工程數(shù)學(xué)課件

初等函數(shù)

*1,指數(shù)函數(shù)希望能夠在複平面內(nèi)定義一個(gè)函數(shù)f(z)具有實(shí)函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)ex的三個(gè)性質(zhì):

i)f(z)在複平面內(nèi)解析;

ii)f'(z)=f(z)

iii)當(dāng)Im(z)=0時(shí),f(z)=ex,其中x=Re(z)

前面的例1中已經(jīng)知道,函數(shù)

f(z)=ex(cosy+isiny)

是一個(gè)在復(fù)平面處處解析的函數(shù),且有

f'(z)=f(z),當(dāng)y=0時(shí),f(z)=ex.f(z)稱為指數(shù)函數(shù).

記作expz=ex(cosy+isiny). (2.3.1)

等價(jià)於關(guān)係式:|expz|=ex,

Arg(expz)=y+2kp (2.3.2)*由(2.3.2)中的第一式可知

expz0.

跟ex一樣,expz也服從加法定理:

expz1expz2=exp(z1+z2) (2.3.3)

事實(shí)上,設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定義有*鑒於expz滿足條件iii),且加法定理也成立,為了方便,往往用ez代替expz.但是必須注意,這裏的ez沒有冪的意義,僅僅作為代替expz的符號(hào)使用,因此我們就有

ez=ex(cosy+isiny) (2.3.4)

特別,當(dāng)x=0時(shí),有

eiy=cosy+isiny (2.3.5)

由加法定理,我們可以推出expz的週期性,它的週期性是2kpi,即

ez+2kpi=eze2kpi=ez

其中k為任何整數(shù).*2.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).將滿足方程

ew=z (z0)

的函數(shù)w=f(z)稱為對(duì)數(shù)函數(shù).令w=u+iv,z=reiq,則 eu+iv=reiq,

所以 u=lnr,v=q.

因此 w=ln|z|+iArgz

由於Argz為多值函數(shù),所以對(duì)數(shù)函數(shù)w=f(z)為多值函數(shù),並且每?jī)蓚€(gè)值相差2pi的整數(shù)倍,記作

Lnz=ln|z|+iArgz (2.3.6)* Lnz=ln|z|+iArgz (2.3.6)

如果規(guī)定上式中的Argz取主值argz,則Lnz為一單值函數(shù),記作lnz,稱為L(zhǎng)nz的主值,因此

lnz=ln|z|+iargz (2.3.7)

而其餘各值可由

Lnz=lnz+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8)

表達(dá).對(duì)於每一個(gè)固定的k,(2.3.8)式為一單值函數(shù),稱為L(zhǎng)nz的一個(gè)分支.

特別,當(dāng)z=x>0時(shí),Lnz的主值lnz=lnx,就是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù).*例1

求Ln2,Ln(-1)以及它們相應(yīng)的主值.

[解]因?yàn)長(zhǎng)n2=ln2+2kpi,所以它的主值就是ln2.而Ln(-1)=ln1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k為整數(shù)),所以它的主值是ln(-1)=pi.

在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù),此例說明在複數(shù)範(fàn)圍內(nèi)不再成立.而且正實(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)也是無窮多值的.因此,複變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.利用幅角的性質(zhì)不難證明:*對(duì)數(shù)函數(shù)的解析性.就主值lnz而言,其中l(wèi)n|z|除原點(diǎn)外在其他點(diǎn)都是連續(xù)的,而argz在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù).因?yàn)槿粼O(shè)z=x+iy,則當(dāng)z<0時(shí),所以,除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸,在複平面內(nèi)其他點(diǎn)lnz處處連續(xù).綜上所述,z=ew在區(qū)域-p<v=argz<p內(nèi)的反函數(shù)w=lnz是單值的,由反函數(shù)求導(dǎo)法則可知:*所以,lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析.由(2.3.8)式就可知道,Lnz的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解析,並且有相同的導(dǎo)數(shù)值.

今后我們應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz時(shí),指的都是它在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)的某一單值分支.*3.乘冪ab與冪函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中,如果a為正數(shù),b為實(shí)數(shù),則乘冪ab可表示為ab=eblna,現(xiàn)在將它推廣到複數(shù)的情形.設(shè)a為不等於0的一個(gè)複數(shù),b為任意一個(gè)複數(shù),定義乘冪ab為ebLna,即

ab=ebLna (2.3.9)

由於Lna=ln|a|+i(arga+2kp)是多值的,因而ab也是多值的.當(dāng)b為整數(shù)時(shí),由於

ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arga+2kp)]

=eb(ln|a|+iarga)+2kbpi=eblna,

所以這時(shí)ab具有單一的值.*當(dāng)b=p/q(p和q為互質(zhì)的整數(shù),q>0)時(shí),由於ab具有q個(gè)值,即當(dāng)k=0,1,...,(q-1)時(shí)相應(yīng)的各個(gè)值.除此而外,一般而論ab具有無窮多個(gè)值.****zn在複平面內(nèi)是單值解析函數(shù),(zn)'=nzn-1.**4.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)根據(jù)(2.3.5)我們有

eiy=cosy+isiny

e-iy=cosy-isiny

將這兩式相加與相減,分別得到現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取複值的情形,定義*當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí),顯然這與(2.3.12)完全一致.由於ez是以2pi為週期的週期函數(shù),因此cosz和sinz以2p為週期,即

cos(z+2p)=cosz, sin(z+2p)=sinz.

也容易推出cosz是偶函數(shù):

cos(-z)=cosz

而sinz是奇函數(shù):

sin(-z)=-sinz

由指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以求得

(cosz)'=-sinz,(sinz)'=cosz

由(2.3.13),易知

eiz=cosz+isinz (2.3.14)

普遍正確,即對(duì)於複數(shù),歐拉公式仍然成立.*由定義可知三角函數(shù)許多公式仍然成立由此得cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.但當(dāng)z為純虛數(shù)iy時(shí),我們有*所以這兩個(gè)公式對(duì)於計(jì)算cosz與sinz的值有用.當(dāng)y

時(shí),|siniy|和|cosiy|都趨於無窮大,因此,|sinz|1和|cosz|1在複數(shù)範(fàn)圍內(nèi)不再成立.其他複變數(shù)三角函數(shù)的定義如下:*與三角函數(shù)密切相關(guān)的是雙曲函數(shù),定義分別稱為雙曲余弦,正弦和正切函數(shù).chz和shz都是以2pi為週期的函數(shù),chz為偶函數(shù),shz為奇函數(shù),它們都是複平面內(nèi)的解析函數(shù),導(dǎo)數(shù)分別為: (chz)'=shz, (shz)'=chz (2.3.18)不難證明chiy=cosy,shiy=isiny (2.3.19)*5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)定義為三角函數(shù)的反函數(shù),設(shè)

z=cosw,

則稱w為z的反余弦函數(shù),記作

w=Arccosz.*用同樣的方法可以定義反正弦和反正切函數(shù),並且重複上述步驟,可以得到它們的運(yùn)算式:*反雙曲函數(shù)定義為雙曲函數(shù)的反函數(shù).用與推導(dǎo)反三角函數(shù)運(yùn)算式完全類似的步驟,可以得到各反雙曲函數(shù)的運(yùn)算式:*它們都是多值函數(shù).第三章複變函數(shù)的積分§1複變函數(shù)積分的概念*1.積分的定義設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線.如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),則將C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.設(shè)曲線C的兩個(gè)端點(diǎn)為A與B,如果將A到B的方向作為C的正方向,則從B到A的方向就是C的負(fù)方向,並記作C-.常將兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),則正方向規(guī)定為起點(diǎn)至終點(diǎn)的方向.而簡(jiǎn)單閉曲線的正方向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向沿該曲線前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線內(nèi)部始終位於P點(diǎn)的左方.*定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi),C為在區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線.把曲線C任意分成n個(gè)弧段,設(shè)分點(diǎn)為

A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=B*Az1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO在每個(gè)弧段zk-1,zk(k=1,2,...,n)上任意取一點(diǎn)

k,並作和式*容易看出,當(dāng)C是x軸上的區(qū)間a

x

b,而f(z)=u(x)時(shí),這個(gè)積分定義就是一元實(shí)函數(shù)定積分的定義.*2,積分存在的條件及計(jì)算法設(shè)光滑曲線C由參數(shù)方程

z=z(t)=x(t)+iy(t),a

t

b (3.1.2)

給出,正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,參數(shù)a及b對(duì)應(yīng)於起點(diǎn)A及終點(diǎn)B,並且z'(t)0,a<t<b.

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)處處連續(xù),則u(x,y)及v(x,y)均為D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).設(shè)zk=xk+ihk,由於

Dzk=zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)

=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=Dxk+iDyk,

所以,**由於u,v都是連續(xù)函數(shù),根據(jù)線積分的存在定理,我們知道當(dāng)n無限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨於零時(shí),不論對(duì)C的分法如何,點(diǎn)(xk,hk)的取法如何,上式右端的兩個(gè)和式的極限都是存在的.因此有**上式右端可以寫成如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲線首尾連接而成,則我們定義*例1計(jì)算,其中C為原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段.

[解]直線的方程可寫作

x=3t,y=4t,0

t1,

或 z=3t+i4t,0

t1.

在C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt.於是*例2計(jì)算,其中C為以z0為中心,r為半徑的正向圓周,n為整數(shù).*z0rqz-z0=reiqzOxy[解]C的方程可寫作

z=z0+reiq,0

q2p,dz=ireiqdq*所以這個(gè)結(jié)果以後經(jīng)常要用到,它的特點(diǎn)是與積分路線圓周的中心和半徑無關(guān).應(yīng)當(dāng)記住.*3.積分的性質(zhì)*

複變函數(shù)*1.複變函數(shù)的定義定義設(shè)G是一個(gè)複數(shù)z=x+iy的集合,如果有一個(gè)確定的法則存在,按照這一法則,對(duì)於集合G中的每一個(gè)複數(shù)z,就有一個(gè)或幾個(gè)複數(shù)w=u+iv與之對(duì)應(yīng),則稱複變數(shù)w是複變數(shù)z的函數(shù)(簡(jiǎn)稱複變函數(shù)),記作

w=f(z)*如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的一個(gè)值,則函數(shù)f(z)是單值的;否則就是多值的.集合G稱為f(z)的定義集合,對(duì)應(yīng)於G中所有z對(duì)應(yīng)的一切w值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合.在以後的討論中,定義集合G常常是一個(gè)平面區(qū)域,稱之為定義域,並且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).

由于給定了一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy就相當(dāng)於給定了兩個(gè)實(shí)數(shù)x和y,而複數(shù)w=u+iv亦同樣地對(duì)應(yīng)著一對(duì)實(shí)數(shù)u和v,所以複變函數(shù)w和引數(shù)z之間的關(guān)係w=f(z)相當(dāng)於兩個(gè)關(guān)係式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它們確定了引數(shù)為x和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù).*例如,考察函數(shù)

w=z2

令z=x+iy,w=u+iv,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函數(shù)w=z2對(duì)應(yīng)於兩個(gè)二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy*2.映射的概念如用z平面上的點(diǎn)表示引數(shù)z的值,而用另一個(gè)平面w平面上的點(diǎn)表示函數(shù)w的值,則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可以看做是把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集G(定義集合)變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變換).這個(gè)映射通常簡(jiǎn)稱為由函數(shù)w=f(z)所構(gòu)成的映射.如果G中的點(diǎn)z被映射w=f(z)映射成G*中的點(diǎn)w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象.*設(shè)函數(shù)w=z,*xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2設(shè)函數(shù)w=z2,*2axyOuvOz1z2w2z3w3aw1假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集合為w平面上的集合G*,則G*中的每個(gè)點(diǎn)w必將對(duì)應(yīng)著G中的一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn).按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個(gè)單值(或多值)函數(shù)z=j(w),它稱為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù),也稱為映射w=f(z)的逆映射.

從反函數(shù)的定義可知,對(duì)任意的w

G*,有

w=f[j(w)],

當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí),也有

z=j[f(z)],z

G*今後,我們不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換).如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱函數(shù)(映射)w=f(z)是一一的.此時(shí),我們也稱集合G與集合G*是一一對(duì)應(yīng)的.*§6複變函數(shù)的極限和連續(xù)性*1.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域

0<|z-z0|<r內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對(duì)於任意給定的e>0,相應(yīng)地必有一正數(shù)d(e)(0<d

),使得當(dāng)0<|z-z0|<d時(shí)有

|f(z)-A|<e,

則稱A為f(z)當(dāng)z趨向於z0時(shí)的極限,記作或記作當(dāng)z

z0時(shí),f(z)A*這個(gè)定義的幾何意義是:當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0的充分小的d鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落A的預(yù)先給定的e鄰域中.應(yīng)當(dāng)注意,z趨向於z0的方式是任意的,無論以何種方式趨向於z0,f(z)都要趨向於同一常數(shù)A.*xyOz0dzOuvAef(z)極限示意*xyOuvO定理一設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,則*證必要性:*充分性:*定理二*2.函數(shù)的連續(xù)性

定義則說f(z)在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),我們說f(z)在D內(nèi)連續(xù).定理三函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).*定理四1)在z0連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)f(z)與g(z)的和,差,積,商(分母在z0不為零)在z0處連續(xù);

2)如果函數(shù)h=g(z)在z0處連續(xù),函數(shù)w=f(h)在h0=g(z0)連續(xù),則複合函數(shù)w=f[g(z)]在z0處連續(xù).

由以上定理,可以推得有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)

w=P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn

對(duì)複平面內(nèi)所有的z都是連續(xù)的,而有理分式函數(shù)其中P(z)和Q(z)都是多項(xiàng)式,在複平面分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的*還應(yīng)指出,所謂函數(shù)f(z)在曲線C上z0點(diǎn)處連續(xù)的意義是指在閉曲線或包括曲線端點(diǎn)在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z)在曲線上是有界的.即存在一正數(shù)M,在曲線上恒有

|f(z)|

M*第二章解析函數(shù)*§1解析函數(shù)的概念*1.複變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

i)導(dǎo)數(shù)的定義

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義於區(qū)域D,z0為D中一點(diǎn),點(diǎn)z0+Dz不出D的範(fàn)圍.如果極限存在,則就說f(z)在z0可導(dǎo),此極限值就稱為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù),記作*也就是說,對(duì)於任給的e>0,存在d(e)>0,使得當(dāng)0<|Dz|<d時(shí),有應(yīng)當(dāng)注意,定義中z0+Dz

z0(即Dz0)的方式是任意的,定義中極限值存在的要求與z0+Dz

z0的方式無關(guān),也就是說,當(dāng)z0+Dz在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨於z0時(shí),比值*如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo),就說f(z)在Ｄ內(nèi)可導(dǎo).

例1

求f(z)=z2的導(dǎo)數(shù)

[解]因?yàn)樗?f'(z)=2z.*2.函數(shù)的連續(xù)性

定義則說f(z)在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),我們說f(z)在D內(nèi)連續(xù).定理三函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).*ii)可導(dǎo)與連續(xù)容易證明,在z0點(diǎn)可導(dǎo)的函數(shù)必定在z0點(diǎn)連續(xù).

事實(shí)上,由在z0點(diǎn)可導(dǎo)的定義,對(duì)於任給的e>0,相應(yīng)地有一個(gè)d>0,使得當(dāng)0<|Dz|<d時(shí),有由此得f(z0+Dz)-f(z0)=f'(z0)Dz+r(Dz)Dz(2.1.2)*iii)求導(dǎo)法則與實(shí)函數(shù)同樣的辦法可得:

1)(c)'=0,其中c為複常數(shù).

2)(zn)'=nzn-1,其中n為正整數(shù).

3)[f(z)

g(z)]'=f'(z)g'(z).

4)[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z).6){f[g(z)]}'=f'(w)g'(z),其中w=g(z).*iv)微分的概念設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0可導(dǎo),則有

Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f'(z0)Dz+r(Dz)Dz,因此,|r(Dz)Dz|是|Dz|的高階無窮小量,而f'(z0)Dz是函數(shù)w=f(z)的改變量Dw的線性部分,稱為函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的微分,記作

dw=f'(z0)Dz (2.1.3)如果函數(shù)在z0的微分存在,則稱函數(shù)f(z)在z0可微.* dw=f'(z0)Dz (2.1.3)

特別,當(dāng)f(z)=z時(shí),由(2.1.3)得dz=Dz.於是(2.1.3)變?yōu)?/p>

dw=f'(z)dz,

即由此可見,函數(shù)w=f(z)在z0可導(dǎo)與在z0可微是等價(jià)的.如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱f(z)在D內(nèi)可微.*2.解析函數(shù)的概念定義如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱f(z)在z0解析,如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析,則稱f(z)在D內(nèi)解析,或稱f(z)是D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù))如果f(z)在z0不解析,則稱z0為f(z)的奇點(diǎn).由定義可知,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是,函數(shù)在一點(diǎn)處解析和在一點(diǎn)處可導(dǎo)不等價(jià).即,函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),不一定在該點(diǎn)處解析.*根據(jù)求導(dǎo)法則可知定理

1)在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)f(z)與g(z)的和,差,積,商(除去分母為零的點(diǎn))在D內(nèi)解析.2)設(shè)函數(shù)h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,函數(shù)w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析.如果對(duì)D內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)z,函數(shù)g(z)的對(duì)應(yīng)值h都屬於G,則複合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)解析.所有多項(xiàng)式在複平面內(nèi)是處處解析的,任何一個(gè)有理分式函數(shù)P(z)/Q(z)在不含分母為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù),使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn).*§2函數(shù)解析的充要條件*在工程中,往往是要用複變函數(shù)來解決實(shí)際問題.而實(shí)際問題中遇到的複變函數(shù),通常都是某個(gè)實(shí)變函數(shù)延拓而來的.即,如果原來有一個(gè)實(shí)變函數(shù)f(x),引數(shù)是實(shí)數(shù),函數(shù)值也是實(shí)數(shù),則將x用一個(gè)複數(shù)代替,就產(chǎn)生了一個(gè)引數(shù)和函數(shù)值都是複數(shù)的複變函數(shù).

事實(shí)上我們只關(guān)心這樣的復(fù)變函數(shù).比如說

實(shí)變函數(shù)f(x)=x2-x+1,則相應(yīng)的延拓的複變函數(shù)就是f(z)=z2-z+1.

經(jīng)常就是實(shí)變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成的初等函數(shù)延拓到複變函數(shù).*假設(shè)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數(shù),我們也可以將它看作是變數(shù)x,y的二元函數(shù),則對(duì)x求偏導(dǎo)和對(duì)y求偏導(dǎo),得兩個(gè)公式*定理一設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi),而f(z)在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,並且在該點(diǎn)滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

*定理二函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微,並滿足柯西-黎曼方程(2.2.1).例1判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:[解]1)因?yàn)閡=x,v=-y,*可知柯西-黎曼方程不滿足,所以w=z在複平面內(nèi)處處不可導(dǎo),處處不解析2)因?yàn)閡=excosy,v=exsiny,柯西-黎曼方程成立,由於上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的,所以f(z)在複平面內(nèi)處處可導(dǎo),處處解析,且根據(jù)(2.2.2)式有

f'(z)=ex(cosy+isiny)=f(z)今後將知道這個(gè)函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.*3)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以容易看出,這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù),但僅當(dāng)x=y=0時(shí),它們才滿足柯西-黎曼方程,因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo),但在複平面內(nèi)任何地方都不解析.*例2設(shè)函數(shù)f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2).問常數(shù)a,b,c,d取何值時(shí),f(z)在複平面內(nèi)處處解析?

[解]由於ux=2x+ay,uy=ax+2by,

vx=2cx+dy,vy=dx+2y

從而要使ux=vy,uy=-vx,

只需2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by.

因此,當(dāng)a=2,b=-1,c=-1,d=2時(shí),此函數(shù)在複平面內(nèi)處處解析,這時(shí)

f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)

=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2*例3如果f'(z)在區(qū)域D處處為零,則f(z)在D內(nèi)為一常數(shù).

[證]因?yàn)樗評(píng)=常數(shù),v=常數(shù),因而f(z)在D內(nèi)是常數(shù).*例4如果f(z)=u+iv為一解析函數(shù),且f'(z)0,則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交,其中c1,c2為常數(shù).

[證]由於f'(x)=-iuy+vy0,故uy與vy不全為零.

如果在曲線的交點(diǎn)處uy與vy都不為零,由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族中任一條曲線的斜率分別為 k1=-ux/uy和k2=-vx/vy,

利用柯西-黎曼方程得

k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1

因此,二曲線族互相正交.如果uy與vy其中有一個(gè)為零,則另一個(gè)必不為零,此時(shí)易知交點(diǎn)的切線一條是垂直,一條是水準(zhǔn),仍然正交.*傅氏變換

1.傅氏變換的概念我們知道,若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處,有(1.8)式叫做f(t)的傅氏變換式,(1.9)式為F(w)的傅式逆變換式,f(t)與F(w)可相互轉(zhuǎn)換,可記為

F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]還可以將f(t)放在左端,F(w)放在右端,中間用雙向箭頭連接:

f(t)

F(w)

(1.8)式右端的積分運(yùn)算,叫做f(t)的傅氏變換,同樣,(1.9)式右端的積分運(yùn)算,叫做F(w)的傅氏逆變換.

F(w)稱作f(t)的象函數(shù),

f(t)稱作F(w)的象原函數(shù).

可以說象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì).tf(t)根據(jù)(1.8)式,有這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.根據(jù)(1.9)式,有因此有如果令b=1/2,就有可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形函數(shù)求鐘形脈衝函數(shù)的積分運(yùn)算式,根據(jù)(1.9)式2.單位脈衝函數(shù)及其傅氏變換在物理和工程技術(shù)中,常常會(huì)碰到單位脈衝函數(shù).因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈衝性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受具有脈衝性質(zhì)的電勢(shì)作用後產(chǎn)生的電流;在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受衝擊力作用後的運(yùn)動(dòng)情況等.研究此類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈衝函數(shù).在原來電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈衝,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則由於電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率,即所以,當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由於q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為了確定這樣的電流強(qiáng)度,引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡(jiǎn)單記成d-函數(shù).有了這種函數(shù),對(duì)於許多集中於一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量,例如點(diǎn)電荷,點(diǎn)熱源,集中於一點(diǎn)的品質(zhì)及脈衝技術(shù)中的非常窄的脈衝等,就能夠象處理連續(xù)分佈的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.對(duì)於在(-,)上定義的所有可積函數(shù)的集合,也可以構(gòu)成一線性空間,進(jìn)一步地在上面定義內(nèi)積,就可以構(gòu)成一歐氏空間,兩個(gè)函數(shù)f(t)和g(t)的內(nèi)積可以定義為:對(duì)於給定的f(t),我們希望找到一個(gè)函數(shù)和它的內(nèi)積能夠正好等於f(0).如果f(t)在0處連續(xù),我們可以用一非常小的正數(shù)e>0,計(jì)算f(t)在區(qū)間[0,e]上的平均值,則這個(gè)平均值近似等於f(0):而實(shí)際上這相當(dāng)於f(t)和一稱作de(t)的函數(shù)內(nèi)積:tde(t)1/eeO稱de(t)的弱極限為d-函數(shù),記為d(t)de(t)1/eeO如f(t)在0點(diǎn)連續(xù),則在0附近的非常小的一個(gè)領(lǐng)域可以看作是常數(shù)c=f(0).因此,任給一個(gè)在(-,)上積分值為1的函數(shù)g(t)圖例:OtOt工程上將d-函數(shù)稱為單位脈衝函數(shù),可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等於1的有向線段表示,這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.tOd(t)1d-函數(shù)有性質(zhì)d-函數(shù)的傅氏變換為:tOd(t)1wOF(w)1

可見,單位脈衝函數(shù)d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).同理,d(t-t0)和亦構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì).在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件,即不滿足條件例如常數(shù),符號(hào)函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈衝函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對(duì)於古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)亦構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì).pwO|F(w)|Otu(t)若F(w)=2pd(w)時(shí),由傅氏逆變換可得所以1和2pd(w)也構(gòu)成傅氏變換對(duì).同理,如F(w)=2pd(w-w0)由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得例4求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換如圖所示:tsintpp-w0w0Ow|F(w)|

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡(jiǎn)稱為頻譜).由於w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜.例5作如圖所示的單個(gè)矩形脈衝的頻譜圖f(t)單個(gè)矩形脈衝的頻譜函數(shù)為:tE-t/2t/2矩形脈衝的頻譜圖為wEt|F(w)|O振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率w的偶函數(shù),即我們定義為f(t)的相角頻譜.顯然,相角頻譜j(w)是w的奇函數(shù),即j(w)=-j(-w).傅氏變換的性質(zhì)*這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.*線性性質(zhì)設(shè)F1(w)=F[f1(t)],

F2(w)=F[f2(t)],a,b是常數(shù),則

F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)(1.13)

這個(gè)性質(zhì)的作用是很顯然的,它表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等於各函數(shù)傅氏變換的線性組合.它的證明只需根據(jù)定義就可推出.

同樣,傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì),即

F

-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)(1.14)*2.位移性質(zhì)證由傅氏變換的定義,可知*微分性質(zhì)如果f(t)在(-,+)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng)|t|+時(shí),f(t)0,則

F[f'(t)]=jwF[f(t)]. (1.17)

證由傅氏變換的定義,並利用分部積分可得推論

F[f(n)(t)]=(jw)nF[f(t)]. (1.18)*同樣,我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,設(shè)

F[f(t)]=F(w),則*本書中的積分的記號(hào)有不嚴(yán)格的寫法,即*4.積分性質(zhì)*例2求微分積分方程的解,其中<t<+,a,b,c均為常數(shù).根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì),且記F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).在方程兩邊取傅氏變換,可得

*運(yùn)用傅氏變換的線性性質(zhì),微分性質(zhì)以及積分性質(zhì),可以把線性常係數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換,就可以得到此微分方程的解.另外,傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的方法之一.*此外還有*性質(zhì)小結(jié):若F[f(t)]=F(w),F[g(t)]=G(w)*乘積定理若F(w)=F[f(t)],G(w)=F[g(t)],則*能量積分若F(w)=F[f(t)],則有這一等式又稱為帕塞瓦爾(Parserval)等式證在(1.20)式中,令f(t)=g(t),則**實(shí)際上,只要記住下麵四個(gè)傅裏葉變換,則所有的傅裏葉變換都無須從公式直接推導(dǎo)而從傅裏葉變換的性質(zhì)就可導(dǎo)出.*注意第一類間斷點(diǎn)處的求導(dǎo)數(shù),首先有*d(t)u(t)ttOO假設(shè)函數(shù)f(t)在t0處有一個(gè)上升了a的第一類間斷點(diǎn),則f(t)可以分為在此處連續(xù)的一個(gè)函數(shù)f1(t)加上au(t-t0)*aa=+tt0t0t0ttf(t)f1(t)au(t-t0)例求方波的傅氏變換*t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E推導(dǎo)過程為*習(xí)題二14題求如圖所示的頻譜函數(shù)*t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)t/2-t/2aOtf''(t)a-2a-a因此有*習(xí)題二,2.(1)*tOf(t)1-1tOf'(t)1-12-2f(t)的二階導(dǎo)和三階導(dǎo)如下圖:*tOf''(t)1-12-2tOf'''(t)1-12-2因此有*習(xí)題二2.(2)***習(xí)題二2.(3)*-1-111f(t)tO-121f'(t)tO-1-1因此*習(xí)題二3.(1)f(t)=e-b|t|(b>0)

令g(t)=u(t)e-bt,則f(t)=g(t)+g(-t)*tg(t)tg(-t)tf(t)OOO因此有*習(xí)題二3.(2)f(t)=e-|t|cost**習(xí)題二3.(3)**習(xí)題二4題*習(xí)題二5.F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)]*習(xí)題二6f(t)=sgnt*1-1tf(t)2tf'(t)OO習(xí)題二7.*習(xí)題二8.f(t)=costsint*習(xí)題二9.f(t)=sin3t*習(xí)題二13.週期為T的函數(shù)f(t)可表示為*

共形映射*§1共形映射的概念*z平面內(nèi)的任一條有向曲線C可用

z=z(t),a

t

b

表示,它的正向取為t增大時(shí)點(diǎn)z移動(dòng)的方向,z(t)為一條連續(xù)函數(shù).

如果z'(t0)0,a<t0<b,則表示z'(t)的向量(把起點(diǎn)放取在z0.以下不一一說明)與C相切於點(diǎn)z0=z(t0).*z(t0)z(a)z(b)z'(t0)事實(shí)上,如果通過C上兩點(diǎn)P0與P的割線P0P的正向?qū)?yīng)於t增大的方向,則這個(gè)方向與表示的方向相同.*Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)當(dāng)點(diǎn)P沿C無限趨向於點(diǎn)P0,割線P0P的極限位置就是C上P0處的切線.因此,表示的向量與C相切於點(diǎn)z0=z(t0),且方向與C的正向一致.如果我們規(guī)定這個(gè)向量的方向作為C上點(diǎn)z0處的切線的正向,則我們有Argz'(t0)就是z0處C的切線正向與x軸正向間的夾角;相交於一點(diǎn)的兩條曲線C1與C2正向之間的夾角就是它們交點(diǎn)處切線正向間夾角*1.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點(diǎn),且f'(z0)0.又設(shè)C為z平面內(nèi)通過點(diǎn)z0的一條有向光滑曲線,它的參數(shù)方程是:

z=z(t),a

t

b,

它的正向相應(yīng)于參數(shù)t增大的方向,且z0=z(t0),z'(t0)0,a<t0<b.則映射w=f(z)將C映射成w平面內(nèi)通過點(diǎn)z0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)w0=f(z0)的一條有向光滑曲線G,它的參數(shù)方程是

w=f[z(t)],a

t

b

正向相應(yīng)于參數(shù)t增大的方向.*根據(jù)複合函數(shù)求導(dǎo)法,有

w'(t0)=f'(z0)z'(t0)

0

因此,在G上點(diǎn)w0處也有切線存在,且切線正向與u軸正向的夾角是

Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0)*OxyOuvz0P0rzPDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDs即

Argw'(t0)-Argz'(t0)=Argf'(z0)(6.1.1)

如果假定x軸與u軸,y軸與v軸的正向相同,而且將原來的切線的正向與映射過後的切線的正向之間的夾角理解為曲線C經(jīng)過w=f(z)映射後在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角,則(6.1.1)式表明:

1)導(dǎo)數(shù)f'(z0)0的輻角Argf'(z0)是曲線C經(jīng)過w=f(z)映射後在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角;

2)轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關(guān).所以這種映射具有轉(zhuǎn)動(dòng)角的不變性.*通過z0點(diǎn)的可能的曲線有無限多條,其中的每一條都具有這樣的性質(zhì),即映射到w平面的曲線在w0點(diǎn)都轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度Argf'(z0).*OxyOuv(z)(w)z0w0相交於點(diǎn)z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同於經(jīng)w=f(z)映射後C1與C2對(duì)應(yīng)的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質(zhì).這種性質(zhì)稱為保角性*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2此極限值稱為曲線C在z0的伸縮率.*OxyOuvz0P0rzPDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDs(6.1.3)表明:

|f'(z)|是經(jīng)過映射w=f(z)後通過點(diǎn)z0的任何曲線C在z0的伸縮率,它與曲線C的形狀及方向無關(guān).所以這種映射又具有伸縮率的不變性.*定理一設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點(diǎn),且f'(z0)0,則映射w=f(z)在z0具有兩個(gè)性質(zhì):

1)保角性.即通過z0的兩條曲線間的夾角跟經(jīng)過映射後所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變

2)伸縮率的不變性.即通過z0的任何一條曲線的伸縮率均為|f'(z0)|而與其形狀和方向無關(guān).*2.共形映射的概念

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0的鄰域內(nèi)是一一的,在z0具有保角性和伸縮率不變性,則稱映射w=f(z)在z0是共形的,或稱w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在D內(nèi)的每一點(diǎn)都是共形的,就稱w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的共形映射.*定理二如果函數(shù)w=f(z)在z0解析,且f'(z0)0,則映射w=f(z)在z0是共形的,而且Argf'(z0)表示這個(gè)映射在z0的轉(zhuǎn)動(dòng)角,|f'(z0)|表示伸縮率.

如果解析函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)處處有f'(z)0,則映射w=f(z)是D內(nèi)的共形映射.*定理一的幾何意義.在D內(nèi)作以z0為其一個(gè)頂點(diǎn)的小三角形,在映射下,得到一個(gè)以w0為其一個(gè)頂點(diǎn)的小曲邊三角形,這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之比近似為|f'(z0)|,有一個(gè)角相等,則這兩個(gè)三角形近似相似.*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2§2分式線性映射*分式線性映射*兩個(gè)分式線性映射的複合,仍是一個(gè)分式線性映射.例如*也可將一般的分式線性映射分解為一些簡(jiǎn)單映射的複合,*由此可見,一個(gè)一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊映射複合而成:下麵討論三種映射,為了方便,暫且將w平面看成是與z平面重合的.*i)w=z+b.這是一個(gè)平移映射.因?yàn)檠}數(shù)相加可以化為向量相加,z沿向量b的方向平移一段距離|b|後,就得到w.*O(z)

(w)zwbii)w=az,a0.這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)與伸長(zhǎng)(或縮短)的映射.設(shè)a=leia將z先轉(zhuǎn)一個(gè)角度a,再將|z|伸長(zhǎng)(或縮短)l倍後,就得到w.*O(z)=(w)zwa圓周的對(duì)稱點(diǎn)OP

OP'=r2,因?yàn)镈OP'T相似於DOPT.因此,OP':OT=OT:OP,即OP

OP'=OT2=r2.*CPP'rTOP與P'關(guān)於圓周C互為對(duì)稱點(diǎn)*zw1w1.保角性*而i)與ii)構(gòu)成的複合映射w=az+b經(jīng)過類似的處理後也可以看作是在整個(gè)擴(kuò)充複平面上共形的,而分式線性映射是上述三種映射複合而構(gòu)成的,因此有

定理一分式線性映射在擴(kuò)充複平面上是一一對(duì)應(yīng)的,且具有保角性.*2.保圓性

映射w=az+b和w=1/z都具有將圓周映射成圓周的特性,這裏將直線看作是無窮大半徑的圓,這種性質(zhì)稱作保圓性.映射w=az+b顯然,

下面說明w=1/z具有保圓性.*因此,映射w=1/z將方程

a(x2+y2)+bx+cy+d=0

變?yōu)榉匠?/p>

d(u2+v2)+bu-cv+a=0

當(dāng)然,可能是將圓周映射為圓周(當(dāng)a0,d0);圓周映射成直線(當(dāng)a0,d=0);直線映射成圓周(當(dāng)a=0,d0)以及直線映射成直線(當(dāng)a=0,d=0).這就是說,映射w=1/z把圓周映射成圓周.或者說,映射w=1/z具有保圓性.*定理二分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射成擴(kuò)充w平面上的圓周,即具有保圓性.

根據(jù)保圓性,在分式線性映射下,如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),則它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個(gè)點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),它就映射成直線.*z1,z2是關(guān)於圓周C的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的充要條件是經(jīng)過z1,z2的任何圓周G都與C正交.*CRz0z1z2z'G定理三設(shè)點(diǎn)z1,z2是關(guān)於圓周C的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),則在分式線性映射下,它們的象點(diǎn)w1與w2也是關(guān)於C的象曲線G的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn).

[證]設(shè)經(jīng)過w1與w2的任一圓周G'是經(jīng)過z1與z2的圓周G由分式線性映射過來的.由於G與C正交,而分式線性映射具有保角性,所以G'與C'(C的象)也必正交,因此,w1與w2是一對(duì)關(guān)於C'的對(duì)稱點(diǎn).*§3唯一決定分式線性映射的條件*分式線性映射中含有四個(gè)常數(shù)a,b,c,d.但是,如果用這四個(gè)數(shù)中的一個(gè)去除分子和分母,就可將分式中的四個(gè)常數(shù)化為三個(gè)常數(shù).所以,上式中實(shí)際上只有三個(gè)獨(dú)立的常數(shù).因此,只需給定三個(gè)條件,就能決定一個(gè)分式線性映射.定理在z平面上任意給定三個(gè)相異的點(diǎn)z1,z2,z3,在w平面上也任意給定三個(gè)相異的點(diǎn)w1,w2,w3,則存在唯一的分式線性映射,將zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).**由此得這就是所求的分式線性映射.如果有另外一個(gè)分式線性映射,也把z平面上三個(gè)相異點(diǎn)z1,z2,z3依次映射成w平面上的三個(gè)相異點(diǎn)w1,w2,w3,則重複上面的步驟,消去常數(shù)後,最後得到的仍然是(6.3.1)式.所以(6.3.1)式是由三對(duì)相異的對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定的分式線性映射.*現(xiàn)在研究,在給定兩個(gè)圓周C與C',在圓周上分別取定三個(gè)點(diǎn),必能找到一個(gè)分式線性映射將C映射成C'.但是這個(gè)映射會(huì)將C內(nèi)部映射成什麼呢?.

如果在C內(nèi)任取一點(diǎn)z0,而點(diǎn)z0的象在C'的內(nèi)部,則C的內(nèi)部就映射成C'的內(nèi)部;如果z0的象在C'的外部,則C的內(nèi)部就映射成C'的外部.

或者在C上取定三點(diǎn)z1,z2,z3,它們?cè)贑'的象分別為w1,w2,w3.如果C依z1

z2

z3的繞向與C'依w1

w2

w3的繞向相同,則C的內(nèi)部就映射成C'的內(nèi)部,否則映射成C'的外部**z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww現(xiàn)討論在z平面內(nèi)兩個(gè)圓包圍的區(qū)域的映射情況.根據(jù)前面的討論可知:

(I)當(dāng)二圓周上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域;

(II)當(dāng)二圓周上有一個(gè)點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所圍成的區(qū)域;

(III)當(dāng)二圓周交點(diǎn)中的一個(gè)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成角形區(qū)域.**x1-ii-1C1C2y(z)O[解]所設(shè)的兩個(gè)圓弧的交點(diǎn)為-i與i,且相互正交.交點(diǎn)-i映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),i映射成原點(diǎn).因此所給的區(qū)域經(jīng)映射後映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形區(qū)域,張角等於p/2.此點(diǎn)在第三象限的分角線C1'上.由保角性知C2映射為第二象限的分角線C2.*映射的角形區(qū)如圖所示*x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)例2求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性映射.*O1-1xylO1-1uiv(z)(w)[解法一]將上半平面看成半徑為無窮大的圓域,實(shí)軸就是圓域的邊界圓周.因?yàn)榉质骄€性映射具有保圓性,因此它必能將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.由於上半平面總有一點(diǎn)z=l要映成單位圓周|w|=1的圓心w=0,*從而所求的分式線性映射具有下列形式:其中k為常數(shù).*反之,形如上式的分式線性映射必將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.因?yàn)楫?dāng)z取實(shí)數(shù)時(shí)即把實(shí)軸映射成|w|=1.又因?yàn)樯习肫矫嬷械膠=l映射成w=0,所以(6.3.2)必將Im(z)>0映射成|w|<1.*也可以在x軸上與在單位圓周|w|=1上取三對(duì)不同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)來求:

[解法二]在x軸上任意取定三點(diǎn):z1=-1,z2=0,z3=1使它們對(duì)應(yīng)於|w|=1上三點(diǎn):w1=1,w2=i,w3=-1,則因z1

z2

z3跟w1

w2

w3的繞向相同,由(6.3.1)式得所求的分式線性映射為化簡(jiǎn)後即得*注意:如果選取其他三對(duì)不同點(diǎn),勢(shì)必也能得出滿足要求的,但不同於(6.3.3)的分式線性映射.此可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不是唯一的,而是有無窮多.這從(6.3.2)中的q可以任意取實(shí)數(shù)值即可明白.(6.3.3)就是取l=i,q=-p/2而得到的.如果以l=i,q=0代入(6.3.2),則這也是一個(gè)把上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1,且將點(diǎn)z=i映射成圓心w=0的映射.*例3求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1且滿足w(2i)=0,argw'(2i)=0的分式線性映射.

[解]由條件w(2i)=0知,所求的映射要將上半平面中的點(diǎn)z=2i映射成單位圓周的圓心w=0.所以由(6.3.2)得因?yàn)?故有從而得所求的映射為*例4求將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性映射.*x1y(z)OOuv(w)1a[解]設(shè)z平面上單位圓|z|<1內(nèi)部的一點(diǎn)a映射成w平面上的單位圓|w|<1的中心w=0.這時(shí)與*由於z平面上單位圓周上的點(diǎn)要映成w平面上單位圓周上的點(diǎn),所以當(dāng)|z|=1,|w|=1.將圓周|z|=1代入上式,得所以 |k'|=1,即k'=eij.這裏j是任意實(shí)數(shù).*因此,將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性映射的一般表示式是反之,形如上式的映射必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.這是因?yàn)閳A周|z|=1上的點(diǎn)z=eiq(q為實(shí)數(shù))映射成圓周|w|=1上的點(diǎn):*同時(shí)單位圓|z|<1內(nèi)有一點(diǎn)z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.例5求將單位圓映射成單位圓且滿足條件w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式線性映射.

[解]由條件w(1/2)=0知,所求的映射要將z=1/2映射成|w|<1的中心.所以由(6.3.5)得**例6求將Im(z)>0映射成|w-2i|<2且滿足條件w(2i)=2i,argw'(2i)=-p/2的分式線性映射.

[解]容易看出,映射z=(w-2i)/2將|w-2i|<2映射成|z|<1,且滿足z(2i)=0的映射易知為***2i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)§4幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射*1.冪函數(shù)w=zn(n2為自然數(shù))在z平面內(nèi)處處可導(dǎo),它的導(dǎo)數(shù)是因而當(dāng)z0時(shí),*所以,在z平面內(nèi)除去原點(diǎn)外,由w=zn所構(gòu)成的映射處處共形.映射的特點(diǎn)是:把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域,但張角變成了原來的n倍*O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn例1求把角形域0<argz<p/4映射成單位圓|w|<1的一個(gè)映射.

[解]z=z4將所給角形域0<argz<p/4映射成上半平面Im(z)>0.又從上節(jié)的例2知,映射**(z)OO(z)1(w)z=

z4例2求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射成角形域j0<argw<j0+a的一個(gè)映射.*aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii*aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii1[解]先求出把C1,C2的交點(diǎn)i與-i分別映射成z平面中的z=0與z=,並使月牙域映射成角形域0<argz<p;再把這角形域通過映射w=exp(ij0)z轉(zhuǎn)過一角度j0,即得把所給月牙域映射成所給角形域的映射.

將所給月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數(shù):*其中k為待定的複常數(shù).*例3求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一個(gè)映射.*xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCD*xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w