區(qū)捐款共計(jì)2023元，其中捐50元的人有30人，其他同學(xué)捐20元或者30元，問(wèn)捐20元和30元的同學(xué)各多少人？5、學(xué)校組織新年文藝晚會(huì)，用作獎(jiǎng)品的鉛筆、圓珠筆、鋼筆共232支，共花了300元，其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍。鉛筆每支0.6元，圓珠筆每支2.7元，鋼筆每支6.3元，問(wèn)三種筆個(gè)多少支？6、從甲到乙全長(zhǎng)45千米，有上坡路、平路、下坡路，李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)3千米，平路上速度是每小時(shí)5千米，下坡速度是每小時(shí)6千米。從甲到乙，李強(qiáng)走了10小時(shí)，從乙到甲李強(qiáng)走了11小時(shí)，問(wèn)甲到乙上坡、平路、下坡路各有多少千米？7、有堆硬幣，面值為1分、2分和5分三種，其中1分硬幣是2分硬幣的11倍，這堆硬幣的幣值總和是1元，問(wèn)5分有多少枚？8、有50名同學(xué)外出游玩，乘電車前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地鐵前往每人6元，這些同學(xué)共有車費(fèi)110元，問(wèn)其中乘小巴的共有多少人？9、雞與兔共100只,雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少28條,問(wèn)雞與兔各有幾只?★三．?dāng)?shù)字?jǐn)?shù)位問(wèn)題1．把1至2005這2005個(gè)自然數(shù)依次寫下來(lái)得到一個(gè)多位數(shù)123456789.....2005,這個(gè)多位數(shù)除以9余數(shù)是多少?2．A和B是小于100的兩個(gè)非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值...3．A.B.C都是非0自然數(shù),A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的準(zhǔn)確值是多少?4．一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1.如果把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào),得到一個(gè)新的三位數(shù),那么新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).5．一個(gè)兩位數(shù),在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來(lái)的兩位數(shù).6．把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然數(shù)的平方,這個(gè)和是多少?7．一個(gè)六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù).答案為857148．有一個(gè)四位數(shù),個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).9．有一個(gè)兩位數(shù),如果用它去除以個(gè)位數(shù)字,商為9余數(shù)為6,如果用這個(gè)兩位數(shù)除以個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和,那么商為5余數(shù)為3,求這個(gè)兩位數(shù).10．如果現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分,那么在經(jīng)過(guò)28799...99(一共有20個(gè)9)分鐘之后的時(shí)間將是幾點(diǎn)幾分?★四．排列組合問(wèn)題★跟知識(shí)握握手1、排列：一般地，從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．【根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．】2、排列的根本問(wèn)題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù)．從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同的元素的排列中取出個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做．根據(jù)排列的定義，做一個(gè)元素的排列由個(gè)步驟完成：步驟：從個(gè)不同的元素中任取一個(gè)元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第二位，有()種方法；……步驟：從剩下的個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第個(gè)位置，有(種)方法；3、【由乘法原理，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)是，即，這里，，且等號(hào)右邊從開(kāi)始，后面每個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小，共有個(gè)因數(shù)相乘?！?、組合：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)()元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．【從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無(wú)關(guān)．如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．】5、從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素()的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素的組合數(shù)．記作。6、一般地，求從個(gè)不同元素中取出的個(gè)元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素組成一組，共有種方法；第二步：將每一個(gè)組合中的個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有種排法．根據(jù)乘法原理，得到．因此，組合數(shù)．這個(gè)公式就是組合數(shù)公式．★小試牛刀1．有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有〔〕A768種B32種C24種D2的10次方中2假設(shè)把英語(yǔ)單詞hello的字母寫錯(cuò)了,那么可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有()A119種B36種C59種D48種3、小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在以下條件下有多少種站法？〔1〕七個(gè)人排成一排；〔2〕七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.〔3〕七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.〔4〕七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.〔5〕七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒(méi)有站在邊上.〔6〕七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.〔7〕七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。4、用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比大且百位數(shù)字不是的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？6、用0到9十個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；假設(shè)將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，那么5687是第幾個(gè)數(shù)？用、、、、這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個(gè)3的倍數(shù)？用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是，那么確保翻開(kāi)保險(xiǎn)柜至少要試幾次？10、兩對(duì)三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個(gè)人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問(wèn)成績(jī)，答復(fù)者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．〞對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．〞從這個(gè)答復(fù)分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？12、名男生，名女生，全體排成一行，問(wèn)以下情形各有多少種不同的排法：[1]甲不在中間也不在兩端；[2]甲、乙兩人必須排在兩端；[3]男、女生分別排在一起；[4]男女相間一臺(tái)晚會(huì)上有個(gè)演唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目．求：[1]當(dāng)個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的順序？[2]當(dāng)要求每個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？13、[1]從1，2，…，8中任取3個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？〔只要求列式〕[2]從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書(shū)，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？[3]3位同學(xué)坐8個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有幾種坐法？[4]8個(gè)人坐3個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有多少種坐法？[5]一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？[6]8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個(gè)小組，每組人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的個(gè)第名進(jìn)行場(chǎng)半決賽和場(chǎng)決賽，確定至名的名次．問(wèn)：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個(gè)。(2007年“迎春杯〞高年級(jí)組決賽)個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？18、8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間〔不一定相鄰〕，小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個(gè)成人和個(gè)兒童要分乘這些游船，為平安起見(jiàn)，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有平安乘船方法共有多少種？從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在以下條件下，分別有多少種選法？[1]恰有名女生入選；[2]至少有兩名女生入選；[3]某兩名女生，某兩名男生必須入選；[4]某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照以下條件各有多少種選派方法？

[1]有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；

[2]既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；

[3]至少有一名主任參加；

[4]既有主任，又有外科醫(yī)生.在10名學(xué)生中，有5人會(huì)裝電腦，有3人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余2人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中名是英語(yǔ)翻譯員，名是日語(yǔ)翻譯員，另外兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通．從中找出人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作．問(wèn)這樣的分配名單共可以開(kāi)出多少?gòu)?？★五．容斥原理?wèn)題★跟知識(shí)握握手容斥原理的概念：在計(jì)數(shù)時(shí)，為了使重疊局部不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的根本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。有關(guān)容斥原理的公式：公式1.如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類或B類元素個(gè)數(shù)=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)。公式2.如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類元素個(gè)數(shù)=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)—既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)—既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個(gè)數(shù)?！镄≡嚺５?．有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么,同時(shí)含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是()A43,25B32,25C32,15D43,112．在多元智能大賽的決賽中只有三道題.:(1)某校25名學(xué)生參加競(jìng)賽,每個(gè)學(xué)生至少解出一道題;(2)在所有沒(méi)有解出第一題的學(xué)生中,解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍:(3)只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1人;(4)只解出一道題的學(xué)生中,有一半沒(méi)有解出第一題,那么只解出第二題的學(xué)生人數(shù)是()A，5B，6C，7D，83．一次考試共有5道試題。做對(duì)第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數(shù)的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對(duì)三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？某大樓里有125盞燈，按1,2，3，…,125編號(hào)，每盞燈有一個(gè)拉線開(kāi)關(guān)，拉一次燈亮，再拉一次燈熄。工程師做實(shí)驗(yàn)，他先把所有號(hào)碼是4的倍數(shù)的燈的開(kāi)關(guān)拉1次，再把所有號(hào)碼是6的倍數(shù)的燈的開(kāi)關(guān)拉1次，同時(shí)再拉1次號(hào)碼是4的倍數(shù)、但不是6的倍數(shù)的燈開(kāi)關(guān)，問(wèn)：現(xiàn)在有多少盞燈是亮的？A、B、C三位質(zhì)檢員對(duì)流水線上的書(shū)包進(jìn)行檢查，A每3個(gè)書(shū)包抽查1個(gè)，B每5個(gè)書(shū)包抽查1個(gè)，C每7個(gè)書(shū)包抽查1個(gè)，一共有250個(gè)書(shū)包通過(guò)流水線，假定A、B、C首個(gè)抽查到的書(shū)包分別是第三個(gè)、第五個(gè)和第七個(gè)，試求：沒(méi)被抽查到的書(shū)包數(shù)。在A或B抽查到的書(shū)包中，沒(méi)被C抽查到的書(shū)包數(shù)。校舉行趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，班里的同學(xué)有20人報(bào)名。參加障礙過(guò)河比賽的有10人，參加自行車慢騎的有13人，參加“袋鼠跳〞比賽的有15人，障礙過(guò)河、“袋鼠跳〞都參加的有9人，障礙過(guò)河、自行車慢騎都參加的有6人，自行車慢騎、“袋鼠跳〞都參加的有8人，你能畫出參加比賽的人數(shù)文氏圖嗎？某體育學(xué)校的運(yùn)發(fā)動(dòng)中，會(huì)游泳的有15人，會(huì)跳高的有12人，會(huì)跳遠(yuǎn)的有9人，以上三個(gè)工程只會(huì)其中兩種的有13人，會(huì)三種的有5人，那么只會(huì)其中兩種的人分別有多少可能？在一所中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班里，60個(gè)學(xué)生參加過(guò)競(jìng)賽。其中參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有30人，參加過(guò)英語(yǔ)競(jìng)賽的有25人，參加過(guò)作文比賽的有17人，參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和英語(yǔ)競(jìng)賽的有12人，參加過(guò)英語(yǔ)競(jìng)賽和作文比賽的有10人，參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和作文比賽的有7人，那么三種競(jìng)賽都參加過(guò)的學(xué)生有()人。請(qǐng)寫出過(guò)程：★六．抽屜原理、奇偶性問(wèn)題★跟知識(shí)握握手1、第一抽屜原理：原理1：把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩件；【證明】〔反證法〕：如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)至多是n，而不是題設(shè)的n+k(k≥1),這不可能。原理2：把多于mn(m乘以n)個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有不少于m+1的物體。【證明】〔反證法〕：假設(shè)每個(gè)抽屜至多放進(jìn)m個(gè)物體,那么n個(gè)抽屜至多放進(jìn)mn個(gè)物體,與題設(shè)不符，故不可能原理3：把無(wú)窮多件物體放入n個(gè)抽屜，那么至少有一個(gè)抽屜里有無(wú)窮個(gè)物體?！咀C明】.：根據(jù)原理1、2即可證明【原理123都是第一抽屜原理的表述】2、第二抽屜原理：把〔mn－1〕個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有〔m—1〕個(gè)物體?！咀C明】〔反證法〕：假設(shè)每個(gè)抽屜都有不少于m個(gè)物體，那么總共至少有mn個(gè)物體，與題設(shè)矛盾，故不可能3、抽屜原理的一般表述：“把多于kn+1個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜〔k是正整數(shù)〕，那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少k+1個(gè)東西。〞★奇數(shù)和偶數(shù)：整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)?！九紨?shù)通?？梢杂?k〔k為整數(shù)〕表示，奇數(shù)那么可以用2k+1〔k為整數(shù)〕表示。特別注意，因?yàn)?能被2整除，所以0是偶數(shù)。】5、奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3：偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì)4：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)?！锝?jīng)典例題【表述】：在第二抽屜原理中，抽屜中的元素個(gè)數(shù)隨著元素總數(shù)的增加而增加，當(dāng)元素總數(shù)到達(dá)抽屜數(shù)的假設(shè)干倍后，可用抽屜數(shù)除元素總數(shù)，寫成下面的等式：元素總數(shù)=商×抽屜數(shù)+余數(shù)【如果余數(shù)不是0，那么最小數(shù)=商+1；如果余數(shù)正好是0，那么最小數(shù)=商?！坷}1：幼兒園里有120個(gè)小朋友，各種玩具有364件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？【解析】：把120個(gè)小朋友看做是120個(gè)抽屜，把玩具件數(shù)看做是元素。那么364=120×3+4，4＜120。根據(jù)抽屜原理的第〔2〕條規(guī)那么：如果把m×x×k〔x＞k≥1〕個(gè)元素放到x個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里含有m+1個(gè)或更多個(gè)元素?？芍辽儆幸粋€(gè)抽屜里有3+1=4個(gè)元素，即有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具。練習(xí)1：一個(gè)幼兒園大班有40個(gè)小朋友，班里有各種玩具125件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？把16枝鉛筆放入三個(gè)筆盒里，至少有一個(gè)筆盒里的筆不少于6枝。這是為什么？3、把25個(gè)球最多放在幾個(gè)盒子里，才能至少有一個(gè)盒子里有7個(gè)球？例題2：布袋里有4種不同顏色的球，每種都有10個(gè)。最少取出多少個(gè)球，才能保證其中一定有3個(gè)球的顏色一樣？【解析】：把4種不同顏色看做4個(gè)抽屜，把布袋中的球看做元素。根據(jù)抽屜原理第〔2〕條，要使其中一個(gè)抽屜里至少有3個(gè)顏色一樣的球，那么取出的球的個(gè)數(shù)應(yīng)比抽屜個(gè)數(shù)的2倍多1。即2×4+1=9〔個(gè)〕球。列算式為〔3—1〕×4+1=9〔個(gè)〕練習(xí)2：布袋里有組都多的5種不同顏色的球。最少取出多少個(gè)球才能保證其中一定有3個(gè)顏色一樣的球？一個(gè)容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍(lán)木塊，它們的形狀、大小都一樣。當(dāng)你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時(shí)，為確保取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應(yīng)至少取出多少塊木塊？3、一副撲克牌共54張，其中1—13點(diǎn)各有4張，還有兩張王的撲克牌。至少要取出幾張牌，才能保證其中必有4張牌的點(diǎn)數(shù)相同？例題3：某班共有46名學(xué)生，他們都參加了課外興趣小組?；顒?dòng)內(nèi)容有數(shù)學(xué)、美術(shù)、書(shū)法和英語(yǔ)，每人可參加1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)或4個(gè)興趣小組。問(wèn)班級(jí)中至少有幾名學(xué)生參加的工程完全相同？【解析】：參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參加一個(gè)組的有4種類型，只參加兩個(gè)小組的有6個(gè)類型，只參加三個(gè)組的有4種類型，參加四個(gè)組的有1種類型。把4+6+4+1=15〔種〕類型看做15個(gè)抽屜，把46個(gè)學(xué)生放入這些抽屜，因?yàn)?6=3×15+1，所以班級(jí)中至少有4名學(xué)生參加的工程完全相同。練習(xí)3：某班有37個(gè)學(xué)生，他們都訂閱了《小主人報(bào)》、《少年文藝》、《小學(xué)生優(yōu)秀作文》三種報(bào)刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學(xué)訂的報(bào)刊相同？學(xué)校開(kāi)辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)〔可以不參加〕。某班有52名同學(xué)，問(wèn)至少有幾名同學(xué)參加課外學(xué)習(xí)班的情況完全相同？庫(kù)房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運(yùn)兩個(gè)，問(wèn)：在31個(gè)搬運(yùn)者中至少有幾人搬運(yùn)的球完全相同？例題4：從1至30中，3的倍數(shù)有30÷3=10個(gè)，不是3的倍數(shù)的數(shù)有30—10=20個(gè)，至少要取出20+1=21個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。練習(xí)4：在1，2，3，……49，50中，至少要取出多少個(gè)不同的數(shù)，才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)能被5整除？從1至120中，至少要取出幾個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)？3、從1至36中，最多可以取出幾個(gè)數(shù)，使得這些數(shù)中沒(méi)有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)？例題5：將400張卡片分給假設(shè)干名同學(xué)，每人都能分到，但都不能超過(guò)11張，試證明：找少有七名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同?！咀C明】：這題需要靈活運(yùn)用抽屜原理。將分得1，2，3，……，11張可片看做11個(gè)抽屜，把同學(xué)人數(shù)看做元素，如果每個(gè)抽屜都有一個(gè)元素，那么需1+2+3+……+10+11=66〔張〕卡片。而400÷66=6……4〔張〕，即每個(gè)周體都有6個(gè)元素，還余下4張卡片沒(méi)分掉。而這4張卡片無(wú)論怎么分，都會(huì)使得某一個(gè)抽屜至少有7個(gè)元素，所以至少有7名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。練習(xí)5：把280個(gè)桃分給假設(shè)干只猴子，每只猴子不超過(guò)10個(gè)。證明：無(wú)論怎樣分，至少有6只猴子得到的桃一樣多。把61顆棋子放在假設(shè)干個(gè)格子里，每個(gè)格子最多可以放5顆棋子。證明：至少有5個(gè)格子中的棋子數(shù)目相同。3、汽車8小時(shí)行了310千米，汽車第一小時(shí)行了25千米，最后一小時(shí)行了45千米。證明：一定存在連續(xù)的兩小時(shí)，在這兩小時(shí)內(nèi)汽車至少行了80千米。例題6：1+2+3+…+1993的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？例題7：一個(gè)數(shù)分別與另外兩個(gè)相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個(gè)積相差150，這個(gè)數(shù)是多少？例題8：元旦前夕，同學(xué)們相互送賀年卡.每人只要接到對(duì)方賀年卡就一定回贈(zèng)賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？例題9：a、b、c中有一個(gè)是5，一個(gè)是6，一個(gè)是7.求證a-1，b-2，c-3的乘積一定是偶數(shù)。例題10：如下頁(yè)圖，從起點(diǎn)始，隔一米種一棵樹(shù)，如果把三塊“保護(hù)樹(shù)木〞的小牌分別掛在三棵樹(shù)上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹(shù)，它們之間的距離是偶數(shù)〔以米為單位〕，這是為什么？★小試牛刀1．木箱里裝有紅色球3個(gè)、黃色球5個(gè)、藍(lán)色球7個(gè)，假設(shè)蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，那么最少要取出多少個(gè)球？2．一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？有11名學(xué)生到老師家借書(shū)，老師的書(shū)房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四類書(shū)，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書(shū)，最少借一本。試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書(shū)的類型相同4．有50名運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)行某個(gè)工程的單循環(huán)賽，如果沒(méi)有平局，也沒(méi)有全勝。試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)積分相同。5．體育用品倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿1個(gè)球，至多拿2個(gè)球，問(wèn)至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？6．某校有55個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，將參賽人任意分成四組，那么必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，那么參賽男生的人數(shù)為多少人？7．有黑色、白色、藍(lán)色手套各5只〔不分左右手〕，至少要拿出多少只〔拿的時(shí)候不許看顏色〕，才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。8．一些蘋果和梨混放在一個(gè)筐里，小明把這筐水果分成了假設(shè)干堆，后來(lái)發(fā)現(xiàn)無(wú)論怎么分，總能從這假設(shè)干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么小明至少把這些水果分成了多少堆？9．從1，3，5，……，99中，至少選出多少個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)的和是100。10．某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨，并且其中任何兩位乘客中至少有一個(gè)人帶蘋果，那么乘客中有多少人帶蘋果。11．某個(gè)年級(jí)有202人參加考試，總分值為100分，且得分都為整數(shù)，總得分為10101分，那么至少有多少人得分相同？12．2006名營(yíng)員去游覽長(zhǎng)城，頤和園，天壇。規(guī)定每人最少去一處，最多去兩處游覽，至少有幾個(gè)人游覽的地方完全相同?13．某校派出學(xué)生204人上山植樹(shù)15301株，其中最少一人植樹(shù)50株，最多一人植樹(shù)100株，那么至少有多少人植樹(shù)的株數(shù)相同？有100個(gè)自然數(shù)，它們的和是偶數(shù).在這100個(gè)自然數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多.問(wèn)：這些數(shù)中至多有多少個(gè)偶數(shù)？有一串?dāng)?shù)，最前面的四個(gè)數(shù)依次是1、9、8、7.從第五個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面相鄰四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字.問(wèn)：在這一串?dāng)?shù)中，會(huì)依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個(gè)數(shù)嗎？16、求證：四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)。17、把任意6個(gè)整數(shù)分別填入右圖中的6個(gè)小方格內(nèi)，試說(shuō)明一定有一個(gè)矩形，它的四個(gè)角上四個(gè)小方格中的四個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)。18、如果兩個(gè)人通一次，每人都記通話一次，在24小時(shí)以內(nèi)，全世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總數(shù)為_(kāi)___?！睞〕必為奇數(shù)，〔B〕必為偶數(shù)，〔C〕可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。請(qǐng)選擇并寫出過(guò)程：一次宴會(huì)上，客人們相互握手.問(wèn)握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。有12張卡片，其中有3張上面寫著1，有3張上面寫著3，有3張上面寫著5，有3張上面寫著7.你能否從中選出五張，使它們上面的數(shù)字和為20？為什么？有10只杯子全部口朝下放在盤子里.你能否每次翻動(dòng)4只杯子，經(jīng)過(guò)假設(shè)干次翻動(dòng)后將杯子全部翻成口朝上？電影廳每排有19個(gè)座位，共23排，要求每一觀眾都僅和它鄰近〔即前、后、左、右〕一人交換位置.問(wèn)：這種交換方法是否可行？23、由14個(gè)大小相同的方格組成以下圖形〔右圖〕，請(qǐng)證明：不管怎樣剪法，總不能把它剪成7個(gè)由兩個(gè)相鄰方格組成的長(zhǎng)方形.★七．行程問(wèn)題★跟知識(shí)握握手1、發(fā)車問(wèn)題[1]一般間隔發(fā)車問(wèn)題。用3個(gè)公式迅速作答；汽車間距=〔汽車速度+行人速度〕×相遇事件時(shí)間間隔

汽車間距=〔汽車速度-行人速度〕×追及事件時(shí)間間隔

汽車間距=汽車速度×汽車發(fā)車時(shí)間間隔[2]求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖——盡可能多的列3個(gè)好使公式——結(jié)合s全程＝v×t-結(jié)合植樹(shù)問(wèn)題數(shù)數(shù)。[3]當(dāng)出現(xiàn)屢次相遇和追及問(wèn)題——柳卡2、火車過(guò)橋【火車過(guò)橋問(wèn)題常用方法】[1]火車過(guò)橋時(shí)間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時(shí)間，因此火車的路程是橋長(zhǎng)與車身長(zhǎng)度之和.[2]火車與人錯(cuò)身時(shí)，忽略人本身的長(zhǎng)度，兩者路程和為火車本身長(zhǎng)度；火車與火車錯(cuò)身時(shí)，兩者路程和那么為兩車身長(zhǎng)度之和.[3]火車與火車上的人錯(cuò)身時(shí)，只要認(rèn)為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長(zhǎng)度，那么他所看到的錯(cuò)車的相應(yīng)路程仍只是對(duì)面火車的長(zhǎng)度.【對(duì)于火車過(guò)橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時(shí)候一定得結(jié)合著圖來(lái)進(jìn)行.】3、接送問(wèn)題：【根據(jù)校車速度〔來(lái)回不同〕、班級(jí)速度〔不同班不同速〕、班數(shù)是否變化分類為四種常見(jiàn)題型】：

[1]車速不變-班速不變-班數(shù)2個(gè)〔最常見(jiàn)〕

[2]車速不變-班速不變-班數(shù)多個(gè)

[3]車速不變-班速變-班數(shù)2個(gè)

[4]車速變-班速不變-班數(shù)2個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖＋列3個(gè)式子】：[1]總時(shí)間=一個(gè)隊(duì)伍坐車的時(shí)間+這個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間；[2]班車走的總路程；[3]一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間=班車同時(shí)出發(fā)后回來(lái)接它的時(shí)間。4、時(shí)鐘問(wèn)題：時(shí)鐘問(wèn)題可以看做是一個(gè)特殊的圓形軌道上2人追及問(wèn)題，不過(guò)這里的兩個(gè)“人〞分別是時(shí)鐘的分針和時(shí)針。【時(shí)鐘問(wèn)題有別于其他行程問(wèn)題是因?yàn)樗乃俣群涂偮烦痰亩攘糠绞讲辉偈浅Ｒ?guī)的米每秒或者千米每小時(shí)，而是2個(gè)指針“每分鐘走多少角度〞或者“每分鐘走多少小格〞。】流水行船問(wèn)題中的相遇與追及[1]兩只船在河流中相遇問(wèn)題，當(dāng)甲、乙兩船〔甲在上游、乙在下游〕在江河里相向開(kāi)出：【甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=〔甲船速+水速〕＋〔乙船速-水速〕=甲船船速+乙船船速】[2]同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動(dòng)，一只船追上另一只船所用的時(shí)間，與水速無(wú)關(guān).【甲船順?biāo)俣?乙船順?biāo)俣?〔甲船速+水速〕-〔乙船速+水速〕=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=〔甲船速-水速〕-〔乙船速-水速〕=甲船速-乙船速.】說(shuō)明：兩船在水中的相遇與追及問(wèn)題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問(wèn)題一樣，與水速?zèng)]有關(guān)系.6、比例與行程問(wèn)題綜合問(wèn)題：比例的知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)最后一個(gè)重要內(nèi)容，從某種意義上講仿佛扮演著一個(gè)小學(xué)“壓軸知識(shí)點(diǎn)〞的角色。從一個(gè)工具性的知識(shí)點(diǎn)而言，比例在解很多應(yīng)用題時(shí)有著“得天獨(dú)厚〞的優(yōu)勢(shì)，往往表達(dá)在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡(jiǎn)單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問(wèn)題，對(duì)于工程問(wèn)題、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也有廣泛的應(yīng)用。我們常常會(huì)應(yīng)用比例的工具分析2個(gè)物體在某一段相同路線上的運(yùn)動(dòng)情況，我們將甲、乙的速度、時(shí)間、路程分別用來(lái)表示，大體可分為以下兩種情況：[1]當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，經(jīng)過(guò)同一段時(shí)間后，他們走過(guò)的路程之比就等于他們的速度之比。，這里因?yàn)闀r(shí)間相同，即,所以由得到，，甲乙在同一段時(shí)間t內(nèi)的路程之比等于速度比[2]當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，走過(guò)相同的路程時(shí)，2個(gè)物體所用的時(shí)間之比等于他們速度的反比。，這里因?yàn)槁烦滔嗤?，由得，，甲乙在同一段路程s上的時(shí)間之比等于速度比的反比。行程問(wèn)題常用的解題方法有[1]公式法即根據(jù)常用的行程問(wèn)題的公式進(jìn)行求解，這種方法看似簡(jiǎn)單，其實(shí)也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時(shí)條件不是直接給出的，這就需要對(duì)公式非常熟悉，可以推知需要的條件；[2]圖示法在一些復(fù)雜的行程問(wèn)題中，為了明確過(guò)程，常用示意圖作為輔助工具．示意圖包括線段圖和折線圖．圖示法即畫出行程的大概過(guò)程，重點(diǎn)在折返、相遇、追及的地點(diǎn)．另外在屢次相遇、追及問(wèn)題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；[3]比例法行程問(wèn)題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時(shí)，用比例法可求得具體數(shù)值．更重要的是，在一些較復(fù)雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時(shí)間等)往往是不確定的，在沒(méi)有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題；[4]分段法在非勻速即分段變速的行程問(wèn)題中，公式不能直接適用．這時(shí)通常把不勻速的運(yùn)動(dòng)分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問(wèn)題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來(lái)；[5]方程法在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時(shí)，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼猓镄≡嚺５赌惩＼噲?chǎng)有10輛出租汽車，第一輛出租汽車出發(fā)后，每隔4分鐘，有一輛出租汽車開(kāi)出.在第一輛出租汽車開(kāi)出2分鐘后，有一輛出租汽車進(jìn)場(chǎng).以后每隔6分鐘有一輛出租汽車回場(chǎng).回場(chǎng)的出租汽車，在原有的10輛出租汽車之后又依次每隔4分鐘開(kāi)出一輛，問(wèn)：從第一輛出租汽車開(kāi)出后，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，停車場(chǎng)就沒(méi)有出租汽車了？小峰騎自行車去小寶家聚會(huì)，一路上小峰注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從前方超越小峰，小峰騎車到半路，車壞了，小峰只好打的去小寶家，這時(shí)小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，那么如果公交車的發(fā)車時(shí)間間隔和行駛速度固定的話，公交車的發(fā)車時(shí)間間隔為多少分鐘？小英和小敏為了測(cè)量飛駛而過(guò)的火車速度和車身長(zhǎng),他們拿了兩塊跑表.小英用一塊表記下了火車從她面前通過(guò)所花的時(shí)間是15秒;小敏用另一塊表記下了從車頭過(guò)第一根電線桿到車尾過(guò)第二根電線桿所花的時(shí)間是20秒.兩電線桿之間的距離是100米.你能幫助小英和小敏算出火車的全長(zhǎng)和時(shí)速嗎?一條單線鐵路上有A,B,C,D,E5個(gè)車站,它們之間的路程如下圖(單位:千米).兩列火車同時(shí)從A,E兩站相對(duì)開(kāi)出,從A站開(kāi)出的每小時(shí)行60千米,從E站開(kāi)出的每小時(shí)行50千米.由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道,要使對(duì)面開(kāi)來(lái)的列車通過(guò),必須在車站停車,才能讓開(kāi)行車軌道.因此,應(yīng)安排哪個(gè)站相遇,才能使停車等候的時(shí)間最短.先到這一站的那一列火車至少需要停車多少分鐘?乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了120千米，返回原地用了4小時(shí).甲船順?biāo)叫型欢嗡?，用?小時(shí).甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)?一條小河流過(guò)A，B,C三鎮(zhèn).A,B兩鎮(zhèn)之間有汽船來(lái)往,汽船在靜水中的速度為每小時(shí)11千米.B,C兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時(shí)3.5千米.A,C兩鎮(zhèn)水路相距50千米,水流速度為每小時(shí)1.5千米.某人從A鎮(zhèn)上船順流而下到B鎮(zhèn),吃午飯用去1小時(shí),接著乘木船又順流而下到C鎮(zhèn),共用8小時(shí).那么A,B兩鎮(zhèn)間的距離是多少千米?現(xiàn)在是10點(diǎn)，再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，時(shí)針與分針將第一次在一條直線上？有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10時(shí)整．那么，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合?某科學(xué)家設(shè)計(jì)了只怪鐘，這只怪鐘每晝夜10時(shí)，每時(shí)100分〔如右圖所示〕。當(dāng)這只鐘顯示5點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上是中午12點(diǎn)；當(dāng)這只鐘顯示6點(diǎn)75分時(shí)，實(shí)際上是什么時(shí)間？10、手表比鬧鐘每時(shí)快60秒，鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每時(shí)慢60秒。8點(diǎn)整將手表對(duì)準(zhǔn)，12點(diǎn)整手表顯示的時(shí)間是幾點(diǎn)幾分幾秒？甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到達(dá)B地和乙到達(dá)A地后都立即沿原路返回，二人第二次相遇的地點(diǎn)距第一次相遇的地點(diǎn)30千米，那么A、B兩地相距多少千米？B地在A，C兩地之間．甲從B地到A地去送信，甲出發(fā)10分后，乙從B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后10分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過(guò)來(lái)．甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過(guò)來(lái)后返回B地至少要用多少時(shí)間。13、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%．這樣當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米．那么A、B兩地相距多少千米？13、在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過(guò)4分甲到達(dá)B點(diǎn)，又過(guò)8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，每分鐘行750米，預(yù)計(jì)50分鐘到達(dá)．但汽車行駛到路程的時(shí)，出了故障，用5分鐘修理完畢，如果仍需在預(yù)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)乙地，汽車行駛余下的路程時(shí)，每分鐘必須比原來(lái)快多少米？15、狗跑5步的時(shí)間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開(kāi)始追它。問(wèn)：狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追上它？16、甲乙輛車同時(shí)從ab兩地相對(duì)開(kāi)出，幾小時(shí)后再距中點(diǎn)40千米處相遇？，甲車行完全程要8小時(shí)，乙車行完全程要10小時(shí)，求ab兩地相距多少千米？17、在一個(gè)600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時(shí)從同一個(gè)起點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺懿?，兩人每?2分鐘相遇一次，假設(shè)兩個(gè)人速度不變，還是在原來(lái)出發(fā)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，哥哥改為按逆時(shí)針?lè)较蚺埽敲磧扇嗣扛?分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？18、慢車車長(zhǎng)125米，車速每秒行17米，快車車長(zhǎng)140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來(lái)，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過(guò)慢車需要多少時(shí)間？19、在300米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上，甲乙兩個(gè)人同時(shí)同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？20、一個(gè)人在鐵道邊，聽(tīng)見(jiàn)遠(yuǎn)處傳來(lái)的火車汽笛聲后，在經(jīng)過(guò)57秒火車經(jīng)過(guò)她前面，火車?guó)Q笛時(shí)離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度〔得出保存整數(shù)〕21、獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步，問(wèn)獵犬至少跑多少米才能追上兔子。正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。22、AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時(shí)間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時(shí)從AB兩地相對(duì)行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達(dá)A地比甲到達(dá)B地要晚多少分鐘?23、甲乙兩車同時(shí)從AB兩地相對(duì)開(kāi)出。第一次相遇后兩車?yán)^續(xù)行駛，各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回。第二次相遇時(shí)離B地的距離是AB全程的1/5。甲車在第一次相遇時(shí)行了120千米。AB兩地相距多少千米？24、一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時(shí);逆流8小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)2千米，求兩地間的距離？25、快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開(kāi)出，快車每小時(shí)行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，慢車行完全程需要8小時(shí)，求甲乙兩地的路程。26、小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結(jié)果慢了半小時(shí).,騎車每小時(shí)12千米,乘車每小時(shí)30千米,問(wèn):甲乙兩地相距多少千米?★八．比例問(wèn)題★跟知識(shí)握握手★【比例與百分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常有用，這一局部?jī)?nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容。故學(xué)生應(yīng)該掌握的知識(shí)有】：1、比和比例的性質(zhì)性質(zhì)1：假設(shè)a:b=c：d，那么(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；性質(zhì)2：假設(shè)a:b=c：d，那么(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；性質(zhì)3：假設(shè)a:b=c：d，那么(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x為常數(shù))性質(zhì)4：假設(shè)a:b=c：d，那么a×d=b×c；(即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積)正比例：如果a÷b=k(k為常數(shù))，那么稱a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k為常數(shù))，那么稱a、b成反比．2、主要比例轉(zhuǎn)化實(shí)例[1]；；；[2]；(其中)；[3]；；；[4]，；；[5]的等于的，那么是的，是的．3、按比例分配與和差關(guān)系[1]按比例分配例如：將個(gè)物體按照的比例分配給甲、乙兩個(gè)人，那么實(shí)際上甲、乙兩個(gè)人各自分配到的物體數(shù)量與的比分別為和，所以甲分配到個(gè)，乙分配到個(gè).[2]兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個(gè)類別數(shù)量的問(wèn)題例如：兩個(gè)類別、，元素的數(shù)量比為(這里)，數(shù)量差為，那么的元素?cái)?shù)量為，的元素?cái)?shù)量為，所以解題的關(guān)鍵是求出與或的比值．4、比例題目常用解題方式和思路解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運(yùn)用單位“l(fā)〞。題中如果有幾個(gè)不同的單位“1〞，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“1〞，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1〞，使數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化，到達(dá)解決問(wèn)題的效果。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：[1]題中有幾種數(shù)量相比擬時(shí)，要選擇與各個(gè)條件關(guān)系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位“1〞。[2]假設(shè)題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1〞。[3]應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解容許用題時(shí)要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對(duì)應(yīng)的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反比例關(guān)系，就能找到更好、更巧的解法。[4]題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。[5]賦值解比例問(wèn)題★小試牛刀甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的，乙等于甲、丙兩數(shù)和的，丙等于甲、乙兩數(shù)和的，求.甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為多少？3、如以下圖所示，圓與圓的面積之和等于圓面積的，且圓中的陰影局部面積占圓面積的，圓的陰影局部面積占圓面積的，圓的陰影局部面積占圓面積的．求圓、圓、圓的面積之比某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)比是3:2，分為甲、乙、丙三組的人數(shù)比是10:8:7，甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3:1，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是5:3.求丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比。某團(tuán)體有名會(huì)員，男女會(huì)員人數(shù)之比是，會(huì)員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會(huì)員人數(shù)之比依次為、、，那么丙組有多少名男會(huì)員？(2007年華杯賽總決賽)、、三項(xiàng)工程的工作量之比為，由甲、乙、丙三隊(duì)分別承當(dāng)．三個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開(kāi)工，假設(shè)干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，那么甲、乙、丙隊(duì)的工作效率的比是多少？7、[1]某校畢業(yè)生共有9個(gè)班，每班人數(shù)相等．[2]一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè)班的女生總數(shù)多1；[3]四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男生總數(shù)多1．那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少?一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到個(gè)，而甲、乙兩班的人數(shù)比為，求一共有多少個(gè)蘋果？一班和二班的人數(shù)之比是，如果將一班的名同學(xué)調(diào)到二班去，那么一班和二班的人數(shù)比變?yōu)椋笤瓉?lái)兩班的人數(shù)。10、幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生．大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為，中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為，那么大班有女生多少名？11、甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方形的邊爬去，結(jié)果在距點(diǎn)厘米的點(diǎn)相遇，乙螞蟻的速度是甲的倍，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)？甲乙兩車分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行．出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度減少20％，乙的速度增加20％，這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米．問(wèn)：A，B兩地相距多少千米？師徒二人加工一批零件，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘．完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工100個(gè)零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個(gè)零件？、、三個(gè)水桶的總?cè)莘e是公升，如果、兩桶裝滿水，桶是空的；假設(shè)將桶水的全部和桶水的，或?qū)⑼八娜亢屯八牡谷胪埃岸记『醚b滿．求、、三個(gè)水桶容積各是多少公升？一塊長(zhǎng)方形鐵板，寬是長(zhǎng)的．從寬邊截去厘米，長(zhǎng)邊截去以后，得到一塊正方形鐵板．問(wèn)原來(lái)長(zhǎng)方形鐵板的長(zhǎng)是多少厘米？一把小刀售價(jià)元．如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)剩余的錢數(shù)之比是；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)椋∶髟瓉?lái)有多少錢？一項(xiàng)機(jī)械加工作業(yè)，用4臺(tái)型機(jī)床，5天可以完成；用4臺(tái)型機(jī)床和2臺(tái)型機(jī)床3天可以完成；用3臺(tái)型機(jī)床和9臺(tái)型機(jī)床，2天可以完成，假設(shè)3種機(jī)床各取一臺(tái)工作5天后，剩下、型機(jī)床繼續(xù)工作，還需要______天可以完成作業(yè)。動(dòng)物園門票大人元，小孩元．六一兒童節(jié)那天，兒童免票，結(jié)果與前一天相比，大人增加了，兒童增加了，共增加了人，但門票收入與前一天相同．六一兒童節(jié)這天共有多少人入園？某水果批發(fā)市場(chǎng)存放的蘋果與桃子的噸數(shù)的比是，第一天售出蘋果的，售出桃子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是；第二天售出蘋果噸，桃子噸，這樣一來(lái)，所剩蘋果的噸數(shù)是所剩桃子噸數(shù)的，問(wèn)原有蘋果和桃子各有多少噸？有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)和寬的比是，寬與高的比是．外表積為，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積?！?023年第七屆“希望杯〞二試六年級(jí)〕某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過(guò)往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大型車元，中型車元，小型車元．一天，通過(guò)該收費(fèi)站的大型車和中型車數(shù)量之比是，中型車與小型車之比是，小型車的通行費(fèi)總數(shù)比大型車多元．〔1〕這天通過(guò)收費(fèi)站的大型車、中型車、小型車各有多少輛？〔2〕這天的收費(fèi)總數(shù)是多少元？枚壹分硬幣摞在一起與枚貳分硬幣摞在一起一樣高，枚壹分硬幣摞在一起與枚伍分硬幣摞在一起一樣高．用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個(gè)圓柱體，并且三個(gè)圓柱體一樣高，共用了枚硬幣，問(wèn)：這些硬幣的幣值為多少元？某工地用種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方．甲、乙、丙三種卡車載重量之比為，速度比為，運(yùn)送土方的路程之比為，三種車的輛數(shù)之比為．工程開(kāi)始時(shí)，乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸，但甲種車只有一半投入，直到天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了天完成任務(wù)．那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？將一堆糖果全局部給甲、乙、丙三個(gè)小朋友．原方案甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為．實(shí)際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為，其中有一位小朋友比原方案多得了塊糖果．那么這位小朋友是(填“甲〞、“乙〞或“丙〞)，他實(shí)際所得的糖果數(shù)為塊。一個(gè)周長(zhǎng)是厘米的大長(zhǎng)方形，按圖⑴與圖⑵所示意那樣，劃分為四個(gè)小長(zhǎng)方形．在圖⑴中小長(zhǎng)方形面積的比是，．而在圖⑵中相應(yīng)的比例是，.又知長(zhǎng)方形的寬減去的寬所得到的差與的長(zhǎng)減去的長(zhǎng)所得到差之比為．求大長(zhǎng)方形的面積?！?〕⑵北京中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)男女運(yùn)發(fā)動(dòng)比例為，組委會(huì)決定增加女子藝術(shù)體操工程，這樣男女運(yùn)發(fā)動(dòng)比例變?yōu)椋缓髞?lái)又決定增加男子象棋工程，男女比例變?yōu)?男子象棋工程運(yùn)發(fā)動(dòng)比女子藝術(shù)體操運(yùn)發(fā)動(dòng)多人，那么總運(yùn)發(fā)動(dòng)人數(shù)為多少？有假設(shè)干個(gè)突擊隊(duì)參加某工地會(huì)戰(zhàn)，每個(gè)突擊隊(duì)人數(shù)相同，而且每個(gè)隊(duì)的女隊(duì)員的人數(shù)是該隊(duì)的男隊(duì)員的，以后上級(jí)從第一突擊隊(duì)調(diào)走了該隊(duì)的一半隊(duì)員，而且全是男隊(duì)員，于是工地上的全體女隊(duì)員的人數(shù)是剩下的全體男隊(duì)員的，問(wèn)開(kāi)始共有多少支突擊隊(duì)參加會(huì)戰(zhàn)？某學(xué)校入學(xué)考試，參加的男生與女生人數(shù)之比是．結(jié)果錄取91人，其中男生與女生人數(shù)之比是．未被錄取的學(xué)生中，男生與女生人數(shù)之比是．問(wèn)報(bào)考的共有多少人？有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重千克，乙塊重千克，現(xiàn)在從甲、乙兩塊合金上各切下重量相等的一局部，將甲塊上切下的局部與乙塊的剩余的局部一起熔煉，再將乙塊上切下的局部與甲塊的剩余的局部一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相同，求切下的重量為_(kāi)_______。小學(xué)奧數(shù)分類型講解資料1、最值問(wèn)題【最小值問(wèn)題】例1外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點(diǎn)，原來(lái)就各有一位民警值勤。為了保證平安，上級(jí)決定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警〔包括原有的民警〕之間的距離都相等?，F(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。〔《中華電力杯》少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽第一試試題〕講析：如圖5.91，現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點(diǎn)各有一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個(gè)2500米，2個(gè)4000米，2個(gè)2000米。現(xiàn)要在他們各自的中間插入假設(shè)干名民警，要求每?jī)扇酥g距離相等，這實(shí)際上是要求將2500、4000、2000分成盡可能長(zhǎng)的同樣長(zhǎng)的小路。由于2500、4000、2000的最大公約數(shù)是500，所以，整段路最少需要的民警數(shù)是〔5000＋8000＋4000〕÷500＋1=35〔名〕。例2在一個(gè)正方體外表上，三只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，如圖5.92所示，它們爬行的速度相等。假設(shè)要求它們同時(shí)出發(fā)會(huì)面，那么，應(yīng)選擇哪點(diǎn)會(huì)面最省時(shí)？〔湖南懷化地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題〕講析：因?yàn)槿晃浵佀俣认嗟龋霃母髯缘牡攸c(diǎn)出發(fā)會(huì)面最省時(shí)，必須三者同時(shí)到達(dá)，即各自行的路程相等。我們可將正方體外表展開(kāi)，如圖5.93，那么A、B、C三點(diǎn)在同一平面上。這樣，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)找出一點(diǎn)O，使O到這三點(diǎn)的距離相等且最短。所以，連接A和C，它與正方體的一條棱交于O；再連接OB，不難得出AO=OC=OB。故，O點(diǎn)即為三只螞蟻會(huì)面之處。【最大值問(wèn)題】例1有三條線段a、b、c，并且a＜b＜c。判斷：圖5.94的三個(gè)梯形中，第幾個(gè)圖形面積最大？〔全國(guó)第二屆“華杯賽〞初賽試題〕講析：三個(gè)圖的面積分別是：三個(gè)面積數(shù)變化的局部是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是〔a＋b＋c〕的和一定。其問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是把這個(gè)定值拆成兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)為何值時(shí)，乘積最大。由等周長(zhǎng)的長(zhǎng)方形面積最大原理可知，〔a＋b〕×c這組數(shù)的值最接近。故圖〔3〕的面積最大。例2某商店有一天，估計(jì)將進(jìn)貨單價(jià)為90元的某商品按100元售出后，能賣出500個(gè)。這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)。為了使這一天能賺得更多利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)______元?！才_(tái)北市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：因?yàn)榘疵總€(gè)100元出售，能賣出500個(gè)，每個(gè)漲價(jià)1元，其銷量減少10個(gè)，所以，這種商品按單價(jià)90元進(jìn)貨，共進(jìn)了600個(gè)?，F(xiàn)把600個(gè)商品按每份10個(gè)，可分成60份。因每個(gè)漲價(jià)1元，銷量就減少1份〔即10個(gè)〕；相反，每個(gè)減價(jià)1元，銷量就增加1份。所以，每個(gè)漲價(jià)的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的〔為60〕，根據(jù)等周長(zhǎng)長(zhǎng)方形面積最大原理可知，當(dāng)把60分為兩個(gè)30時(shí)，即每個(gè)漲價(jià)30元，賣出30份，此時(shí)有最大的利潤(rùn)。因此，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為90＋30=120〔元〕時(shí)，這一天能獲得最大利潤(rùn)。2、最值規(guī)律【積最大的規(guī)律】〔1〕多個(gè)數(shù)的和一定〔為一個(gè)不變的常數(shù)〕，當(dāng)這幾個(gè)數(shù)均相等時(shí)，它們的積最大。用字母表示，就是如果a1+a2+…+an=b〔b為一常數(shù)〕，那么，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，a1×a2×…×an有最大值。例如，a1+a2=10，…………→…………；1+9=10→1×9=9；2+8=10→2×8=16；3+7=10→3×7=21；4+6=10→4×6=24；4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；5+5=10→5×5=25；5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；…………→…………；9+1=10→9×1=9；…………→…………由上可見(jiàn)，當(dāng)a1、a2兩數(shù)的差越小時(shí)，它們的積就越大；只有當(dāng)它們的差為0，即a1=a2時(shí)，它們的積就會(huì)變得最大。三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。由“積最大規(guī)律〞，可以推出以下的結(jié)論：結(jié)論1所有周長(zhǎng)相等的n邊形，以正n邊形〔各角相等，各邊也相等的n邊形〕的面積為最大。例如，當(dāng)n=4時(shí)，周長(zhǎng)相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。例題：用長(zhǎng)為24厘米的鐵絲，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)寬如何分配時(shí)，它的面積為最大？解設(shè)長(zhǎng)為a厘米，寬為b厘米，依題意得〔a+b〕×2=24即a+b=12由積最大規(guī)律，得a=b=6〔厘米〕時(shí)，面積最大為6×6=36〔平方厘米〕。〔注：正方形是特殊的矩形，即特殊的長(zhǎng)方形?！辰Y(jié)論2在三度〔長(zhǎng)、寬、高〕的和一定的長(zhǎng)方體中，以正方體的體積為最大。例題：用12米長(zhǎng)的鐵絲焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高如何分配，它的體積才會(huì)最大？解設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為a米，寬為b米，高為c米，依題意得〔a+b+c〕×4=12即a+b+c=3由積最大規(guī)律，得a=b=c=1〔米〕時(shí)，長(zhǎng)方體體積為最大。最大體積為1×1×1=1〔立方米〕?！?〕將給定的自然數(shù)N，分拆成假設(shè)干個(gè)〔不定〕的自然數(shù)的和，只有當(dāng)這些自然數(shù)全是2或3，并且2至多為兩個(gè)時(shí)，這些自然數(shù)的積最大。例如，將自然數(shù)8拆成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和，要使這些自然數(shù)的乘積為最大。怎么辦呢？我們可將各種拆法詳述如下：分拆成8個(gè)數(shù)，那么只能是8個(gè)“1〞，其積為1。分拆成7個(gè)數(shù)，那么只能是6個(gè)“1〞，1個(gè)“2〞，其積為2。分拆成6個(gè)數(shù)，可得兩組數(shù)：〔1，1，1，1，1，3〕；〔1，1，1，1，2，2〕。它們的積分別是3和4。分拆成5個(gè)數(shù)，可得三組數(shù)：〔1，1，1，1，4〕；〔1，1，1，2，3〕；〔1，1，2，2，2〕。它們的積分別為4，6，8。分拆成4個(gè)數(shù)，可得5組數(shù)：〔1，1，1，5〕；〔1，1，2，4〕；〔1，1，3，3〕；〔1，2，2，3〕；〔2，2，2，2〕。它們的積分別為5，8，9，12，16。分拆成3個(gè)數(shù)，可得5組數(shù)：〔1，1，6〕；〔1，2，5〕；〔1，3，4〕；〔2，2，4〕；〔2，3，3〕。它們的積分別為6，10，12，16，18。分拆成2個(gè)數(shù)，可得4組數(shù)：〔1，7〕；〔2，6〕；〔3，5〕；〔4，4〕。它們的積分別為7，12，15，16。分拆成一個(gè)數(shù)，就是這個(gè)8。從上面可以看出，積最大的是18=3×3×2?？梢?jiàn)，它符合上面所述規(guī)律。用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和，可發(fā)現(xiàn)6=3+3時(shí)，其積3×3=9為最大；7=3+2+2時(shí)，其積3×2×2=12為最大；14=3+3+3+3+2時(shí)，其積3×3×3×3×2=162為最大；由這些例子可知，上面所述的規(guī)律是正確的。【和最小的規(guī)律】幾個(gè)數(shù)的積一定，當(dāng)這幾個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的和相等。用字母表達(dá)，就是如果a1×a2×…×an=c〔c為常數(shù)〕，那么，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，a1+a2+…+an有最小值。例如，a1×a2=9，…………→…………1×9=9→1+9=10；3×3=9→3+3=6；…………→…………由上述各式可見(jiàn)，當(dāng)兩數(shù)差越小時(shí)，它們的和也就越??；當(dāng)兩數(shù)差為0時(shí)，它們的和為最小。例題：用鐵絲圍成一個(gè)面積為16平方分米的長(zhǎng)方形，如何下料，材料最省？解設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a分米，寬為b分米，依題意得a×b=16。要使材料最省，那么長(zhǎng)方形周長(zhǎng)應(yīng)最小，即a+b要最小。根據(jù)“和最小規(guī)律〞，取a=b=4〔分米〕時(shí)，即用16分米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)正方形，所用的材料為最省。推論由“和最小規(guī)律〞可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長(zhǎng)為最小。例如，面積均為4平方分米的正方形和圓，正方形的周長(zhǎng)為8分米；而的周長(zhǎng)小于正方形的周長(zhǎng)?！久娣e變化規(guī)律】在周長(zhǎng)一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，面積越大。為0.433×6=2.598〔平方分米〕。方形的面積。推論由這一面積變化規(guī)律，可以推出下面的結(jié)論：在周長(zhǎng)一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。例如，周長(zhǎng)為4分米的正方形面積為1平方分米；而周長(zhǎng)為4分米的圓，于和它周長(zhǎng)相等的正方形面積?！倔w積變化規(guī)律】在外表積一定的正多面體〔各面為正n邊形，各面角和各二面角相等的多面體〕中，面數(shù)越多，體積越大。例如，外表積為8平方厘米的正四面體S—ABC〔如圖1.30〕，它每一個(gè)面均為正三角形，每個(gè)三角形面積為2平方厘米，它的體積約是1.1697立方厘米。而外表積為8平方厘米長(zhǎng)約為1.1546厘米，體積約為1.539立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面體體積。推論由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結(jié)論：在外表積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。例如，外表積為8平方厘米的正四面體，體積約為1.1697立方米；外表積為8平方厘米的正六面體〔正方體〕，體積約為1.539立方厘米；而外表積是8平方厘米的球，體積卻約有2.128立方厘米?？梢?jiàn)上面的結(jié)論是正確的?！九判虿坏仁健繉?duì)于兩個(gè)有序數(shù)組：a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn，那么a1b1+a2b2+……+anb抇n〔同序〕T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n〔亂序〕≥a1bn+a2bn-1+……+a>nb1〔倒序〕〔其中b抇1、b抇2、……、b抇n為b1、b2、……、bn的任意一種排列〔順序、倒序排列在外〕，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn時(shí)，式中等號(hào)成立。〕由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：設(shè)有10個(gè)人各拿一只水桶，同時(shí)到一個(gè)水龍頭下接水。水龍頭注滿第一、第二、……九、十個(gè)人的桶，分別需要1、2、3、……、9、10分鐘。問(wèn)：如何安排這10個(gè)人的排隊(duì)順序，可使每個(gè)人所費(fèi)時(shí)間的總和盡可能少？這個(gè)總費(fèi)時(shí)至少是多少分鐘？解設(shè)每人水桶注滿時(shí)間的一個(gè)有序數(shù)組為：1，2，3，……，9，10。打水時(shí)，等候的人數(shù)為第二個(gè)有序數(shù)組，等候時(shí)間最長(zhǎng)的人數(shù)排前，這樣組成1，2，3，……，9，10。根據(jù)排序不等式，最小積的和為倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=〔1×10+2×9+3×8+4×7+5×6〕×2=〔10+18+24+28+30〕×2=220〔分鐘〕其排隊(duì)順序應(yīng)為：根據(jù)注滿一桶水所需時(shí)間的多少，按從少到多的排法。3、最優(yōu)方案與最正確策略【最優(yōu)方案】例1某工廠每天要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，按工藝規(guī)定，每件甲產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、1、4、0小時(shí)；每件乙產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、2、0、4小時(shí)。A、B、C、D四臺(tái)設(shè)備，每天最多能轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間分別是12、8、16、12小時(shí)。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品該廠得利潤(rùn)200元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品得利潤(rùn)300元。問(wèn)：每天如何安排生產(chǎn)，才能得到最大利潤(rùn)？〔中國(guó)臺(tái)北第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件。由于設(shè)備A的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間每天最多為12小時(shí)，那么有：〔2a＋2b〕不超過(guò)12。又〔a＋2b〕不超過(guò)8，4a不超過(guò)16，4b不超過(guò)12。由以上四個(gè)條件知，當(dāng)b取1時(shí)，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取2時(shí)，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取3時(shí)，a可取1、2。這樣，就是在以上情況下，求利潤(rùn)200a＋300b的最大值?？闪斜砣缦拢核?，每天安排生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品時(shí)，能得到最大利潤(rùn)1400元。例2甲廠和乙廠是相鄰的兩個(gè)服裝廠。它們生產(chǎn)同一規(guī)格的成衣，每個(gè)廠的人員和設(shè)備都能進(jìn)行上衣和褲子生產(chǎn)。由于各廠的特點(diǎn)不同，甲廠每月聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長(zhǎng)多生產(chǎn)成衣。那么現(xiàn)在比過(guò)去每月能多生產(chǎn)成衣______套?！?989年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題〕的時(shí)間生產(chǎn)上衣。所以，甲廠長(zhǎng)于生產(chǎn)褲子，乙廠長(zhǎng)于生產(chǎn)上衣。如果甲廠全月生產(chǎn)褲子，那么可生產(chǎn)如果乙廠全月生產(chǎn)上衣，那么可生產(chǎn)把甲廠生產(chǎn)的褲子與乙廠生產(chǎn)的上衣配成2100套成衣，這時(shí)甲廠生產(chǎn)150條褲子的時(shí)間可用來(lái)生產(chǎn)成套的成衣故現(xiàn)在比過(guò)去每月可以多生產(chǎn)60套?！咀钫_策略】例1A、B二人從A開(kāi)始，輪流在1、2、3、……、1990這1990個(gè)數(shù)中劃去一個(gè)數(shù)，直到最后剩下兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么B勝，否那么A勝。問(wèn)：誰(shuí)能必勝？制勝的策略是什么？〔《中華電力杯》少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：將這1990個(gè)數(shù)按每?jī)蓚€(gè)數(shù)分為一組；〔1、2〕，〔3、4〕，〔5、6〕，…，〔1989、1990〕。當(dāng)A任意在括號(hào)中劃去一個(gè)時(shí)，B就在同一個(gè)括號(hào)中劃去另一個(gè)數(shù)。這樣B就一定能獲勝。例2桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問(wèn)：誰(shuí)可獲勝？〔1992年烏克蘭基輔市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：因?yàn)閮扇溯喠鞲魅∫淮魏?，可以做到只?根。誰(shuí)要搶到第1992根，誰(shuí)就必須搶到第1989根，進(jìn)而搶到第1986、1983、1980、…、6、3根。誰(shuí)搶到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。后者獲勝的策略是，領(lǐng)先取的人每取一次火柴梗時(shí)，他緊接著取一次，每次取的根數(shù)與先取的加起來(lái)的和等于3。例3有分別裝球73個(gè)和118個(gè)的兩個(gè)箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球，規(guī)定取得最后一球者為勝。問(wèn)：假設(shè)要先取者為獲勝，應(yīng)如何取？〔上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：先取者應(yīng)不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。4、直接思路“直接思路〞是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過(guò)分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑?！卷樝蚓C合思路】從條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個(gè)數(shù)量，提出可以解決的問(wèn)題；然后把所求出的數(shù)量作為新的條件，與其他的條件搭配，再提出可以解決的問(wèn)題；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫“綜合法〞。例1兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后，哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見(jiàn)到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時(shí)狗跑了多少千米？分析〔按順向綜合思路探索〕：〔1〕根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。〔2〕根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米?！?〕通過(guò)計(jì)算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據(jù)這兩個(gè)條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時(shí)間?！?〕狗在哥哥與弟弟之間來(lái)回不斷奔跑，看起來(lái)很復(fù)雜，仔細(xì)想一想，狗跑的時(shí)間與誰(shuí)用的時(shí)間是一樣的？狗跑的時(shí)間與哥哥追上弟弟所用的時(shí)間是相同的。〔5〕狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來(lái)回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時(shí)間，可以求什么？可以求出這時(shí)狗總共跑了多少距離？這個(gè)分析思路可以用以下圖〔圖2.1〕表示。例2下面圖形〔圖2.2〕中有多少條線段？分析〔仍可用綜合思路考慮〕：我們知道，直線上兩點(diǎn)間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做根本線段，那么就可以這樣來(lái)計(jì)數(shù)?！?〕左端點(diǎn)是A的線段有哪些？有ABACADAEAFAG共6條?！?〕左端點(diǎn)是B的線段有哪些？有BC、BD、BE、BF、BG共5條?！?〕左端點(diǎn)是C的線段有哪些？有CD、CE、CF、CG共4條?！?〕左端點(diǎn)是D的線段有哪些？有DE、DF、DG共3條?！?〕左端點(diǎn)是E的線段有哪些？有EF、EG共2條?！?〕左端點(diǎn)是F的線段有哪些？有FG共1條。然后把這些線段加起來(lái)就是所要求的線段?！灸嫦蚍治鏊悸贰繌念}目的問(wèn)題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件，然后把其中的一個(gè)〔或兩個(gè)〕未知的條件作為要解決的問(wèn)題，再找出解這一個(gè)〔或兩個(gè)〕問(wèn)題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是的為止，這就是逆向分析思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫分析法。例1兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時(shí)相向而行，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，兩船又分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，但這次水流速度為平時(shí)的2倍，所以兩船相遇的地點(diǎn)比平時(shí)相遇點(diǎn)相差60米，求A、B兩地間的距離。分析〔用分析思路考慮〕：〔1〕要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時(shí)間?！?〕要求兩船的速度和，必要什么條件？?jī)纱謩e的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不管其水速是否改變，其速度和均為〔600+600〕米，這是因?yàn)轫標(biāo)贋椋捍?水速，逆水船速為：船速-水速，