工程制圖課件

製圖的基本知識與技能

1.1國家標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)規(guī)定

1.2平面圖形的分析及作圖方法

1.3製圖方法與技能

1.1國家標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)規(guī)定

為了便於生產(chǎn)、管理和技術(shù)交流，必須對圖樣的畫法、尺寸注法等作出統(tǒng)一的規(guī)定?！都夹g(shù)製圖》和《機(jī)械製圖》國家標(biāo)準(zhǔn)是工程界重要的技術(shù)基礎(chǔ)標(biāo)準(zhǔn)，是繪製和閱讀機(jī)械圖樣的準(zhǔn)則和依據(jù)。

1.1.1圖紙幅面（GB／T14689—1993）和標(biāo)題欄（GB/T10609.1—1989）

1.圖紙幅面及格式繪製技術(shù)圖樣時，應(yīng)優(yōu)先採用表1-1所規(guī)定的基本幅面，其尺寸關(guān)係如圖l-1所示。表1-1

圖紙基本幅面的尺寸（mm）幅面代號B×LecaA0841×1189201025A1594×841A2420×59410A3297×4205A4210×297

圖1-1基本幅面

必要時，允許加長幅面，但加長量必須符合國家標(biāo)準(zhǔn)（GB/T14689—1993）中的規(guī)定（GB為國家標(biāo)準(zhǔn)代號，GB／T為推薦性國家標(biāo)準(zhǔn)，14689為發(fā)佈順序號，1993表示發(fā)佈年份）。在圖紙上必須用粗實(shí)線畫出圖框。圖框格式分為留有裝訂邊和不留裝訂邊兩種，如圖l-2和圖1-3所示。兩種格式圖框周邊尺寸a、c、e見表1-1。但應(yīng)注意，同一產(chǎn)品的圖樣只能採用一種格式。2.標(biāo)題欄標(biāo)題欄位於圖紙的右下角，如圖1-2和圖1-3所示。

圖1-2留有裝訂邊圖樣的圖框格式

圖1-2留有裝訂邊圖樣的圖框格式圖1-3不留裝訂邊圖樣的圖框格式圖1-3不留裝訂邊圖樣的圖框格式

標(biāo)題欄中的文字方向?yàn)榭磮D方向。標(biāo)題欄的格式、內(nèi)容和尺寸在國家標(biāo)準(zhǔn)（GB／T10609.1—1989）中已作了規(guī)定，學(xué)生製圖作業(yè)建議採用圖l-4所示的標(biāo)題欄格式。

圖1-4製圖作業(yè)標(biāo)題欄

1.1.2比例（GB／T14690—1993）比例是指圖中圖形與其實(shí)物相應(yīng)要素的線性尺寸之比。原值比例：比值為1的比例，即1∶1。放大比例：比值大於1的比例，如2∶1等?？s小比例：比值小於1的比例，如1∶2等。繪圖時，應(yīng)儘量採用原值比例。需要按比例繪製圖樣時，由表1-2規(guī)定的系列中選取適當(dāng)?shù)谋壤?。?-2

比例種類比例原值比例1∶1放大比例5∶12∶15×10n∶12×10n∶11×10n∶1縮小比例1∶21∶51∶101∶2×10n1∶5×10n1∶1×10n

不論採用何種比例，圖形中所標(biāo)注的尺寸數(shù)字必須是物體的實(shí)際大小，與圖形的比例無關(guān)，如圖1-5所示。圖l-5不同比例的尺寸注法圖l-5不同比例的尺寸注法

1.1.3字體（GB／T14691—1993）圖樣上除了表達(dá)物體形狀的圖形外，還要用數(shù)字和文字說明物體的大小、技術(shù)要求和其他內(nèi)容。在圖樣中書寫的字體必須做到：字體工整，筆劃清楚，間隔均勻，排列整齊。字體的高度h，其公稱尺寸系列為：1.8，2.5，3.5，5，7，10，14，20mm。字體的號數(shù)代表字體的高度。1.漢字漢字應(yīng)寫成長仿宋體，並採用中華人民共和國國務(wù)院正式公佈推行的《漢字方案》中規(guī)定的簡化字。漢字的高度h不應(yīng)小於3.5mm，其字寬一般為h/。2.字母和數(shù)字字母和數(shù)字分為A型和B型兩種。A型字體的筆劃寬度(d)為字高的l/14，B型字體的筆劃寬度(d)為字高的1/10。在同一張圖樣上，只允許選用一種型式的字體。字母和數(shù)字可寫成斜體或直體。斜體字字頭向右傾斜，與水準(zhǔn)基準(zhǔn)線成75°。1.1.4圖線（GB／T17450—1998）繪製機(jī)械圖樣時，應(yīng)採用國家標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的圖線。

1.線型國家標(biāo)準(zhǔn)（GB／T17450—l998）中規(guī)定了15種基本線型及基本線型的變形。機(jī)械圖樣中常用的圖線名稱、型式、寬度及其應(yīng)用見表l-3。表1-3圖

線

2.線寬機(jī)械圖樣中的圖線分為粗線和細(xì)線兩種。粗線寬度(d)應(yīng)根據(jù)圖形的大小和複雜程度在0.5～2?mm之間選擇，細(xì)線的寬度約為d／2。圖線寬度的推薦系列為：0.13，0.18，0.25，0.35，0.5，0.7，1，1.4，2mm。實(shí)際畫圖中，粗線一般取0.7mm或0.5mm。3.圖線畫法

(1)同一圖樣中，同類圖線的寬度應(yīng)基本一致。

(2)虛線、點(diǎn)畫線及雙點(diǎn)畫線的線段長度和間隔應(yīng)各自大小相等。

(3)兩條平行線（包括剖面線）之間的距離應(yīng)不小於粗實(shí)線寬度的兩倍，其最小距離不得小於0.7mm。(4)點(diǎn)畫線、雙點(diǎn)畫線的首尾應(yīng)是線段而不是點(diǎn)；點(diǎn)畫線彼此相交時應(yīng)該是線段相交；中心線應(yīng)超過輪廓線2～3mm。

(5)虛線與虛線、虛線與粗實(shí)線相交應(yīng)是線段相交；當(dāng)虛線處於粗實(shí)線的延長線上時，粗實(shí)線應(yīng)畫到位，而虛線相連處應(yīng)留有空隙。

1.1.5尺寸注法（GB/T4458.4—1984，GB/T16675.2—1996）物體的大小由所標(biāo)注的尺寸確定。標(biāo)注尺寸時，應(yīng)嚴(yán)格遵守國家標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)尺寸注法的規(guī)定，做到正確、完整、清晰、合理。

1.基本規(guī)定

(1)物體的真實(shí)大小應(yīng)以圖樣上所注的尺寸數(shù)值為依據(jù)，與圖形的大小及繪圖的準(zhǔn)確程度無關(guān)。(2)圖樣中的尺寸以毫米為單位時，不需注明計(jì)量單位的代號或名稱，如採用其他單位，則必須注明相應(yīng)的計(jì)量單位的代號或名稱。

(3)物體的每一尺寸，在圖樣中一般只標(biāo)注一次，並應(yīng)標(biāo)注在反映該結(jié)構(gòu)最清晰的圖形上。

(4)圖樣中所注尺寸是該物體最後完工時的尺寸，否則應(yīng)另加說明。

2.標(biāo)注尺寸的要素標(biāo)注尺寸應(yīng)包括尺寸界線、尺寸線、箭頭和尺寸數(shù)字，如圖l-9所示。

圖l-9尺寸的組成(1)尺寸界線：表示尺寸的度量範(fàn)圍，用細(xì)實(shí)線繪製，由圖形的輪廓線、軸線或?qū)ΨQ中心線處引出，也可直接利用它們作尺寸界線。

(2)尺寸線：表示尺寸的度量方向，用細(xì)實(shí)線單獨(dú)畫出，不能用其他圖線代替，也不得與其他圖線重合或畫在其他圖線的延長線上。尺寸線與所標(biāo)注的線段平行。

(3)箭頭：尺寸線的終端形式。箭頭尖端與尺寸界線接觸，不得超出也不得分開。

(4)尺寸數(shù)字：表示物體尺寸的實(shí)際大小。尺寸數(shù)字一般應(yīng)標(biāo)注在尺寸線的上方。3.尺寸注法

1)線性尺寸的注法

線性尺寸數(shù)字的方向一般應(yīng)按圖l-10(a)所示的方向標(biāo)注，並盡可能避免在圖示30°範(fàn)圍內(nèi)標(biāo)注，若無法避免時，可按圖1-10(b)的形式標(biāo)注。尺寸數(shù)字不可被任何圖線所通過，否則，必須將該圖線斷開。圖l-10尺寸數(shù)字的注寫方向圖l-10尺寸數(shù)字的注寫方向2)圓、圓弧及球面的尺寸注法

(1)標(biāo)注直徑時，應(yīng)在尺寸數(shù)字前加注符號“φ”，標(biāo)注半徑時，應(yīng)在尺寸數(shù)字前加注符號“R”，如圖1-11(a)所示。

(2)當(dāng)圓弧的半徑過大或在圖紙範(fàn)圍內(nèi)無法注出其圓心位置時，可按圖1-11(b)的形式標(biāo)注。

(3)標(biāo)注球面直徑或半徑時，應(yīng)在符號φ或R前加注符號“S”，如圖1-11(c)所示。對於螺釘、鉚釘?shù)念^部，軸和手柄的端部等，在不致引起誤解的情況下，可省略符號S。圖1-11圓、圓弧及球面的尺寸注法圖1-11圓、圓弧及球面的尺寸注法圖1-11圓、圓弧及球面的尺寸注法圖1-11圓、圓弧及球面的尺寸注法3)角度尺寸的注法尺寸界線應(yīng)沿徑向引出，尺寸線畫成圓弧，圓心是角的頂點(diǎn)，尺寸數(shù)字應(yīng)一律水準(zhǔn)書寫，一般注在尺寸線的中斷處，必要時也可寫在外面或引出標(biāo)注，如圖1-12所示。圖1-12角度尺寸的注法1.2平面圖形的分析及作圖方法

物體的輪廓形狀是多種多樣的，但在技術(shù)圖樣中，表達(dá)它們結(jié)構(gòu)形狀的圖形大都是由直線和圓所組成的平面幾何圖形，因而在繪製圖樣時要熟練運(yùn)用一些基本的幾何作圖方法。

1.2.1圓弧連接繪圖時，經(jīng)常要用已知半徑的圓弧（連接圓?。┕饣B接（相切）已知直線或圓弧。為了保證相切，必須準(zhǔn)確地作出連接圓弧的圓心和切點(diǎn)。

根據(jù)平面幾何可知，圓弧連接作圖有如下關(guān)係：

(1)半徑為R的圓弧與已知直線相切，其圓心軌跡是距離直線為R的平行線，當(dāng)圓心為O時，由O向直線作垂線，垂足K即為切點(diǎn)，如圖1-13(a)所示。

(2)半徑為R的圓弧與已知圓?。▓A心為O1，半徑為R1）相切，其圓心軌跡是已知圓弧的同心圓，此同心圓半徑R2視相切情況（外切或內(nèi)切）而定。當(dāng)兩圓弧外切時，R2＝R1＋R，如圖1-13(b)所示；當(dāng)兩圓弧內(nèi)切時，R2＝R1－R，如圖l-13(c)所示。當(dāng)圓心為O時，連接圓心的直線O1O與已知圓弧的交點(diǎn)K即為切點(diǎn)。圖1-13圓弧連接基本作圖

實(shí)際作圖時，根據(jù)具體要求作出兩條軌跡線的交點(diǎn)就是連接圓弧的圓心，然後確定切點(diǎn)，完成圓弧連接。圖l-14所示為幾種常見的圓弧連接作圖。

圖1-14常見的圓弧連接作圖

圖1-14常見的圓弧連接作圖

圖1-14常見的圓弧連接作圖

圖1-14常見的圓弧連接作圖

1.2.2平面圖形的分析與畫圖步驟一個平面圖形能否正確繪製出來，要看圖中所給的尺寸是否完整和正確，還要分析圖中線段之間的連接關(guān)係。

圖1-15(a)為啟瓶蓋扳手，圖1-15(b)為其外形輪廓，下麵以圖中的圓弧連接為例進(jìn)行分析。圖1-15啟瓶蓋扳手圖1-15啟瓶蓋扳手1.平面圖形尺寸分析平面圖形中的尺寸，按其作用可分為定形尺寸和定位尺寸。

(1)定形尺寸：確定圖形中各部分形狀和大小的尺寸，稱為定形尺寸。如圓的直徑和半徑（圖1-15中的R5）等尺寸。

(2)定位尺寸：確定圖形中各部分之間相對位置的尺寸，稱為定位尺寸。如圓心的位置尺寸（圖1-15中R6的定位尺寸12）等。

2.平面圖形線段分析平面圖形中的線段，按其尺寸是否完整分為三類：

(1)已知線段：有完整的定形尺寸和定位尺寸，能根據(jù)已知尺寸直接畫出的線段，稱為已知線段。如圖1-15中半徑為R5的圓弧和兩直線。

(2)中間線段：只有定形尺寸和一個定位尺寸，另一個定位尺寸必須根據(jù)相鄰的已知線段的幾何關(guān)係求出的線段，稱為中間線段。如圖1-15中半徑為R6的兩段圓弧。

(3)連接線段：只有定形尺寸，沒有定位尺寸，其定位尺寸必須根據(jù)相鄰兩端的已知線段求出的線段，稱為連接線段。如圖1-15中半徑為R12的圓弧。3.平面圖形的畫圖步驟通過上述對平面圖形的分析可知，在繪製平面圖形時，首先應(yīng)畫出已知線段，其次畫出中間線段，最後畫出連接線段。畫圖步驟如下：

(1)畫作圖基準(zhǔn)線：如對稱中心線、圓的中心線等，如圖1-16(a)所示。

(2)畫已知線段：根據(jù)已知的定形尺寸和定位尺寸，畫出各已知線段，如圖1-16(b)所示。(3)畫中間線段：按連接關(guān)係，依次畫出中間線段。如圖l-16(c)所示，中間線段R6圓弧與已知圓弧R20內(nèi)切，其圓心位置由R20－R6＝R14圓弧和一個定位尺寸12來確定。

(4)畫連接線段：如圖1-16(d)所示，連接線段R12圓弧與中間線段R6圓弧是外切關(guān)係，其圓心位置由R6＋R12＝R18圓弧和直線的平行線確定。

(5)描深：檢查無誤後，加深圖線，如圖1-15(b)所示。

圖1-16平面圖形畫圖步驟(a)畫作圖基準(zhǔn)線；(b)畫已知線段；(c)畫中間線段；(d)畫連接線段

圖1-16平面圖形畫圖步驟(a)畫作圖基準(zhǔn)線；(b)畫已知線段；(c)畫中間線段；(d)畫連接線段

圖1-16平面圖形畫圖步驟(a)畫作圖基準(zhǔn)線；(b)畫已知線段；(c)畫中間線段；(d)畫連接線段1.3製圖方法與技能

繪圖是借助丁字尺、三角板、圓規(guī)、分規(guī)等繪圖工具進(jìn)行手工操作的，只有正確、熟練地掌握繪圖工具的使用方法，才能提高繪圖速度，保證繪圖品質(zhì)。

1.3.1繪圖工具的使用方法

1.圖板、丁字尺、三角板繪圖時，需將圖紙平鋪在圖板上，圖板的左側(cè)邊稱為導(dǎo)邊。丁字尺由尺頭和尺身組成，尺身的上邊為工作邊。使用時，將尺頭的內(nèi)側(cè)邊緊貼圖板的導(dǎo)邊，上下移動丁字尺，自左向右畫出不同位置的水平線，如圖1-17(a)所示。三角板與丁字尺配合使用，自下而上畫出不同位置的垂直線，如圖1-17(b)所示，還可畫出與水平線成特殊角度的傾斜線。圖1-17水平線和垂直線的畫法圖1-17水平線和垂直線的畫法

2.圓規(guī)、分規(guī)圓規(guī)是用來畫圓或圓弧的工具。圓規(guī)固定腿上的鋼針有兩種不同形狀的尖端：帶臺階的尖端是畫圓或圓弧時定心用的，帶錐形的尖端可作分規(guī)使用?；顒油壬暇哂兄庑侮P(guān)節(jié)，以便更換插腳，如鉛芯插腳、鴨嘴插腳和作分規(guī)用的錐形鋼針插腳。畫圖時，要注意調(diào)整鋼針在固定腿上的位置，使兩腳在併攏時鋼針略長於鉛芯而可插入圖板內(nèi)，如圖1-18(a)所示；再將圓規(guī)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，並稍向前傾斜，且要保證針腳和鉛芯均垂直於紙面，如圖1-18(b)所示。

圖1-18圓規(guī)的用法

分規(guī)用來等分和量取線段。使用前，應(yīng)檢查分規(guī)兩腳的針尖併攏後是否平齊，如圖1-19(a)所示。用分規(guī)等分線段的用法如圖1-19(b)所示。

圖1-19分規(guī)的用法

3.鉛筆繪圖鉛筆的鉛芯有軟、硬之分，分別以標(biāo)號“B”和“H”來表示。“B”數(shù)值愈大，鉛芯愈軟，畫出的圖線愈黑；“H”數(shù)值愈大，鉛芯愈硬，畫出的圖線愈淡。標(biāo)號“HB”表示鉛芯軟硬適中。畫圖時，一般用“H”鉛筆打底稿，用“HB”鉛筆寫字、畫箭頭，用“B”鉛筆加深圖線。畫底稿線、細(xì)線和寫字時，鉛筆應(yīng)削成錐形頭部，如圖1-20(a)所示。加深粗實(shí)線的鉛筆應(yīng)削成鏟形頭部，如圖1-20(b)所示。

圖1-20修磨鉛筆的方法

圖1-20修磨鉛筆的方法

1.3.2繪圖步驟及方法

1)繪圖前的準(zhǔn)備工作削好鉛筆，將圖紙用膠帶紙固定在圖板的左下方（圖紙下方留足放置丁字尺的位置）。

2)畫圖框、標(biāo)題欄按國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的幅面尺寸和標(biāo)題欄位置，繪製圖框和標(biāo)題欄。

3)佈置圖形根據(jù)物體預(yù)先選好的表達(dá)方案，按照國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的各視圖的投影關(guān)係配置，留有標(biāo)注尺寸、注寫技術(shù)

要求的餘地，定出各個視圖在圖紙上的位置，使繪出的各個圖形均勻地分佈。

4)畫底稿用“H”鉛筆輕淡地打底稿。其繪製順序是：①按布圖確定各圖形的位置，先畫軸線或?qū)ΨQ中心線，再畫主要輪廓線，然後畫細(xì)節(jié)；②如圖形是剖視圖或斷面圖時，最後畫剖面符號。圖形完成後，畫其他符號。底稿完成後，經(jīng)校核，擦去多餘的作圖線。

5)圖線加深用“B”鉛筆加深。畫圓時，圓規(guī)的鉛芯應(yīng)比畫相應(yīng)直線的鉛芯軟一號。6)標(biāo)注尺寸標(biāo)注尺寸時，先畫出尺寸界線、尺寸線和箭頭，再注寫尺寸數(shù)字和其他文字說明。

7)填寫標(biāo)題欄經(jīng)仔細(xì)檢查圖紙後，填寫標(biāo)題欄中的各項(xiàng)內(nèi)容，完成全部繪圖工作。

投影基礎(chǔ)

2.1投影法

2.2物體的三視圖

2.3點(diǎn)、直線、平面的投影

2.1投影法

2.1.1投影法的基本知識物體在陽光或燈光等光線的照射下，就會在牆面或地面上投下影子，投影法就是將這一現(xiàn)象進(jìn)行科學(xué)地抽象，其中，光源稱為投射中心，光線稱為投射線，牆面或地面稱為投影面，影子稱為物體的投影。這種研究空間物體與其投影之間關(guān)係的方法，稱為投影法。投影法分為中心投影法和平行投影法兩種。

1.中心投影法如圖2-1(a)所示，設(shè)S為投射中心，通過三角形上各點(diǎn)的投射線與投影面的交點(diǎn)稱為點(diǎn)在平面上的投影，這種投射線都通過投射中心的投影法稱為中心投影法。日常生活中，照相、電影和人眼看東西得到的影像，都屬於中心投影。由於用中心投影法繪製的圖形符合人們的視覺習(xí)慣，立體感強(qiáng)，因而常用來繪製建築物的透視圖。但是，由於中心投影法作圖複雜，且度量性差，故機(jī)械圖樣中很少採用。

圖2-1投影的分類(a)中心投影；(b)斜投影；(c)正投影

圖2-1投影的分類(a)中心投影；(b)斜投影；(c)正投影

2.平行投影法將投射中心S移到無窮遠(yuǎn)，使所有的投射線都相互平行，這種投影法稱為平行投影法。按投射線與投影面是否垂直，平行投影法又可分為正投影法和斜投影法。

1)斜投影法投射線傾斜於投影面的投影法，如圖2-1(b)所示。2)正投影法投射線垂直於投影面的投影法，如圖2-1(c)所示。由於正投影能準(zhǔn)確地反映物體的形狀和大小，便於測量，且作圖簡便，所以機(jī)械圖樣通常採用正投影法繪製。今後若不特別說明，投影均指正投影。

2.1.2正投影的基本特性

1.真實(shí)性當(dāng)直線（或平面）平行於投影面時，其投影反映實(shí)長（或?qū)嵭危@種投影特性稱為真實(shí)性，如圖2-2(a)所示。

2.積聚性當(dāng)直線（或平面）垂直於投影面時，其投影積聚成點(diǎn)（或直線），這種投影特性稱為積聚性，如圖2-2(b)所示。

3.類似性當(dāng)直線或平面既不平行也不垂直於投影面時，直線的投影仍然是直線，但長度縮短，平面的投影是原圖形的類似形（與原圖形邊數(shù)相同，平行線段的投影仍然平行），但投影面積變小，這種投影特性稱為類似性，如圖2-2(c)所示。

圖2-2正投影的特性(a)真實(shí)性；(b)積聚性；(c)類似性

2.2物體的三視圖

根據(jù)有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)定，用正投影法繪製出的物體的圖形，稱為視圖。一個視圖一般只能反映出物體一個方向的形狀，為了完整地表達(dá)物體的形狀，常採用從幾個不同方向進(jìn)行投射的多面正投影圖。

2.2.1三視圖的形成

1.三投影面體系的建立用三個互相垂直的投影面構(gòu)成一個三投影面體系，三個投影面分別為：正立投影面，用V表示；水準(zhǔn)投影面，用H表示；側(cè)立投影面，用W表示。三個投影面之間的交線稱為投影軸，分別用OX、OY、OZ表示，如圖2-3所示。

2.三視圖的形成將物體置於三投影面體系中，按正投影法分別向三個投影面投射，其V面投影稱為主視圖，H面投影稱為俯視圖，W面投影稱為左視圖。

3.三投影面的展開為了把物體的三面投影畫在同一平面上，規(guī)定V面不動，將H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面繞OZ軸向後旋轉(zhuǎn)90°，與V面處在同一平面上。由於視圖的形狀和物體與投影面之間的距離無關(guān)，因此工程圖樣上通常不畫投影軸和投影面的邊框，如圖2-4所示。圖2-4三視圖的形成

圖2-4三視圖的形成

圖2-4三視圖的形成

圖2-4三視圖的形成

2.2.2三視圖之間的對應(yīng)關(guān)係如圖2-3所示，主視圖反映物體上下、左右的位置關(guān)係，即反映物體的高度和長度；俯視圖反映物體左右、前後的位置關(guān)係，即反映物體的長度和寬度；左視圖反映物體上下、前後的位置關(guān)係，即反映物體的高度和寬度。由此可得到三視圖之間的對應(yīng)關(guān)係：主、俯視圖長對正；主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等。

“長對正、高平齊、寬相等”是畫圖和讀圖必須遵循的最基本的投影規(guī)律。應(yīng)用這個規(guī)律作圖時，要注意物體的上、下、左、右、前、後六個方位與視圖的關(guān)係。如俯視圖的下麵和左視圖右面都反映物體的前面，俯視圖的上面和左視圖的左面都反映物體的後面，即“遠(yuǎn)離主視為前”。因此，在俯、左視圖上量取寬度時，要特別注意量取的起點(diǎn)和方位。

2.2.3畫三視圖的方法首先，選擇反映物體形狀特徵最明顯的方向作為主視圖的投射方向。將物體在三投影面體系中放正，然後，保持物體不動，按正投影法向各投影面投射，具體畫圖步驟如圖2-5所示。圖2-5物體的三視圖

圖2-5物體的三視圖

圖2-5物體的三視圖

圖2-5物體的三視圖

2.3點(diǎn)、直線、平面的投影

2.3.1點(diǎn)的投影

1.點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的投影仍為一點(diǎn)，且空間點(diǎn)在一個投影面上有唯一的投影；但已知點(diǎn)的一個投影，不能唯一確定點(diǎn)的空間位置。在三投影面體系中，過點(diǎn)A分別向三投影面作垂線（投射線），垂足a、a′、a″即為點(diǎn)A的三面投影。

空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記規(guī)定為：空間點(diǎn)用大寫拉丁字母表示，如A、B、C…；水準(zhǔn)投影用相應(yīng)的小寫字母表示，如a、b、c…；正面投影用相應(yīng)的小寫字母加一撇表示，如a′、b′、c′…；側(cè)面投影用相應(yīng)的小寫字母加兩撇表示，如a″，b″，c″…，如圖2-6所示。

圖2-6點(diǎn)的三面投影

圖2-6點(diǎn)的三面投影

圖2-6點(diǎn)的三面投影

由圖2-6可以得出點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律：

(1)點(diǎn)的正面投影和水準(zhǔn)投影的連線垂直於OX軸，即a′a⊥OX。

(2)點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直於OZ軸，即a′a″⊥OZ。

(3)點(diǎn)的水準(zhǔn)投影到OX軸的距離等於點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離，即aaX＝a″aZ，可以用45°線反映該關(guān)係。

2.點(diǎn)的直角坐標(biāo)如果把三投影面體系看作直角坐標(biāo)系，把投影面H、V、W作為座標(biāo)面，投影軸X、Y、Z作為坐標(biāo)軸，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)（x，y，z）便是A點(diǎn)分別到W、V、H面的距離。點(diǎn)的每一個投影由其中的兩個座標(biāo)所確定：V面投影a′由xA和zA確定；H面投影a由xA和yA確定；W面投影a″由yA和zA確定。點(diǎn)的任意兩投影包含了點(diǎn)的三個座標(biāo)，因此根據(jù)點(diǎn)的三個座標(biāo)值以及點(diǎn)的投影規(guī)律就能作出該點(diǎn)的三面投影圖，也可以由點(diǎn)的兩面投影補(bǔ)畫出點(diǎn)的第三面投影。

例1

已知點(diǎn)A的V面投影a′和H面投影a，求W面投影a″（圖2-7）。

作圖：

(1)過原點(diǎn)O作45°線。

(2)過a作平行於X軸的直線與45°線相交，再過交點(diǎn)作平行於Z軸的直線。

(3)過a′作平行於X軸的直線與平行於Z軸的直線相交於a″，即為所求。

2.3.2直線的投影直線的投影一般仍為直線，兩點(diǎn)可以唯一確定一直線，所以在繪製直線的投影圖時，只要作出直線上任意兩點(diǎn)的投影，然後連接這兩點(diǎn)的同面投影，即是直線的三面投影圖，如圖2-8所示。圖2-8直線的投影圖2-8直線的投影

根據(jù)直線與三個投影面的相對位置不同，可以把直線分為三種：一般位置直線——與三個投影面都傾斜的直線。投影面平行線——平行於一個投影面，傾斜於另外兩個投影面的直線。投影面垂直線——垂直於一個投影面，同時必平行於另外兩投影面的直線。投影面平行線和投影面垂直線統(tǒng)稱為特殊位置直線。1.一般位置直線如圖2-8所示的直線即為一般位置直線。一般位置直線的投影特性：(1)三面投影都傾斜於投影軸。(2)投影長度均比實(shí)長短，具有類似性。

2.投影面平行線投影面平行線可分為三種：平行於V面的正平線；平行於H面的水平線；平行於W面的側(cè)平線。見表2-1。投影面平行線的投影特性：

(1)在與其平行的投影面上的投影，反映該線段的實(shí)長，具有真實(shí)性。

(2)在其他兩個投影面上的投影分別平行於相應(yīng)的投影軸，且比線段的實(shí)長短，具有類似性。

3.投影面垂直線投影面垂直線也可分為三種：垂直於V面的正垂線；垂直於H面的鉛垂線；垂直於W面的側(cè)垂線。見表2-2。投影面垂直線的投影特性：

(1)在與其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)，具有積聚性。

(2)在其他兩個投影面上的投影分別垂直於相應(yīng)的投影軸，且反映該線段的實(shí)長，具有真實(shí)性。

2.3.3平面的投影平面與投影面的相對位置有三種：一般位置平面——與三個投影面都傾斜的平面。投影面垂直面——垂直於一個投影面，傾斜於另外兩個投影面的平面。投影面平行面——平行於一個投影面，必然垂直於另外兩個投影面的平面。

1.一般位置平面一般位置平面的投影如圖2-9所示。由於三角形ABC對V、H、W面都傾斜，因此它的三個投影都是三角形，為原平面圖形的類似形，而且面積比實(shí)形小。

2.投影面垂直面投影面垂直面可分為三種：垂直於V面的正垂面；垂直於H面的鉛垂面；垂直於W面的側(cè)垂面。見表2-3。投影面垂直面的投影特性：

(1)在與其所垂直的投影面上的投影，積聚成傾斜於投影軸的直線，具有積聚性。

(2)其他兩個投影都是面積小於原平面圖形的類似形，具有類似性。

3.投影面平行面投影面平行面也可分為三種：平行於V面的正平面；平行於H面的水平面；平行於W面的側(cè)平面。見表2-4。投影面平行面的投影特性：

(1)在與其平行的投影面上的投影，反映平面圖形的實(shí)形，具有真實(shí)性。

(2)在其他兩個投影面上的投影均積聚成平行於相應(yīng)投影軸的直線，具有積聚性。

立體及其表面交線的投影

3.1平面立體

3.2回轉(zhuǎn)體

3.3截交線

3.4相貫線

3.1平面立體

3.1.1棱柱

1.棱柱的投影如圖3-1(a)所示的正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水準(zhǔn)投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚為一直線。棱柱有六個側(cè)面，前後為正平面，其正面投影反映實(shí)形，水準(zhǔn)投影及側(cè)面投影積聚為一直線。棱柱的其他四個側(cè)面均為鉛垂面，水準(zhǔn)投影積聚為直線，正面投影和側(cè)面投影為類似形。

圖3-1正六棱柱

圖3-1正六棱柱

直棱柱的投影特點(diǎn)：一個投影為多邊形，反映棱柱的形狀特徵，另外兩個投影是由矩形（實(shí)線和虛線）組成的矩形線框。作圖時，先畫反映棱柱形狀特徵的投影——多邊形，再根據(jù)棱柱的高作出其他兩個投影。

2.棱柱表面上的點(diǎn)在平面立體表面上的點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是平面上的點(diǎn)。正六棱柱的各個表面都處於特殊位置，因此在表面上的點(diǎn)可利用平面投影的積聚性來作圖。如已知棱柱表面上M點(diǎn)的正面投影m′，求水準(zhǔn)、側(cè)面投影m、m″。由於正面投影m′是可見的，因此M點(diǎn)必定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD為鉛垂面，水準(zhǔn)投影abcd具有積聚性，因此m必在abcd上。根據(jù)m′和m，由點(diǎn)的投影規(guī)律可求出m″，如圖3-1(b)所示。

3.1.2棱錐

1.棱錐的投影如圖3-2(a)所示的正三棱錐，錐頂為S，其底面△ABC為水平面，水準(zhǔn)投影△abc反映實(shí)形。棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它們的各個投影均為類似形，棱面△SAC為側(cè)垂面，其側(cè)面投影s″a″（c″）積聚為一直線。

圖3-2正三棱錐

圖3-2正三棱錐

棱錐的投影特點(diǎn)：一個投影為由三角形組成的多邊形線框，外形輪廓反映底面實(shí)形，另外兩個投影為由三角形（實(shí)線和虛線）組成的三角形線框。作圖時，先畫出棱錐底面的各個投影，再作出錐頂?shù)母鱾€投影，然後連接各棱線，並判別可見性。2.棱錐表面上的點(diǎn)如果點(diǎn)在棱線上，則可利用點(diǎn)在直線上，其投影必定在該直線的同面投影上求得。如果點(diǎn)所在的平面具有積聚性，則可利用積聚性直接求得。如果點(diǎn)所在的平面為一般位置平面，可通過在該平面上作輔助線的方法求得。

例如，已知棱錐表面上M點(diǎn)的正面投影m′，求水準(zhǔn)、側(cè)面投影m、m″。由於m′是可見的，因此該點(diǎn)在一般位置平面——棱面SAB上，可過錐頂S和M點(diǎn)作一輔助線SⅡ，然後，在s2上求出M點(diǎn)的水準(zhǔn)投影m，再根據(jù)m、m′求出m″。又例如，已知N點(diǎn)的水準(zhǔn)投影n，由於n是可見的，因此，N點(diǎn)在側(cè)垂面△SAC上，n″必定在s″a″（c″）上，由n、n″可求出（n′），如圖3-2(b)所示。

3.2回轉(zhuǎn)體

由一母線繞軸線回轉(zhuǎn)而形成的曲面稱為回轉(zhuǎn)面，由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的立體稱為回轉(zhuǎn)體。母線在回轉(zhuǎn)面上的任一位置稱為素線。常見的回轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐和圓球等。

3.2.1圓柱

1.圓柱面的形成圓柱面是由一條直母線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成的。圓柱體由圓柱面和頂面、底面組成。

2.圓柱的投影圓柱的頂面、底面是水平面，正面和側(cè)面投影積聚為一直線，由於圓柱的軸線垂直於水平面，圓柱面的所有素線都垂直於水平面，故其水準(zhǔn)投影積聚為圓，如圖3-3所示。

圖3-3圓柱

圖3-3圓柱

在圓柱的正面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱的最左、最右素線的投影，即圓柱面前後分界線（轉(zhuǎn)向輪廓線）的投影。它們把圓柱面分為前後兩半，圓柱面投影前半部可見，後半部不可見，這兩條素線是可見與不可見的分界線。在圓柱的側(cè)面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱的最前、最後素線的投影，即圓柱面左右分界線（轉(zhuǎn)向輪廓線）的投影。矩形的兩條水平線，分別是圓柱頂面和底面的積聚性投影。

3.圓柱表面上的點(diǎn)在圖3-3(b)中，圓柱面上有兩點(diǎn)M和N，已知其正投影m′和n′，求另外兩投影。由於點(diǎn)N在圓柱的轉(zhuǎn)向輪廓線上，其另外兩投影可直接求出；而點(diǎn)M可利用圓柱面有積聚性的投影，先求出點(diǎn)M的水準(zhǔn)投影m，再由m和m′求出m″。點(diǎn)M在圓柱面的右半部分，故其側(cè)面投影m″不可見。

3.2.2圓錐

1.圓錐面的形成圓錐面是由一條直母線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成的。圓錐體由圓錐面和底面組成。

2.圓錐的投影圖3-4表示一直立圓錐，它的正面投影和側(cè)面投影為同樣大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圓錐面的最左和最右素線的投影，它們把圓錐面分為前、後兩半；側(cè)面投影s″c″和s″d″是圓錐面最前和最後素線的投影，它們把圓錐面分為左、右兩半。

圖3-4圓錐

圖3-4圓錐

3.圓錐表面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)由於位置特殊，作圖較為簡單。如圖3-4(b)所示，在最左素線SA上的一點(diǎn)M，只要已知其一個投影（如已知m′），其他兩個投影（m、m″）即可直接求出。但是在圓錐面上的點(diǎn)K，只能用間接的方法——作輔助線，才能由一已知投影求出另外兩個投影。

圖3-4(b)中，已知K點(diǎn)的正面投影k′，求點(diǎn)K的其他兩個投影?？捎幂o助圓法作圖，即過點(diǎn)K在錐面上作一水準(zhǔn)輔助緯圓，該圓與圓錐的軸線垂直，點(diǎn)K的投影必在緯圓的同面投影上。作圖時，先過k′作平行於X軸的直線，它是緯圓的正面投影，再作出緯圓的水準(zhǔn)投影。由k′向下作垂線與緯圓交於點(diǎn)k，再由k′及k求出k″。因點(diǎn)K在錐面的右半部，所以k″不可見。

3.2.3圓球

1.圓球面的形成圓球面是由一圓母線以它的直徑為回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的。

2.圓球的投影圓球面的三個投影是圓球上平行於相應(yīng)投影面的三個不同位置的最大輪廓圓。正面投影的輪廓圓是前、後兩半球面的可見與不可見的分界線；水準(zhǔn)投影的輪廓圓是上、下兩半球面的可見與不可見的分界線；側(cè)面投影的輪廓圓是左、右兩半球面的可見與不可見的分界線。如圖3-5所示。圖3-5圓球

圖3-5圓球

3.圓球表面上的點(diǎn)已知圓球面上點(diǎn)A、B、C的正面投影a′、b′、c′，求各點(diǎn)的其他投影，如圖3-5(b)所示。因a′為可見，且在平行於正面的最大圓上，故其水準(zhǔn)投影a在水準(zhǔn)對稱中心線上，側(cè)面投影a″在垂直對稱中心線上；b′為不可見，且在垂直對稱中心線上，故點(diǎn)B在平行於側(cè)面的最大圓的後半部，可由b′先求出b″，最後求出b。以上兩點(diǎn)均為特殊位置點(diǎn)，可直接作圖求出其另外兩投影。由於點(diǎn)c在球面上不處於特殊位置，故需作輔助緯圓求解。

3.3截交線

在物體上常有平面與立體相交或立體與立體相交而形成的交線。平面與立體表面的交線稱為截交線，立體與立體表面的交線稱為相貫線。畫圖時，為了清楚地表達(dá)物體的形狀，必須正確地畫出其交線的投影。

3.3.1平面立體的截交線平面立體被截平面截切後所得的交線——截交線，是由直線組成的平面多邊形。多邊形的邊是立體表面與截平面的交線，而多邊形的頂點(diǎn)則是立體棱線與截平面的交點(diǎn)。截交線既在立體表面上，又在截平面上，所以它是立體表面和截平面的共有線，截交線上的每一點(diǎn)都是它們的共有點(diǎn)。因此，求截交線實(shí)際上是求截平面與平面立體棱線的交點(diǎn)，或求截平面與平面立體表面的交線。

例1

求作被正垂面截切後的四棱錐的三視圖（圖3-6）。圖3-6四棱錐的截交線圖3-6四棱錐的截交線

分析：如圖3-6所示，截交線為四邊形，四邊形的四個頂點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分別是四條棱SA、SB、SC、SD與截平面P的交點(diǎn)。只要求出截交線四個頂點(diǎn)的投影，然後依次連接各點(diǎn)的同面投影，即得截交線的投影。因此，問題歸結(jié)為求一般位置直線與特殊位置平面的交點(diǎn)。

作圖：

(1)因截平面的正面投影具有積聚性，可直接求出截交線四邊形各頂點(diǎn)的正面投影1′、2′、3′、4′（圖3-6(b)）。

(2)根據(jù)直線上點(diǎn)的投影，求出四邊形各頂點(diǎn)的其餘投影。

(3)依次連接各頂點(diǎn)的同面投影，完成全圖（圖3-6(c)）。

3.3.2回轉(zhuǎn)體的截交線回轉(zhuǎn)體的截交線通常是一條封閉的平面曲線。截交線的形狀與回轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì)及其與截平面的相對位置有關(guān)。當(dāng)截平面與回轉(zhuǎn)體的軸線垂直時，任何回轉(zhuǎn)體的截交線都是圓，這個圓就是緯圓。截交線是截平面和回轉(zhuǎn)體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)也都是它們的共有點(diǎn)。當(dāng)截平面為特殊位置平面時，截交線的投影就積聚在截平面具有積聚性的同面投影上，可利用回轉(zhuǎn)體表面上取點(diǎn)的方法求作截交線。

截交線上有一些能確定其形狀和範(fàn)圍的特殊點(diǎn)，包括輪廓線上的點(diǎn)（可見與不可見的分界點(diǎn)）和極限位置點(diǎn)（最高、最低、最左、最右、最前、最後點(diǎn)）等，其他的點(diǎn)為一般點(diǎn)。求截交線時，通常先作出這些特殊點(diǎn)，然後按需要再求作若干一般點(diǎn)，最後依次光滑連接各點(diǎn)的同面投影，並判別可見性。

1.圓柱的截交線根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對位置不同，截交線有三種形狀，見表3-1。

例2

求作斜切圓柱的截交線（圖3-7）。

圖3-7圓柱的截交線(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；(d)光滑連接各點(diǎn)，完成全圖

圖3-7圓柱的截交線(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；(d)光滑連接各點(diǎn)，完成全圖c

圖3-7圓柱的截交線(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；(d)光滑連接各點(diǎn)，完成全圖

圖3-7圓柱的截交線(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；(d)光滑連接各點(diǎn)，完成全圖

分析：截平面傾斜於圓柱軸線，截交線為橢圓。由於截平面P為正垂面，截交線的正面投影積聚在截平面的積聚性投影p′上，水準(zhǔn)投影與圓柱面的積聚性投影（圓周）重合（圖3-7(a)）。利用點(diǎn)的投影規(guī)律，即可求出截交線的側(cè)面投影。

作圖：

(1)求特殊點(diǎn)：特殊點(diǎn)指轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)、極限位置點(diǎn)及橢圓長、短軸的端點(diǎn)。根據(jù)它們的正面投影a′、b′、c′、d′，可求得側(cè)面投影a″、b″、c″、d″（圖3-7(b)）。其中，a″、b″分別為橢圓的最低點(diǎn)（最左點(diǎn)）和最高點(diǎn)（最右點(diǎn)）；c″、d″分別為橢圓的最前點(diǎn)和最後點(diǎn)，c″、d″和a″、b″分別是橢圓的長、短軸的端點(diǎn)。特殊點(diǎn)對確定截交線的範(fàn)圍、趨勢和判別可見性以及準(zhǔn)確地求作截交線有著重要的作用，作圖時必須首先求出。

(2)求一般點(diǎn)：為使作圖更為準(zhǔn)確，還需作出一定數(shù)量的一般點(diǎn)，如圖3-7(c)中的E、F點(diǎn)。

(3)依次光滑連接各點(diǎn)的側(cè)面投影，完成全圖（圖3-7(d)）。

例3

畫出如圖3-8(a)所示的上部開槽、下部切口圓柱體的三視圖。圖3-8圓柱切口開槽的畫法圖3-8圓柱切口開槽的畫法

分析：圖3-8(a)所示立體是一個圓柱體被四個側(cè)平面和三個水平面切割而成的。四個側(cè)平面與圓柱面的交線為八條鉛垂線，其正面投影和側(cè)面投影反映實(shí)長；三個水平面與圓柱面的交線為四段圓弧，其水準(zhǔn)投影積聚在圓柱面的水準(zhǔn)投影上。

作圖：先畫出完整圓柱體的三視圖，再按凹槽和切口的寬度（左右方向）和深度依次畫出正面投影和水準(zhǔn)投影，最後求出側(cè)面投影。由於圓柱最前、最後素線的上端被切去一段，使側(cè)面投影的輪廓線向中心“退縮”，呈“凸”字形。圓柱底部被切去的部分是左右兩邊，最前、最後素線完整（圖3-8(b)）。

2.圓錐的截交線根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀，見表3-2。例4

求作正平面P與圓錐的截交線（圖3-9）。

圖3-9圓錐的截交線

(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；

(d)光滑連接各點(diǎn)，完成全圖

圖3-9圓錐的截交線

(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；

(d)光滑連接各點(diǎn)，完成全圖

圖3-9圓錐的截交線

(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；

(d)光滑連接各點(diǎn)，完成全圖

圖3-9圓錐的截交線

(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；

(d)光滑連接各點(diǎn)，完成全圖

分析：由於截平面P與圓錐的兩條素線（最左素線和最右素線）平行，所以截交線為雙曲線。截交線的水準(zhǔn)投影和側(cè)面投影分別和截交線的積聚性投影重合，只需作出正面投影。作圖：

(1)求特殊點(diǎn)：根據(jù)側(cè)面投影3″，可求出最高點(diǎn)Ⅲ的正面投影3′。根據(jù)水準(zhǔn)投影1、5可求出最低點(diǎn)Ⅰ、Ⅴ的正面投影1′、5′。Ⅰ、Ⅴ兩點(diǎn)也是最左點(diǎn)和最右點(diǎn)，可認(rèn)為是底圓圓周與截平面P的交點(diǎn)（圖3-9(b)）。(2)求一般點(diǎn)：作輔助水平面Q與圓錐相交，交線是圓，該圓的水準(zhǔn)投影與截平面的水準(zhǔn)投影相交於2、4，再由2、4求出正面投影2′、4′。其實(shí)，如果將輔助平面Q截切後的立體和原來的立體進(jìn)行比較就可以發(fā)現(xiàn)，Ⅱ、Ⅳ和Ⅰ、Ⅴ正面投影的求法是相同的（圖3-9(c)）。

(3)依次光滑連接各點(diǎn)，完成全圖（圖3-9(d)）。

3.圓球的截交線用任何位置的平面截切圓球，其截交線都是圓。例5已知開槽半圓球的正面投影，求作其餘兩投影（圖3-10）。

圖3-10開槽半圓球(a)開槽半圓球；(b)畫槽的底面投影；(c)畫槽的側(cè)面投影

圖3-10開槽半圓球(a)開槽半圓球；(b)畫槽的底面投影；(c)畫槽的側(cè)面投影

圖3-10開槽半圓球(a)開槽半圓球；(b)畫槽的底面投影；(c)畫槽的側(cè)面投影

分析：矩形槽的兩側(cè)面是側(cè)平面，它們與半圓球的截交線為兩段圓弧，側(cè)面投影反映實(shí)形；槽底是水平面，與半圓球的截交線也是兩段圓弧，水準(zhǔn)投影反映實(shí)形。作圖：先畫出半圓球的三視圖，再作矩形槽的水準(zhǔn)投影和側(cè)面投影。R1由主視圖所示槽深決定，R2由主視圖所示槽寬決定。在側(cè)面投影中，圓球的輪廓線被切去的部分不應(yīng)畫出。槽底的側(cè)面投影的中間部分不可見，應(yīng)畫成虛線。3.4相貫線

兩立體表面相交稱為相貫，其表面的交線稱為相貫線。相貫線是相交兩立體表面的共有線，可看做是兩立體表面上一系列共有點(diǎn)的集合，因此求相貫線實(shí)質(zhì)上就是求兩立體表面共有點(diǎn)的投影。相貫線一般為封閉的空間曲線。

3.4.1利用積聚性求作相貫線兩回轉(zhuǎn)體相交，如果其中有一個是軸線垂直於投影面的圓柱，由於圓柱在該投影面上的投影——圓，具有積聚性，因而相貫線的這一投影是已知的，利用這個已知投影，就可在另一回轉(zhuǎn)體上用立體表面上取點(diǎn)的方法作出相貫線的其他投影。

例6

求作軸線正交的兩圓柱的相貫線（圖3-11）。

圖3-11利用積聚性求作相貫線(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；(d)光滑連接

圖3-11利用積聚性求作相貫線(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；(d)光滑連接

圖3-11利用積聚性求作相貫線(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；(d)光滑連接

圖3-11利用積聚性求作相貫線(a)分析；(b)作特殊點(diǎn)；(c)作一般點(diǎn)；(d)光滑連接

分析：從圖3-11(a)中可看出，直立大圓柱水準(zhǔn)投影具有積聚性，水準(zhǔn)小圓柱側(cè)面投影具有積聚性，小圓柱完全貫入大圓柱，所以相貫線的水準(zhǔn)投影積聚在大圓柱的水準(zhǔn)投影上，為一段圓弧；相貫線的側(cè)面投影則積聚在小圓柱的側(cè)面投影上，為一個圓。根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，即可求出相貫線的正面投影。

作圖：

(1)求特殊點(diǎn)：大圓柱左邊的輪廓線與小圓柱交於Ⅰ、Ⅲ兩點(diǎn)，小圓柱的上、下、前、後四條輪廓線與大圓柱交於Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四點(diǎn)，這四點(diǎn)也是極限位置點(diǎn)，它們的正面投影可直接求得（圖3-11(b)）。

(2)求一般點(diǎn)：先在相貫線的已知投影如水準(zhǔn)投影中取點(diǎn)5、（6），根據(jù)寬相等作出側(cè)面投影5″、6″，然後由點(diǎn)的投影規(guī)律求出正面投影5′、6′（圖3-11(c)）。(3)依次光滑連接各點(diǎn)的正面投影，完成全圖（圖3-11(d)）。相貫線只有同時位於兩個立體的可見表面時，這段相貫線的投影才是可見的；否則就不可見。由於該相貫體前後對稱，因而相貫線的正面投影實(shí)線和虛線重合。兩正交圓柱的相貫線，當(dāng)其相對大?。ㄖ睆剑┌l(fā)生變化時，相貫線的形狀、彎曲趨向?qū)㈦S著變化，如圖3-12所示。圖3-12不同直徑圓柱的相貫線圖3-12不同直徑圓柱的相貫線

兩軸線垂直相交的圓柱在機(jī)械零件上是最常見的，它們的相貫線一般有圖3-13所示的三種形式，其作圖方法也是相同的。

圖3-13兩圓柱正交的三種形式

圖3-13兩圓柱正交的三種形式

圖3-13兩圓柱正交的三種形式

3.4.2相貫線的特殊情況和簡化畫法兩回轉(zhuǎn)體相交，其相貫線一般為空間曲線，但在特殊情況下，也可能是平面曲線或直線。當(dāng)兩回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時，其相貫線為垂直於軸線的圓，圓在軸線所平行的投影面上投影為直線，如圖3-14所示。圖3-14同軸回轉(zhuǎn)體的相貫線圖3-14同軸回轉(zhuǎn)體的相貫線圖3-14同軸回轉(zhuǎn)體的相貫線

當(dāng)兩等徑圓柱軸線相交時，其相貫線為一平面曲線——橢圓，且在與兩軸線平行的投影面上的投影為直線，如圖3-12所示的中間兩等徑圓柱相貫的情況。當(dāng)兩圓柱軸線平行時，其相貫線是兩條平行於軸線的直線，如圖3-15所示。在實(shí)際畫圖中，當(dāng)兩圓柱軸線垂直相交，且對相貫線形狀的準(zhǔn)確度要求不高時，相貫線可採用近似畫法：用大圓柱的半徑作圓弧來代替相貫線的投影，圓弧的圓心在小圓柱的軸線上，相貫線向著大圓柱的軸線方向彎曲，如圖3-16所示。其作圖步驟如下：(1)找圓心：以兩圓柱轉(zhuǎn)向輪廓線的交點(diǎn)1′(或2′)為圓心，以大圓柱的半徑D/2為半徑，在小圓柱的軸線上找出圓心O。

(2)作圓?。阂設(shè)為圓心、D/2為半徑畫弧。圖3-15平行兩圓柱的相貫線

圖3-16用圓弧代替相貫線的簡化畫法軸測圖

4.1軸測圖的基本知識

4.2正等軸測圖

4.3斜二軸測圖

4.1軸測圖的基本知識

圖4-1三視圖和軸測圖(a)三視圖；(b)正等測；(c)斜二測

圖4-1三視圖和軸測圖(a)三視圖；(b)正等測；(c)斜二測

4.1.1軸測圖的形成、分類和特性將物體連同其直角坐標(biāo)系，沿不平行於任一座標(biāo)平面的方向，用平行投影法投射在單一投影面（稱為軸測投影面）上所得到的圖形稱為軸測圖。軸測圖按投射方向與軸測投影面是否垂直，分為正軸測圖和斜軸測圖。軸測圖有一個重要的特性，就是物體上互相平行的線段在軸測圖上仍互相平行。物體上平行於某一坐標(biāo)軸的直線，在軸測圖上平行於相應(yīng)的軸測軸。

4.1.2軸測圖的軸測軸、軸間角和軸向伸縮係數(shù)確定物體空間位置的直角坐標(biāo)系的三根坐標(biāo)軸X、Y、Z在軸測投影面上的投影X1、Y1、Z1，稱為軸測軸，它們之間的夾角稱為軸間角。軸測圖的單位長度與相應(yīng)直角坐標(biāo)軸的單位長度的比值，稱為軸向伸縮係數(shù)。X1、Y1、Z1三個軸測軸方向的軸向伸縮係數(shù)分別用p1、q1、r1表示。畫軸測圖時，先確定軸間角和軸向伸縮係數(shù)，再根據(jù)物體在坐標(biāo)系中的位置，沿平行於相應(yīng)軸的方向測量物體上各邊的尺寸或確定點(diǎn)的位置。4.2正等軸測圖

4.2.1正等測的形成及其軸間角和軸向伸縮係數(shù)當(dāng)物體上的三個直角坐標(biāo)軸與軸測投影面的傾角相等時，三個軸向伸縮係數(shù)均相等，這時用正投影法所得到的圖形稱為正等軸測圖，簡稱正等測。正等測中的三個軸間角都等於120°，其中Z1軸畫成鉛垂方向，如圖4-2所示。軸向伸縮係數(shù)相等，都是0.82，為作圖方便，通常採用簡化的軸向伸縮係數(shù)p＝q＝r＝1，即凡與軸測軸平行的線段，作圖時按實(shí)際長度直接量取。

圖4-2正等測

圖4-2正等測

4.2.2平面立體的正等測畫法畫平面立體軸測圖的方法，有座標(biāo)法和方箱法兩種。

1.座標(biāo)法根據(jù)物體表面上各頂點(diǎn)的座標(biāo)，分別畫出它們的軸測投影，然後依次連接成物體表面的輪廓線，這種方法稱為座標(biāo)法。座標(biāo)法是繪製軸測圖的基本方法。

例1

根據(jù)正六棱柱的投影圖，用座標(biāo)法畫出其正等測（圖4-3）。作圖：

(1)在視圖上選定座標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，畫出軸測軸，根據(jù)六棱柱頂面各點(diǎn)座標(biāo)，在X1O1Y1座標(biāo)面上定出頂面各點(diǎn)的位置。在X1軸上定出31、61點(diǎn)，在Y1軸上定出a1、b1點(diǎn)，過點(diǎn)a1、b1作直線平行於X1軸，並在所作兩直線上作出11、21、41、51各點(diǎn)（圖4-3(b)）。圖4-3用座標(biāo)法畫平面立體正等測圖4-3用座標(biāo)法畫平面立體正等測圖4-3用座標(biāo)法畫平面立體正等測圖4-3用座標(biāo)法畫平面立體正等測(2)連接上述各點(diǎn)，得出六棱柱頂面投影，由各頂點(diǎn)向下作Z1軸的平行線，根據(jù)六棱柱高度在平行線上截得棱線長度，同時也定出了六棱柱底面各可見點(diǎn)的位置（圖4-3(c)）。

(3)連接底面各點(diǎn)，得出底面投影，整理描深，完成作圖（圖4-3(d)）。

2.方箱法對於由長方體切割形成的平面立體，先畫出完整長方體的軸測圖，然後用切割方法逐步畫出它的切去部分，這種方法稱為方箱法。

例2

用方箱法作出圖4-4(a)所示立體的正等測。從圖4-4(a)所示三視圖可知，該物體是一個長方體切去上前方的小長方體，再切去左上角後形成的。繪圖時先用座標(biāo)法畫出完整的長方體，然後逐步切去各個部分，繪圖步驟如圖4-4所示。

圖4-4用方箱法畫平面立體正等測(a)三視圖；(b)畫長方體；(c)切去上前方的長方體；(d)切去左上角；(e)整理，完成全圖

圖4-4用方箱法畫平面立體正等測(a)三視圖；(b)畫長方體；(c)切去上前方的長方體；(d)切去左上角；(e)整理，完成全圖

圖4-4用方箱法畫平面立體正等測(a)三視圖；(b)畫長方體；(c)切去上前方的長方體；(d)切去左上角；(e)整理，完成全圖

圖4-4用方箱法畫平面立體正等測(a)三視圖；(b)畫長方體；(c)切去上前方的長方體；(d)切去左上角；(e)整理，完成全圖

圖4-4用方箱法畫平面立體正等測(a)三視圖；(b)畫長方體；(c)切去上前方的長方體；(d)切去左上角；(e)整理，完成全圖

4.2.3回轉(zhuǎn)體的正等測畫法平行於座標(biāo)面的圓的正等測是橢圓。圖4-5表示按簡化伸縮係數(shù)繪製的分別平行於XOY、XOZ和YOZ三個座標(biāo)面的圓的正等測投影。橢圓的方位因不同的座標(biāo)面而不同，其中橢圓的長軸垂直於與圓平面相垂直的軸測軸，而短軸則平行於這條軸測軸。如平行於XOY座標(biāo)面圓的正等測橢圓的長軸垂直於Z1軸，而短軸則與Z1軸平行。畫圖時，為簡化作圖，通常採用四段圓弧連接成近似橢圓的作圖方法?，F(xiàn)以XOY座標(biāo)面上的圓為例說明作圖步驟，如圖4-6所示。

圖4-6近似橢圓的畫法(a)作圓的外切正方形；(b)作正方形的軸測投影；(c)連點(diǎn)、定圓心及切點(diǎn)；(d)分別畫出四段圓弧，連成近似橢圓

圖4-6近似橢圓的畫法(a)作圓的外切正方形；(b)作正方形的軸測投影；(c)連點(diǎn)、定圓心及切點(diǎn)；(d)分別畫出四段圓弧，連成近似橢圓

例3

作圓柱體的正等測（圖4-7）。圓柱體的軸線為鉛垂線，頂圓、底圓都是水準(zhǔn)圓，可取頂圓的圓心為原點(diǎn)，選取如圖4-7(a)所示的坐標(biāo)軸。用近似法畫出頂圓的軸測投影橢圓後，將繪製該橢圓各段圈弧的圓心沿Zl軸向下移動一個圓柱高的距離，就可得到繪製下底橢圓的各段圓弧的圓心位置（圖4-7(b)）。判別可見性後，只畫出底圓可見部分的輪廓（圖4-7(c)、(d)）。

圖4-7圓柱體的正等測(a)視圖；(b)畫軸測軸，定頂圓、底圓中心，畫上下兩橢圓；(c)作兩橢圓的外公切線；(d)描深，完成全圖

圖4-7圓柱體的正等測(a)視圖；(b)畫軸測軸，定頂圓、底圓中心，畫上下兩橢圓；(c)作兩橢圓的外公切線；(d)描深，完成全圖

圖4-7圓柱體的正等測(a)視圖；(b)畫軸測軸，定頂圓、底圓中心，畫上下兩橢圓；(c)作兩橢圓的外公切線；(d)描深，完成全圖例4

作帶圓角平板的正等測（圖4-8）。圖4-8圓角的畫法圖4-8圓角的畫法圖4-8圓角的畫法圖4-8圓角的畫法

機(jī)器上常有1/4圓柱面組成的圓角，如圖4-8(a)所示。圓角在軸測圖上是橢圓的1/4，作圖方法和步驟如下:(1)確定以R為半徑的圓角切點(diǎn)1、2（圖4-8(a)）。

(2)畫出長方體平板的正等測，由角頂沿兩邊分別量取半徑R，得到1、2兩點(diǎn)（圖4-8(b)）。

(3)過1、2兩點(diǎn)作所在邊的垂線，得交點(diǎn)O（圖4-8(c)）。(4)以O(shè)為圓心，O1為半徑畫圓?。▓D4-8(d)）。

(5)將O沿Z1軸向下移動板的厚度